5._analisis_tegangan.ppt

ANALISIS TEGANGAN

1

Mengapa mempelajari tegangan?• Pada massa batuan terdapat kondisi tegangan

awal yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis dan desain.

• Selama dilakukan penggalian pada massa batuan kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena batuan yang tadinya mengalami tegangan telah digali sehingga tegangan akan diredistribusikan.

• Tegangan merupakan besaran tensor dan tensor tidak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

©RKW 2

Skalar, Vektor, dan Tensor

• Skalar merupakan besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, waktu, massa).

• Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan)

• Tensor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya (contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).

©RKW 3

Definisi Tegangan

• Untuk setiap arah OP melalui O dapat dianggap bahwa benda dapat dipotong melalui suatu bidang kecil A melalui O dan normal terhadap OP.

• Permukaan pada sisi P disebut sisi positif, sedangkan pada sisi lainnya disebut sisi negatif.

©RKW 4

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O dalam suatu benda dapat diterangkan sebagai berikut

Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Efek dari gaya-gaya internal di dalam benda adalah sama dengan gaya F yang dialami benda pada sisi positif. Juga akan terdapat kopel yang dapat dibaikan karena A dianggap sangat kecil.

• Nilai limit dari rasio F/A dengan A mendekati nol adalah vektor tegangan pada titik O yang bekerja pada bidang dengan normal pada arah OP.

©RKW 5

Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Vektor tegangan ini adalah vektor pOP yang didefinisikan sebagai:

A

Fp

0A

OP lim

©RKW 6

Konvensi Tanda

• Gaya-gaya yang dianggap positif adalah gaya-gaya tekan, yaitu yang berarah seperti yang ditunjukkan oleh F.

• Hal ini berlawanan dengan konvensi yang digunakan dalam teori elastisitas dan mekanika kontinu.

©RKW 7

Konvensi Tanda (Lanjutan)

• Dalam mekanika batuan, akan lebih memudahkan untuk menggunakan tegangan tekan bertanda positif karena:– Kondisi tegangan (tegangan in situ akibat overburden,

tekanan pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di dalam pori) selalu berupa tegangan tekan.

– Konvensi ini digunakan juga di dalam mekanika tanah dan geologi struktur.

– Banyak problem dalam mekanika batuan menyangkut gesekan pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal pada permukaan adalah postif.

©RKW 8


• Perhatikan sebuah kubus dengan sisi paralel dengan sumbu x, y, dan z.

• Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:– Tiga tegangan normal xx,

yy, dan zz

– Enam tegangan geser xy, yx, yz, zy, zx, dan xz

©RKW 9


• Arti subscript pada tegangan:– Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidang

dimana tegangan tersebut bekerja.

– Subscript kedua menunjukkan arah dari tegangan tersebut.

• Catatan: Untuk tegangan normal, kadang-kadang hanya digunakan satu subscript.

• Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka semua gaya yang bekerja pada sisi kubus harus setimbang, sehingga: xy = yx, yz = zy, dan zx = xz

©RKW 10


• Konvensi tanda untuk komponen tegangan dapat didasarkan pada normal kedalam (inward normal) yaitu normal dari muka kubus yang berarah ke pusat kubus.

• Tegangan yang searah dengan normal kedalam adalah positif.

©RKW 11


• Pada muka horisontal bagian atas yang paralel dengan bidang x-y, normal kedalam berarah ke arah sumbu z negatif.

• Tegangan normal zz yang bekerja pada muka ini searah dengan arah normal kedalam, sehingga dianggap positif.

©RKW 12


• +zx dan +zy bekerja pada arah negatif sumbu x dan y.

• Semua tegangan pada muka yang terlihat pada gambar di samping adalah positif.

• Pada muka bagian bawah, normal kedalam berarah ke arah sumbu z positif, sehingga +zz berarah yang sama.

