6. integral -...

6. INTEGRAL

2

6. 1 Integral Tak Tentu F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh dan adalah anti turunan dari karena F’(x) = f(x). Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan. Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu. Notasi :

IxxfxF )()('

3

3

1)( xxF

2)( xxf

CxxF 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )

INF228 Kalkulus Dasar

3

6.2 Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

Cr

xdxx

rr

1.1

1

Cxdxx cossin.2

, r -1

Cxdxx sincos.3

Cxdxx tansec.42

Cxdxx cotcsc.52


4

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,

maka

Contoh : Hitung

Misal u = 2x + 1 sehingga

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

sin 2 1x dx

dxxgdu )('

dxxdu 2 dudx21

duudxx sin21

12sin

CxCu 12cos2

1cos

2

1


5

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u

Contoh : Hitung

13 xu 23xdx

du

23x

dudx Jawab : Misal

Maka

dxxx5103 )1(

dxxx5103 )1(

3x

duxuxdu

xu 3102

510

3

1

3

Integran fungsi dr u dan x

3x

Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

substitusi dengan menggunakan hubungan 13 xu 13 ux

sehingga

duuuduuudxxx1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu

11

33112

361

Cxx 113331123

361 )1()1(


6

6.3 Notasi Sigma ( ) Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...211

n

n

i

i aaaa

k k k k nk

n sukui

n

...

1

n

i

n

i

n

i

iiii blaklbak1 1 1

.1

n

i

nni

1 2

)1(.2

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

n

i

nni

1

2

3

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika


7

6.4 Integral Tentu

Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada

selang tutup [ a,b ].

bxxxa n ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP

disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,|||||

kkkknk

xxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1kx kx

kx

kc


8

a b 2x 1kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah Riemann

n

k

kk xcf1

)(

0|||| P

n

Pk

kk xcf1

0||||)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

n

k kx

kcf

n

b

a

n

k kx

kcf

Pdxxf

1)(lim

1)(

0|||lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg

)( kcf


9

Contoh Hitung 2

0

2 dxx

Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang n

x 2

0 2

x xxx

1x 2x 1ix ix 1nx

sehingga

00 x

nxx 21 0

n.xx 222 20

ni

i xix20

……………………… ………………………


10

(ii) Pilih ii xc

(iii) Bentuk jumlah reiman

n

i

n

i

nni

ii xcf1 1

22 2

n

i

nn

i

1

442

n

i

n

i ni

n 112

144

nn

n

)n(n

n

22

4

2

14

2

(iv) Jika n

2

0

2 222nn

limdxx


11

Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garis x = a dan x = b

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dx

a

c

a

b

b

c

( ) ( ) ( )


12

f x dx

a

a

( ) 0 f x dx f x dxa

b

b

a

( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka

f x dx f x dx

a

a

a

( ) ( )

2

0

Contoh Hitung

3

3

24 7 dxxxx

Jawab

7)()()( 24 xxxxf )(724 xfxxx f(x) ganjil

07

3

3

24

dxxxx


13

6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.6.1 TDK I Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).

Maka

Contoh Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka

Sehingga

f x dx F b F a

a

b

( ) ( ) ( )

sin 2

2

x dx

1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

xdxx

xdxx 2cos21

2sin


14

Contoh hitung

5

1

|2| dxx

Jawab :

22

222

x,)x(

x,x|x|)x(f

5

1

2

1

5

2

222 dxxdxxdx|x|5

2

2

21

2

1

2

21 22 xxxx

= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )

= ½+9/2 = 5


15

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],

maka

Secara umum

)('))(()(

)(

xuxufdttfD

xu

a

x

)()( xfdttfD

x

a

x

)('))(()('))(()(

)(

)(

xuxufxvxvfdttfD

xv

xu

x


16

2

4

31)(

x

dttxG

x

dttxG1

31)(

.

Contoh Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab

a. 31)( ttf 31)(' xxG

b. 31)( ttf

2)( xxu

)()(1)(' 232 xDxxxG

612 xx


17

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5103)( 2 xxxf

)6720()( 572 xxxxf

f xx x

( ) 1 6

3 7

f xx x

x( )

2 3 13 2

2

f x x( ) 3

4

1.

2.

3.

4.

5.


18

x x dx23

4 2

x x x dx22

3 2 2 3

3 3 72

x x dx

5 1 5 3 22 3x x x dx 3

2 52

y

y

dy

cos sin4 2 2 2x x dx

Selesaikan integral tak tentu berikut

6.

7.

8.

9.

10.

11.


19

B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )0

5

f xx x

x x( )

,

,

2 0 2

6 2 5

f x

x x

x

x x

( )

,

,

,

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf 4.


20

Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 12 3

1

0

x x dx

8 7 22

3

3

t t dt

x

x x

dx

2

31

3 1

3

sin cos

/2

0

2

3 3x x dx

2

0

sin dxx

dxxx 8

0

8625.

6.

7.

8.

9.

10.


21

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari )(' xG

G xt

dt

x

( )

1

12

1

G xt

dt

x

x

( )

1

12

2

G x t dt

x

( ) sin

22

12

x

dssxG

)2tan()(

dtt

xG

x

3

031

1)(

11.

12.

13.

14.

15.


22

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt

txf

x

0

21

1)(

Jika f kontinu pada tentukan f(4). 2

0

)1(cos)(dan],0[

x

xxdttf 17.

dtt

xx

2

42

2

31dan],4[ )2('fJika f kontinu pada , tentukan

.

18.

Hitung

x

xdt

t

t

x0

4

2

30 16

1lim19.


6. integral -...

Documents