1

STATISTIKA

NONPARAMETRIK (3)

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

6.UJI KOLMOGOROV – SMIRNOV

Untuk menguji apakah data berdistribusi tertentu.

Ekivalen dengan Uji 2 ( Goodness Of Fit ) dalam Statistik

Uji Parametrik.

104

LT

Sa

rvia/2

01

2

2

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV :

1. Struktur Hipotesis : H0 : data tersebut mengikuti distribusi ................

H1 : data tersebut tidak mengikuti distribusi ................

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji

Kolmogorov – Smirnov ( Leland Blank, Tabel B–7, hal

635 )

3. Statistik Uji : Uji Kolmogorov–Smirnov

Urutkan data pengamatan ( nilai rata-rata ) dari

terkecil sampai terbesar.

Hitung nilai S(x), dimana Catatan :

Jika terdapat 2 atau lebih nilai rata-rata X yg sama, maka nilai

S(x) yg digunakan adalah nilai S(x) maksimum.

n

i (x) S

10

5

LT

Sa

rvia/2

01

2

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV : (2)

Hitung nilai F(x) pada masing-masing nilai rata-rata

(X), dimana rumus F(x) yang digunakan disesuaikan

dengan bentuk distribusi yg dihipotesiskan.

Hitung nilai S(x) – F(x) pada masing-masing nilai X.

Tentukan nilai Statistik Uji :

d = max { S(x) – F(x) }

4. Wilayah Kritis : Bandingkan nilai d dengan Do pada

Tabel B–7 ( Leland Blank, hal. 635 )

Do

Wilayah Kritis : d > Do

5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

10

6

LT

Sa

rvia/2

01

2

3

CONTOH SOAL

13. Berikut sampel berat sabun cuci yang diproduksi PT Wonder

(angka dalam gram). Manajer produksi ingin mengetahui

apakah data di atas berasal dari populasi (seluruh produk

sabun cuci PT Wonder) yang berdistribusi normal dengan = 203,9 dan =2,69 ? a =0,05

107

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Berat 200,5 203,9 204,4 204,4 205,6 205,7 207,1 208,8 208,9

No 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Berat 205,5 200,7 200,8 200,9 201,6 201,9 202,5 203,1 205,6

LT

Sa

rvia/2

01

2

JAWAB :

a. Struktur Hipotesis : H0: data tersebut mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69

H1: data tersebut tidak mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69

b. Taraf nyata : a = 0,05

c. Statistik Uji : Uji Kolmogorov – Smirnov

108

LT

Sa

rvia/2

01

2

4

105,0)(max

006,0117,0111,0)(

117,0)()(

19.169,2

9,2037,200

-x z : Normal Distribusi

0,111 18

2

n

i (x) S

xFxSd

xFxS

zPxFJadi

z

Contoh Perhitungan: un2uk data ke–9

109

)( xFxS

Urutkan data dari terkecil sampai terbesar

LT

Sa

rvia/2

01

2

No Berat (x) S(x) z F (x) = P(Z) S(x)-F(x)

1 200.5 1/18 0.056 -1.264 0.103 -0.048 0.048

2 200.7 2/18 0.111 -1.190 0.117 -0.006 0.006

3 200.8 3/18 0.167 -1.152 0.125 0.042 0.042

4 200.9 4/18 0.222 -1.115 0.132 0.090 0.090

5 201.6 5/18 0.278 -0.855 0.196 0.082 0.082

6 201.9 6/18 0.333 -0.743 0.229 0.105 0.105

7 202.5 7/18 0.389 -0.520 0.301 0.088 0.088

8 203.1 8/18 0.444 -0.297 0.383 0.061 0.061

9 203.9 9/18 0.500 0.000 0.500 0.000 0.000

10 204.4 11/18 0.611 0.186 0.574 0.037 0.037

11 204.4

12 205.5 12/18 0.667 0.595 0.724 -0.057 0.057

13 205.6 14/18 0.778 0.632 0.736 0.041 0.041

14 205.6

15 205.7 15/18 0.833 0.669 0.748 0.085 0.085

16 207.1 16/18 0.889 1.190 0.883 0.006 0.006

17 208.8 17/18 0.944 1.822 0.966 -0.021 0.021

18 208.9 18/18 1.000 1.859 0.968 0.032 0.032

Wilayah Kritis : d > Do Tabel K – S (Leland

Blank, Tabel B–7, halaman 635 )

