a para o ensino fundamental

8/4/2019 a Para o Ensino Fundamental

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Matemtica para oEnsino Fundamental

So Cristvo/SE2010

der Matheus de Souza


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CapaHermeson Alves de Menezes

Elaborao de Contedoder Matheus de Souza

S729m Souza, der Matheus de.

Matemtica para o ensino fundamental/ der Matheus deSouza -- So Cristvo: Universidade Federal de Sergipe,CESAD, 2010.

1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Ttulo.

CDU 510

Copyright 2010, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravadapor qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prviaautorizao por escrito da UFS.

FICHACATALOGRFICAPRODUZIDAPELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERALDE SERGIPE

Matemtica para o Ensino Fundamental


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitria Prof. Jos Alosio de Campos

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Vanessa Santos Ges (Letras Portugus)


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Sumrio

Aula 1: Nmeros Naturais 13

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Adio de Nmeros Naturais . . . . . . . . 15

1.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Aula 2: Nmeros Naturais: Continuao 21

2.0.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Multiplicao de Nmeros Naturais . . . . . . . . . 22

2.1.1 Relao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Boa Ordenao . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



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Aula 3: Nmeros Inteiros 29

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 A construo dos Nmeros Inteiros . . . . . . . . . 30

3.2.1 Adio de Nmeros Inteiros . . . . . . . . . 31

3.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


Aula 4: Ordem dos Inteiros 374.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Ordem dos Inteiros . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46

Aula 5: Nmeros Inteiros: Continuao 47

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Propriedades Aritmticas dos Nmeros Inteiros . . 48

5.2.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 54

Aula 6: Algoritmo da Diviso 55

6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


7/143

6.1.1 Diviso Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.2 Sistemas de Numerao Posicionais . . . . . 58

6.1.3 Critrios de Divisibilidade . . . . . . . . . . 61

6.1.4 Teorema Fundamental da Aritmtica . . . . 62

6.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


Aula 7: Clculo do MDC e MMC 677.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.1.1 Clculo do MDC . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.1.2 Mnimo mltiplo Comum . . . . . . . . . . 71

7.1.3 Diviso em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


Aula 8: Racionais 75

8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2 Construo dos Nmeros Racionais . . . . . . . . . 76

8.2.1 Adio e Multiplicao em Q . . . . . . . . 77

8.2.2 Diviso em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.2.3 Somatrios e produtrios em Q . . . . . . . 80

8.2.4 Potncias de Nmeros Racionais . . . . . . 81

8.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


8/143

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


Aula 9: Ordem 859.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2 Relao de Ordem em Q . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


Aula 10: Racionais 95

10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.1.1 Valor Absoluto de um Nmero Racional . . 96

10.1.2 A Funo Maior Inteiro . . . . . . . . . . . 98

10.1.3 Representao Decimal . . . . . . . . . . . . 100

10.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


Aula 11: Reais 105

11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.1.1 Cortes em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.1.2 Construo dos Nmeros Reais . . . . . . . 108

11.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


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Aula 12: Reais - Continuao 113

12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11412.1.1 Continuao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.1.2 Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.1.3 Valor absoluto de um nmero real . . . . . 118

12.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 119

Aula 13: Reais- Continuao 121

13.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

13.1.1 Propriedade Arquimediana de R . . . . . . 122

13.1.2 Desigualdade de Bernolli . . . . . . . . . . . 123

13.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


Aula 14: Sistema de Numerao 131

14.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.2 Sistema de numerao egpcio . . . . . . . . . . . . 131

14.3 Sistema de numerao Babilnico . . . . . . . . . . 134

14.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137


10/143


Aula 15: Sistema de Numerao 139

15.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14015.2 Sistema de Numerao Romano . . . . . . . . . . . 140

15.3 O Sistema de Numerao Indo-Arbico . . . . . . . 140

15.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144



11/143

AULA

1Nmeros NaturaisMETA:

Apresentar os nmeros naturais axiomaticamente atravs dos ax-

iomas de Peano .

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Definir nmeros naturais axiomaticamente.

Saber fazer uso do processo de Induo finita.

PR-REQUISITOS

Conjuntos; Funes; Mtodos de demonstraes.


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Nmeros Naturais

1.1 Introduo

Prezado aluno, bem vindo ao curso Matemtica para o Ensino

Fundamental. Esta nossa primeira aula e logo de incio fao-lhea seguinte pergunta: O que um nmeros natural?

At hoje estudamos nas primeiras sries do ensino fundamental,

a utilidade dos Nmeros naturais: contagem. Neste curso esta-

mos interessados em saber qual estrutura matemtica est por trs

disto. Por que 2+3=5 e no 2+3=4? Isto tem haver com a noo

de sucessor que apresentaremos nesta aula.

Nestas primeiras aulas, ser apresentado a construo dos NmerosNaturais, bem como suas propriedades, de maneira axiomtica.

Isto ser feito atravs dos Axiomas de Peano, que recebe este

nome em homenagem ao matemtico italiano Giuseppe Peano que,

em 1889, os apresentou na obra "Arithmetices Principia Nova

Methodo Exposita".

1.2 Axiomas de Peano

Toda teoria dos nmeros naturais pode ser deduzida a partir de 3

axiomas, intitulados Axiomas de Peano, que sero apresentados

a seguir.

Axioma 1.1. Axiomas de Peano: Existe um conjunto, deno-

tado porN, e uma funo s : N N que satisfaz as seguintesaxiomas:

1) O Conjunto N no-vazio;

2) s : N N injetora e o complementar de imagem de s um conjunto unitrio.

14


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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA

13) Para todo subconjunto A N, tal que A contm o comple-mentar da imagem des e contm a imagem de cada elemento

de A, tem-se A = N.

OBS 1.1. O conjunto N chamado Conjunto dos Nmeros

Naturais e seus elementos so chamados nmeros naturais.

OBS 1.2. O axioma 1 garante que N no-vazio.

OBS 1.3. A imagem de cada elemento de N chamado de sucessor

deste elemento.

OBS 1.4. O axioma 2 nos diz que existe um elemento em N que

no sucessor de nenhum outro.

OBS 1.5. O ltimo axioma chamado de Princpio de Induo

e geralmente utilizado para mostrar que se uma proposio

vlida para o primeiro elemento dos naturais e tambm valida

para o sucessor de um natural arbitrrio, ento a propriedade

valida para os elementos de N.

Vamos utilizar a representao indo-arbica para os nmeros nat-urais: N = {1, 2, 3, 4, . . .}. Note que o sucessor de 1 2, sucessorde 2 3 e assim por diante. A partir dos sucessores, vamos definir

as operaes de adio e multiplicao de nmeros naturais.

1.2.1 Adio de Nmeros Naturais

Definio 1.1. SejaN o conjunto dos nmeros naturais e s : N N a funo sucessor. Definamos a soma de nmeros naturais da

seguinte maneira:

m + n := sn(m) =

n s . . . s(m)

.

15


14/143

Nmeros Naturais

OBS 1.6. Note que, por definio:

n + 1 = s(n),

n + s(m) = s(m + n).

Exemplo 1.1. Para exemplificar, vamos calcular 2 + 3:

(2 + 1) = s(2) = 3

(2 + 2) = s(2 + 1) = s(3) = 4

(2 + 3) = s(2 + 2) = s(4) = 5.

Proposio 1.1. Dados n,m,p N temos:

a) m + (n + p) = (m + n) + p (Associatividade);

b) m + n = n + m (Comutatividade);

c) Dados m, n N exatamente uma das seguintes alternativasocorre: ou m = n ou existe k1 N tal que m = n + k1 ouexiste k2 N tal que n = m + k2 (Tricotomia);

d) Se m + n = m + p, ento n = p (Lei do Cancelamento);

Demonstrao.

a) Seja m, n N e A = {p N : (m + n) + p = m + (n + p)}.Mostraremos que A = N, usando o Princpio de induo.

Observe que 1 A, pois s(n) = n+1 e m+s(n) = s(m+n) =(m + n) + 1 e, portanto, (m + n) + 1 = m + (n + 1). Agora,

seja p

A. Para concluir a demonstrao usando o princpio

de induo, devemos mostrar que s(p) = p + 1 A. De fato

m + (n + s(p)) = m + s(n + p) =

= s(m + (n + p))pA= s((m + n) + p) = (m + n) + s(p).

Logo s(p) A e pelo Princpio de Induo (Axioma 3), A =N.

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1b) Inicialmente, mostraremos que m + 1 = 1 + m, m N.Considere B = {m N : m + 1 = 1 + m}. Claramente1

B. Suponha, por hiptese de induo (HI), que m

B.

Assim,

1 + s(m) = s(1 + m)HI= s(m + 1) = s(m) + 1.

Logo s(m) B e, pelo princpio de induo, B = N.Seja A = {n N : m + n = n + m}. Como 1 A, suponhan A. Afirmao: s(n) A. De fato,

m + s(n) = s(m + n)nA

= s(n + m) = n + s(m) =

= n + (m + 1)1Y= n + (1 + m)

(a)= (n + 1) + m = s(n) + m.

Assim Y = N.

c) Primeiramente, vamos mostrar que n = n + q, n, q N.Com efeito, pelo axioma 2, 1 = 1 + q. Supondo n = n + q,ainda pelo axioma 2, obtemos s(n) = s(n + q) = s(n) + q(s injetiva). Logo pelo axioma 3 (Princpio de induo),

n = n + q, n, q N.Voltamos demonstrao de c). Sejam n N e

A = {m N : m e n Satisfazem a propriedade do item c)}.

Afirmao: 1 A. Com efeito, ou m = 1 ou m = 1 e nestecaso existe n0 N tal que

1 + n0 = n0 + 1 = s(n0) = m (Axioma 2).

Suponha m A. Assim, ou m = n ou existe q N tal quem = n + q ou existe p N tal que n = m + p. Afirmao:s(m) A. De fato, caso m = n temos que (axioma 2)s(m) = s(n) = n + 1. Caso m = n + q, ainda pelo axioma 2,

s(m) = s(n + q) = (n + q) + 1 = n + (q + 1) = n + s(q).

17


16/143

Nmeros Naturais

No caso em que n = m + p temos que p = 1 ou p = 1. Sep = 1, n = m + 1 = s(m). Se p = 1, pelo axioma 2, p sucessor de algum p0

N, ou seja, p = p0 + 1. Assim,

n = m + (p0 + 1) = (m + 1) + p0 = s(m) + p0.

