akar pangkat matematika

BAB IV

PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Bab ini menguraikan tiga unsur penting dalam operasi metamatika : mengenai

pangkat, akar dan logaritma. Ketiganya sangat sering digunakan dalam proses

penyelesaian persoalan – persoalan matematik. Pemahaman akan cara kerja konsep –

konsep ini, meskipun tampaknya sepele, sangat penting dimiliki.

3.1 PANGKAT

Pangkat dari sebuah bilangan inilah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya

perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notaris xa itu sendiri secara berturut –

rurut sebanyak a kali. Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan

penulisan bentuk perkalian secara ringkas. Sebagai contoh : perkalian bilangan 7

sebanyak 5 kali tak perlu dituliskan dengan lengkap 7 X 7 X 7 X 7 X 7, melainkan cukup

diringkas menjadi 75. jadi.

7 X 7 X 7 X 7 X 7 = 75

5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 57

0,3 X 0,3 X 0,3 X 0,3 X 0,3 X = 0,36

Notasi pemakaian berfaedah pula untuk meringkas bilangan – bilangan kelipatan

perkalian – sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil. Sebagai contoh :

bilangan 100.000 dapat diringkas menjadi 10. begitu pula.

1.000.000.000 = 109

5.000.000.000 = 5 . 109

7.500.000.000 = 7.5. 109 atau 75 . 108

0.000.000.001 = 10 9

0.000.000.034 = 34.10 9 atau 3.4. 108

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Tri Wahyono SE, MM MATEMATIKA EKONOMI

pemakaian sebuah bilangan dan pengoperasian bilangan – bilangan berpangkat

mematuhi kaidah – kaidah tertentu. Berdasarkan kaidah – kaidah yang sering akan

dipaparkan berikut ini, kita dapat pula memetik berbagai faedah lain dari notasi

pemangkatan.

3.1.1 Kaidah Pemangkatan Bilangan

1. Bilangan bukan – non berpangkat nol adalah suatu.

Contoh : 3o = 1

2. Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri.

3 1 = 3

3. Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol.

03 = 0

4. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali ( Multiplicative in verse )

dari bilangan itu sendiri.

32 = 1 . = 1 ( 1 = 9 – 1)

31 9 9

5. Bilangan berpangkat pecahan adalah adalah akar dari bilangan itu sendiri,

dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya

sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan.

3 = =

6. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbilangan suku – suku

berpangkatnya.

( )2 =


xo = 1 ( x ≠ 0 )

x1 = x

0 = 0

a =

7. Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil

pangkat – pangkatnya.

(32 )4 = 32-4 = 38 = 6561

8. Bilangan dipangkatkan pangkat – berpangkat adalah bilangan berpangkat

hasil pemangkatan pengkatnya.

34 = 310 = 43.046.721

Kaidah ke – 7 dan ke-8 di atas perlu mendapat perhatian khusus, sebab acapkali

diselesaikan secara tak benar. Jika kurang teliti, contoh-contoh dalam kaidah ke-7 dana

ke-8 tersebut bisa salah diselesaikan menjadi 94 (=1296), padahal seharusnya masing –

masing adalah 38 dan 316 prinsip penyelesaian bilangan yang pangkatnya beranting ialah

menyelesaikan pangkat – pangkatnya terlebih dahulu.

Kaidah ke-6 identik den kaidah ke-12, kaida pembagian bilangan berpangkat,

yaitu segera akan kita bahas dalam seksi 3.1.3. sementara itu kaidah ke-5 di atas,

sebagaimana akan terlihat nanti, identik dengan kaidah ke-2 mengenai pengakaran

yang diuraikan dalam seksi 3.2.1.

3.1.2 Kaidah Perkalian Bialangan Berpangkat

9. Hasil bilangan – bilangan bepangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis

berpangkat jumlah pangkat – pangkatnya.

32 , 34 = 32 + 4 = 36 = 729


( Xa ) h = xab

( Xah ) h = xab

dimana C = ah

Xa, Xb = Xa+b

10. Hasilkali bilangan – bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi

basisinya berbeda, adalah perkalian basis – basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan.

