NAMA: CHAIRINA WIRDIASTUTI

NIM/TM: 15030060

TUGAS KALKULUS

Pada perkembangan ilmu teknologi yang sangat maju pada saat sekarang ini, dengan IT kita telah dapat menyelesaikan persoalan matematika yang sulit dijelaskan secara aljabar atau perhitungan,salah satu pemanfaatan ilmu teknologi dalam penyeesaian matematia adalah geogebra.

Geogebra adalah salah satu pemanfaatan IT yang diciptakan untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan permasalahan matematika seperti fungsi,limit,integral,dan lain sebagainya.

Contoh pemanfaatan goegebra adalah:

1. Menentukan grafik fungsi.

Dengan memanfaatkan geogebra,kita dapat membuat grafik fungsi dengan mudah,yaitu dengan cara:

· Buka geogebra,akan terlihat tampilan seperti ini

· Lihatlah disudut kanan bawah,akan terlihat seperti play pada pemutar video, dan klik tanda tersebut,sehingga muncul tampilan sebagai berikut:

Dan kita sudah dapat memilih permasalahan matematika apa yang ingin kita pecahkan.

Namun,kita dapat menggunakan cara cepatnya,yaitu kita dapat memasukkan fungsi matematika yang akan kita pecahkan kedalam kolom input yang terletak dibagian bawah,lalu ketik “Function” setelah itu akan tampil beberapa pilihan,dan pilihlah “Function[ , , ]” ,setelah itu bagian akan berwarna biru,lalu ketiklah fungsi yang kita inginkan.selanjutnya geserlah korsus kesebelah kanannya sehingga akan berwarna biru,dan ketiklah batas awal interval,lakukan hal yang sama dengan sebelumnya,geser korsur kesebelah kanan sehingga berwarna biru dan isikan batas wakhir interval dari grafik fungsi yang akan kita buat.

Contoh:

Membuat grafik fungsi dari –x^2+5x+3 dengan interval 0≤x≤5

Cara kerja:

· Function[ , , ]

Diganti dengan :

Function[-x^2+3, -3, 5]

Sehingga akan tampil tampilan sebagai berikut:

2. Poligon dalam

Polygon dalam adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan luas daerah dibawah kurva dengan membentuk partisian yang berbentuk persegi panjang. Prinsip kerja polygon dalam adalah dengan membuat partisian berupa persegi panjang didaerah bawah kurva dan garis persegi panjang tersebut tidak melewati garis kurva,jika kita menggunakan sedikit persegi panjang,maka akan semakin banyak daerah dibawah kurva yang tak terhitung,sehingga semakin banyak partisian maka jumlah daerah yang tak terhitung semakin sedikit dan luasnya akan mendekati luas daerah kurva yang sebenarnya.

Untuk membuat polygon dalam kita harus membuat grafik fungsi terlebih dahulu seperti cara yang telah dijelaskan diatas,setelah itu masukkan kata “lower” dan akan langsung tampil “LowerSum[ , , , ]” dan Tekan enter, kita dapat mengganti dengan fungsi yangkita inginkan, dapat kita ganti dengan batas wala interval dan dengan batas akhir interval, selanjutnya ganti dengan jumlah partisian atau persegi panjang yang kita inginkan.

Contoh:

· Function[ , , ]

Ganti dengan : Function[-x^2+5x+3, 0, 5]

Dan akan muncul grafik seperti ini

· Setelah itu LowerSum[ , , , ]

Ganti dengan: LowerSum[-x^2+5x+3, 0, 5, 10]

Dan akan tampil grafik seperti ini.

Dari grafik diatas kita terlihat bahwa dengan jumlah 10 persegi panjang,banyak daerah dibawah kurva yang tak terhitung,coba kita bandingkan dengan jumlah partisian yang lebih banyak.

n=50

Dari gambar diatas,dengan jumlah partisian sebanyak 50 buah kita masih menemukan darerah dibawah kurva yang tidak terhitung.

n=100

Dari gambar diatas,masih terlihat daerah dibawah kurva yang tidak terhitung,namun daerah tersebut lebih sedikit dibanding dengan daerah yang di partisi dengan n=50.

n=200

Dengan partisian 200,terihat bahwa daerah yang tak terhitung semakin sedikit dibandingkan dengan 100 partisian.

n=500

Dengan partisian sebanyak 500 buah, terlihat hampir seluruh daerah dibawah kurva terhitung,akan tetapi jika dilihat dengan lebih teliti,masih terlihat daerah yang tidak terhitung.

Berikut perbandingan luas daerah berdasarkan pertambahan jumlah partisiannya:

n

A

10

32.50

50

35.20

100

35.52

200

35.68

500

35.77

Berdasarkan perhitungannya,hasil dari –x^2+5x+3 dengan batas bawah 0 dan batas atas 5 adalah 35.83, sedangakan jika dihitung dengan polygon dalam didapatkan hasil 35.77, sehingga selisih antara keduanya tidak terlalu jauh yaitu 0.06 , sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin banyak partisian maka luas daerah dibawah kurva yang dihitung akan semakin mendekati luas daerah kurva sebenarnya.

