65 soal dengan pembahasan, 315 soal latihan · pdf filelimit www. matikzone.wordpress.com 2....
TRANSCRIPT
April 2012
65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Galeri Soal
Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd
Email : [email protected] Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
MatikZone’s Series
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya
1.
Dari gambar di samping, tentukan: a). )(lim
2xf
x −→, )(lim
2xf
x +→ dan )(lim
2xf
x→jika ada.
b). )(lim
5xf
x −→, )(lim
5xf
x +→ , dan )(lim
5xf
x→ jika ada.
Jawab:
Limit kanan dan limit kiri *) Lxf
ax=
+→)(lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x)
mendekati L. *) Lxf
ax=
−→)(lim , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x)
mendekati L. Definisi limit Lxf
ax=
→)(lim (ada) ⇔ =
+→)(lim xf
axLxf
ax=
−→)(lim
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa:
a). 3)(lim
2
=−→
xfx
dan 3)(lim2
=+→
xfx
maka 3)(lim2
=→
xfx
b). 3)(lim
5
=−→
xfx
dan 4)(lim5
=+→
xfx
, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka
)(lim5
xfx→
Tidak Ada
2 5
4
3
x
y f(x)
a
L
x
y f(x)
kiri kanan
Limit www.matikzone.wordpress.com
2. Jika diketahui ( )
≥+<−
=2;32;14
2 xjkxxjkx
xf maka tentuka nilai dari )(lim2
xfx −→
, )(lim2
xfx +→
,
dan )(lim2
xfx→
Jawab:
• 71812.414lim)(lim22
=−=−=−−
=− →→
xxfxx
(limit kiri, dari kiri, digunakan
fungsi pertama) • 734323lim)(lim 22
22
=+=+=++
=+ →→
xxfxx
(limit kanan, dari kanan,
digunakan fungsi kedua) • 7)(lim
2=
→xf
x (limit kiri = limit kanan)
3. Tentukan nilai limit dari:
a). 788lim9→x
c). ( )65lim3
−→
xx
e). 22
lim2 +
−→ x
xx
b). xx
7lim8→
d). 165
lim3 +
−−→ x
xx
f). 4
8lim
4 +−
−→ xx
x
Jawab: Untuk )(lim xf
ax→ diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh
ditinggalkan) Ø Jika f (a) = c maka )(lim xf
ax→= c
Ø Jika f (a) = 0c
maka )(lim xfax→
Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga
(cek grafik)
Ø Jika f (a) = c0
maka 0)(lim =→
xfax
Ø Jika f (a) = 00
maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.
Sehingga:
a). 788788lim
9=
→x
b). 568.77lim8
==→
xx
c). ( ) 961563.565lim3
=−=−=−→
xx
d). 221
221
2615
136)3(5
165
lim3
=−
−=
−−−
=+−−−
=+−
−→ xx
x
e). 040
2222
22
lim2
==+−
=+−
→ xx
x
f). ( )
012
4448
48
lim4
=+−−−
=+−
−→ xx
x Tidak ada (berdasar grafik)
Limit www.matikzone.wordpress.com
4. Penyelesaian dengan faktorisasi
a). 00
62.5222
652
lim222
=+−
−=
+−−
→ xxx
x BTT, maka
( )( ) ( )
11
132
13
1lim
322
lim65
2lim
2222−=
−=
−=
−=
−−−
=+−
−→→→ xxx
xxx
xxxx
b). ( )
00
651231
6)1(5)1(2)1(31
6523
lim2
2
2
2
1=
−++−
=−−−−+−+−
=−−++
−→ xxxx
x BTT, maka
( )( )( )( )
( )( ) 7
17
16121
62
lim6121
lim6523
lim112
2
1−=
−=
−−+−
=−+
=−+++
=−−++
−→−→−→ xx
xxxx
xxxx
xxx
c). 00
0.70.20.30.50
7235
lim2
23
2
23
0=
−+−
=−
+−→ xx
xxxx
BTT, maka
( )
( )( )
( ) 23
0.7230.50
7235
lim72
35lim
7235
lim2
0
2
02
23
0=
−+−
=−
+−=
−+−
=−
+−→→→ x
xxxx
xxxxx
xxxxxx
d). ( )( )
( )( ) 38
1222.32
123
lim12
232lim
2248
lim2
2
2
2
22
2
223
23
2=
−−+
=−
−+=
−−−+−
=+−−+−+
→→→ xxx
xxxxx
xxxxxx
xxx
e). ( )( )( )
( )( )16444
lim1644
4lim
644
lim242434 ++−
−−=
++−−
=−−
→→→ xxxx
xxxx
xx
xxx
( ) 481
164.441
1641
lim224
−=++
−=++
−=→ xxx
f).
( )( )
( )( )( )( ) 32
964lim
323296432
lim3232
lim94
278lim
2
23
2
2322
33
232
3
23 +
++=
+−++−
=−−
=−
−→→→→ x
xxxx
xxxxx
xx
xxxx
21
329
627
33999
323
.2
923
.623
.42
===+
++=
+
+
+
=
5. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)
a). 00
22183
2143
lim2
=−
+−=
−+−
→ xx
x BTT, maka
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( ) 32
64
334
12.434
1434
lim
143224
lim1432
48lim
1432
149lim
143
1432
143lim
2143
lim
2
22
222
−=−=+
−=
++−
=++
−=
++−−−
=++−
−=
++−
+−=
++
++⋅
−+−
=−
+−
→
→→
→→→
x
xxx
xxx
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
Limit www.matikzone.wordpress.com
b). 00
32122
lim3
=−−
−−+→ xx
xxx
BTT, maka
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )
( )( )
( )53
5232
5533
13.223333.2
12232
lim
3122323
lim
)(32122323
lim
3232
.12232
3lim
122323
lim
12232)12()2(
lim
122122
.32
122lim
32122
lim
3
3
3
3
3
3
33
−=−=++−
=−++
+−−=
−+++−−
=
−−+++−−−
=
−−−+++−+−
=
+−+−
−++−−+−
=
−++−−+−
=
−++−−−−+
=
−++−++
−−−−+
=−−
−−+
→
→
→
→
→
→
→→
xxxx
xxxxxx
xxxxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
xx
c).