©RKW 13

Tegangan Dalam Dua Dimensi

• Perhatikan sebuah elemen bujursangkar dengan sisi yang sangat kecil pada bidang x-y dan tebal t.

• Elemen ini mengalami tegangan normal x, y dan tegangan geser xy = yx.

©RKW 14

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

• Akan ditentukan tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sebuah bidang yang normalnya membentuk sudut terhadap sumbu x dimana x bekerja.

• Perlu digunakan prinsip kesetimbangan gaya dalam sebuah segitiga yang sangat kecil dengan tebal t.

©RKW 15


• Panjang sisi segitiga:– AB = a– OA = a sin – OB = a cos

• Untuk memenuhi kondisi kesetimbangan, seluruh gaya yang bekerja pada arah dan dalam keadaan setimbang.

©RKW 16


2θ sin cosθ sinθ 2

1θsin θcos

cos2θ12

1θins

cos2θ12

1θcos

22

2

2

©RKW 17

ΣF = 0

at = x cos a cos t + xy sin a cos t

+ y sin a sin t + yx cos a sin t

= x cos2 + y sin2 + 2xy sin cos

Dari trigonometri:


sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

sin2θ2

cos2θσ

2

σ

2

cos2θσ

2

σσ

cos2θ12

σsin2θcos2θ1

2

σσ

xyyxyx

xyyyxx

yxy

x

©RKW 18


θ2oscθsin θcos

2θ sin2

1 cosθ sinθ

22

©RKW 19

ΣF = 0

at = -x sin a cos t + xy cos a cos t

+ y cos a sin t - yx sin a sin t

= (y-x)sincos + xy(cos2-sin2q)

Dari trigonometri:


cos2θsin2θ2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ

xyyx

xyxy

©RKW 20


sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ xy

yxyx

cos2θsin2θ2

σσxy

yx

©RKW 21

Persamaan – persamaan :

Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normal dan tegangan geser pada setiap bidang yang didefinisikan oleh untuk setiap kombinasi nilai x, y, dan xy.


• Persamaan-persamaan yang diturunkan untuk dan dapat juga dilihat sebagai persamaan untuk menghitung x’ dan x’y’ pada sebuah sistem sumbu O,x’,y’ yang merupakan hasil rotasi sumbu O,x,y sebesar .

• Tegangan y’ dapat dihitung dengan mengganti dengan +90O

©RKW 22


©RKW 23

Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu menjadi:

x’ = xcos2 + 2xysincos + ysin2

y’ = xcos2(+90O) + 2xysin(+90O)cos(+90O) + ysin2(+90O)

y’ = xsin2 – 2xysincos + ycos2


©RKW 24

Dengan menjumlahkan

x’ = xcos2 + 2xysincos + ysin2 dan

y’ = xsin2 – 2xysincos + ycos2

diperoleh

x’ + y’ = x(cos2+sin2) + y(cos2+sin2)

x’ + y’ = x + y

Jadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangan normal yang saling tegak lurus adalah konstan atau invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi.


cos2θsin2θ 21

xyyx'y'x

©RKW 25

Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah:

• Arah-arah dimana =0 disebut sumbu-sumbu utama (principal axes) dan komponen-komponen tegangan pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama (principal stresses) dan dinotasikan dengan 1 dan 3.

• Akan terdapat satu nilai untuk mana tegangan geser tidak ada (=0).


yx

xy

yx

xy

xyyx

xyyx

xyyx

σσ

22tan

σσ

2

cos2θsin2θ

cos2θsin2θ2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ0

cos2θsin2θ2

σσ

©RKW 26


• Sudut 2 merupakan sudut dari sumbu x yang menunjukkan arah tegangan-tegangan utama 1 dan 3.

• Karena tan 2 = tan (2+180O) maka– Sudut merupakan arah 1 – Sudut +90 merupakan arah 3.

• Setelah sudut diperoleh, 1 dan 3 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung di depan.

