BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Personal Computer (PC)

Personal Computer (Gambar 2.1) adalah seperangkat komputer yang

digunakan oleh satu orang saja/pribadi. Biasanya komputer ini adanya dilingkungan

rumah, kantor, toko, dan dimana saja karena harga PC sudah relatif terjangkau dan

banyak macamnya. Fungsi utama dari PC adalah untuk mengolah data input dan

menghasilkan output berupa data/informasi sesuai dengan keinginan user (pengguna).

Dalam pengolahan data yang dimulai dari memasukkan data (input) sampai akhirnya

menghasilkan informasi, komputer memerlukan suatu sistem dari kesatuan elemen

yang tidak bias terpisahkan. Hardware (perangkat keras) adalah sekumpulan

komponen perangakat keras komputer yang secara fisik bisa dilihat, diraba,

dirasakan. Hardware ini dibagi menjadi 5 (lima) bagian, yaitu [5]:

a. Input Device, peralatan masukkan (Keyboard, mouse),

b. Process Device, peralatan proses (processor, motherboard, ram),

c. Output Device, peralatan keluaran (Monitor, Printer),

d. Storage Device, peralatan penyimpan (harddisk,flashdisk),

e. Peripheral Device, peralatan tambahan (WebCam, modem)

Universitas Sumatera Utara

Gambar. 2.1 Personal Computer [5]

2.2. Prinsip Dasar Distorsi Harmonik

Distorsi harmonik disebabkan oleh peralatan non linear pada sistem tenaga

listrik. Peralatan non linear adalah alat yang menyebabkan bentuk gelombang arus

tidak proporsional terhadap gelombang tegangannya [7]. Gambar 2.2 menjelaskan

konsep tegangan sinusoidal yang diterapkan pada resistor non linear akan

menyebabkan bentuk gelombang antara arus dengan tegangannya berbeda. Bentuk

gelombang tegangan yang diberikan adalah sinusoidal murni sedangkan bentuk

gelombang arus yang dihasilkannya adalah sinusoidal yang telah mengalami distorsi.

Seperti inilah awal dari distorsi harmonik yang terjadi pada suatu sistem tenaga listrik

Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.2 Distorsi arus akibat beban non linier

Ketika suatu gelombang memiliki bentuk yang identik dari siklus ke siklus,

dapat dinyatakan bahwa gelombang tersebut merupakan hasil penjumlahan dari

beberapa gelombang sinusoidal murni yang memiliki frekuensi yang merupakan

kelipatan atau hasil perkalian bilangan bulat dari frekuensi gelombang dasar yang

terdistorsi [7]. Gelombang dengan frekuensi kelipatan ini disebut harmonik atau

komponen harmonik dari gelombang dasar. Penjumlahan dari gelombang-gelombang

sinusoidal tersebut dapat dipecahkan dengan konsep deret fourier [8]. Gambar 2.3

menjelaskan bahwa bentuk gelombang periodik yang terdistorsi dapat diuraikan

sebagai suatu jumlah dari gelombang-gelombang sinusoidal [7].

Selanjutnya konsep deret fourier banyak digunakan untuk menganalisa

masalah harmonik. Dengan demikian saat ini masalah pada sistem akibat harmonik

dapat dianalisa secara terpisah pada setiap harmonik, karena menganalisa efek yang

Universitas Sumatera Utara

terjadi pada sistem akibat setiap harmonik lebih efektif dibandingkan dengan

menganalisa gelombang yang terdistorsi secara keseluruhan. Hasil keluaran dari

setiap frekuensi harmonik tersebut kemudian dapat digabungkan kembali untuk

mendapatkan suatu deret fourier dimana setelah dilakukan perhitungan, gelombang

keluaran akan dapat ditemukan. Sering kali perhatian tertuju hanya pada besar dari

harmonik [8].

Gambar 2.3 Representasi deret fourier dari suatu gelombang terdistorsi [7]

Bentuk tegangan dan arus yang terdistorsi dapat diperoleh dengan

menjumlahkan secara aljabar gelombang dasar (yang dibangkitkan oleh pembangkit)

dengan gelombang-gelombang harmonik yang mempunyai frekuensi dan amplitudo

yang bervariasi. Analisa Fourier telah digunakan untuk menganalisis amplitudo dan

frekuensi.dari gelombang sinusoidal yang telah terdistorsi. Berdasarkan analisis

Universitas Sumatera Utara

Fourier, arus Is yang non-sinusoidal akan terdiri dari arus fundamental dan komponen

arus yang mengandung harmonisa, dan dinyatakan pada Persamaan (2.1) [8]:

)sin(2)sin(2)(

111 hh

hthIstIstIs φωφω −+−= ∑

∞

≠

……..............…..(2.1)

di mana:

Is = Adalah arus total (A)

Is1 = Adalah nilai rms komponen arus fundamental (A)

Ish = Adalah nilai rms komponen arus harmonisa orde ke h (A)

h = Adalah orde harmonisa (h = 2,3,4,...)