32 , 52 = ( 3.5)2 = 152 = 225

3.1.3 Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat.

11. Hasil bagi bilangan berpangkat yang basisinya sama adalah bilangan basis

berpangkat selisih pangkat –pengkatnya.

32 : 34 = 32-4 =

12. Hasil bagi bilangan –bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi

basisnya berbeda, adalah pembagian basis – basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan.

32 : 52 = =

bandingkan kaidah ke – 12 ini dengan kaiah ke – 6 di muka.

3.2 AKAR

Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari

sebuah bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan

pangkat akhirnya. Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui, bahwa jika

bilangan – bilangan yang sama (misalnya x ) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak

(katakanlah) a kali maka kita dapat menuliskannya menjadi xa : a. Kali, maka kita dapat

menuliskannya manjdi xa : x. Disebut basis dan a disebut pangkat a disebut pangkat.

Andaikata xa = m, maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika

dituliskan.


Xa, ya = (xy)a

Xa,Xb = Xa-h

xa : ya =

dalam bentuk akar menjadi x = Jadi, x sebab xa = m; atau dengan perkataan

lain, x jika xa = m.

sebab 32 = 9

sebab 43 = 64

secara umum :

x jika xa = m

Dalam notasi , a disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan.

Pangkat 2 dari akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan, sehingga tanda akar

yang tidak mencantumkan pangkat dengan sendirinya harus dibaca dan ditafsirkan

sebagai akar berpangkat 2. Jadi, , .

Apabila pangkat akarnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan

menghasilkan dua macam akar : yang satu positif dan satunya lagi negatif. Hal ini

selaras dengan kaidah perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif

maupun negatif jika berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif. Jadi,

sesungguhnya = (baca : + 3 dan -3), bukan hanya + 3; sebab ( + 3 )2 = 9 dan ( -

3 )2 = 9 juga. Sama halnya, = dan bukan hanya + 5, dan bukan

hanya + 2.

Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif, hasilnya adalah berupa

bilangan khayal (lihat kembali Bab 2). Sebagai contoh adalah bilangan khayal,

sebab baik + 3 maupun – 3 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan – 9.

Apabila pangkat akarnya berupa bilangan ganjil, baik radikan positif maupun

radikan negatif hanya akan menghasilkan satu macam akar; radikan positif

menghasilkan akar positif, radikan negatif menghasilkan akar negatif.

= + 4 sebab hanya ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) = 64


= - 4 sebab hanya ( - 4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) = -64

Seperti halnya dalam hal pemangkatan, pengakaran bilangan pun mematuhi

sejumlah kaidah. Kaidah-kaidah tersebut dirinci di bawah ini.

3.2.1 Kaidah Pengakaran Bilangan

1. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut

berkenaan dengan pangkat akarnya.

Berdasarkan jika x2 = m ( x adalah basis ),

maka :

Sebab (x h = x = xi = x

Dalam hal ini x adalah bais

Contoh : = 4.

2. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat

pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi

sedangkan pengkat akar menjadi suku pembagi.

= 1.55

kaidah ke-2 ini sesungguhnya merupakan pengembangan atau analogi dari

kaidah ke-1 sebelumnya. (Bandingkan pula kaidah ke-2 ini dengan kaidah ke - 5

mengenai pemangkatan bilangan pecahan, dalam saksi 3.1.1 di muka ).


3. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar – akarnya.

(Lihat juga kaidah ke-6 di bawah nanti).

4. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku

sukunya.

(Bandingkan kaidah ini dengan kaidah ke-8 nanti).

3.2.2 Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Terakar.

Bilangan – bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila

akar – akarnya sejenis. Yang dimaksud dengan akar –akar yang sejenis ilah akar – akar

yang pangkat dan radikannya sama.

5. Jumlah (selisih) bilangan – bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien

– koefisiennya terakar.