Analisando os casos estudados vemos que ou s(m) = n ou

existe q N tal que s(m) = n + q ou existe p N talque n = s(m) + p. Portanto s(m) A e, pelo princpio deinduo, A = N.

d) Sejam m,n,p N tais que m + n = m + p. Suponha p = n.Pela tricotomia, existe q N tal que n = p + q ou existe qtal que p = n + q. Se n = p + q, temos que

m + n = m + (p + q) = (m + p) + q,

o que uma contradio (ver demonstrao de c)). O caso

em que p = n +

q deixado com exerccio.

1.3 Concluso

Na aula de hoje, apresentamos os Nmeros Naturais atravs dos

axiomas de Peano. Vimos tambm o princpio de Induo Finita,

que extremamente importante para mostrar que certas propriedades

so vlidas para os Naturais como pudemos observar na prova das

propriedades da adio dos nmeros naturais.

1.4 RESUMO

Axiomas de Peano: Existe um conjunto, denotado por N,

e uma funo s : N N que satisfaz as seguintes axiomas:

18


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11) O Conjunto N no-vazio;2) s : N N injetora e o complementar de imagem de

s um conjunto unitrio.

3) Para todo subconjunto A N, tal que A contm ocomplementar da imagem de s e contm a imagem de

cada elemento de A, tem-se A = N.

Propriedades da Adio Dados n,m,p N temos:



c) Dados m, n N exatamente uma das seguintes alter-nativas ocorre: ou m = n ou existe k1 N tal quem = n + k1 ou existe k2 N tal que n = m + k2(Tricotomia);

d) Se m + n = m +p, ento n = p (Lei do Cancelamento);

1.5 Proxima aula

Na prxima aula, Na prxima aula definiremos multiplicao de

nmeros naturais atravs da adio e da funo sucessor e apre-

sentaremos o Princpio da Boa Ordem.

1.6 Atividades

ATIV. 1.1. Usando a funo sucessor, mostre que 3 + 4 = 7 e

4 + 2 = 6

Sugesto: Veja exemplo 1.1.

ATIV. 1.2. Mostre que se m + n = m + p, ento p = n + q,qualquer que seja q N.Sugesto: Veja demonstrao da Lei do Cancelamento.

19


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Nmeros Naturais

ATIV. 1.3. Mostre usando o princpio de induo que:

a) 1 + 2 + . . . n = n(n+1)2

b) 2 + 4 . . . 2n = n(n + 1)

c) 1 + 3 + . . . (2n + 1) = (n + 1)2

ATIV. 1.4. Mostre que

p(n) : n > 1 n 2

verdadeira para todo n N. (O enunciado nos diz que no existenmero natural tal que 1 < n < 2).

1.7 Leitura Complementar

LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,

5.ed., Rio de Janeiro, 2008.

LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio

de Janeiro, 2008.DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So

Paulo, 2001.

20


19/143

AULA

2Nmeros Naturais:ContinuaoMETA:

Apresentar as propriedades de Multiplicao e o Princpio da Boa

Ordem .

OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Entender o processo de multiplicao de nmeros naturais.

Saber fazer uso do processo de Segundo Princpio de Induo finita.

PR-REQUISITOS

Axiomas de Peano.

2.0.1 Introduo

Prezado aluno, nesta aula definiremos multiplicao de Nmeros

Naturais apresentaremos propriedades que a multiplicao pos-

sui. Alm disso colocaremos uma relao de ordem no naturais

e mostraremos o Princpio da Boa Ordem que nos fala que todo

subconjunto dos Naturais possui um maior elemento.O interessante

que este Princpio equivale ao Princpio de Induo Finita.


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Nmeros Naturais: Continuao

2.1 Multiplicao de Nmeros Naturais

Antes de definir multiplicao de nmeros naturais, definamos a

funo "soma com m"

fm : N Np fm(p) = p + m

Usaremos esta funo para definir multiplicao de nmeros natu-

rais.

Definio 2.1. Seja N o conjunto dos nmeros naturais. Defini-

mos a multiplicao de dois nmeros naturais como:

m 1 = m

m (n + 1) = (fm)n(m) =n

fm . . . fm(m)

onde fm : N N a funo "soma com m".

OBS 2.1. Observe que multiplicar um nmero m por 1 no o

altera, e multiplicar m por um nmero maior que 1, ou seja, porum nmero da forma n + 1, iterar n-vezes a operao de somar

m, comeando com m.

Exemplo 2.1. Por exemplo 23 = (f2)2(2) = 2+2+2 = s(3)+2 =s(5) = 6.

OBS 2.2. Da definio de (fm)n temos que a m(n+1) = mn+m,

m, n

N. De fato, se n = 1, temos que

m 1 + m = m + m = (fm)1(m) = m(1 + 1).

Se n = 1, temos que ele sucessor de algum, digamos n0, ou seja,n = s(n0). Assim

mn+m = m(n0+1)+m = (fm)s(n0)(m) = (fm)n(m) = m(n+1)

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2Proposio 2.2. Sejam m,n,p N. Entoa) m (n + p) = m n + m p e (m + n) p = m p + n p

(Distributividade);

b) m (n p) = (m n) p (Associatividade);

c) m n = n m (Comutatividade);

e) m p = n p = m = n (Lei de cancelamento).

Demonstrao. Demonstraremos o item a) deixando o restante

como exerccio.Seja A = {p N : m (n + p) = m n + m p}. Pela observao(2.2) temos que 1 A. Suponha que p A. Logo

m (n + (p + 1)) = m ((n + p) + 1)= m (n + p) + m 1 pA= (m n + m p) + m= m n + (m p + m) = m n + m (p + 1)

Assim p + 1 A e portanto, pelo princpio de induo, A = N.

2.1.1 Relao de Ordem

Nosso objetivo mostrar que N um conjunto ordenado, ou seja

que possui uma ordem. A relao de ordem do conjunto dos

Nmeros Naturais definida atravs da adio.

Definio 2.2. Seja m, n N. Dizemos que n menor que m (oum maior que n) e escrevemos n < m (ou m > n) se existe q Ntal que n + q = m

Proposio 2.3. Sejam m,n,p N.

a) Se m < n e n < p, ento m < p (Transitividade);

23


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b) Exatamente uma das seguinte alternativas ocorre: m = n ;

m < n ; n < m (Tricotomia);

c) Sem < n, ento m +p < n+p (Monotonicidade da adio);

d) Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade da Multipli-cao).

Demonstrao.

a) Considere m < n e n < p. Por definio, existem q1, q2 Ntal que m + q1 = n e n + q2 = p. Portanto, substituindo n

na segunda igualdade temos:

p = (m + q1) + q2 = m + (q1 + q2) = m + x.

Como p = m + x, com x = q1 + q2 N temos que m < p.

b) Pela Proposio 1.1 item d), dados m, n N uma das trsalternativas ocorre:ou m = n ou existe k1 N tal que m =

n + k1 ou existe k2 N tal que n = m + k2. Portanto m = nou m < n ou n < m.

c) Por hiptese m < n, ou seja, n = m + q para algum q N.Assim

n + p = (m + q) + pProposio 1.1

= (m + p) + q.

Logo m + p < n + p

d) Exerccio.

OBS 2.3. Escrevemos m n, para dizer que m < n ou m = n.L-se: m menor ou igual a n.

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22.1.2 Boa OrdenaoDefinio 2.3. Seja A N. Dizemos que p A o menorelemento de A, se p

n ,

n

A.

Exemplo 2.2. 1 o menor elemento de N, pois se n = 1, ele sucessor de algum, ou seja, existe n0 N tal que n = n0 + 1.Portanto 1 n, n N.

Definio 2.4. Dizemos que p A o maior elemento de A, sep n, , n A.

Pergunta: Existe = A N que no possui elemento mximo?e mnimo? Que no possui elemento mximo basta fazer A =

N. J para mnimo, no conseguimos tal conjunto. Para isto,

mostraremos o chamado Princpio da Boa Ordenao

Teorema 2.1. (Princpio da Boa Ordenao) Todo subcon-

junto no vazio A N possui menor elemento.

Demonstrao.

Seja X = {n N : {1, 2, 3 . . . , n} N A}. Note que se 1 A,1 o menor elemento de A pois 1 o menor elemento de N (ver

exemplo 2.2). Suponha ento que 1 / A. Logo 1 X. ComoA = , temos que X = N. Assim, pelo princpio de induo, existem X tal que m + 1 / A (caso contrrio X = N). Ou seja1, 2, 3 . . . , m / A. Logo m + 1 A e m + 1 n, n A.

Teorema 2.2. (Segundo Princpio de Induo) Seja A Num conjunto com a seguinte propriedade:

1. dado n N, se A contm todos os elementos m tal que m n)

se existe q N tal que n + q = m

Propriedades da relao de ordem: Sejam m,n,p N.

a) Se m < n e n < p, ento m < p (Transitividade);

b) Exatamente uma das seguinte alternativas ocorre: m =

n ; m < n ; n < m (Tricotomia);

c) Se m < n, ento m + p < n + p (Monotonicidade da

adio);

d) Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade daMultiplicao).

Boa Ordenao: Todo subconjunto no vazio A

N possui

menor elemento

2.4 Proxima aula

Na prxima aula definiremos nmeros inteiros a partir dos nmeros

naturais. Os inteiros sero classes de equivalncia, por isso, caro

aluno bom revisar o conceito de relao de equivalncia.

2.5 Atividades

ATIV. 2.1. Usando a definio de multiplicao, mostre que 3.4 =

12 e 4.2 = 8

Sugesto: Veja exemplo 2.1.

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ATIV. 2.2. Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade daMultiplicao)

Sugesto: Veja demonstrao da Monotonicidade da Adio.

ATIV. 2.3. Mostre que o produto de nmeros naturais possui as

seguintes propriedades:

a) Distributividade: m (n + p) = m n + n p e (m + n) p =m p + n p

b) Associatividade: (m n) p = m (n p)

c) Comutatividade: m n = n md) Lei do Cancelamento: m p = n p m = p




LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Riode Janeiro, 2008.

DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So

Paulo, 2001.

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AULA

3Nmeros InteirosMETA:

Apresentar os nmeros inteiros axiomaticamente atravs dos Nmeros

Naturais .

OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Definir nmeros inteiros axiomaticamente.