ω = 2π f dimana f adalah frekuensi sistem atau frekuensi fundamental

Persamaan Fourier ini dapat digunakan untuk memecah gelombang yang telah

terdistorsi menjadi gelombang dasar dan gelombang harmonik. Hal ini menjadi dasar

dalam menganalisa harmonik pada sistem tenaga listrik.

Ketika setengah siklus positif dan negatif pada suatu gelombang memiliki

bentuk yang identik, deret fouriernya hanya terdiri atas harmonik ganjil yaitu

gelombang harmonik dengan frekuensi kelipatan ganjil dari frekuensi dasarnya. Hal

ini menghasilkan penyederhanaan pada banyak penelitian dibidang sistem tenaga

listrik karena kebanyakan alat yang menghasilkan harmonik menyebabkan pengaruh

Universitas Sumatera Utara

yang sama pada kedua polaritas. Secara fakta, kehadiran harmonik genap sering kali

menjadi indikator bahwa telah terjadi error, baik itu pada beban yang diukur atau

pada transduser alat yang digunakan untuk pengukuran. Meski demikian untuk

beberapa hal terdapat pengecualian seperti pada penggunaan penyearah setengah

gelombang dan industri dapur busur [7].

Pada umumnya harmonik orde tinggi (sekitar orde ke-25 hingga ke-50,

tergantung pada sistem) dapat diabaikan untuk analisis sistem tenaga listrik [9].

Meski mereka dapat menyebabkan interferensi terhadap peralatan elektronik berdaya

rendah, harmonik orde tinggi tidak akan merusak sistem tenaga listrik. Jika suatu

sistem tenaga listrik digambarkan sebagai komponen-komponen yang tersusun seri

dan paralel seperti praktek pada umumnya, peristiwa non linearitas mayoritas terjadi

pada komponen tersusun paralel yaitu pada beban [9]. Impedansi seri dari sistem

penyaluran daya listrik, seperti impedansi hubung singkat antara sumber dengan

beban, biasanya selalu bersifat linear [9]. Dengan demikian penghasil utama

harmonik yang menyebabkan distorsi harmonik adalah pengguna/pelanggan yang

berada di akhir rangkaian sistem. Hal ini bukan berarti semua pengguna yang

mengalami distorsi harmonik adalah merupakan penghasil harmonik, karena secara

umum distorsi harmonik adalah sebagai akibat dari kombinasi beban-beban pengguna

[9].

2.3. Distorsi Tegangan dan Distorsi Arus

Beban non linear yang biasa terhubung secara paralel tampil sebagai sumber

dari arus harmonik dan turut menyumbangkan arus harmonik ke sistem tenaga listrik.

Universitas Sumatera Utara

Pada hampir semua analisis, beban-beban penghasil harmonik ini biasa dianggap

sebagai sumber-sumber arus harmonik [8].

Sebagaimana terlihat pada Gambar 2.4, distorsi tegangan adalah sebagai

akibat dari arus terdistorsi melalui impedansi linear yang terpasang seri pada sistem

penyaluran tenaga listrik, meski awalnya bus sumber dianggap sinusoidal murni. Hal

ini karena terdapat komponen beban non linear yang menarik arus sehingga

terdistorsi. Arus harmonik yang melalui impedansi sistem menyebabkan tegangan

jatuh pada setiap komponen harmonik. Hal ini menyebabkan harmonik tegangan

timbul pada komponen beban. Nilai dari distorsi tegangan tergantung dari nilai

impedansi dan juga arusnya [8]. Dengan mengasumsikan nilai distorsi pada

komponen beban tetap pada batas wajar (pada kisaran dibawah 5%), nilai dari arus

harmonik yang dihasilkan beban secara umum bernilai konstan [8]. Saat harmonik

dari arus beban mutlak mengakibatkan distorsi tegangan, perlu dicatat bahwa beban

tersebut tidak memiliki kendali terhadap distorsi tegangan. Dua beban yang sama

ditempatkan pada dua lokasi yang berbeda pada sistem tenaga listrik yang sama maka

akan memiliki nilai distorsi tegangan yang berbeda. [8] :

1. Pengendalian terhadap besar arus harmonik yang dihasilkan ke sistem

adalah pada beban di sisi hilir.