0,309

0,105

Karena : d > Do ( 0,105 < 0,309 )

•Keputusan : Terima H0

•Kesimpulan : data sampel berat sabun cuci tersebut mengikuti

distribusi normal = 203,9 dan =2,69 pada taraf nyata 0,05

11

0

LT

Sa

rvia/2

01

2

5

TABEL KOLMOGOROV SMIRNOV

111

LT

Sa

rvia/2

01

2

n a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01

1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929

3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829

4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734

5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669

6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617

7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576

8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542

9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513

10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486

11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468

12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449

13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432

14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418

15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404

16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392

17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381

18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371

19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361

20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352

21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344

22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337

23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330

24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323

25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317

n a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01

26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311

27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305

28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300

29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295

30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290

35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269

40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252

45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238

50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226

55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216

60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207

65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199

70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192

75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185

80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179

85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174

90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169

95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165

100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161

Pendekatan 1,07/√n 1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n 1,63/√n

SOAL

Sebuah peternakan ayam ingin mengetahui bentuk distribusi dari

produksi telur ayam tiap bulan dari tiap induk ayam yang dimiliki.

Untuk menjawab hal tersebut, dilakukan pengumpulan data selama 15

bulan produksi. Data hasil pengamatan tersebut adalah :

Berdasarkan data tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa produksi telur

ayam per bulan dari peternakan ayam tersebut mengikuti distribusi

uniform dengan perkiraan produksi telur 251 s/d 270? (a = 0,05)

112

LT

Sa

rvia/2

01

2

247 258 261 252 258 265 267 256 273 267 272 261 280 267 270

6

7. UJI KOEFISIEN KORELASI

PERINGKAT SPEARMAN

Untuk menguji apakah ada hubungan korelasi antara

variabel X dengan Y ( untuk menguji konsistensi )

Digunakan untuk mencari hubungan atau untuk menguji

signifikansi hipotesis asosiatif bila masing-masing variabel

yang dihubungkan berbentuk ordinal, dan sumber data

antar variabel tidak harus sama.

Koefisien korelasi :- 1 < r < 1

113

LT

Sa

rvia/2

01

2

DATA ORDINAL

114

Data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di

antara data tersebut terdapat hubungan. Angka mengandung pengertian

tingkatan.

CIRI :

• Data mempunyai tingkatan atau jenjang

• Tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)

CONTOH : Kepuasan kerja,motivasi ranking 1, 2, dan 3. Ranking 1 menunjukkan lebih

tinggi dari ranking 2 dan 3.

Direktur = 1, Manajer = 2, Karyawan = 3

1 + 1 = 2

Direktur+Direktur= Manajer???

LT

Sa

rvia/2

01

2

7

Jika titik-titik tepat

pada satu garis namun

mengumpul mendekati

satu garis

r mendekati ± 1

hubungan ± kuat namun

tidak sempurna

Y

X

r > 0

r < 0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x x

x

115

LT

Sa

rvia/2

01

2

116

r = – 1 : punya hubungan korelasi linear negatif yang sempurna (sangat kuat )

semua titik terletak pada satu garis

r = + 1 : punya hubungan korelasi linear positif yang sempurna ( sangat kuat )

semua titik terletak pada satu garis

r = 0 : tidak ada hubungan korelasi linear antar variabel tersebut

titik – titik menyebar atau tidak ada suatu kecenderungan

LT

Sa

rvia/2

01

2

8

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN

KORELASI PERINGKAT SPEARMAN :

1. Struktur Hipotesis

H0 : r S = 0

H1 : r S > 0 konsisten ( searah )

r S < 0 konsisten ( berlawanan )

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel

Koefisien Korelasi Peringkat Spearman ( Walpole, Tabel

A.14, halaman 488 )

3. Tentukan variabel X dan Y ( dalam penentuan variabel X

dan Y, boleh bebas )