Realizar operaes com os nmeros inteiros com classes de equiv-

alncia .

PR-REQUISITOS

Nmeros naturais e suas propriedades.

3.1 Introduo

Prezado aluno, nesta aula definiremos o conjunto dos Nmeros In-

teiros como classes de equivalncia dos nmeros naturais. Ainda

no trataremos os inteiros como so tratados no ensino fundamen-

tal. Primeiramente daremos sentido a soma e multiplicao dos

inteiros como classes de equivalncia.


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Nmeros Inteiros

3.2 A construo dos Nmeros Inteiros

No conjunto N N considere a relao definida por

:= {((a, b), (c, d)) N2 N2 : a + d = b + c}, (3.1)

ou seja

(a, b) (c, d) a + d = b + c.

Proposio 3.4. A relao definida em (3.1) um relao deequivalncia.

Demonstrao. Temos que mostrar que para a relao valea reflexividade, simetria e transitividade. Para mostrar a reflex-

ividade, basta notar que para todo (a, b) N N se verificaa + b = b + a, uma vez que a adio de nmeros naturais co-

mutativa. Logo (a, b) (b, a).Considere (a, b) (c, d), ou seja a + d = b + c. Como a adio comutativa e a igualdade uma relao simtrica, temos que

c + b = d + a, ou seja, (c, d)

(a, b). Portanto vale a simetria:

(a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)

Mostraremos que a relao transitiva. Considere (a, b) (c, d)e (c, d) (e, f), ou seja,

a + d = b + c e c + f = d + e.

Assim,

(a + d) + f = (b + c) + f e b + (c + f) = b + (d + e).

Aplicando associatividade, a comutatividade, lei do corte da adio

nos nmeros naturais e a transitividade da igualdade obtemos

a + f = b + e,

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3ou seja, (a, b) (e, f). Assim que a relao transitiva.Portanto uma relao de equivalncia em N N.

Como de equivalncia, determina uma partio neste conjuntoem classes de equivalncia. Representamos (a, b) a classe do ele-

mento (a, b), ou seja,

(a, b) = {(x, y) N N : a + y = b + x}.

Seja Z o conjunto de todas as classes (a, b), para qualquer (a, b) N N. Ento

Z =(N N)

= {(a, b) : (a, b) N N}.

Definio 3.1. O conjunto Z chamado Conjunto dos nmeros

inteiros e cada elemento deste conjunto dito ser um nmero in-

teiro.

3.2.1 Adio de Nmeros Inteiros

Definio 3.2. Seja Z = {(a, b) : (a, b) N N}. Chama-seadio de m = (a, b) e n = (c, d) aplicao

+ : Z Z Z((a, b), (c, d)) (a + c, b + d)

Proposio 3.5. A aplicao de adio + est bem definida.

Demonstrao. Sejam (a, b) = (c, d) e (x, y) = (e, f). Assim

a + d = b + c e x + f = y + e.

Logo

(a + d) + (x + f) = (b + c) + (y + e),

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Nmeros Inteiros

e portanto

(a + x) + (d + f) = (b + y) + (c + e)

(a + x, b + y) = (c + e, d + f)

(a, b) + (x, y) = (c, d) + (e, f).

Portanto a adio independe dos representantes, ou seja, est bem

definida.

Proposio 3.6. A adio de nmeros inteiros possui as seguintes

propriedades:

a) (a, b)+(c, d) = (c, d)+(a, b), (a, b), (c, d) Z(Comutatividade);

b)

(a, b) + (c,d, )

+(e, f) = (a, b)+

(c, d) + (e, f)

, (a, b), (c, d), (e, f) Z(Associatividade);

c) Existe elemento neutro da adio, denominado zero;

d) Existe inverso aditivo.

Demonstrao.

a) Por definio, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Seja (x, y) (a + c, b + d). Assim (a + c) + y = (b + d) + x e pela co-

mutatividade da adio de nmeros naturais chegamos, a

(c + a) + y = (d + b) + x. Da, conclumos que (x, y)

(c + a, d + b). Como a classe independe dos representantes,

temos que

(a, b) +(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b).

b) Exerccio.

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3c) Inicialmete note que (x + a, x + b) = (a, b), (x, x), (a, b) Z, pois b + (x + a) = a + (x + b) e, por definio, (a, b) (x + a, x + b). Por outro lado,

(x, x) + (a, b) = (x + a, x + b) = (a, b).

Portanto (x, x) elemento neutro da adio.

d) Note que

(a, b) + (b, a) = (a + b, b + a) = (a + b, a + b) = (x, x).

Assim (b, a) inverso aditivo de (a, b).

Definio 3.3. Seja Z = {(a, b) : (a, b) N N}. Chama-semultiplicao de m = (a, b) e n = (x, y) aplicao

: Z Z Z((a, b), (x, y)) (ax + by,ay + bx)

Proposio 3.7. A operao de multiplicao est bem definida.

Demonstrao. Considere (a, b) = (a1, b1) e (c, d) = (c1, d1).Ento (a, b)(c, d) = (ac + bd,ad + bc) e (a1, b1)(c1, d1) = (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1).Mas como (a, b) (a1, b1) e (c, d) (c1, d1), ento a+b1 = b+a1 ec + d1 = d + c1. Assim obtemos: c(a + b1) = c(b + a1), a1(c + d1) =

a1(d + c1), d(b + a1) = d(a + b1) e b1(d + c1) = b1(c + d1). De-

senvolvendo esses produtos, depois somando membro a membro as

igualdades obtidas, efetuando os possveis cortes, obtemos

(ac + bd) + (a1d1 + b1c1) = (bc + ad) + (a1c1 + b1d1),

ou seja,

(a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc) = (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1) = (a1, b1)(c1, d1).

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Nmeros Inteiros

Proposio 3.8. Dados (a, b), (c, d), (e, f) Z temos que:

a) (a, b) (c, d) = (s, d) (a, b)(Comutatividade);

b) ((a, b) (c, d)) (e, f) = (a, b) ((c, d) (e, f))(Associatividade);

c) Existe elemento neutro da multiplicao, chamado um.

Demonstrao.

a) Observe que pela definio de multiplicao e pela comuta-

tividade da adio dos nmeros naturais temos:

(a, b) (c, d) = (ac + bd,ad + bc) == (ca + db,da + cb) =

= (c, d) (a, b).

b) Exerccio

c) Considere o nmero inteiro (x + 1, x). Note que

(x + 1, x) (a, b) = ((x + 1)a + xb, (x + 1)b + ax).

Alm disso, a+(x+1)b+ax = b+(x+1)a+xb, ou seja, (a, b) ((x + 1)a + xb, (x + 1)b + ax) Logo (x + 1, x) (a, b) = (a, b).

3.3 Concluso

Na aula de hoje, apresentamos os Nmeros Inteiros como classes de

equivalncia dos Naturais. importante salientar que faz sentido a

definio de classe de equivalncia como apresentada, pois daremos

sentido, a posteriori, a expresso do tipo 5-3 e que ela representa

o mesmo inteiro 101-99, ou seja 5 + 99 = 101 + 3 o que significa

(5, 3) = (101, 99).

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33.4 RESUMORelao de equivalncia em N N:

:= {((a, b), (c, d)) N2 N2 : a + d = b + c},

ou seja,

(a, b) (c, d) a + d = b + c.

Definio do conjunto dos Nmeros Inteiros:

(a, b) = {(x, y) N N : a + y = b + x}.

Z =(N N)

= {(a, b) : (a, b) N N}.

Propriedades dos Nmeros Inteiros: Dados n,m,p Ztemos:



c) Existe m Z tal que n + m = n, n Z (Existnciade Elemento neutro da adio)

d) Existe k Z tal que n + k = m, n Z(Existncia deElemento inverso da adio)

e) m (n + p) = m n + m p e (m + n) p = m p + n p(Distributividade);

f) m (n p) = (m n) p (Associatividade);

g) m n = n m (Comutatividade);

h) Existe q Z tal que n q = n, n Z

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Nmeros Inteiros

3.5 Proxima aula

Na prxima aula, apresentaremos uma relao de ordem nos nmeros

inteiros e "enxergaremos"os nmeros naturais como subconjuntosdos nmeros inteiros. Alm disso apresentaremos os princpios de

induo e do menor elemento para os inteiros.

3.6 Atividades

ATIV. 3.1. Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como

classes de equivalncia, que a adio dos nmeros inteiros as-

sociativa. Sugesto: Veja demonstrao da comutatividade da

adio dos nmeros inteiros.

ATIV. 3.2. Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como

classes de equivalncia, que a adio dos nmeros inteiros as-

sociativa. Sugesto: Veja demonstrao da comutatividade da

multiplicao dos nmeros inteiros.





de Janeiro, 2008.


Paulo, 2001.

Bahiano, C. Notas de aula. UFBA

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AULA

4Ordem dos InteirosMETA:

Apresentar ordem nos nmeros inteiros e os Princpio de induo

e do Menor elemento .

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Usar o processo de induo finita dos Inteiros.

Justificar a relao de ordem dos nmeros inteiros.

PR-REQUISITOS

Construo axiomtica dos nmeros inteiros.

4.1 Introduo

Prezado aluno, assim como nos nmeros naturais, podemos definir

uma ordem e aplicar o princpio de induo para os nmeros in-

teiros. o que faremos a seguir.

4.2 Ordem

4.2.1 Ordem dos Inteiros

Teste seo apresentaremos uma relao de ordem nos nmeros

inteiros.


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Ordem dos Inteiros

Teorema 4.1. A relao OZ = {(x, y), (a, b) Z Z : x + b y + a} de ordem total emZ.

Demonstrao. Inicialmente afirmamos que a condio (x, y) (a, b) independe dos representantes. De fato, sejam (x, y) = (u, w)

e (a, b) = (e, d). Ento x + w = y + u e a + d = b + c. Desta

forma, pela comutatividade e associatividade da adio de nmeros

naturais, se x + b y + a, temos

(u + b) + (x + y) = (x + b) + (y + u)

(y + a) + (y + u) = (y + a) + (x + w)= (w + a) + (x + y).S

Pela Lei do Cancelamento, u + b w + a, o que significa (u, w) (a, b).

Como x + y = y + x, temos que (x, y) (x, y). Ou seja, OZ reflexiva.