2. Dengan mengasumsikan nilai arus harmonik yang dihasilkan adalah pada

batas kewajaran, pengendalian terhadap distorsi tegangan dilakukan

secara keseluruhan dengan mengendalikan nilai impedansi sistem, yang

sering kali merupakan pengendalian beban [8].

Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.4. Arus yang mengalir melalui beban

Pemaparan fenomena harmonik harus dilakukan secara hati-hati karena

terdapat perbedaan antaran penyebab dan akibat dari tegangan dan arus harmonik.

Penggunaan istilah harmonik harus memiliki kualifikasi yang jelas. Pada konvensi

yang dikenal secara luas, ketika istilah tersebut digunakan tanpa kata lain

mengikutinya, kata harmonik berarti arus harmonik. Namun saat topik pembicaraan

adalah pada utility system maka biasanya subjeknya adalah tegangan harmonik [8].

2.4. Pengaruh Harmonisa

Harmonisa yang diproduksi oleh beban non linier disuntik ke sumber

tegangan sistem. Arus harmonisa tersebut berinteraksi dengan peralatan system yang

lebih luas, terutama pada kapasitor, transformator, dan motor, menyebabkan

bertambahnya rugi–rugi panas yang berlebihan. Arus harmonisa ini dapat juga

menyebabkan gangguan interferensi induksi pada system telekomunikasi, kesalahan

pengukuran pada alat ukur, terlalu panas pada pemutus daya dan tak diduga pemutus

Universitas Sumatera Utara

daya tersebut memutus sendiri, system kendali terkunci dengan sendirinya, dan

banyak lagi permasalahan yang ditimbulkan [8]. Permasalahan ini dapat

menyebabkan kerugian keuangan sampai biaya tambahan pemeliharaan. Setiap

komponen peralatan sistem distribusi dapat dipengaruhi oleh harmonisa walaupun

dengan akibat yang berbeda. Dengan demikian komponen peralatan tersebut akan

mengalami penurunan kinerja dan bahkan akan mengalami kerusakan. Pada keadaan

normal, arus beban setiap fasa dari beban linier yang seimbang pada frekuensi

dasarnya akan saling mengurangi sehingga arus netralnya menjadi nol. Sebaliknya

beban non linier satu fasa akan menimbulkan harmonisa ganjil kelipatan yang disebut

triplen harmonic (harmonisa ke-3,9,15 dan seterusnya) yang sering disebut

harmonisa urutan nol [10].

Dapat dilihat hasil simulasi pada Gambar 2.5 untuk menjelaskan secara

visual agar lebih memahami terjadinya harmonisa urutan nol. Makin besar amplitude

harmonisa triplen, maka makin besar harmonisa urutan nol, sehingga akan

memperbesar arus netral sistem. Bentuk gelombang harmonisa dapat dilihat pada

Gambar 2.5.

Harmonisa ini tidak mehilangkan arus netral tetapi dapat menghasilkan arus

netral yang leih tinggi dari arus fasa. Harmonisa pertama urutan polaritasnya adalah

positif, harmonisa kedua urutan polaritasnya adalah negative dan harmonisa ketiga

urutan polaritasnya adalah nol, harmonisa keempat urutan polaritasnya adalah positif

dan seterusnya berulang lagi.

Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.5 Bentuk gelombang harmonisa arus urutan nol [10]

Akibat yang dapat ditimbulkan oleh urutan polaritas komponen harmonisa

antara lain tingginya arus netral pada system 3 fasa 4 kawat (sisi sekunder

transformator) karena arus urutan nol (zero sequence) dan arus ini akan terinduksi

kesisi primer transformator dan akan berputar pada sisi primer transformator yang

biasanya memiliki belitan delta. Hal ini akibat pada kawat netral tidak memiliki

peralatan pemutus arus untuk proteksi tegangan atau arus lebih. Pengaruh harmonisa

pada transformator sering tanpa disadari dan diantipasi keberadaannya sampai terjadi

gangguan yang penyebabnya tidak jelas. Hal ini dapat juga terjadi bila perubahan

konfigurasi atau jenis beban yang dipasok. Transformator dan peralatan induksi

lainnya, selalu terpengaruh oleh harmonisa karena transformator itu sendiri dirancang

sesuai dengan frekuensi kerjanya. Selain itu transformator juga merupakan media

utama pembangkit dengan beban. Frekuensi harmonisa yang lebih tinggi dari

frekuensi kerjanya akan mengakibatkan penurunan efisiensi atau terjadi kerugian

Universitas Sumatera Utara

daya. Selain itu, ada beberapa akibat yang dapat ditimbulkan oleh adanya harmonisa

dalam sistem tenaga listrik, antar lain:

a. Kegagalan Kapasitor bank disebabkan oleh beban reaktif terlalu besar,

sehingga terjadi resonansi, dan mengakibatkan pembesaran amplitude

tegangan harmonisa.