( )( )716
749lim
74
74.
74
9lim
74
9lim 2
22
32
2
2
2
32
2
3 +−++−
=++
++
+−
−=
+−
−−→−→−→ x
xx
x
x
x
x
x
xxxx
( )( ) ( ) 84479474lim9
749lim 2
32
22
3=+=++=++=
−++−
=−→−→
xx
xxxx
(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)
6. .....
13
11
lim31
=
−−
−→ xxx
Jawab:
( )( )( )
( )( )( )
++−−++
=
−
−++−
++=
−−
− →→→ 2
2
132
2
131 1131
lim1
311
1lim
13
11
limxxx
xxxxxx
xxxx xxx
( )( )( )( )
( )( )( )
( ) 133
11121
12
lim
1112
lim11
2lim
221
212
2
1
==++
+=
+++
=
++−−+
=
++−
−+=
→
→→
xxx
xxxxx
xxxxx
x
xx
Dikali sekawan pembilang
Dikali sekawan penyebut
Jika disubtitusi, masih didapat 0/0
( )( )2233 babababa ++−=−
Limit www.matikzone.wordpress.com
7. .....
11lim
3 2
2
0=
+−→ x
xx
Jawab:
( )( )( )
( )( )2
23 23 22
023 23 2
23 23 2
3 2
2
03 2
2
0 11
111lim
111
111.
11lim
11lim
x
xxx
xx
xx
x
x
x
xxxx +−
++++
=
++++
++++
+−=
+− →→→
( )
( )( ) 3111
111lim111
lim2
3 23 2
02
23 23 22
0
−=++−=
++++−=
−
++++
=→→
xxx
xxx
xx
8. Jika )32(lim)1(lim −=+→→
xxnxnx
, maka tentukan nilai dari )16(lim 2 −→
xnx
Jawab:
4321)32(lim)1(lim =⇒−=+⇒−=+→→
nnnxxnxnx
maka
01616164)16(lim)16(lim 22
4
2 =−=−=−=−→→
xxxnx
9. Jika 73
10252
lim2
2
2=
−+++
−→ axxxx
x, maka nilai a adalah …
Jawab:
10252
lim2
2
2 −+++
−→ axxxx
x, karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai
limitnya adalah 73
, maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh
( )
3
62210401022 2
−=⇒
−=⇒=−⇒=−−−
a
aa
a
10. 04
2222
22
lim2
=−+
=−+
→ xx
x berarti
22
lim2 −
+→ x
xx
tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:
( )( )( )( )
( )73
73
52122
512
lim52122
lim103
252lim
222
2
2
=−−
=−−
+−=
−+
=−+++
=−−
++−→−→−→ x
xxxxx
xxxx
xxx
Limit www.matikzone.wordpress.com
11.
014
9313.23
912
lim2
2
2
2
3=
−−+
=−
−+→ x
xxx
berarti 9
12lim
2
2
3 −−+
→ xxx
x tidak ada. Demikian juga
untuk 9
12lim
2
2
3 −−+
−→ xxx
x, karena
( ) ( )( ) 0
293
13239
12lim
2
2
2
2
3=
−−−−+−
=−
−+−→ x
xxx
. Grafiknya
adalah:
12. Untuk menentukan nilai )(lim xf
x ∞→ adalah dengan SUBTITUSI,
f(x)=(x+2)/(x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Limit kiri ≠ Limit kanan
Limit kiri ≠ Limit kanan
Limit www.matikzone.wordpress.com
Ø Jika =)(xf ±c∞
maka )(lim xfx ∞→
= ± ∞
Ø Jika =)(xf∞c
maka )(lim xfx ∞→
= 0
Ø Jika =)(xf∞∞
(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan
penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Ø Jika =)(xf ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Soal-soal:
a. 99lim =
∞→x
b. ∞=+∞=+
∞→9.292lim x
x
c. ∞=
+∞=
+∞→ 8
9.78
97lim
xx
d. 0
61
61
6lim
22=
∞=
+∞=
+∞→ xx
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.
a). ∞∞
=−+∞→ 13
2lim
2 xxx
x BTT maka
030
0030
1lim1lim3lim
2lim
113
2lim
13
2
lim13
2lim
22222
2
2
2
==−+
=
−+=
−+=
−+=
−+∞→∞→∞→
∞→
∞→∞→∞→
xx
x
xx
x
xxx
xx
xx
xxx
xxx
x
xxx
b). ∞∞
=−+∞→ 13
2lim
2
2
xxx
x BTT, maka
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)
adalah 2x , maka pembilang dan
penyebut dibagi dengan 2x
Lihat Teorema Limit
Limit www.matikzone.wordpress.com
32
0032
1lim1lim3lim
2lim
113
2lim
13
2
lim13
2lim
22222
2
2
2
2
2
=−+
=
−+=
−+=
−+=
−+∞→∞→∞→
∞→
∞→∞→∞→
xxxxxx
xxx
xx
xxx
xxx
x
xxx
c). ∞∞
=−+
+∞→ 13
52lim
2
3
xxxx
x BTT maka
14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan
variabel pangkat tertinggi.