Mostraremos agora a anti-simetria . Suponha (x, y) (a, b)(a, b)

(x, y). Assim

x + b y + a e a + y b + x,

donde conclumos que x + b = y + a, ou seja, (a, b) = (x, y).

Em OZ vale a transitividade, pois se (x, y) (a, b) e (x, y)(x, y)temos que

x + b y + a e a + d b + c.

Da,

(x + d) + (b + a) = (x + b) + (d + a)

(y + a) + (b + c)= (y + c) + (b + a),

donde segue que x + d y + c, ou seja, (x, y) (c, d).

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4Para concluir a demonstrao do Teorema, falta mostrar que valea tricotomia. Sejam (x, y), (a, b) Z. Como a tricotomia vlidapara os naturais temos que

x + b y + a ou y + a x + b.

Assim,

(x, y) (a, b) ou (a, b) (x, y).

Proposio 4.9. Seja w (x, y) Z. Representamos o smbolo"0"a classe do elemento neutro para a adio emZ. Considerando

a ordem OZ, temos:

a) 0 w se, e somente se, x y.

b) w 0 se, e somente se, y x

Demonstrao.

a) Como o elemento neutro da adio representado pela classe

(z, z), z N. Assim

0 w (z, z) (x, y) z + y z + x y x.

b) Exerccio

Definio 4.1. Considere o conjunto dos nmeros inteiros munido

da ordem total OZ. Os conjuntos descritos abaixo so, respecti-

vamente, chamados de conjuntos dos inteiros positivos e conjunto

dos nmeros negativos:

Z+ = {w Z : 0 w e w = 0}

Z = {w Z : w 0 e w = 0}.

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Ordem dos Inteiros

Corolrio 4.1. A ordem OZ particiona o conjunto Z em 3 con-

juntos mutuamente disjuntos.

Demonstrao.Z = Z+ {0} Z

O Teorema a seguir caracteriza os nmeros inteiros positivos, neg-

ativos e nos permite pensar os nmeros naturais como subconjunto

dos nmeros inteiros.

Teorema 4.2. Considere o conjunto dos nmeros naturais e o

conjunto dos nmeros inteiros munidos, respectivamente, com suas

ordens (menor ou igual). Ento:

Z+ = {(x, 1) : x N e 1 < x}

Z = {(1, x) : x N e 1 < x}

Demonstrao. Note que se x N e 1 < x ento z + 1 < z + x,z N. Por outro lado assim (z, z) < (x, 1) e portanto (x, 1) Z+.Logo {(x, 1) : x N e 1 < x} Z+. Seja (a, b) Z+. Peladefinio de Z+ , b < a. Logo existe p N tal que a = b + p.Portanto a + 1 = (b + p) + 1 a + 1 = b + (p + 1) e assim(p + 1, 1) (a, b), ou seja, (a, b) = (p + 1, 1). Logo Z+ {(x, 1) :x

N e 1 < x

}, donde Z+ =

{(x, 1) : x

N e 1 < x

}.

Corolrio 4.2. Se (a, b) = (x, 1) ento o oposto aditivo de (a, b)

representado por (a, b), (1, x) = (b, a).

Corolrio 4.3. O conjunto Z+ = {(x, 1) : x N e 1 < x}satisfaz os axiomas de Peano.

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4Demonstrao. Basta mostrar que existe uma bijeo que preservasoma entre N = {1, 2,...,n,...} e o conjunto Z+. Seja

: N Z+n (n + 1, 1)

Note que (n) + (m) = (n + 1, 1) + (m + 1, 1) = (m + n + 2, 2).

(n + m + 1, 1) (m + n + 2, 2). Note que (m + n + 1) + 2 =(m+n+2)+1, logo (n+m+1, 1) (m + n + 2, 2). (n)+(m) =(m + n + 1, 1) = (m + n). Alm disso, seja (n) = (m). Assim

(n + 1, 1) = (m + 1, 1) (n + 1) + 1 = 1 + (m + 1). Logo m = n.Note que (x, 1) Z+, 1


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Ordem dos Inteiros

Princpio Do Menor Inteiro 4.1. Todo subconjunto no vazio

L Z possui um menor elemento.

Demonstrao. Seja L um subconjunto no vazio limitado in-feriormente e w Z tal que w l, l L. Se w L, w omenor elemento de L. Suponha w / L e considere o conjuntoS = {l + (w); l L}. Note que S Z+. Como Z+ possui apropriedade da boa ordenao, S possui um menor elemento. Sejal w o menor elemento de S (l). Assim, l w l w l l,para todo l L. Portanto

l o menor elemento de L.

Induo sobre os Inteiros 4.1. Fixado w Z. sejaL = { Z; w }. Seja P uma proposio tal que:

1) P vlida para w.

2) Se P vlida para L, P vlida para + 1.

Ento P vlida para todo

L.

Demonstrao. Seja S o conjunto dos elementos de L tais que

a proposio P no vlida, ou seja, S = { L : P() falsa}.Suponha S = . Como S = e S limitado inferiormente, Spossui um menor elemento S. Mas w o menor elemento deL, ou seja, w .Afirmao: w = . De fato, por hiptese P(w) verdadeira, logow /

S.

Assim w 1 . Como o menor elemento de S, aproposio P vale para 1. Assim P vlida para (1)+1 = (). Portanto, S = .Antes de apresentar propriedades aritmticas dos inteiros apre-

sentaremos algumas propriedades da multiplicao.

Sejam a,b,c Z. Ento:

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4a) a(b c) = ab acb) a.0 = 0

c) a(b) = (a)b = (ab)

d) (a)(b) = ab

e) ab = ac bc (a = 0)

Demonstrao.

a)

a(b c) + ac = a((b c) + c)= a(b + (c + c))

= a(b + 0) = ab

Logo a(b c) = ab ac.

b) a.0 = a.(0 0) = a.0 a.0 = 0

c) a.(

b) = a.(0

b) = a.0

(a.b) =

(ab), (

a).b = (0

a).b =

0.b (ab) = (ab)

d) (a).(b) = (a).b = ab

e) ab = ac a.ba.c = 0 a.(b c) = 0 b c = 0 b = c

4.3 Concluso

Nesta aula, aprendemos a comparar dois nmeros inteiros bem

como usar os princpios de induo e do menor elemento. Isto

muito importante, pois vemos que todo conjunto limitado inferi-

ormente dos inteiros se comporta de maneira similar aos nmeros

43


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Ordem dos Inteiros

naturais. Identificamos tambm os nmeros inteiros como o que

aprendemos no ensino fundamental.

RESUMO

A relao OZ = {(x, y), (a, b) Z Z : x + b y + a} deordem total em Z.

A ordem OZ particiona o conjunto Z em 3 conjuntos mutu-

amente disjuntos:

Z = Z+ {0} Z

a) (1 + 1, 1) = (2, 1) = +1, (2 + 1, 1) = (3, 1) = +2; e

assim sucessivamente.

b) (1, 1 + 1) = (2, 1) = 1, (1, 2 + 1) = (3, 1) = 2.Portanto torna-se vlido escrever

Z = {.., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}

Por abuso de notao, se x (a, b), ento x ((a + 1) + 1, (b + 1) + 1) =(a + 1, 1) + (1, b + 1) = (a + 1, 1) (b + 1, 1) = a b.

Princpio Do Menor Inteiro 4.2. Todo subconjunto no

vazio L Z possui um menor elemento.

Induo sobre os Inteiros 4.2. Fixado w Z. seja L ={ Z; w }. Seja P uma proposio tal que:

1) P vlida para w.

2) Se P vlida para L, P vlida para + 1.

44


43/143


4Ento P vlida para todo L.PRXIMA AULA

Na prxima aula, apresentaremos a noo de divisibilidade e o

conceito de nmeros primos. Fica a pergunta: Existem quantos

nmeros primos? Aguardem!

ATIVIDADES

ATIV. 4.1. a) O que significa S ser limitado superiormente?

b) Mostre que se S limitado superiormente, ento S possui

um maior elemento.

Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como classes de equiv-

alncia, que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

a) Se x y, ento x + z y + z para todo z Z

b) Sejam x,y,z Z. Se x y e 0 z, ento xz yz

c) Se x y = 0, ento x = 0 ou y = 0.

ATIV. 4.2. Mostre que

p irracional para cada p primo.

Mostre que dados x, y Z ento:

a) Se x < 0 e y < 0, ento xy > 0

b) Se x < 0 e y > 0, ento xy < 0

c) Se x y = 1, ento x = y = 1 ou x = y = 1.

45


44/143

Ordem dos Inteiros

ATIV. 4.3. Mostre por induo que dados a, b Z

an bn = (a b)(an1 + an2b + . . . a bn2bn1), n Z+

LEITURA COMPLEMENTAR




de Janeiro, 2008.

DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, SoPaulo, 2001.


46


45/143

AULA

5Nmeros Inteiros:Continuao

META:

Apresentar as propriedades aritmticas dos nmeros inteiros

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Entender o conceito de divisibilidade nos nmeros inteiros.Entender o conceito de nmeros primos.

PR-REQUISITOS

Propriedades de adio e multiplicao dos nmeros inteiros. In-

duo sobre os nmeros inteiros.


46/143

Nmeros Inteiros: Continuao

5.1 Introduo

Nesta aula apresentaremos o conceito de divisibilidade entre dois

nmeros inteiros bem como o conceito de nmeros primos. Voc,caro aluno, perceber uma pequena diferena entre o conceito

aprendido no ensino fundamental e o exposto aqui.

5.2 Propriedades Aritmticas dos Nmeros

Inteiros

5.2.1 Divisibilidade

Definio 5.1. Dados dois nmeros x, y Z, dizemos que x dividey se existe z Z tal que y = x.z. Neste caso dizemos que y ummltiplo de x. (x um divisor de y).

Escrevemos x|y para dizer que x divide y.Exemplo 5.1. 1|10; 2| 2;

As seguintes propriedades seguem imediatamente da definio de

diviso.