3. Poligon luar

Polygon luar adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan luas daerah dibawah kurva dengan membentuk partisian yang berbentuk persegi panjang sama halnya dengan polygon dalam. Akan tetapi prinsip kerja polygon luar berbeda dengan polygon dalam yaitu dengan membuat partisian berupa persegi panjang didaerah bawah kurva dan garis persegi panjang tersebut melewati garis kurva,jika kita menggunakan sedikit persegi panjang,maka akan semakin banyak daerah diluar kurva yang ikut terhitung,sehingga semakin banyak partisian maka jumlah daerah luar kurva yang terhitung semakin sedikit dan luasnya akan mendekati luas daerah kurva yang sebenarnya.

Untuk membuat polygon dalam kita harus membuat grafik fungsi terlebih dahulu seperti cara yang telah dijelaskan diatas,setelah itu masukkan kata “upper” dan akan langsung tampil “upperSum[ , , , ]” dan Tekan enter, kita dapat mengganti dengan fungsi yangkita inginkan, dapat kita ganti dengan batas wala interval dan dengan batas akhir interval, selanjutnya ganti dengan jumlah partisian atau persegi panjang yang kita inginkan.

Contoh:

· Function[ , , ]

Ganti dengan : Function[-x^2+5x+3, 0, 5]

Dan akan muncul grafik seperti ini

· Setelah itu upperSum[ , , , ]

Ganti dengan: upperSum[-x^2+5x+3, 0, 5, 10]

Dan akan tampil grafik seperti ini.

Dari grafik diatas kita terlihat bahwa dengan jumlah 10 persegi panjang,banyak daerah diluar kurva yang tak terhitung,coba kita bandingkan dengan jumlah partisian yang lebih banyak.

N=50

Dari gambar diatas,dengan jumlah partisian sebanyak 50 buah kita masih menemukan darerah dibawah kurva yang tidak terhitung.

N=100

Dari gambar diatas,masih terlihat daerah dibawah kurva yang tidak terhitung,namun daerah tersebut lebih sedikit dibanding dengan daerah yang di partisi dengan n=50.

N=200

Dengan partisian 200,terihat bahwa daerah yang tak terhitung semakin sedikit dibandingkan dengan 100 partisian.

N=500

Dengan partisian sebanyak 500 buah, terlihat hampir seluruh daerah dibawah kurva terhitung,akan tetapi jika dilihat dengan lebih teliti,masih terlihat daerah luar kurva yang terhitung.

Berikut perbandingan luas daerah berdasarkan pertambahan jumlah partisiannya:

n

A

10

38.75

50

36.45

100

36.14

200

35.99

500

35.90

4. Integral tentu

Integral taktentu merupakan sebuah operasi yang bersifat linier.Integral taktentu juga dikatakan sebagai antiturunan. Sebagai antiturunan, maka integral taktentu merupakan sebuah operasi invers dari turunan.

Untuk mengerjakan permasalah integral dengan geogebra dapat diselesaikan dengan cara:

· Ketiklah pada kotak inputnya “integral” maka akan keluar beberapa pilihan dan pilihlah “Integral[ ]”

· Gantilah function dengan fungsi yang diinginkan.

· Contoh: “Integral[ ]” ganti dengan Integral[ ]

Dan akan terlihat seperti ini:

5. Integral tak tentu

6. Luas daerah diantara 2 kurva

Dengan goegebra kita bias menghitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurva,cara nya tak jauh berbeda dengan cara menentukan luas daerah yang telah kita bahas diatas yaitu, buatlah 2 fungsi yang diinginkan, Buatlah sebuah fungsi misalkan fungsi tersebut sebagai f(x)

· Buatlah fungsi ke dua,misalkan fungsi tersebut sebagai g(x)

· Tulis, integralbetween[f-g,-3,1] pada input, tekan enter akan tampil berikut;

Dari gambar terlihat,bahwa luas daerah dibawah kurva sudah bisa langsung ditentukan.

7. Volume benda putar

Salah satu aplikasi integral yang sangat penting adalah

penghitungan volume benda putar. Hasil perputarannya tentu merupakan bangun berdimensi tiga, seperti kerucut, tabung, cakram.

Untuk menghitung volume benda putar,kita dapat menggunakan geogebra,yaitu dengan cara:

· Masukkan kedalam kolom input fungsi yang akan diputar

· Cerminkan terhadap sumbu-x dengan klik tanda pencerminan

· Pilih ellipse, dan sesuaikan titiknya dan klik sehingga didapat

· Integral[*f^2,0,2] tekan enter sehingga didapat hasil luasnya