a). ( ) ∞−∞=−+−+−∞→
274154lim 22 xxxxx
BTT, maka
( )( ) ( )
( )( ) ( )
34
1242
12004004
012
274154
312lim
274154
312lim
274154
312lim
274154
274154lim
274154
274154274154lim
274154lim
22
2222
2222
22
22
22
22
2222
22
−=−=−=
−+++−+−
=
−+++−
+−=
−+++−
+−=
−+++−
+−=
−+++−
−+−+−=
−+++−
−+++−⋅−+−+−=
−+−+−
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
xxxx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
3
3 2 2
222
2 2 2
2 5 522 5 0lim lim lim
1 13 13 1 3 0 03x x x
x xxx x x x x
x xx xx x
x x x
→∞ →∞ →∞
+ ++ ∞ += = = = ∞
+ − + −+ −+ −
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
22 44
12lim
xx
xx +
−∞→
VPT pembilang adalah x,
dan VPT penyebut 2x
(setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar
menjadi 2x ) Lihat catatan 2
Dikalikan sekawan
Limit www.matikzone.wordpress.com
b). ( ) ∞−∞=+−+∞→
36lim xxx
, BTT maka:
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
Ø Jika ......
)(1
1
++++
=−
−
nm
nn
qxpxbxax
xf
maka m
n
xx pxax
xf∞→∞→
= lim)(lim
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Ø Jika rqxpxcbxaxxf ++−++= 22)( maka )(lim xfx ∞→
<∞−
=−
>∞
=
pajk
pajka
qbpajk
,
,2
,
Ø Jika qpxbaxxf +−+=)( maka )(lim xfx ∞→
<∞−=
>∞
=pajk
pajk
pajk
,,0
,
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
6 3lim 6 3 lim 6 3
6 3
3lim
6 3
3lim
6 3
3lim
6 31 1
0
1 1
0
x x
x
x
x
x xx x x x
x x
x x
xx x
x x x x
x
x x
→∞ →∞
→∞
→∞
→∞
+ + ++ − + = + − +
+ + +
=+ + +
=+ + +
=+ + +
=+
=
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
a). 3
53
5lim
3
3
−=
−−
∞→ xxxx
x (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)
b). ( ) ( )34
68
92715
1792159lim 22 −=−
=−−−
=+−−+−∞→
xxxxx
( nilai a = p )
c). ( ) 05242lim =+−−
∞→xx
x ( nilai a = p )
16. Teorema Limit Untuk ∈n bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:
Soal-soal: a). a. 2525lim
6=
→x b. 3636lim
0=
→x c. 99lim
2=
−→x
b). 813lim 44
3==
→x
x
c). 572.5275lim 33
2=+−=+−
→xx
x
e). 10)2.(5lim55lim22
−=−==−→−→
xxxx
f). 6848204.34.53lim5lim35lim 22
44
2
4=+=+=+=+
→→→xxxx
xxx
g). 2848204.34.53lim5lim35lim 22
44
2
4−=−=−=−=−
→→→xxxx
xxx
h). ( )( ) ( ) ( ) 324.815lim.35lim1535lim1
2
1
2
1==−+=−+
→→→xxxxxx
xxx
i). ( )
( )( )
( ) 248
15lim
35lim
1535
lim1
2
12
1==
−
+=
−+
→
→
→ x
xx
xxx
x
x
x
j). ( ) ( )( ) ( ) 343721.525lim25lim 333
1
3
1==+=+=+
→→xx
xx
k). ( ) ( ) 3331
3
1721.525lim25lim =+=+=+
→→xx
xx
a. ccax
=→
lim
b. nn
axax =
→lim
c. )()(lim afxfax
=→
d. )(lim)(lim afcxcfaxax →→
=
e. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→
+=+
f. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→
−=−
g. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→
•=•
h. )(lim
)(lim
)()(
limxg
xf
xgxf
ax
ax
ax→
→
→=
; 0)(lim ≠
→xg
ax
i. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
→→=
j. nax
nax
xfxf )(lim)(lim→→
= ; 0)(lim ≥→
xfax
Limit www.matikzone.wordpress.com
l). ( )( ) 3
1007107525
7)5.(2)5.(3)5.(5
7lim2lim
3lim5lim
72lim
35lim
7235
lim2
222
5
−=
+−−−
=+−
−−−=
+
−=
+
−=
+−
∞→∞→
∞→∞→
∞→
∞→
−→xx
xx
x
x
x x
xx
x
xx
xxx
17. Limit Fungsi Trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus: Soal-soal:
a). 010
0cos0
coslim
0===
→ xx
x
b). 10121
cos21
sincossinlim21
=+=+=+→
πππ
xxx
c). 21.22
2sinlim.2
22
.2sin
lim2sin
lim0200
====→→→ x
xx
xx
xxxx
(jika 0→x maka 02 →x )
d). 00
2tan54sin3
lim0
=−+
→ xxxx
x BTT, maka
(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
37
2543
2tanlim5lim
4sinlim3lim
2tan5
4sin3
lim2tan5
4sin3lim
2tan54sin3
lim
00
00
000=
−+
=−
+=
−
+=
−
+=
−+
→→
→→
→→→
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xxx
e). 00
sin4cos1
lim0
=−
→ xxx
x BTT, maka
( )( ) ( )( )
( )
84.21
.4.1.1
4.
4cos11
.sin4
.4
4sin.