Proposio 5.10. As seguintes afirmaes so verdadeiras para

nmeros inteiros.

a) x|x

b) x

|y e y

|x

x =

y

c) x|y e y|z x|z

d) x|y e x|z x|ay + bz, a, b Z

Demonstrao.

a) x|x pois x = x.1

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47/143


5b) Temos que existe z1 Z tal que y = x.z1 e existe z2 Z talque x = yz2. Ento y = y(z1z2). Assim y y(z1z2) = 0 y(1

z1z2) = 0. Logo y = 0 ou z1z2 = 1. Se y = 0, x = 0. Se

z1z2 = 1, z1 = z2 = 1 ou z1 = z2 = 1 (Exerccio).

c) Existem k1 e k2 tais que y = xk1 e z = yk2. Segue-se que

z = x(k1k2). Donde x|z.

d) De x|y temos que existe k1 Z tal que y = xk1 (1). Dex|z temos que existe k2 Z tal que z = xk2 (2). Logoay + bz = x(k1a + k2b). Fazendo k3 = k1a + k2b, temos que

ay + bz = xk3, o que significa x|ay + bz.

e) Como x|y e x, y Z+, existe q Z+ tal que y = xq. Seq = 1, x = y. Se q > 1, existe q0 Z+ tal que q = q0 + 1.Logo y = x(q0 + 1) = xq0 + x > x. Em todo caso x y.

Definio 5.2. Para todo a Z, o valor absoluto de a (ou mdulode a) representado por |a| definido como:

|a| = a, a Z+ {0}a, a Z {0}

Proposio 5.11. Se a, b Z ento:

a)

|a

|=

| a

|b) |ab| = |a||b|

c) |a| a |a|

d) |a + b| |a| + |b|

Demonstrao.

49


48/143

Nmeros Inteiros: Continuao

a) Se a 0, | a| = (a) = a = |a|. Se a 0, | a| = a =|a|.

b) Suponhamos que ab > 0. Ento a > 0 e b > 0 ou a < 0 eb < 0. No primeiro caso a = |a| e b = |b|. Donde |ab| = ab =|a||b|. No segundo caso |a| = a e |b| = b, donde temos|ab| = ab = (a)(b) = |a||b|.

Suponhamos agora ab < 0. Assim a < 0 e b > 0 ou a > 0

e b < 0. No primeiro destes casos |a| = a e |b| = b, donde|a||b| = (a)b = (ab) = |ab|. O outro caso fica como

exerccio. O caso ab = 0 bvio.

c) Se a > 0, |a| = a e a < 0, isto , |a| < 0. Logo |a| 0,|a + b| = a + b |a| + |b|. Se a + b < 0, |a + b| = (a + b),

isto , |a + b| = a + b |a| + (|b|) = (|a| + |b|), o queimplica |a + b| |a| + |b|.

Notao: an = aa...a nvezes

Exerccio 5.1. a) Mostre que se a < 0 entao a2n+1 < 0, para

todo n

0.

b) Mostre que x2n+1+1 = (x+1)(x2nx2n1+x2n2...x+1)

c) Se d|n ento ad|an, para todo a Z.

d) |ni=1 ai| ni=1 |ai| onde ni=1 bi = b1 + b2 + ... + bn.Soluo:

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5a) Mostremos por induo: A sentena vlida para n=o, pois a2.0+1 = a0+1 = a 0, n Z+.ATIV. 5.2. Sejam x,y,z Z. Mostre que se x|yz, ento x|y oux|z.ATIV. 5.3. Analise cada uma das afirmaes abaixo. Demonstre

as verdadeiras e d contra exemplo para as falsas.

a) Sejam x,y,z Z. Se x|z e y|z , ento xy|z.b) Sejam x,y,z Z. Se x|(y + z), ento x|y e x|z.

c) Sejam x, y Z. Ento ||x| |y| | |x y|.

ATIV. 5.4. Se d|n ento ad|an, para todo a Z.ATIV. 5.5. |

ni=1 ai|

ni=1 |ai| onde

ni=1 bi = b1 + b2 + ...+ bn

e ai Z.LEITURA COMPLEMENTAR



LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1.

DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica.GONALVES, Adilson, Introduo lgebra, IMPA, Projeto Eu-

clides, 5.ed., Rio de Janeiro, 2008.

HUNGERFORD, Thomas W., Abstract algebra: an introduction,

Saunders College Publishing, 1990.


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53/143

AULA

6Algoritmo da DivisoMETA:

Apresentar o algoritmo da diviso e do clculo do MDC entre dois

nmeros

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Executar de maneira correta os algoritmos da diviso e do clculo

do MDC.

Entender os critrios de divisibilidade.

PR-REQUISITOS

Divisibilidade.


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Algoritmo da Diviso

6.1 Introduo

Prezado aluno, nesta aula aprenderemos o algoritmo que real-

izamos no ensino fundamental para diviso entre 2 nmeros in-teiros. Veremos tambm os famosos critrios de divisibilidade que

exposto no ensino fundamental sem a preocupao de o porque e

saberemos com escrever o nmeros em outros sistemas de numer-

ao posicionais.

6.1.1 Diviso Euclidiana

Teorema 6.1. Dado x, y Z, y = 0, existem nicos inteiros q, rchamados respectivamente de quociente e resto, tais que

x = qy + r, 0 r < |y|

OBS 6.1. O algoritmo acima chamado Algoritmo da Diviso

de Euclides

Demonstrao.

Caso 1. y > 0: Neste caso considere B = {x ay; a Z, x ay 0}. Note que B no vazio pois x (|x|y) = x +|x|y x + |x| 0. Claramente B limitado inferiormente.Pelo Princpio d Boa Ordem B possui um menor elemento,

digamos r. Portanto existe q Z tal que r = x qy. Paramostrar que r < |y| = y, note que r = y x = (1 + q)y

r = 0 y = 0 (). r > y ; r = y + , onde0 < < r. Assim y + = x qy = x (q + 1)y B,o que um absurdo, pois r o menor elemento de B. Logo

0 r < |y|

Mostraremos agora que q, r so unicamente determinados: Suponha

que x = qy + r =

qy +

r, com 0 r,

r |y| = y. Neste caso

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60 |r r| < y. Por outro lado, qy + r = qy + r (q q)y =r

r |q

q|y = |r

r|. Se fosse r =

r, teramos |q

q| 1. Da

y

|q

q|y = |r r| < y. (). Portanto r = r e, consequente-mente, q = q.Caso 2. y < 0. Para y < 0, aplicamos o caso anterior com x, |y|.

Assim existem nicos q, r Z tais que x = q|y| + r, com0 < r |y|. Se pomos q1 = q, ento x = q1y + r, com0 < r |y|. Claramente, q1 unicamente determinado.

Bzout 6.1. Dados dois nmeros inteiros x, y no simultanea-

mente nulos, se d = mdc(x, y), ento existem inteiros m, n tais

que d = mx + ny.

Demonstrao. Sejam x,y,d como na hiptese do teorema e

considere o conjunto A = {ax + by; a, b Z} e B = A N. B no vazio pois x, y no so simultaneamente nulos. Pelo Princpio d

Boa Ordem, B tem um menor elemento, digamos . Assim existem

m, n Z tais que = mx + ny. Como d|x e d|y, d|mx + ny, isto, d|. Assim d . Mostraremos que |x e |y. De fato, dadosa, b Z existem q, r Z tais que ax + by = q + r, 0 r < , ouseja, ax + by = q + r (a qm)x + (b qn)y = r. Logo r Ae r 0. Se fosse r > 0, ento r B, o que um absurdo, pois o menor elemento de B. Logo r = 0. Ento

|ax + by para

todo a, b Z. Em particular |x e |y, donde |d. Portanto d.Conclumos que mx + ny = = d

Propriedade Fundamental do MDC 6.1. Sejam x,y,d Z.Se x, y no so simultaneamente nulos e d Z+ um divisorcomum de x e y. As seguintes afirmaes so equivalentes:

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56/143

Algoritmo da Diviso

(i) d = mdc(x, y)

(ii) Dado z Z, se z|x e z|y ento z|d.

Demonstrao. (i) (ii): Pelo teorema de Bzout, existemm, n Z tais que d = mx + ny. Como por hiptese z|x e z|y,temos que z|mx + ny = d.(ii) (i): Seja d = mdc(x, y). Logo d|x e d|y. Por hiptese d|d eportanto d d. Mas d um divisor comum de x e y. Assim d d,donde conclumos

d = d = mdc(x, y).

6.1.2 Sistemas de Numerao Posicionais

Em nosso sistema de numerao natural n escrito na forma

n = ar10r + ar110

r1 + ... + a110 + a0

onde r 0 e ai {0, 1, 2..., 9}. O nmero que representa n n = arar1...a1a0

Exemplo 6.1. 641 = 6.102 + 4.10 + 1

O papel que o nmero 10 representa para nosso sistema apenas

uma opo.

Teorema 6.2. Sejab um nmero natural, 2, eM = {0, 1, 2,...,b1}. Ento, todo nmero natural pode ser representado de formanica da seguinte maneira:

n = arbr + ar1b

r1 + ... + a1b + a0

Onde r 0, ar = 0 e ai MNotao: n = (arar1...a1a0)b

Demonstrao.

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58/143

Algoritmo da Diviso

(3) Mostre que se a Z um dos nmeros a, a +1, a + 2 divisvelpor 3.

(4) Se n um inteiro par entomdc(n, n + 2) = 2.(5) Se n um inteiro mpar, ento mdc(n, n + 2) = 1.

(6) Seja m um inteiro cujo resto da diviso por 6 5. Mostre

que o resto da diviso de m por 3 2.

Soluo:

(1) Seja m, n Z. (): Se m par, ento m = 2k, k Z. Logo

m + 2n = 2k + 2n = 2(k + n) com k + n Z. Logo m + 2n par. (): Reciprocamente, se m + 2n par, m + 2n = 2k,com k Z. Assim, m = 2k 2n = 2(k n). Logo m par.

(2) (): Se m + n mpar, m + n = 2k + 1, com k Z. Dessemodo m + n 2n = 2k + 1 2n = 2(k n) + 1 m n =2(k n) + 1, com k n Z. Portanto, m n mpar. ():Se m n mpar, ento m n = 2k + 1, com k Z, isto ,mn+2n = 2k+1+2n = 2(k+n)+1 m+n = 2(k+n)+1,com k + n Z. Logo, m + n mpar.

(3) Pelo algoritmo da diviso, existem q, r Z tais que a =3q + r, com 0 r < 3. Se r = 0, a = 3q, portanto 3|a. Ser = 1, ento a = 3q + 1, portanto a + 2 = 3(q + 1), donde

3|a + 2. Se r = 2, a + 1 = 3(q + 1), donde 3|a + 1.

