FUNGSIFUNGSI

Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

RELASI DAN FUNGSI

Kompetensi Dasar :Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

Indikator :1.Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan

jelas2.Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan

contohnya

RELASI DAN FUNGSI

Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :1.Diagram panah2.Himpunan pasangan berurutan3.Diagram Cartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil, sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan:a.Diagram panahb.Himpunan pasangan berurutanc.Diagram Cartesius

RELASI DAN FUNGSI

Jawab:a. Diagram panah

“banyak roda dari”

1◦2

3 ◦4

5 ◦

• becak• mobi

l• seped

a

• moto

r• bemo

A B

c. Diagram Cartesius

b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)

(3, bemo), (4, mobil )}

X

Y

O 1 2 3

bemo

motorsepeda

mobil

becak

4

•

•

•

••

Beberapa cara penyajian fungsi :

Dengan diagram panah f : D K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya,

un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n

un = a r n -1

Dengan diagram Kartesius Himpunan pasangan berurutan Dalam bentuk tabel

RELASI DAN FUNGSI

Contoh : grafik fungsi

4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2.

– 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2.

Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja.

Gambarlah grafik sebuah fungsi : f : x f(x) = x2

dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}.

(2,4)(–2,4)

XO

(1,1)(–1,1)

(0,0)

Y

RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

Dengan diagram panah

-2 ◦-1 ◦0 ◦1 ◦2 ◦

◦ 0

◦ 1

◦ 4

Dalam bentk himpunan pasangan terurut fungsi di

atas ,disajikan sebagai berikut.{(-2,4),(-1,1),(0,0).(1,1)(2,4)}

4

3

2

1

◦ (-2,4) ◦ (2,4)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y

X

Dengan diagram kartesius:

Mhggfvkjhljhxstfg

Beberapa Fungsi Khusus

1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x)

5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b x < b + 1, b bilangan bulat, xR}

Misal, jika 2 x < 1 maka [[x] = 2 6). Fungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan

RELASI DAN FUNGSI

Jenis Fungsi

1. Injektif ( Satu-satu)Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).

2. Surjektif (Onto)Fungsi f: AB maka apabila f(A) B dikenal fungsi into.

Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif.

Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka

“f adalah fungsi yang bijektif”

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

FUNGSI LINEAR

1.Bentuk Umum Fungsi Linear Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan

Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta

2. Grafik Fungsi Linear

Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 :

1. Dengan tabel

2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Contoh :Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal

a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.

Jawab a. Ambil sembarang titik pada domain

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

{x \-1 x 2, x R}.

-1 0 1 2X

2-6 -2Y = 4x-2 6

Adaptif

FUNGSI LINEAR

b.

X-2 O

Y

-1

-6

-2

1

2

2

6

•

•

•

•

c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )

y = 4x – 2

0 = 4x - 2

2 = 4x

x = 2

1

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2

y = 4(0) – 2 y = -2

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)

Adaptif

FUNGSI LINEAR

3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien :

(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=

(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya

adalah m =

b

a

12

12

xx

yy

Contoh :1. Tentukan gradien persamaan garis berikut

a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 7

2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Jawab :

1a. Y = 3x – 4

gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5

m = = - b

a5

2

2. m =

=

=

= 1

12

12

xx

yy

)2(1

36

21

36

Adaptif

FUNGSI LINEAR

4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m

adalah y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

= 12

1

xx

xx

12

1

yy

yy

Contoh 1 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2))

y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Contoh 2 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

12

1

yy

yy

Jawab :

=

=

=

3(y – 3) = 1(x + 2)

3y – 9 = x + 2

3y - x – 11 = 0

12

1

xx

xx

34

3

y

21

2

x

1

3y3

2x

Adaptif

FUNGSI LINEAR

5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2

Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - 21m

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Jawab :1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0

maka

Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0

Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0

2

1

2

11

b

am

21 mm

2

12

11 m

Adaptif

FUNGSI LINEAR

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = -½ (x + 3)

y – 5 = -½x -

2y – 10 = -x – 3

x + 2y – 10 + 3 = 0

x + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

23

61

b

am

2

1

2

111

1221

m

mmm

2

3

FUNGSI KUADRAT

1.Bentuk umum fungsi kuadrat y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c R dan a 0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Berdasarkan nilai a

(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat

memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik

minimum.

(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat

memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik

maksimum.

FUNGSI KUADRAT

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang

berbeda.

(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung

sumbu X.