44sin
lim4.44.4
.4cos1
1.
sin4sin.4sin
lim
4cos1sin4sin
lim4cos1sin
4cos1lim
4cos14cos1
.sin
4cos1lim
sin4cos1
lim
00
2
0
2
000
==
+=
+=
+=
+−
=++−
=−
→→
→→→→
xx
xxx
xx
xx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xx
xxx
xxx
xx
xxxx
f). 00
2
coslim
2
=
−→ ππx
x
x BTT, maka Diketahui rumus trigonometri:
−= xx
2sincos
π
a. 1sin
limsin
lim00
==→→ x
xx
xxx
b. 1tan
limtan
lim00
==→→ x
xx
xxx
c. ba
bxax
bxax
xx==
→→ sinlim
sinlim
00
d. ba
bxax
bxax
xx==
→→ tanlim
tanlim
00
e. ba
bxax
bxax
xx==
→→ tansin
limsintan
lim00
Limit www.matikzone.wordpress.com
1
2
2sin
lim
2
2sin
lim
2
2sin
lim
2
2sin
lim
2
coslim
22222
−=−
−
−=−
−−
=−
−−
=−
−
=
− →→→→→ π
π
π
π
π
π
π
π
π πππππx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
g). 00coscos
lim =−−
→ axax
ax, BTT maka
( ) ( )( )
( )
aa
ax
axax
ax
axax
axax
axaxaxax
sin21
.sin2
21
sinlim.
21
sinlim221
sin21
sin2lim
coscoslim
−=−=
−
−+−=
−
−+−=
−−
→→→→
h). ( )
( ) ( ) 00
1tan11
lim2
23
1=
−+−++−
→ xxaxxax
x, BTT maka
( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )aa
xx
x
axx
xx
x
axx
xxxaxxx
xxxaxaxx
xxaxxax
xx
x
x
xxx
−=+−
=
−−
++
−=
−−
++
−=
−++−−−
=−++−
++−=
−+−++−
→−→
→
→
→→→
131
121
11tan
lim1lim
lim
11tan
1lim
1tan111
lim1tan11
1lim
1tan11
lim
011
1
1
1
2
12
23
1
i). 00
tantan11
tantanlim =
−+−
−→
yxyx
yx
yxyx
BTT maka
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
y
yxyx
y
yxyx
yyx
xyy
yx
yx
yyyx
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yxyx
yxyxyx
−=
−
−−=
−−
−=−
−=
−
−
=
+
−
−
=
−+−
−
→−
→→
→→→
tanlim
tanlimtanlim
tan1
limtantan1tantan
1
1lim
tantan11
tantanlim
0
Limit www.matikzone.wordpress.com
18.
Apakah fungsi 12)( += xxf , kontinu di x = 1 ? Jawab: Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. )(lim xf
ax→ ada
c. )(lim xfax→
= f (a)
Fungsi 12)( += xxf , kontinu di x = 1 karena ( ) ( )1312lim
1fx
x==+
→
19.
Apakah fungsi ( )
=
≠−−
=3;3
3;392
x
xxx
xf , kontinu di x = 3 ?
Jawab:
Fungsi ( )
=
≠−−
=3;3
3;392
x
xxx
xf maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena
a. 633)3(lim)3(
)3)(3(lim
39
lim33
2
3=+=+=
−+−
=−−
→→→x
xxx
xx
xxx
b. f(3) = 3 maka )3()(lim
3fxf
x≠
→
20. Tentukan nilai ( ) ( )
hxfhxf
h
−+→0
lim untuk fung[si 32)( xxf =
Jawab:
( ) ( ) 3223322333 26623322)(2)( hxhhxxhxhhxxhxhxfxxf +++=+++=+=+⇒=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2222
0
22
0
322
0
33223
00
6006266lim266
lim
266lim
22662limlim
xxhxhxh
hxhxhh
hxhhxh
xhxhhxxh
xfhxf
hh
hhh
=++=++=++
=
++=
−+++=
−+
→→
→→→
21. Tentukan nilai ( ) ( )
hxfhxf
h
−+→0
lim untuk fungsi xxxf 3)( 2 +=
Jawab:
xxxf 3)( 2 +=
Ciri: Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
Limit www.matikzone.wordpress.com
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) 3230232lim32
lim32
lim
3332lim
33limlim
00
2
0
222
0
22
00
+=++=++=++
=++
=
+−++++=
+−+++=
−+
→→→
→→→
xxhxhhxh
hhhxh
hxxhxhxhx
hxxhxhx
hxfhxf
hhh
hhh
22. Limit Barisan Bilangan
ex
x
x=
+
∞→
11lim.1
111lim.3 −
∞→=
− e
x
x
x
( ) ex xx
=+∞→
1
1lim.2
( ) 11
1lim.4 −
∞→=− ex x
x
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ...!3
1!2
1++ (bilangan Euler)
Soal-soal:
11111
11
1lim1
111
lim1
11lim
1lim. −
+
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→=
+−=
+−
++
=
+−+
=
+e
xxxx
xx
xx
ax
x
x
x
x
x
x
x
Atau
( )
( )
( )1
1111
1111
11
1lim1
11lim
11
1lim1
111
lim1
11lim
1lim
−
−+−
∞→
−+−
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
=
+−
+=
+−=
+−=
+−
++
=
+−+
=
+
exx
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( ) ( ) ( ) ( )( ) 33
313
31
13
.311
31lim31lim31lim31lim. −−
−∞→
−−
∞→
−−
∞→∞→=
−+=
−=−=− exxxxb x
xx
xx
xx
x
( )
( ) 4646
4
23
64
23
642
32
01.3
21lim.
32
1lim
32
13
21lim
32
1lim3
21lim.
−−
∞→
−
+
∞→
−
+
∞→
+−
+
∞→
−
∞→
=+=
++
++=
++
++=
++=
++
eexx
xxxxc
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Limit www.matikzone.wordpress.com
Bentuk Sekawan: a. ba − sekawannya ba + b. cba −+ sekawannya cba −− c. cba − sekawannya cba + d. dcba −++ sekawannya dcba −−+ e. cba −+ sekawannya cba ++ dan lain sebagainya..