(4) Se n par ento n = 2k, k Z. Observe que 2|n e 2|2(k +1) = n + 2. Seja d = mdc(n, n + 2). Como d|n e d|n + 2,d|n + 2 n, isto , d|2. Mas, como 2|n e 2|n + 2, 2|d. Logod = 2.

(5) Se n mpar, n = 2k + 1, k Z. Seja d = mdc(n, n + 2).Pelo mesmo motivo de antes, d|2, donde d = 1 ou d = 2. Se

60


59/143


6fosse d = 2, ento, 2|2k + 1, isto , 1 = 2(j k), com j Z.Absurdo. Logo d = 1.

(6) Se m = 6q + 5 para algum q Z, ento, m = 3.2.q + 3 + 2 =3(2q + 1) + 2, donde o que queramos.

6.1.3 Critrios de Divisibilidade

(1) Critrio de divisibilidade por 2:

Dado qualquer nmero natural n podemos escrev-lo na forma

n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0. Observe que qual-

quer potncia de 10 um nmero par, ou seja, 10r = 2qr,qr N. Logo, n = ar(2qr) + ar1(2qr1) + ... + a1(2q1) + a0e portanto, n = a0 + 2(a1q1 + ... + ar1qr1 + arqr), ou seja,

podemos escrever n = a0 + 2q, com q Z. Note que se 2|n,2|n 2q, isto , 2|a0. Assim arar1...a1a0 divisvel por 2se a0 {0, 2, 4, 6, 8,...}.

(2) Critrio de Divisibilidade por 3:

J sabemos que um nmero natural n pode ser escrito na

forma n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0.

Afirmao: 10k = 3q + 1 com q Z, para todo k N.De fato, se k = 1 temos que 10 = 3.3 + 1. Suponha que

10k = 3q1 + 1 para algum q1 Z. Note que

10k+1 = 10k.10 = (3q1 + 1)(3.3 + 1)

= 3.9.q1 + 3q1 + 3.3 + 1

= 3(9q1 + q1 + 3) + 1

= 3q + 1

Portanto pelo princpio de induo 10k = 3q + 1 com q Z,para todo k N.

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60/143

Algoritmo da Diviso

Logo n = ar(3qr+1)+ar1(3qr1+1)+...+a1(3q1+1)+a0 =

3(arqr+...+a1q1)+(ar+...+a1+a0) = 3q+(ar+...+a1+a0).

Se 3

|n ento 3

|n

3q, isto 3

|(ar + ... + a1 + a0).

Exemplo 6.3. 343892 no divisvel por 3 pois 3 + 4 + 3 +

8 + 0 + 2 = 29 e 3|29 (no divide)

(3) Critrio de Divisibilidade por 4:

Seja n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0. temos que

n = 100(ar10r2 + ar110

r3 + ... + a2) + a110 + a0. Observe

que 4|100. Assim, 4|100 se, e somente se, 4|n100(ar10r2+ar110r3+...+a2), ou seja, 4|a110+a0. Logo n = arar1...a1a0 divisvel por 4 se, e somente se, a1a0 divisvel por 4.

6.1.4 Teorema Fundamental da Aritmtica

Definio 6.2. Dois nmeros x, y so ditos primos entre si se

mdc(x, y) = 1.

Exemplo 6.4. Dado aZ, temos que a e a + 1 so primos entre

si. Com efeito, seja d = mdc(a, a + 1). Assim d|a e d|a + 1, donded|a + 1 a, isto , d|1. Logo, d = 1.

Lema de Gauss 6.1. Sejam x,y,z inteiros no nulos tais que

x, y so primos entre si e x|yz. Ento x|z.

Demonstrao. Como mdc(x, y) = 1, pelo Teorema de Bzout

existem a, b

Z tais que ax + by = 1. Assim, axz + byz = z. Por

hiptese, x|yz, donde x|byz. Como x|axz, x|axz + byz, isto , x|z.

Teorema Fundamental da Aritmtica 6.1. Todo nmero in-

teiro maior ou igual a 1 pode ser representado de maneira nica

(a menos da ordem), como produto de fatores primos.

62


61/143


6Demonstrao. Falta mostrar a unicidade. Faremos isto us-ando o segundo princpio da induo. Seja n 2. Se n = 2,ok. Suponha que a afirmao sobre a unicidade seja verdadeira

para todo nmero maior que 1 e menor que n. Se n primo,

no h nada o que fazer. Suponha que n seja composto. Seja

n = p1p2...pr = q1q2...qs duas fatoraes de n. vamos mostrar

que r = s e que pi = qj para algum i e algum j. Observe

que p1|n e portanto p1|q1q2...qs. Logo, p1 divide algum qj , dig-amos q1, ou seja p1 = q1. Logo

n = p2...pr = q2...qs, pois

n =

np1 =

nq1. Observe que 1 < n < n. Logo, por hiptese

de induo, r 1 = s 1 r = s. Alm disso,p2...pr = q2...qr soiguais a menos da ordem. Portanto a decomposio n = p1...pr

nica a menos da ordem.

6.2 Concluso

Note que os critrios de divisibilidade so meras consequncias

do Algoritmo da Diviso. Alm disso importante saber, caro

aluno, que isso tem com ser explicado de maneira simples no ensino

fundamental atravs de vrios exemplos.

RESUMO

Algoritmo da Diviso

Dado x, y Z, y = 0, existem nicos inteiros q, rchamados respectivamente de quociente e resto, tais

que

x = qy + r, 0 r < |y|

Teorema Fundamental do MDC

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62/143

Algoritmo da Diviso

Sejam x,y,d Z. Se x, y no so simultaneamentenulos e d Z+ um divisor comum de x e y. Asseguintes afirmaes so equivalentes:

(i) d = mdc(x, y)

(ii) Dado z Z, se z|x e z|y ento z|d.

Teorema Fundamental da Aritmtica

Todo nmero inteiro maior ou igual a 1 pode ser rep-

resentado de maneira nica (a menos da ordem), como

produto de fatores primos.

Sistema de Numerao posicional

Seja b um nmero natural, 2, e M = {0, 1, 2,...,b 1}. Ento, todo nmero natural pode ser representadode forma nica da seguinte maneira:

n = arbr + ar1b

r1 + ... + a1b + a0

Onde r 0, ar = 0 e ai MNotao: n = (arar1...a1a0)b

PRXIMA AULA

Na prxima aula apresentaremos um algoritmo para o clculo do

MDC. Alm disso definiremos mnimo mltiplo comum (MMC)

entre 2 nmeros inteiros e um algoritmo para se calcular o MMC.

ATIVIDADES

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63/143


6ATIV. 6.1. Se p um nmero primo e p|ab, onde a, b Z, entop|a ou p|b. (Compare com o exerccio 7 da lista 2. verdadeiro?)

ATIV. 6.2. Seja K um conjunto dos nmeros inteiros, no vazio,

fechado em relao a multiplicao e a adio (a + b, a b K sea, b K) e K = 0. Mostre que:

a) 0 K;

b) K contm um menor inteiro positivo, digamos m;

c) K contm todos os mltiplos positivos de m;

d) Todo elemento de K um mltiplo de m.

ATIV. 6.3. Se a|c, b|c e MDC(a, b) = d, ento ab|cd.

ATIV. 6.4. Mostre que se n 2, ento 12n divisvel por 8. Useeste fato para mostra que n = (arar1 . . . a1a0)12 divisvel por 8

se, e somente se, (a1a0)12 divisvel por 8.

ATIV. 6.5. Na diviso euclidiana de

345 por um inteiro b > 0, o

resto 12. Ache o divisor e o quociente em todos os casos possveis.

ATIV. 6.6. Seja m um inteiro mpar. Mostre que o resto da

diviso de m por 4 1 ou 3.

ATIV. 6.7. Sejam a, b e c inteiros arbitrrios. Se M DC(a, b) = 1

e c|(a + b), prove que MDC(a, c) = MDC(b, c) = 1





de Janeiro, 2008.

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64/143

Algoritmo da Diviso


Paulo, 2001.

SANTOS, J. P. O. Introduo Teoria dos Nmeros, IMPA, Rio

de Janeiro, 2007


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65/143

AULA

7Clculo do MDC e MMCMETA:

Apresentar o algoritmo do Clculo do MMC e do MDC entre dois

nmeros

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Executar de maneira correta os algoritmos do Clculo do MMC e

do MDC.

PR-REQUISITOS

Algoritmo da Diviso.


66/143

Clculo do MDC e MMC

7.1 Introduo

Aprendemos na 5a srie do ensino fundamental como calcular MDC

e MMC. Faremos isto de forma rigorosa nesta aula

7.1.1 Clculo do MDC

Teorema 7.1. Sejamx,y,q,r Z, comx, y simultaneamente nonulos e x = yq + r. Ento mdc(x, y) = mdc(y, r).

Demonstrao. Sejam d = mdc(x, y) e d = mdc(y, r). Comod = mdc(x, y), d|x e d|y (d > 0). Assim d|yq e, portanto d|x yq,ou seja d|r. Logo d|d e assim d d. Agora, como d|y e d|r,temos que d|x, donde conclumos que d d. Portanto, d = d.

Corolrio 7.1. Dados 2 nmeros x, y no simultaneamente nulos

com y = 0, tem-se que mdc(x, y) = mdc(y, r), onde r o restoencontrado no algoritmo da diviso de x por y.

Demonstrao. Como y = 0, pelo algoritmo da diviso x = yq +r, com 0 < |y|. Pelo teorema anterior, mdc(x, y) = mdc(y, r).

Mtodo das Divises Sucessivas 7.1. Seja x, y inteiros no

simultaneamente nulos, com y

= 0. Defina a0 = x e a1 = y. Para

i 2 defina ai como sendo o resto da diviso de ai2 por ai1. Sean o ltimo resto no nulo da diviso, ento mdc(x, y) = an.

Demonstrao. Sem perda de generalidade podemos supor x, y >

0. Considere o conjunto A = {a Z; 0 a < y}. A finitude de Ae o algoritmo da diviso garantem a existncia de um n tal que

68


67/143


7a0 = a1q1 + a2, 0 a2 < a1

a1 = a2q2 + a3, 0 a3 < a2 < a1...

an2 = an1qn1 + an, 0 an < an1 < an2 < ... < a2 < a1an1 = anqn, 0 < an

Pelo corolrio anterior, mdc(x, y) = mdc(a0, a1) = mdc(a1, a2) =

... = mdc(an1, an) = mdc(an, 0) = an

OBS 7.1. O mtodo descrito acima ensinado na quinta srie da

seguinte forma:

Desenha-se 3 linhas horizontais (paralelas) e duas verticais.