b. Panas berlebihan dan getaran pada motor induksi.

c. Meningkatkan arus urutan negatif pada generator sinkron, dan

membahayakan lilitan dan rangkaian rotor generator.

d. Terjadi tegangan lebih pada sistem tenaga sebagai akibat resonansi antara

kapasitor dengan reaktansi induksi sistem.

e. Menurunkan kapasitas daya hantar kabel yang terkait dengan bertambanya

arus pusar, sehingga terjadi panas dan rugi-rugi tembaga akibat efek kulit.

f. Kegagalan pemakaian relay kontaktor, terutama sekali pada sistem

terkendali dengan mikroprosesor.

g. Gangguan pada kendali rippel dan metering.

h. Operasi tidak stabil pada rangkaian detaksi zero cross voltage.

i. Gangguan pada sistem aksitasi pembangkit tenaga listrik dan pengontrolan

motor yang besar.

j. Harmonisa dapat menimbulkan tambahan torsi pada KWh meter jenis

elektromekanis yang mengunakan piringan induksi berputar. Sebagai

akibatnya, putaran piringan akan lebih cepat atau terjadi kesalahan ukur

Universitas Sumatera Utara

KWh meter pada harmonisa ke 5 dan 7, karena piringan induksi tersebut

dirancang hanya untuk beroperasi pada frekuensi dasar.

k. Interferensi frekuensi pada sistem telekomunikasi karena biasanya kabel

untuk keperluan telekomunikasi berdekatan dengan kawat netral. Triplen

harmonisa pada kawat netral dapat memberikan induksi harmonisa yang

menggangu sistem telekomunikasi.

l. Pemutus beban dapat bekerja dibawah arus pengenalan atau mungkin tidak

bekerja pada arus pengenal. Pemutus beban yang dapat terhindar dari

gangguan harmonisa pada umumnya adalah pemutus beban yang

mempunyai respon terhadap arus RMS sebenarnya (true RMS current) atau

kenaikan temperature karena arus lebih.

2.5. Persamaan Harmonisa

Untuk menentukan besar Total Harmonic Distortion (THD) dari perumusan

analisa deret fourier untuk tegangan dan arus dalam fungsi waktu yaitu [10]:

…………………………(2.2)

…….............…………….(2.3)

Tegangan dan arus RMS dari gelombang sinusoidal yaitu nilai puncak gelombang

dibagi √2 dan secara deret fourier untuk tegangan dan arus yaitu [10]:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑜 + �𝑉𝑛𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑡 + 𝜃𝑛)∞

𝑛=1

𝑖(𝑡) = 𝑖𝑜 + �𝐼𝑛𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑡 + 𝜃𝑛)∞

𝑛=1

Universitas Sumatera Utara

……………………………..(2.4)

……………………………..(2.5)

Pada umumnya untuk mengukur besar harmonisa yang disebut dengan Total

Harmonic Distortion (THD). Untuk THD tegangan dan arus didefenisikan sebagai

nilai RMS harmonisa urutan diatas frekuensi fundamental dibagi dengan nilai RMS

pada frekuensi fundamentalnya, dan tegangan dc nya diabaikan.

Besar Total Harmonic Distortion (THD) untuk tegangan dan arus ditunjukan pada

Persamaan (2.6 dan 2.7) yaitu:

……………………. (2.6)

……………………….(2.7)

Persamaan (2.8) menunjukkan hubungan Persamaan THDi dengan arus RMS:

𝑉𝑅𝑀𝑆 = 𝑉0 + ���𝑉𝑛√2�2∞

𝑛=1

𝐼𝑅𝑀𝑆 = 𝐼0 + ���𝐼𝑛√2�2∞

𝑛=1

𝑇𝐻𝐷𝑣 =

� ∑ �𝑉𝑛√2�2

∞𝑛=2

𝑉1√2

= �∑ (𝑉𝑛)2∞

𝑛=2𝑉1

𝑇𝐻𝐷𝐼 =

�∑ �𝐼𝑛√2�2

∞𝑛=2

𝐼1√2

=�∑ (𝐼𝑛)2∞

𝑛=2𝐼1

𝐼𝑅𝑀𝑆2 = 12�𝐼2𝑛

∞

𝑛=1

Universitas Sumatera Utara

di mana:

Sehingga arus RMS terhadap THDI

…………………………...(2.8)

yaitu:

2.6. Interpolasi

Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan

masalah-masalah matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi-operasi

aritmatika (hitungan) biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah metode

numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka [11].

Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang

berulang-ulang, melelahkan, dan menjemukan. Tetapi dengan adanya computer

digital yang semakin lama semakin cepat dalam melakukan hitungan dan dengan

adanya penemuan metode-metode baru dan beberapa modifikasi dari metode-metode

lama, maka penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan masalah-masalah

matematika mengalami kenaikan secara dramatis. Kemajuan yang cepat pada bidang

�𝐼2𝑛 = ∞

𝑛=1

𝐼12 + 𝐼12.𝑇𝐻𝐷𝐼2 = 𝐼12(1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2)

12�𝐼𝑛2 =

𝐼12

2

∞

𝑛=1

�1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2�

𝐼𝑅𝑀𝑆 = 𝐼1,𝑅𝑀𝑆��1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2�

𝐼𝑅𝑀𝑆2 = 𝐼1,𝑅𝑀𝑆2�1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2�

𝑇𝐻𝐷𝐼2 = 12 ∑ 𝐼2𝑛∞

𝑛=2

𝐼212

= ∑ 𝐼2𝑛 − 𝐼21∞𝑛=1

𝐼12

Universitas Sumatera Utara

metode numerik dikarenakan perkembangan komputer itu sendiri. Kita melihat

perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Keunggulan tiap generasi

baru komputer dalam hal waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan

menyebabkan pengembangan algoritma numerik yang lebih baik [17].

Ada beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu [11]:

1. Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika

yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat

diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem

persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat

diselesaikan dengan metode numerik.

2. Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dan sebagainya yang

digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numeric

dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.

3. Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai

program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita

perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software)

untuk masalah sendiri.

4. Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari

penggunaan komputer.

Ada dua macam penyelesaian masalah matematika, yaitu:

a. Secara analisis, dengan menggunakan kaidah-kaidah operasi matematika

Universitas Sumatera Utara

dengan cara yang formal, yaitu dengan menggunakan rumus-rumus yang

sudah lazim dan konvensional sehingga diperoleh solusi eksak. Solusi eksak

yaitu solusi dengan galat sama dengan nol.

b. Secara numeric, yaitu dengan menggunakan metode numerik untuk

memperoleh nilai solusi hampiran dari solusi eksak. Cara ini biasanya

dilakukan jika nilai eksak sukar dicari dengan cara analisis.

Pada beberapa masalah sering memerlukan suatu penaksiran nilai antara

(intermediate values) yaitu suatu nilai diantara beberapa titik data yang telah

diketahui nilainya. Metode yang biasa digunakan untuk menentukan titik antara

tersebut adalah melakukan interpolasi. Metode interpolasi yang biasa digunakan

adalah dengan interpolasi Polinomial. Persamaan polinomial orde ke n yang dipakai

secara umum dapat dilihat pada Persamaan (2.9) [11]:

nn xaxaxaaxf ++++= .......)( 2

210 …………………..…(2.9)

Persamaan polinomial ini merupakan persamaan aljabar yang hanya

mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Untuk n+1

titik data, hanya terdapat satu polinomial order n atau kurang yang melalui semua

titik. Misalnya hanya terdapat satu garis lurus (polinomial order satu) yang

menghubungkan dua titik, lihat Gambar 2.6, (a). Demikian juga dengan

menghubungkan tiga titik dapat membentuk suatu parabola (polinomial order 2), lihat

Gambar 2.6 (b), sedang bila empat titik dapat dihubungkan dengan kurva polinomial

Universitas Sumatera Utara

order tiga, lihat Gambar 2.6 (c). Dengan operasi interpolasi kita dapat menentukan

suatu persamaan polinomial order ke n yang melalui n+1 titik data, yang kemudian

digunakan untuk menentukan suatu nilai (titik antara) diantara titik data tersebut [11].