Catatan: a. ( )( )bababa +−=− 22 b. ( )( )2233 babababa ++−=− c. ( )( )2233 babababa +−+=+
d. ( ) 222 2 bababa ++=+
e. ( ) 222 2 bababa +−=−
f. ( ) aaaa =⋅=2
g. ( ) babababa +=+⋅+=+2
Catatan 2:
a. ba
ba
= b. 22 xa
x
axa
== c. 44442 xb
xax
xbax
x
baxx
bax+=
+=
+=
+
dan lain- lain.
Keterangan: Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.
1. Jika ( )
>≤
=0;0;2
2 xjkxxjk
xf , tentukan: a. ( )xfx −→0
lim , b. ( )xfx +→0
lim , c. ( )xfx 0lim
→ jk ada.
2. Jika ( )
≥+<+
=1;41;23
xjkxxjkx
xf , tentukan: a. ( )xfx −→1
lim , b. ( )xfx +→1
lim , c. ( )xfx 1lim
→.
3. Jika ( )
>+≤+
=1;321;14
2 xjkxxjkx
xf , tentukan: a. ( )xfx −→1
lim , b. ( )xfx +→1
lim , c. ( )xfx 1lim
→.
4. Jika ( )
−>−=
−<−
=1;11;0
1;1
xjkxjk
xjk
xf , tentukan: a. ( )xfx −−→ 1
lim , b. ( )xfx +−→ 1
lim , c. ( )xfx 1lim
−→.
5. Ditentukan ( )
≥<≤−−
−<
=1;0
11;1
1;2
xjkxjkx
xjk
xf
Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. ( )xfx 1lim
−→ b. ( )xf
x 1lim
→
6. Tentukan nilai dari: a. 1lim1
−+→
xx
b. 2
1
lim xx +−→
c. 20
1lim
xx +→
7. Tentukan nilai dari: a. xx
4lim4−→
b. xx −−→ 2
lim c. xx 23
lim0−→
8. Diketahui fungsi ( ) xxf = . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit
kanan). a. ( )xfx 1lim
→ b. ( )xf
x 3lim
→ c. ( )xf
x 16lim
→ d. ( )xf
x 0lim
→
9. Selidikilah, apakah xx
1lim
0→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan).
10. Tentukan ( )xfx 2lim
−→ dan ( )xf
x 4lim
→ dari gambar berikut:
-2 4
1
3
2
x
y
( )xf
Limit www.matikzone.wordpress.com
Carilah Nilai Limit Berikut:
11. 1000lim5→x
12. 12345lim1→x
13. 52lim2
+−→
xx
14. 1053lim 2
0−+
→xx
x
15. ( )( )14lim3
+−−→
xxx
16. ( ) ( )[ ]35
3.74lim xxx
−−−→
17. 2
lim4 +→ x
xx
18.
−
+−
→ 3213
lim4 x
xxx
x
19. 4561053
lim3
2
0 −++−
→ xxxx
x
20. 10796
lim2 −
+→ x
xx
21. 114lim9
−→
xx
22. 7lim 2
4−
→x
x
23. 3
2
1
6lim
xx
x −−
→
24. 1
63lim 3
2
2 +++
→ xxx
x
25. 2
1lim
2 −→ xx
26. 242
4lim
24 −−+
→ xxx
x
27. 242
5lim
21 −−+
−→ xxx
x
28. 6
6lim
3 +−
−→ xx
x
29. x
xx
3lim
3
−→
30.
−+
−→ x
xx
xx 76
232lim
2
31.
++
+−→145
589
lim2
xx
xx
32. ( )( )
1253
lim5 −
−−→ x
xxx
33. ( )( )
xxxx
x 52253
lim7 ++
−−→
34. 12615
453lim
1 −−−+++
→ xxxx
x
35. ( )5528lim4
+−+−−→
xxx
36. ( )342232lim 22
3+−−−+
→xxxx
x
37. 12
9lim
−+
→ xx
ax
38. mx
mx
7lim
→
39. n
xxnx
+→
2
lim
40. Jika ( ) ( )32lim1lim −=+→→
xxnxnx
, maka tentukan nilai dari: ( )16lim 2 −→
xnx
41. Jika axxxx
x=
+−−−
→ 211076
lim2
2
7, berapakah nilai dari
143274
lim2
+−−−
→ xxx
ax?
Limit www.matikzone.wordpress.com
42. Jika 73
10252
lim2
2
2=
−+++
−→ axxxx
x, maka a = …
43. Jika 1311
3013
lim2
2
3=
−−−+
→ axxaxx
x, maka a = …
44. 1
1lim
1 −−
→ xx
x
45. x
xx −
−→ 1
1lim
1
46. 11
lim1 −
−→ x
xx
47. x
xx −
−→ 1
1lim
1
48. 1
65lim
2
1 −−+
→ xxx
x
49. 6
62lim
23 −++
−→ xxx
x
50. x
xxx
53lim
2
0
−→
51. xx
xx +→0lim
52. 2
4lim
4 −−
→ xx
x
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
a.
+
−→ xxxx
11lim 20
b.
−−
−→ 11
12
lim 20 xxx c.
−−
−→ 31 13
11
limxxx
d.