Na segunda linha horizontal, a partir da segunda casa fi-

cam os restos da diviso, onde nas duas primeiras ficam os

nmeros tais que queremos encontrar o MDC entre eles.

q1 q2 qna0 a1 a2 an1 ana2 a3 0

Exemplo 7.1. Encontre o mdc(53, 12).

53 = 12 4 + 512 = 5 2 + 25 = 2 2 + 12 = 2 1

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68/143

Clculo do MDC e MMC

4 2 2 2

53 12 5 2 1

5 2 1 0

Proposio 7.12. Se d = mdc(a, b), ento mdc(sa, sb) = sd,

onde s N.

Demonstrao. Note que

sa = (sb)q + (sr1), 0 sr1 < |sb|sb = (sr1)q1 + (sr2), 0 sr2 < sr1...

(srn2) = (srn1)qn1 + (srn), 0 srn < ... < sr2 < sr1(srn1) = (srn)qn,

Pelo resultado anterior rn = d, e mdc(sa,sb) = sd.

Corolrio 7.2. Se a, b so divisores de c, c = 0, e mdc(a, b) = 1,ento ab|c

Demonstrao. mdc(a, b) = 1 mdc(ca, cb) = c. Mas ab|ac,pois b|c e por motivo anlogo ab|bc. Logo, ab|c.

Exerccio 7.1. Encontre mdc(389, 167) e o expresse na forma

389m + 167n. Os nmeros m, n so nicos?

Demonstrao. 389 = 167.2+55, 167 = 55.3 + 2, 55 = 27.2 + 1,

2 = 2.1. Segue-se que mdc(389, 167) = 1. Agora podemos escrever:

1 = 552.27 = 55(1673.55).27 = 5527.167+81.55 = 82.5527.167 = 82(389 2.167) 27.167 = 82.389 164.167 27.167 =82.389 191.167 (falta responder unicidade)

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70/143

Clculo do MDC e MMC

Demonstrao. Sem perda de generalidade, suponha x > 0 e

y > 0 (se x = 0 ou y = 0, mmc(x, y) = 0 e xy = 0; mmc(x, y) =

mmc(

|x

|,

|y

|) e mdc(x, y) = mdc(

|x

|,

|y

|)). Sejam d = mdc(x, y) e

m = mmc(x, y). Note que d|xy, isto , xy = dz para algum z Z.Afirmao: z = m

De fato

(1) x = ad e y = bd. Assim xy = abd2 = zd abd = z

(2) z = b(ad) = bx, ou seja y|z. Logo m|z. Assim m z

(3) d

|x e x

|m

m = cd , pois x = ad e m = ax.

(4) x = ad e y = bd ad|cd e bd|cd com mcd(a, b) = 1 a|c eb|c abd|cd z|m z m.

Logo z = m.

7.1.3 Diviso em Z

Dados , b Z, se a = cb podemos denotar c =a

b

OBS 7.4. mmc(x, y) = |xy|mdc(x,y)

OBS 7.5. mmc(a,b,c) = mmc(a,mmc(b, d))

OBS 7.6. mdc(a,b,c) = mdc(a, mdc(b, c))

Exerccio 7.3. Calcule mmc(26, 8)Soluo: mmc(26, 8) = |26.8|

mdc(26,8) =|208|mdc(|26|,8) =

208mdc(26,8) .

Por outro lado, 26 = 8.3 + 2, 8 = 2.4, donde mdc(26, 8) = 2. Logo

mmc(26, 8) = 208mdc(26,8) = 104

7.2 Concluso

Calcular MDC entre e MMC entre dois nmeros nada mais que

aplicar o algoritmo da diviso por diversas vezes.

72


71/143


7RESUMO

Clculo do MDC

O mtodo descrito acima ensinado na quinta srie da

seguinte forma:

Desenha-se 3 linhas horizontais (paralelas) e duasverticais.

Na segunda linha horizontal, a partir da segunda

casa ficam os restos da diviso, onde nas duas

primeiras ficam os nmeros tais que queremos en-

contrar o MDC entre eles.

q1 q2 qna0 a1 a2 an1 ana2 a3 0

Mnimo Mltiplo Comum - MMC

Dados x, y Z dizemos que m Z mnimo mltiplocomum de x e y se satisfaz:

(i) x|m e y|m

(ii) Para todo u Z, se x|u e y|u, ento m|u

PRXIMA AULA

Na prxima aula, apresentaremos os nmeros racionais como classe

de equivalncia dos inteiros e mostraremos suas propriedades.

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72/143

Clculo do MDC e MMC

ATIVIDADES

ATIV. 7.1. Calcule MDC(a, b) onde :

a) a = 56, b = 12;

b) a = 20,b = 144;

ATIV. 7.2. Calcule MM C(a, b) onde :

a) a = 120, b = 68;b) a = 20,b = 74;





de Janeiro, 2008.


Paulo, 2001.

SANTOS, J. P. O. Introduo Teoria dos Nmeros, IMPA, Rio

de Janeiro, 2007


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AULA

8RacionaisMETA:

Apresentar os nmeros racionais como classe de equivalncia de

nmeros inteiros.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Identificar nmeros racionais como Classe de equivalncia dos In-

teiros.

PR-REQUISITOS

Relao de equivalncia e nmeros inteiros.


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Racionais

8.1 Introduo

Sejam a, b Z, b = 0. Se a mltiplo de b ento existe c Z tal

que a = bc. Neste caso podemos denotar c =ab

A operao ab

s est definida em

I = {(a, b) Z Z; b = 0 e b|a}.

Vamos ento "aumentar"o conjunto onde podemos definir a oper-

ao ab

.

8.2 Construo dos Nmeros Racionais

Seja Z = {m Z; m = 0}. Consideremos ZZ = {(m, n); m Z, n Z} e a relao definida por:

(m, n) (p,q) mq = np

Proposio 8.14. A relao acima de equivalncia.

Demonstrao. A relao reflexiva pois m.n = n.m. A relao

simtrica pois (m, n) (p,q) mq = np pn = qm (p,q) (m, n). A relao transitiva pois se (m, n) (p,q) e (p,q) (s, t)ento mq = np e pt = qs. Logo mqt = npt e npt = nqs. Portanto

mqt = nqs. Como q = 0, pela lei do corte, mt = ns, isto ,(m, n)

(s, t).

A relao particiona ZZ em um conjunto de classes de equiv-alncia:

Q = {[s, m], [t, n],...}

Onde

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76/143

Racionais

(c) Existe um elemento z Q tal que a + z = a, para todoa Q.

(d) Dado um a Q, existe (a) Q tal que a + (a) = zDemonstrao.

(a) (a + b) + c = ([s, m] + [t, n]) +[p,q] = [sn + tm, mn] + [p,q] =

[(sn + tm)q + (mn)p, (mn)q] e a + (b + c) = [s, m] + ( [t, n] +

[p,q]) = [s, m] + [tq + np,nq] = [snq + m(tq + np) + m(nq)] =

[(sn+mt)q+(mn)p, (mn)q]. Portanto, (a+b)+c = a+(b+c).

(c) Seja z = [o, m]. Assim, [s, m] + [0, m] = [sm, mm].

Afirmao: [sm, mm] = [s, m].

De fato, (sm)m = (mm)s.

(d) Seja (a) = [s, m]. Assim, a + (a) = [s, m] + [s, m] =[sm + m(s), m2] = [0, m2] = z.

OBS 8.2. z = 0.

Exerccio 8.1. Mostrar que (a) nico.

Propriedades da multiplicao: Sejam a = [s, m], b = [t, n] e c =

[p,q] elementos de Q. Ento:

(a) ab = ba

(b) a(bc) = (ab)c

(c) Se ab = cb e b = 0, ento a = c.

(d) Existe a Q, tal que aa = a para todo a Q.(e) Dado a Q = Q {0}, Existe um elemento a1 Q tal

que a.a1 =

a.

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78/143

Racionais

3. ax = b x = a1b (a = 0)Demonstrao. Trivial.

8.2.2 Diviso em Q

Definamos a operao : QQ Q (diviso). Como:

QQ Q(a, b) a b1.

Propriedade: Se a, b Q e c Q, ento

(a + b) : c = a : c + b : c.

De fato,

(a + b) : c = (a + b) c1 = ac1 + bc1 = a : c + b : c.

8.2.3 Somatrios e produtrios em Q

Definimos somatrio e produtrio de nmeros racionais como:

ni=1

ai =

n1i=1

ai

+ an

eni=1

ai =

n1i=1

ai

an

Exerccio 8.3. Sejam a, a1, , an Q. Ento

a

ni=1

ai

=

ni=1

(aai)

Se n = 1 temos,

a

1i=1

a1

= a a1 =

1i=1

(aa1)

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8Suponha que a expresso acima seja vlida para n. vamos mostrarque vlida para n + 1. De fato:

an+1i=1 ai = a ((ni=1 ai) + an+1)= a (

ni=1 ai) + aan+1 =

ni=1(aai) + aan+1

=n+1i=1 (aai)

Logo, pelo princpio de induo finita, o resultado vlido para

todo n QExerccio 8.4. Sejam a1, , an Q. Ento

ni=1

ai1

=ni=1

a1i

Se n = 1, temos

1i=1

ai

1= a1i =

ni=1

a1i

Suponha o resultado vlido para n. Vamos mostrar que ele tambm

vlido para n + 1. n+1i=1 ai

1= ((

ni=1 ai) .an+1)

1

= (ni=1 ai)

1 (an+1)1 =ni=1 a

1i

.a1n+1

=n+1i=1 a

1i

8.2.4 Potncias de Nmeros Racionais

Seja a Q

. Definimos a potncia n-sima de a como:

a0 = 1

an+1 = an a, n Z+Se n Z, defininimos a potncia como an = (a1)n.

Proposio 8.15. am+n = am an, a Q e m, n Z

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80/143

Racionais

Demonstrao. Note que se n < 0, an+1 = an a. De fato,se n < 0, p = n > 0. ana = (a1)pa =

(a1)p1a1

a =

(a1)p1.(a1a) = (a1)p1 = (a1)n1 = an+1

Mostraremos por induo que am+n = am an, se n 0.Se n = 0, am+0 = am = am 1 = ama0. Suponha que am+n =am an. vamos mostrar que am+(n+1) = am an+1. aman+1 =am(ana) = (aman)a = am+na = am+n+1 = am+(n+1).