4. Tentukan ranking terkecil sampai terbesar untuk

masing-masing variabel X dan Y

5. Hitung selisih ranking variabel X dan Y untuk

masing-masing pasangan X dan Y, yang dilambangkan

dengan d i

117

LT

Sa

rvia/2

01

2

6. Hitung d i 2

7. Hitung nilai Statistik Uji r S

) 1 - n (n

d 6

- 1 r2

n

1 i

2i

S

n = banyaknya data atau pasangan data

8. Wilayah Kritis :

Jika : H1 : r S > 0 maka Wilayah Kritis : r S ≥ r a

H1 : r S < 0 maka Wilayah Kritis : r S ≤ - r a

9. Keputusan

10. Kesimpulan Hipotesis

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN

KORELASI PERINGKAT SPEARMAN (2):

118

LT

Sa

rvia/2

01

2

9

CONTOH SOAL

14. Sebuah perusahaan asuransi di Jakarta telah

menyelenggarakan kursus penyegaran penjualan yang

dimaksudkan untuk meningkatkan prestasi para

wiraniaganya. Beberapa kelas telah menyelesaikan

kursus tersebut. Dalam memperkirakan nilai program

tersebut, Manajer pelatihan penjualan ingin menentukan

apakah ada hubungan antara prestasi dalam

program dengan prestasi dalam menghasilkan

penjualan tahunan setelah menjalani kursus. Tabel

berikut ini menunjukkan data yang dikumpulkan oleh

manajer pelatihan penjualan dari 11 lulusan program.

119

LT

Sa

rvia/2

01

2

Tabel Data dari 11 orang yang lulus program

120

Wiraniaga Prestasi

Kursus

Penjualan

Tahunan (#)

Stella 38 4.000

Piere 40 6.000

Deni 55 1.000

Wulandari 60 2.000

Sari 62 7.000

Oky 63 10.000

Asrul 67 3.000

Rani 70 5.000

Susan 75 8.000

Synthia 88 9.000

Yusraini 90 110.000

LT

Sa

rvia/2

01

2

10

JAWAB :

121

1. Koefisien Korelasi Peringkat : X Prestasi Kursus

Y Penjualan Tahunan (#)

Wiraniaga

Prestasi Rank Penjualan Rank

Kursus Prestasi Tahunan (#) Penjualan di =rank X - rank Y di2 X Kursus Y (#)

Stella 38 1 4000 4 -3 9

Piere 40 2 6000 6 -4 16

Deni 55 3 1000 1 2 4

Wulandari 60 4 2000 2 2 4

Sari 62 5 7000 7 -2 4

Oky 63 6 10000 10 -4 16

Asrul 67 7 3000 3 4 16

Rani 70 8 5000 5 3 9

Susan 75 9 8000 8 1 1

Synthia 88 10 9000 9 1 1

Yusraini 90 11 110000 11 0 0

Total 0 80

LT

Sa

rvia/2

01

2

0,6360,364-1 ) 1 - 11 ( 11

80 * 6 - 1

) 1 - n (n

d 6

- 1 r22

n

1 i

2i

S

r S = 0, 636 menunjukkan bahwa adanya korelasi antara prestasi kursus

dengan prestasi penjualan tahunan (#)

122

LT

Sa

rvia/2

01

2

11

CONTOH SOAL MENGUJI SIGNIFIKANSI

15. Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk

menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik

seperti yang diisyaratkan oleh rs . Karena manajer

pelatih berkeyakinan bahwa kursus tersebut akan

meningkatkan kemampuan menjual, maka pengujian

satu-arah ke kanan dapat dilakukan, dan hipotesis

alternatifnya akan menyatakan adanya hubungan positif

antara prestasi kursus dengan prestasi penjualan yaitu

H1 : rs >0. Ujilah hipotesis tersebut. Gunakan Taraf

nyata 0,05.

123

rs LT

Sa

rvia/2

01

2

MENGUJI SIGNIFIKANSI 15.