−+−
−→ 823
42
lim 222 xxxx
54. 43
22lim
21 −−+
−→ xxx
x
55. 263
lim2
2 −−
→ xxx
x
56. ( )
312
lim2
3 −−−
→ xx
x (Ebtanas IPS 99)
57. 232
12lim 2
21 −+
−
→ xxx
x
58. 1243
lim2
2
1 +−−+
→ xxxx
x
59. xxx
xxx 3
2lim
23
2
0 +++
→
60. 23
24
0 26
limxxxx
x +−
→
61. nn
nnn
x xxxxx
26
lim4
13
0 +−+
+
++
→
62. 1
3232lim
2
23
1 −−−+
→ xxxx
x
63. 2248
lim23
23
2 +−−+−+
→ xxxxxx
x
64. 1262
6lim
23
23
2 −+−−+
→ xxxxxx
x
65. 28
lim3
2 −−
→ xx
x
66. x
xx −
−→ 1
1lim
3
1
67. 273
lim33 −
−→ x
xx
68. 64
4lim
34 −−
→ xx
x
Limit www.matikzone.wordpress.com
69. 1
1lim
31 −−
→ xx
x
70. 94278
lim 2
3
23 −
−→ x
xx
**
71. 2
82lim
2
4 −−−
→ xxx
x
72. xx
xx −
−→ 41
1lim
73. Diketahui ( ) xxg 21+= , maka nilai
( ) ( ).....
11lim
0=
−−+→ x
xgxgx
74. 132
1lim
1 +−−
→ xx
x
75. 752
23lim
2
2 +−++−
→ xxxx
x
76. 656
102lim
6 +−−−−
→ xxxx
x
77. xx
xxx −−
−−+→ 32
122lim
3
78. 315133
lim1 +−−
−−−→ xx
xxx
79. xx
xxxxx −−+
+−−++→ 33
3232lim
22
0
80. 9
415lim
23 −−+
→ xx
x
81. 10
31lim
10 −−−
→ xx
x
82. 9
32lim
23 −+−
→ xxx
x
83. 2
2
1 113
limx
xxx −
−−+→
84.
−
+→ xxx
xxx
1lim
2
0
85.
+−
+−→ 1
1
1lim
2
1 xx
xx
86. 74
9lim
2
2
3 +−
−−→ x
xx
87. xxx
x +−−
→ 9352
lim2
0
88. x
xx −
−−→ 5
94lim
2
5
89. 3
124lim
3 −+−+
→ xxx
x
90. 5
44lim
5 −−−+
→ xxx
x
91. xx
xx −++
−→ 212
2lim
2
92. 153153
lim1 −−+
−++→ xx
xxx
93. xx
xxx −+
+−−→ 63
32lim
2
94. 33
65lim
2
3 −−−+−
−→ xxxx
x
95. x
xxx
−−+→
11lim
0
96. xx
xx 2121
4lim
0 −−+→
97. 11
1lim
1 −−−−
→ xxx
x
98. 3 2
2
0 11lim
x
xx +−→
99. 68223
lim1 +−
+−→ xx
xxx
Limit www.matikzone.wordpress.com
100. px
ppxxpx −
−→
lim
101. ( )2
33 2
1 11.2
lim−
+−→ x
xxx
**
102. 11
lim1 −
−→ x
xn
x **
103. Diketahui ( ) xxxf 23 2 −= , tentukan ( )
2
2)2(.41
)(lim
2 −
+−
→ x
xfxf
x
104. Diketahui ( )2
3x
xf = , tentukan ( )
2)2()(
lim2 −
−→ x
fxfx
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
105. xx
2lim
∞→
106. 105
6lim
xx ∞→
107. 2529
limxx
−∞→
108. xxx 52
7lim
3 +∞→
109. 20
3lim
3 −−
∞→ xx
110. 994lim +∞→
xx
111. 159lim 2 −+∞→
xxx
112. 1003
limx
x ∞→
113. 55
47lim
+∞→
xx
114. 12
25lim
2 −∞→
xx
115. 12
5lim
−+
∞→ xx
x
116. 5234
lim+−
∞→ xx
x
117. 5
86lim
+−
∞→ xx
x
118. 59
310lim
−+
∞→ xx
x
119. xx
x 93310
lim−+
∞→
120. 3
523
lim
+−
∞→ xx
x
121. 2
2
12357
limxx
xx +
−∞→
122. 3
23
123115
limxxxx
x +−
∞→
123. ( )( )( )( )1123
3215lim
−++−
∞→ xxxx
x
124. ( )( )1335
lim2
−−−+
∞→ xxxx
x
125. ( )( )
153231
lim2 −+
−−∞→ xx
xxx
126. ( )
1214
lim3
3
−−
∞→ xx
x
127. ( )
xxx
x 53324
lim3
3
++
∞→
Limit www.matikzone.wordpress.com
128. 2
4
284
limx
xxx
+∞→
129. 253134
lim2
2
−+−+
∞→ xxxx
x
130. 23
3lim
3
3
−+
∞→ xxx
x
131. ( )
( )22
4
23
52lim
+
−∞→ x
xx
132. 43
43
256
limxx
xxxx −
−+∞→
133. ( )
3
2
4512
limxx
xxx −
+∞→
134. ( )
112
lim3
3
+−
∞→ xx
x
135. ( )( )1326
lim3
+−+
∞→ xxxx
x
136. ( )( )
( )( )1122
lim22
+−+−
∞→ xxxxx
x
137. xxxx
x −−+
∞→ 2
3 572lim
138. 3
2
36
2lim
xx
xxx +
+∞→
139. 32
2lim
4
−+
∞→ xxx
x
140. 32
49lim
xxxx
x −+
∞→
141. 12
53lim
3
2
−+−
∞→ xxx
x
142. 542
53lim
2 +++
∞→ xxx
x
143. xx
xxx 510
753lim
3
2
+−+
∞→
144. 55
17lim
36
2
−+
−∞→ xx
xx
145. 93
15lim
2
2
−−+
∞→ xxx
x
146.