`

(a) (b) (c)

Gambar 2.6. Interpolasi Polinomial (a). orde 2, (b). orde 3, (c). orde n+1 [11]

2.6.1. Teori model matematis polinomial interpolasi metode newton evaluasi dari polynomial.

Meskipun metode Lagrange konseptualnya sederhana, tidak meminjamkan

dirinya untuk algoritma yang efisien. Sebuah prosedur komputasi yang lebih baik

diperoleh dengan metode Newton, di mana polinomial interpolasi ditulis dalam

bentuk Persamaan (2.10) [11].

𝑃𝑛−1(𝑥) = 𝑎1 + (𝑥 − 𝑥1)𝑎2 + (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)𝑎3

+⋯+ (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)𝑎𝑛.................(2.10)

Polinomial ini cocok untuk prosedur evaluasi yang efisien. Perhatikan, misalnya,

empat titik data (n = 4). Berikut polinomial interpolasi adalah

● ●

●

Universitas Sumatera Utara

𝑃3(𝑥) = 𝑎1 + (𝑥 − 𝑥1)𝑎2 + (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)𝑎3 + (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)𝑎4

= 𝑎1 + (𝑥 − 𝑥1){𝑎2(𝑥 − 𝑥2)[𝑎3 + (𝑥 − 𝑥3)𝑎4]}

Yang dapat dievaluasi mundur dengan hubungan pengulangan berikut:

𝑃0(𝑥) = 𝑎4

𝑃1(𝑥) = 𝑎3 + (𝑥 − 𝑥3)𝑃0(𝑥)

𝑃2(𝑥) = 𝑎2 + (𝑥 − 𝑥2)𝑃1(𝑥)

𝑃3(𝑥) = 𝑎1 + (𝑥 − 𝑥1)𝑃2(𝑥)

Untuk n sembarang diperoleh Persamaan (2.11)

𝑃0(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑃𝑘(𝑥) = 𝑎𝑛−𝑘 + (𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘)𝑃1−𝑘(𝑥), 𝑘 = 1,2, … ,𝑛 − 1….. (2.11)

memperkenalkan perbedaan dibagi

∇𝑦𝑖 =𝑦𝑖 − 𝑦1𝑥𝑖 − 𝑥1

, 𝑖 = 2, 3, … ,𝑛

∇2𝑦𝑖 =∇𝑦𝑖 − ∇𝑦2𝑥𝑖 − 𝑥2

, 𝑖 = 3, 4, … ,𝑛

∇3𝑦𝑖 =∇2𝑦𝑖 − ∇2𝑦3𝑥𝑖 − 𝑥3

, 𝑖 = 4, 5, … ,𝑛

⋮

∇𝑛𝑦𝑛 = ∇𝑛−1𝑦𝑛−∇𝑛−1𝑦𝑛−1𝑥𝑛−𝑥𝑛−1

…………………………...(2.12)

Universitas Sumatera Utara

solusi dari Persamaan. (𝑎) adalah

𝑎1 = 𝑦1 𝑎2 = ∇𝑦2 𝑎3 = ∇2𝑦3 ⋯𝑎𝑛 = ∇𝑛𝑦𝑛………………..(2.13)

jika koefisien dihitung dengan tangan, akan lebih mudah untuk bekerja dengan format

dalam Tabel 2.1 (ditampilkan hanya untuk n = 5).

Tabel 2.1 Format perhitungan koefisien yang dihitung dengan tangan

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2 ∇𝑦2

𝑥3 𝑦3 ∇𝑦3 ∇2𝑦3

𝑥4 𝑦4 ∇𝑦4 ∇2𝑦4 ∇3𝑦4

𝑥5 𝑦5 ∇𝑦5 ∇2𝑦5 ∇3𝑦5 ∇4𝑦5

istilah diagonal 𝑦1,∇𝑦2,∇2𝑦3,∇3𝑦4,𝑑𝑎𝑛 ∇4𝑦5 dalam Tabel adalah koefisien akan

berubah, tetapi polinomial yang dihasilkan akan sama-ingat bahwa polinomial derajat

n-1 interpolasi titik data n yang berbeda adalah unik. Awalnya, mengandung y-nilai

data, sehingga identik dengan kolom kedua pada Tabel 2.1. setiap melewati loop

untuk menghasilkan entri di kolom berikutnya, yang menimpa unsur-unsur yang

sesuai dari. oleh karena itu, ujung upcontaining istilah diagonal Tabel 2.1 yaitu,

koefisien dari polynomial [11].

Universitas Sumatera Utara