Suponha m, n < 0. Logo m + n < 0. Assim am+n = (a1)mn =

(a1)ma1)m = aman. Logo se m, n Z e a Q, temos queam+n = am an.

8.3 Concluso

Os racionais surgem naturalmente dos inteiros. Justamente nos

casos em que um nmeros no divide o outro. Note tambm que

as operaes so fceis de se trabalhar.

RESUMO

Nmeros Racionais

Seja Z = {m Z; m = 0}. Consideremos Z Z ={(m, n); m Z, n Z} e a relao definida por:

(m, n) (p,q) mq = np

A relao particiona Z Z em um conjunto declasses de equivalncia:

Q = {[s, m], [t, n],...}

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8Onde

[s, m] ={

(a, b)Z

Z; (a, b)

(s, m)

}Q chamado o conjunto dos nmeros racionais.

Propriedades

Propriedades da Adio:

Sejam a = [s, m], b = [t, n] e c = [p,q] elementos em

Q. Ento:

(a) (a + b) + c = a + (b + c)

(b) a + b = b + a

(c) Existe um elemento z Q tal que a + z = a, paratodo a Q.

(d) Dado um a Q, existe (a) Q tal que a +

(a) = zPropriedades da multiplicao: Sejam a = [s, m], b =

[t, n] e c = [p,q] elementos de Q. Ento:

(a) ab = ba

(b) a(bc) = (ab)c

(c) Se ab = cb e b = 0, ento a = c.(d) Existe a Q, tal que aa = a para todo a Q.(e) Dado a Q = Q {0}, Existe um elemento

a1 Q tal que a.a1 = a.PRXIMA AULA

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Racionais

Na prxima aula, caro aluno, mostraremos que Q ordenado e que

podemos olhar os inteiros como subconjunto dos racionais.

ATIVIDADES

ATIV. 8.1. Questo Mostre que em Q valem as seguintes pro-

priedades:

a) (a + b) = a + (b), a, b Q;

b) (ab)1

= a1

b1

, a, b Q

;

c) (am)n = amn, a Q, m, n Z;

ATIV. 8.2. Determine r Z de maneira que 10r2r1 represente umnmero inteiro.

ATIV. 8.3. Seja mn

uma frao irredutvel (m, n primos entre si).

Mostre que, se r Z, ento r + mn = rn+mm irredutvel.

ATIV. 8.4. Mostre por induo que:1

1 2 +1

2 3 + . . . +1

n (n + 1) =n

n + 1

ATIV. 8.5. Calcule [2, 4] + [5, 13] e [3, 14] [2, 5]





de Janeiro, 2008.


Paulo, 2001.

LIPSCHUTZ , S. Teoria dos Conjuntos - Coleo Schaum

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AULA

9OrdemMETA:

Apresentar uma ordem para os nmeros racionais .

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Comparar nmeros racionais e trabalhar com relaes envolvendodesigualdades.

PR-REQUISITOS

Nmeros Racionais, inteiros e induo finita.


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Ordem

9.1 Introduo

Podemos comparar nmeros racionais? a resposta sim e como

construmos ele como relao de equivalncia de inteiros, naturalque esta ordem se de atravs da ordem dos inteiros.

9.2 Relao de Ordem em Q

Seja a = [s, m] Q. Dizemos que a > 0 se sm > 0. Neste casodizemos a Q+ (Nmeros racionais positivos). Se sm < 0 dizemosque a

Q

(Racionais negativos). Seja b = [t, n]Q. Dizemos

que

a < b b a > 0

e

b < a a b > 0

Pela tricotomia dos nmeros inteiros temos que sm > 0 ou sm < 0

ou sm = 0

Assim,

Q = Q+ Q {0}

OBS 9.1. Sem perda de generalidade podemos supor, se a =

[s, m], que m > 0. De fato, [s, m] = [s m], pois s(m) =m(

s) =

(sm) ( s

m= s

m). Dizemos que 0

a

Q, se a > 0

ou a = 0. Note que se a = [s, m] e b = [t, n] (m, n Z+) entoa b b a 0 [t.n] + [s, m] 0 [tm sn, mn] 0 (tm sn)(mn) 0 tm sn

s

m t

n sn tm

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9Exemplo 9.1. 24 < 12 pois 4 < 4.OBS 9.2. a = [s, m] 0, m > 0 s 0

Proposio 9.16. Sejam a, b Q. Se a < b ento existe h Q+tal que

a + h = b.

Lema 9.1. Dados a = [s, m], b = [t, n] Q existem x,y,z Ztais que a = [x, z] e b = [y, z]

Demonstrao. Suponha [s, m] = [x, z] e [t, n] = [y, z]. Logo

sz = mx e tz = ny. Seja p = mmc(m, n). Logo p = mk e p = nk.sp = smk, tp = tmk sp = (sk)m, tp = (tk)n.

[s, m][sk,p], [t, n] = [tk, p].Logo, fazendo z = mmc(m, n), x = sk e y = tk, onde p = mk, p =nk. Temos o resultado.Demonstrao. Suponha a = [s, m], b = [t, n] com m, n > 0.

Pelo lema anterior podemos escrever a e b como segue:

a = [x, p], b = [y, p].

Temos que a < b e portanto xp < yp. Assim x < y, com x, y Z.Desta forma existe z > 0, z Z tal que y = x + z, logo

b = [y, p] = [x + z, p] = [x, p] + [z, p] = a + h

Mostraremos agora que a relao em Q de ordem total. Pelo j mencionado assumiremos que para cada elemento [s, m] Q,podemos tomar m > 0.

(a) "" reflexiva. De fato, [s, m] [s, m] pois sm ms.

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Ordem

(b) "" anti-simtrica. De fato, se [s, m] [t, n] e [t, n] [s, m] ento sn mt e tm ns. Logo sn = tm, ou seja,[s, m] = [t, n].

(c) "" transitiva. Com efeito, se [s, m] [t, n] e [t, n] [p,q]ento sn mt e tq np. Assim, snq mtq e mtq mnp(m > 0, q > 0). Pela transitividade de ""em Z, temos quesnq mnp. Como n > 0, nq mp, ou seja, [s, m] [p,q].

(d) Temos [s, m] [t, n] ou [t, n] [s, m], pois sn mt outm ns, m,n,s,t Z. A relao "" em Q de ordem

total.

Exerccio 9.1. 1. Se a, b Q, c Q e a < b, ento ac < bc.

2. Se a,b,c Q e a < b ento ento a + c < b + c.OBS 9.3. Suponha que sobre um corpo K, esteja definido uma

relao "" que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) a a, a k.

(b) a b e b a a = b.

(c) a b e b c a c.

(d) a b ou b a.

(e) a b e c k a + c b + c.

(f) a b e 0 c ac bc.

Dizemos que K corpo ordenado.

Imerso de Z em Q:. Seja f : Z Q definida por f(s) = [s, 1] =s1

f est bem definida. De fato, seja [s, 1] = [s, 1]. Assim s 1 =1 s s = s.Note que f injetora (exerccio).

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88/143

Ordem

Corolrio 9.1. O conjunto Q+ no possui elemento mnimo.

Demonstrao. De fato, se a > 0 ento

0 < 12 a < a.

OBS 9.4. Seja K um corpo ordenado tal que para quaisquer a, b K com a < b, existe c K onde a < c < b. Neste caso dizemosque K denso.

Proposio 9.18. Se a, b Q comb Q+ ento existe n N talque nb > a. 2

Demonstrao.

Afirmao: A proposio vale com Z+ no lugar de Q+ e Z no

lugar de Q:

Demonstrao da Afirmao: Com efeito, Dado a Q, sejan = |a| + 1. Observe que bn n (pois b 1). Assim nb n > aDemonstrao da proposio: Sem perda de generalidade suponha

a = q1p

, b = q2p

.

Onde q1 Z e q2, p Z+. Assim existe n N tal que nq2 > q1.Logo nq2

p> q1p

. Mas

n q2p

=n

1 q2

p=

nq2p

.

Portanto,

n

q2

p>

q1

p.

OBS 9.5. Temos que se m, n Z (n = 0).

m : n =m

1:

n

1=

m

1 1

n=

m

n.

2Um corpo K que satisfaz esta proposio dito arquimediano.

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90/143

Ordem

Isomorfismo

Existe um isomorfismo f : Z Im(f) Q que preserva

ordem. Assim, podemos supor Z Q.Densidade

Seja a, b Q tal que a < b. Ento existe c Q tal quea < c < b.

PRXIMA AULA

Na prxima aula apresentaremos mais propriedades dos nmeros

racionais. Mostraremos tambm que como podemos escrever um

nmero racional como um nmeros decimal (finito ou peridico) e

vice e versa.

ATIVIDADES

ATIV. 9.1. Mostre que Q fechado em relao adio, mas

no em relao multiplicao.

ATIV. 9.2. O sentena 127 >138 verdadeira? Justifique.

ATIV. 9.3. Mostre que se a, b Q+, ento a b > 0ATIV. 9.4. Seja f : Z Q definida por f(s) = [s, 1]. Mostre quef injetora.


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9LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,5.ed., Rio de Janeiro, 2008.


de Janeiro, 2008.


Paulo, 2001.

LIPSCHUTZ , S. Teoria dos Conjuntos - Coleo Schaum

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93/143

AULA

10RacionaisMETA:

Apresentar o conceito de mdulo de nmeros racionais e sua rep-

resentao decimal.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Identificar a forma decimal de um nmeros racional.

Identificar o inteiros mais prximo de um racional.

PR-REQUISITOS

Nmeros Racionais, inteiros e induo finita.


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Racionais

10.1 Introduo

Prezado Aluno, nesta aula estudaremos o porqu de um nmero

decimal finito ou peridico ser um nmero racional e o porqu deum nmero racional ser finito ou peridico. Antes apresentaremos

a voc algumas propriedades modulares dos nmeros racionais e a

funo maior inteiro.

10.1.1 Valor Absoluto de um Nmero Racional

Definimos |a| com a Q como:

|a| = a , sea 0a , sea < 0Propriedades:

(a) |a| a |a|

(b) |a

a para o ensino fundamental

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