−+−+
∞→ 3124
limx
xxx
147. 2355
17lim
636
2
−+−+
−∞→ xxx
xx
148. 1624
2lim
22 +−−−
−∞→ xxx
xx
149. 193
15lim
4
2
+−
−+∞→ xx
xxx
150. ( )36lim +−+∞→
xxx
151. ( )23lim +−+∞→
xxx
152. ( )412lim +−−∞→
xxx
153. ( )324lim −−+∞→
xxx
154. ( )xxx
−+∞→
5lim
155. ( )1313lim −−+∞→
xxx
156. ( )321lim −−+∞→
xxx
157. ( )xxx
−−+∞→
1263lim
158. ( )qpxbaxx
+−+∞→
lim
untuk: a = p, a > p dan a < p
159. ( )xxxxx
+−++∞→
22 21lim
160. ( )95164lim 22 +−−−+∞→
xxxxx
161. ( )( )( )92212lim 2 +−−−+∞→
xxxxx
162. ( )xxxx
354lim 22 −−−∞→
163. ( )12352lim 22 +−−−+∞→
xxxxx
Limit www.matikzone.wordpress.com
164. ( )( )( )17513lim 2 ++−−+∞→
xxxxx
165. ( )( )( )173453lim 2 +−−+−∞→
xxxxx
166. ( )174lim 2 −−−∞→
xxxx
167. ( )( )8742lim 2 +−−+∞→
xxxx
168. ( )95lim 2 −−−+∞→
xxxx
169. ( ) ( )( )( )333lim +−−+∞→
xxxx
170. ( )4533lim 2 +−−+∞→
xxxx
171. ( )456lim 2 −−++∞→
xxxx
172. ( )321lim 2 −−−∞→
xxx
173. ( )( )32534lim 2 −−−+∞→
xxxx
174. ( )( )5349lim 2 +−−+∞→
xxxx
175. ( )532lim 2 +−∞→
xxx
176. ( )823lim 22 +−−∞→
xxxx
177.
−+−−−
∞→52343lim xxxx
x
178. ( )154134lim 2424 ++−−+∞→
xxxxx
179. ( )84lim 33 +−−∞→
xxx
180.
+−+∞→ x
xxx
22 9141lim
181.
+−+∞→ x
xxx
22 41lim
182. ( )( )xxxx
−+∞→
2lim 2
183.
+−
∞→2
34lim 2 xxx
184.
−+
−−
+∞→ 7
5212
3lim
xx
xx
x
185.
+
−−+
−∞→ 5
3592
4lim 2
2
xx
xxx
x
186. 2
33 2
limx
xxxx
+∞→
**
187. xx
xxxx 2
23 2
63
lim+
−∞→
**
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
188. xxx
cos5sinlim2
+→
π
189. ( )xxx
cot.2sinlim0→
190.
+
→ xxx
x sin3cos5
6sin
lim2π
191. xx
x 2cos
lim0→
192. x
xx cos
5lim
0
+→
193. xx
x 5sin2tan
lim0→
194. x
xx 5
3sinlim
0→
195. xxx
x 3sin5sin
lim20→
Limit www.matikzone.wordpress.com
196. xx
x
x 2sin3sin21
tanlim
2
0→
197. x
xx 2
2
0 sin2
lim→
198. ( )2
2
0 33sin
limx
xx→
199. xx
xx 2sec
2tanlim
0→
200.
2cos
2sin
lim0 xx
xx→
201. x
xx cos
2lim
0→
202. 2
2
0
2sinlim
xx
x→
203. 20
3coscoslim
xxx
x
−→
204. x
xxx
4sin3sinlim
0
+→
205. x
xx
2cos1lim
0
−→
206. xx
x 2sincos1
lim+
→π
207. 20 2
2cos1lim
xx
x
−→
208. ( )
xxx
x 3sin2sin
lim22
2
0 +→
209. xxxxxx
x 2cos3sin263tan4sin
lim2
32
0
+→
210. ax
axax −
−→
coscoslim
211. x
xxx cos1
3coscoslim
0 −−
→
212. x
xxx cos1
9cos5coslim
0 −−
→
213. xx
x 42cos
lim4
−→ ππ
214. x
xx sin1
coslim
2
4−→
π
215. ( ) ( )
( ) ( )1sin1
1tan1lim
21
2
21
3
1−−
−−→
xx
xxx
216. ( ) ( )
( )1sin212sin1
lim2
2
1 −−−−
→ xxx
x
217. xxx
x sincos1
lim0
−→
218. ( )xxx
tanseclim2
−→
π
219. 30
tansinlim
xxx
x
−→
220. ( ) ( )
yxyxyx
yx 99tan33
lim+
+++−→
221. ( )xxx
2cotlim0→
222. x
xx πtan
1lim
1
−→
223. x
x
x 2cos1tan
lim4
−
→π
224. ( )1tan2cos
lim4
−→ xxx
xπ
225. 923
2sinlim
0 +−→ xx
x
226. x
xx −−→ 11
4sinlim
0
227. 1
11cos
11sin
lim1 −
−
−
→ xxx
x
228. ( )
22sin
lim2 −
−→ x
xx
Limit www.matikzone.wordpress.com
229. ( )
ππ
π −−
→ xx
x
sinlim
230. ( ) ( )
321sin13
lim21 −+
−+→ xx
xxx
231. ( )
321sin
lim3 −
−+→ x
xx
232. x
xx −
−→
2
sin1lim
2ππ
233.
4
4sinsin
lim4
π
π
π−
−
→ x
x
x
234. xx
x sectan2
lim2π
→
235. 20 5
3tan.2tanlim
xxx
x→
236. xx
x sin1cos1
lim0 +
+→
237. xx
x cos12cos1
lim0 −
−→
238. x
xxx sin
3lim
2
0
+→
239. x
xx
21
cos1
2lim
2
2
0−
→
240. 30 4
2cos.3sin3sinlim
xxxx
x
−→
241. ( ) ( )
( )22
2
2 2
2sin65lim
−−
−+−→ xx
xxxx
242. ( )
xxxxx
x 236sin1
lim23
2
0 ++−
→
243. xx
xxx 3cos4
2sin8sinlim
0
+→
244. 923
2sinlim
0 +−→ xx
x
245.