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

X(i) X

(ii)X(iii)

a > 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0D > 0

a < 0D = 0

X

(vi)a < 0D < 0

FUNGSI KUADRAT

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik

• Persamaan sumbu simetri adalah x =

• Koordinat titik puncak / titik balik adalah

(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)

FUNGSI KUADRAT

a

b

2

a

D

a

b

4,

2

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.

Jawab :

(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

x2 – 4x – 5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x = -1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).

(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5

y = -5

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

9)1(4

))5)(1(4)4((

4

22

4

)1(2

)4(

22

a

Dy

a

bx

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).

(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.

Jadi, titik bantunya (1, -8).

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Grafiknya :Y

X -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9 •

••

•

•

•

•

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)

Jawab:

f(x) = ax2 + bx + c

f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4

a + b + c = -4 . . . 1)

f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3

0 + 0 + c = -3

c = -3 . . . 2)

f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5

16a + 4b + c = =5 . . . 3)

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Substitusi 2) ke 1)

a + b – 3 = -4

a + b = -1 . . . 4)

Substitusi 2) ke 3)

16a + 4b – 3 = 5

16a + 4b = 8 . . . 5)Dari 4) dan 5) diperoleh :

a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1

Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2

Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .

)2

)(1

()( xxxxaxf

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan

memotong sumbu Y di titik (0,3)

Contoh :

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Jawab :

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)

Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :3 = a(0 - 1)(0 + 3)3 = -3a a = -1Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

32)( 2 xxxf

))(()( 21 xxxxaxf

)3)(1(1)( xxxf

32)( 2 xxxf

)32(1 2 xx

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.

pp yxxaxf 2)()(

FUNGSI KUADRAT

f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = -1

Jawab :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)

Contoh :

FUNGSI EKSPONEN

D = domain

f(x) =2XX

2– 3

2–2

2– 1

20

21

22

23

...

– 3 –2 – 1

0 1 2 3

...

n 2n

K = kodomain

Adaptif

FUNGSI EKSPONEN

Grafik f: x f(x) = 2x

untuk x bulat dalam [0, 5]

adalah:x2

XO

Y

(0,1)(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

x 0 1 2 3 4 5

F(x)=2x 161 2 4 8 32

Adaptif

FUNGSI EKSPONEN

x

21

x

21

X2 X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x) =x

21

÷÷ø

öççè

æ) =

f(x)= 2

Grafik f(x) = dan g(x) =

x

X2

X2

FUNGSI EKSPONEN

Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

Grafik f: x 2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x

merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X

(nilai fungsi senantiasa positif)

Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

untuk berbagai nilai x real

Sifat

x

21

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x) =x

21

÷÷ø

öççè

æ) =

f(x)= 2x x

2

1

x

2

1

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi

eksponen.

xxf a log)(

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :

Untuk a > 1, a R

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai berikut :

xy a log

xay

o

Y

X

xy a log

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 1 :

Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen

a. 8 = 23

b. ¼ = 2-2Jawab :a. 8 = 23 2 log 8 = 3b. ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2

Contoh 2 :Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang

ekuivalena. 4 = 2 log 16b. -6 = 2 log Jawab :

a. 4 = 2log 16 24 = 16 b. -6 = 2log 2-6 =

64

1

64

1

64

1

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 3 :

Jawab :Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel

berikut.

Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2

x

¼

½

1

2

4

8

f(x) = 2 log x+2

0

1

2

3

4

5

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Grafiknya

Y

XO

2log)( 2 xxf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 -2

1

2

3

4

5

6

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = sin x

amplitudo

1 periode

FUNGSI TRIGONOMETRI

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = 2 sin x

2

-2

Periode 3600

Amlpitudo 2

Y=sin x

FUNGSI TRIGONOMETRI

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Y=sin x

450 1350 2250 3150

pereode

amplitudo

Grafik y = sin 2x

FUNGSI TRIGONOMETRI

-900

1

-1

00 900 1800 2700

Grafik y = cos x

amplitudo

1 periode

FUNGSI TRIGONOMETRI

-900

Grafik y = 2cos x

-900

1

-1

00 900 1800 2700

2

-2Y=cos x

amplitudo

periode

FUNGSI TRIGONOMETRI

Hal.: 50 Isi dengan Judul Halaman Terkait

Judul Halaman

Isi Presentasi 2

Hal.: 51 Isi dengan Judul Halaman Terkait

Judul Halaman

Isi Presentasi 3