Struktur Hipotesis

H0 : r S = 0

H1 : r S > 0 konsisten ( searah )

Tentukan nilai a =0.05

Statistik Uji :Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman

r S = 0,636

Wilayah Kritis : r S ≥ r a

a = 0,05

n = 11

Keputusan :Tolak H0 ( r S ≥ r a 0,636 > 0,523 )

Kesimpulan : bahwa Keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan prestasi

penjualan wiraniaga memberikan hasil yang konsisten (satu arah ke kanan), pada taraf

nyata 0,05.

atau adanya hubungan statistik antara keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan

prestasi penjualan setelah mengikuti kursus tersebut pada taraf nyata 0,05

r a = 0,523

124

rs

Tabel A.14 Walpole

LT

Sa

rvia/2

01

2

12

Catatan Uji Koefisien Korelasi

Peringkat Spearman :

Jika : n > 30 , maka digunakan pendekatan

Normal, sehingga :

r s = 0

1 -n

1 σ sr

1 -n r

1 -n 1

0 -r Z S

S

125

LT

Sa

rvia/2

01

2

ISTILAH-ISTILAH PENTING

Statistika Nonparametrik : statistik yang

tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang

distribusi.

Uji Tanda (Sign Test) : Uji yang didasarkan

pada tanda negatif dan positif dari perbedaan

antara pasangan data ordinal.

Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon : pengujian

yang dilakukan jika besaran maupun arah

perbedaan relevan untuk menentukan apakah

terdapat perbedaan yang sesungguhnya antara

pasangan data yang diambil dari satu sampel

atau dua sampel yang saling terkait. 126

LT

Sa

rvia/2

01

2

13

ISTILAH-ISTILAH PENTING (2)

Uji Mann-Whitney : pengujian dimana yang diuji

hipotesis nol yang mengatakan bahwa tidak ada

perbedaan yang sesungguhnya antara kedua

kelompok data, atau data tersebut diambil dari dua

sampel yang tidak saling terkait.

Uji H Kruskall Wallis : untuk menguji apakah k sampel

independen ( dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.

127

LT

Sa

rvia/2

01

2

ISTILAH-ISTILAH PENTING (2)

Uji Runtunan/deret (Runs Test) : Uji untuk

menentukan apakah keacakan akan terjadi atau

apakah terdapat suatu pola yang mendasari urutan

data sampel.

Uji Kolmogorov smirnov : untuk menguji apakah

data berdistribusi tertentu.

Koefisien korelasi peringkat spearman : ukuran

erat tidaknya kaitan antara dua variabel ordinal.

128

LT

Sa

rvia/2

01

2

14

UJI TANDING DARI

Wilcoxon Sign Rank Test Uji T berpasangan

Wilcoxon Rank Sum Test Uji T 2 populasi

Kruskall-Wallis Test Uji F

129

LT

Sa

rvia/2

01

2

PERSAMAAN SIGN TEST DAN WILCOXON

SIGN RANK TEST :

Keduanya digunakan untuk menguji rata-rata 1

populasi dan populasi

130

LT

Sa

rvia/2

01

2

15

KESIMPULAN

Kegiatan peneliti seringkali terganggu karena data yang tersedia untuk analisis tidak mempunyai “sifat” kuantitatif yang pasti. Misalnya, data tersebut mungkin diperoleh hanya dari jumlah sampel yang kecil, dan barangkali bentuk distribusi populasi dan pengaruhnya terhadap distribusi sampel tidak diketahui. Apabila masalah semacam itu timbul, maka metode nonparametrik digunakan. Dalam hal ini, kita baru membahas sebagian kecil dari metode nonparametrik yang lazim digunakan.

131

LT

Sa

rvia/2

01

2

SOAL

Jika anda seorang konsultan statistik dan anda

diminta untuk menguji apakah ada kaitan

antara prestasi kerja dengan nilai masuk kerja.

Untuk itu anda melakukan pengambilan sampel

secara acak dari karyawan yang bekerja pada

perusahaan klien anda sebanyak 10 orang dan

diperoleh data peringkat karyawan yang terkena

sampel sbb :

132

LT

Sa

rvia/2

01

2

16

No Peringkat Prestasi

Kerja

Peringkat Tes

Masuk

1 5 6

2 10 9

3 6 4

4 3 2

5 4 5

6 2 1

7 7 8

8 1 3

9 8 10

10 9 7

133

Kesimpulan apakah yang bisa ditarik pada taraf nyata 0,05?

LT

Sa

rvia/2

01

2

DAFTAR PUSTAKA

J.Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi, Edisi

keenam, Jilid 2, Penerbit Erlangga,2001

134

LT

Sa

rvia/2

01

2

17

135

Thank You

LT

Sa

rvia/2

01

2