−−
→ xxxx
x 3sin8sin2sin5sin
lim0
246.
−−
→ xxxx
x sin2sintan2tan
lim0
247.
−
−
→ x
x
x
4
tan1lim
4ππ
248.
−
→ xxx
x sin4cos1
lim2π
249.
→ xx
x cos)sin(cos
lim2π
250. ππ
41sincos
lim41
−
−→ x
xxx
251.
32
2
34
sin3
3sinlim
3π
ππ
π+
−+
+
−→ x
xx
x
252. x
xx
x 2sin1cossin
lim21 −
−
→ π
253. ( )
11sin
lim2
1 −−
→ xx
x
254. x
x
x cos2cos1
lim21
+
→ π
255. ( )
( ) axaxax
ax 22sin3
lim−+−
−→
256. ( ) )1tan(1)1(
lim2
23
1 −+−++−
→ xxaxxax
x
257. ππ −
+→ x
xx
cos1lim
258. ( )
( )xxxx
x sec31tancos12sin
lim0 +
+→
259. ( )xx
xxx 3cos1
3sin22sin3lim
0 −−
→
Limit www.matikzone.wordpress.com
260. xx
xx 2tan2sinlim
3
0 −→
261. 30
sintanlim
xxx
x
−→
262. ( )
963cos1
lim23 ++
+−−→ xx
xx
263. ( )
( ) ( )axaxax
ax −−−−−
→ 5tansin11
lim2
264. ( )
−−−
−→ 33sin
3lim
3 xxx
x
265. xx
xxxxx 3sinsin3
18sin10sin6sin2sinlim
0 −−++
→
266.
−+−
−→
yxyx
yx
yxyx
tantan11
tantanlim **
Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:
267. ( )xx
xxf
+−
=2
2 1
268. ( )32 −
=xx
xf
269. ( )23
42
2
+−
−=
xx
xxf
270. ( )1
323
2
−++
=x
xxxf
271. ( )2352
2
2
−+−−
=xxxx
xf
272. ( )103
12
2
−++
=xx
xxf
273. ( )1
122 +−
+=
xxx
xf
274. ( )
≥−<
=0;10;1
xuntxxunt
xf
275. ( )
≥−<
=0;0;2
xuntxxuntx
xf
276. ( )
>=
<
=0;0;1
0;
2 xuntxxunt
xuntx
xf
277. ( )112
−−
=xx
xf
278. ( )
=
≠−−
=
1;2
1;112
xunt
xuntxx
xf
Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
279. ( ) 5=xf , pada x = 1
280. ( ) 105 −= xxf , pada x = – 3
281. ( )3
8−
=x
xf , pada x = 3
282. ( )6
12 −−
=xx
xf , pd x = 3 dan x = –2
Limit www.matikzone.wordpress.com
283. ( )127
1232 +−
−=
xxx
xf , pada x = 4
284. ( )1222633
2
2
−−−+
=xxxx
xf , pada x = – 2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
285. 1
1lim
+
∞→
+
x
x xx
286. x
x x
2
32
1lim−
∞→
++
287. 6
35
lim+
∞→
++ x
x xx
288. x
x xx 2
6222
lim
++
∞→
289. x
x xa
+
∞→1lim
290. ax
x x
+
∞→
11lim
291. 32
5313
lim+
∞→
++ x
x xx
292. 32
5152
lim+
∞→
−− x
x xx
293. 27
1656
lim+
∞→
−+ x
x xx
294. 1
1
2
2
2
1523
lim++
∞→
++++ x
x
x xxxx
Hitunglah nilai dari ( ) ( )
hxfhxf
h
−+→0
lim dari fungsi-fungsi berikut:
295. ( ) 9=xf
296. ( ) xxf 5=
297. ( ) 108 −= xxf
298. ( ) 2xxf =
299. ( ) 23xxf =
300. ( ) 12 2 +−= xxf
301. ( ) xxxf 32 2 +=
302. ( ) 3xxf =
303. ( ) 32xxf =
304. ( ) xxf =
305. ( ) xxf 2=
306. ( ) 12 += xxf
Limit www.matikzone.wordpress.com
Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
307. Jika ( )( )49
12lim 2 =−−+∞→
xaxaxx
, carilah nilai a yang memenuhi.
308. Diketahui ( ) 6lim2
=→
xfx
. Nilai ( )( ) ( )
135
lim2
2 +−++
→ xxfxxf
xadalah ...
309. Diketahui ( ) 16lim10
=→
xfx
dan ( ) 2lim10
−=→
xgx
. Maka nilai ( ) ( )( )4
103lim xgxf
x+
→adalah ...
310. Buktikan bahwa 22
sinlim =∞→ x
xx
311. Buktikan bahwa 2
cos1lim2
2 ana
nn
=
−
∞→
312. Diketahui 245
lim1
−=+−
−→ xp
x. Maka nilai p adalah...
313. Hitunglah a dan b jika diketahui 29
lim23
−=−−
→ xbax
x.
314. Jika ( ) 42741lim 22 =+−−−+∞→
xxbxaxx
, maka tentukan nilai a + b.
315. Hitunglah nilai a + b, jika 31
453
lim4
=−
+−−→ x
bxaxx
.
Catatan: ....................................................... ............................................................................................................................. .
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................. .......
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
..................................... ............................................................................................................................. ...................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................