≠ n (m ± n )

Contoh :

3.2.3 Kaidah Perkalian Bilangan Terakar.

6. Hasilkali bilangan – bilangan terakar adalah akar dari hasil bilangan –

bilangannya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya

berpangkat sama.

= = = 8

( Idenstik dengan kaidah ke-3 sebelumnya ).


7. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan

bersangkutan : pangkat - baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar –

akar sebelumnya.

= = 5

3.2.4 Kaidah Pembagian Bilangan Terakar.

= 0,5

(Identik dengan kaidah ke-4 sebelumnya).

3.3 L O G A R I T M A

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan kelablikan dari proses

pemangkatan dan / atau pengakaran. Ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi

– operasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari

suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok

logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Andaikan sebuah bilangan berpangkat (xa) sama dengan bilangan positif tertentu

(m), maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskannya menjadi :

x0 = m di nama x adalah basis

dan a adalah pangkat.

Pangkat a disebuit jiga logaritma dari m terhadap basis x, yang jika dituliskan

dalam bentuk logaritma menjadi :

a = log atau a = logx m

Bilangan pokok (basis) logaritma, x dalam contoh di atas, dapat dituliskan di pojok – kiri

– atas dari tanda log (singkatan logaritma) atau di pojok – kanan bawah dari tanda


tersebut. Berdasarkan kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma sebagai mana

ditunjukkan di atas, kita dapat pula menarik analogi untuk menyatakan pernyataan –

pernyataan di bawah ini :

52 = 25; pangkat 2 adalah logaritme dari 25 terhadap basis 5, atau 5 log

25 = 2.

43 = 64; pangkat 3 adalah logaritme dari 64 terhadap basis 4, atau 4 log

64 = 2.

102 = 100; pangkat 2 adalah logaritme dari 100 terhadap basis 10, atau 10 log 100 = 2.

Selain dengan bentuk pemangkatan, bentuk logaritma juga erat berhubungan

dengan bentuk pemangkatan. Keeratan hubungan di antara ketiga macam bentuk ini

dapat dilihat sebagai berikut :

Bentuk Pangkat Bentuk Akar Bnetuk Logaritma

xa = m log m = a

Suku – suku di ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari

Atau hendak dihitung pada masing –masing bentuk

Dalam pemangkatan, kita mengetahui basis ( x ) serta pangkat ( a ), dan ingin

mengetahui bilangan yang merupakan hasil pemangkatan basis tersebut (yaitu m ).

Dalam pengakaran, kita mengetahui sebuah bilangan tertentu yang disebut radikan (m )

serta pangkat dari akarnya (a), dan igin mengetahui hasil pengakarannya radikan tadi

( yaitu X), sedangkan dalam logaritma, kita mengetahui basis logaritma ( x ) serta

bilangan logaritma ( m ), dan ingin mengetahui hasil logaritmanya (yaitu a).

Perhatikan kedudukan a, m dan x pada masing – masing bentuk diatas,

bilangan a yang merupakan hasil logaritma, tak lain adalah logat dari basis dalam

bentuk pangkat dan pangkat dari akar dalam bentuk akar. Sedangkan m yang

merupakan hasil pemangkatan, tak lain adalah radikan dalam bentuk akar dan bilangan


logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x yang merupakan hasil pengakaran, tak lain

adalah basis baik dalam bentuk pangkat maupun dalam bentuk logaritma.

Berdasarkan uraian – uraian di atas, dapatlah disimpulkan bahwa :

Log m = a jika x = m atau

Contoh :

1) 6 Log 36 = 2 sebab 6 2 = 36 atau = 6

2) 5 Log 625 = 4 sebab 5 4 = 625 atau = 5

3) Jika x log 49 = 2, berarti x 2 = 49, x = = 7

4) Jika 3log m = 10, berarti 3 10 = m, m = 59 049

5) Jika 10 log 1.000 = a, berarti 10 a = 1.000, 10 = 10 3, a=3


akar pangkat matematika

Documents