©RKW 27


2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

41

21

41

21

©RKW 28

Tunjukkan bahwa 1 dan 3 dapat dinyatakan sebagai:

Lingkaran Mohr

©RKW 29

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσσ

xyyx

xyyxyx

Lihat kembali persamaan untuk menghitung dan

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

©RKW 30

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσ σ

xyyx

xyyxyx

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan semua 2 di sebelah kanan


©RKW 31

θ2sin

2cos2sin2

σσ2

2θcos2

σσ

2

σσ σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσ σ

22xy

xyyx

22

yx2

yx

2

xyyx

2yx

Pengkuadratan persamaan yang mengandung menghasilkan:


2θcos

θ2cosθ2sin2

σσ2

θ2sin2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ

22xy

xyyx

22

yx2

2

xyyx2

©RKW 32

Pengkuadratan persamaan yang mengandung menghasilkan:


2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ

©RKW 33

Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan:

Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?

PERSAMAAN LINGKARAN


222 Rbyax

©RKW 34

Persamaan umum lingkaran berbentuk:


2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ

2xy

2yx

yx

2

σσ :jari-Jari

,02

σσ :pusat Titik

σ, sumbu Sistem

©RKW 35

Persamaan :

adalah Persamaan Lingkaran dengan:


©RKW 36


• Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr, digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang hanya valid untuk keperluan presentasi grafis.

• Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut akan memutar elemen berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

• Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut akan memutar elemen searah dengan arah putaran jarum jam.

©RKW 37


©RKW 38

+

++

+

+

+

-

-


©RKW 39


• Lingkaran Mohr merupakan metode grafis sederhana dan cepat yang dapat digunakan untuk:– Menentukan besar tegangan normal dan

tegangan geser pada bidang tertentu.

– Menentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama.

©RKW 40

Latihan 1

• Tentukan tegangan normal dan tegangan geser (ke arah mana?) yang bekerja pada Bidang C

• Tentukan besar dan arah tegangan utama mayor (1) dan tegangan utama minor (3)

©RKW 41

Latihan 1 (Lanjutan)

©RKW 42


©RKW 43

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 30O counter clockwise dari arah bekerjanya x (sumbu x)

ATAU

Bersudut 30O counter clockwise dari bidang tempat x bekerja (Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30O = 60O


©RKW 44

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 60O clockwise dari arah bekerjanya y (sumbu y)

ATAU

Bersudut 60O clockwise dari bidang tempat y bekerja (Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60O = 120O


• Jadi secara grafis: = 23.2 MPa = 3.9 MPa

• Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσσ

xyyx

xyyxyx

©RKW 45


MPa 23.1965.196414σ

sin60 6cos60 2

622

2

622σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

0O

xyyxyx

MPa 3.92836.928

cos60 6sin60 2

622

cos2θsin2θ2

σσ

OO

xyyx

©RKW 46


©RKW 47

Secara grafis:

= 23.2 MPa

= 3.9 MPa

Dengan rumus:

= 23.196 MPa

= -3.928 MPa

OK

OK?


©RKW 48

1 = 24 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5O counter clockwise dari arah bekerjanya x (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya x (Bidang A)


©RKW 49

3 = 4 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5O counter clockwise dari arah bekerjanya x (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya x (Bidang A)


• Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

41

21

41

21

©RKW 50


MPa 4

MPa 24

10 14

66224

1 622

2

1

4

1

2

1

3

1

3,1

223,1

2xy

2yxyx3,1

©RKW 51


O2

OO2

O1

O1

1

1

yx

xy1

43.108 87.361802

43.1887.362

16

12tan2

622

)6(2tan2

σσ

2tan2

©RKW 52


O23

O11

5.108 MPa 4

5.18MPa 24

:grafis Secara

O

23

O11

43.108 MPa 4

43.18MPa 24

:rumus Dari

©RKW 53

OK

OK


©RKW 54

Tegangan dalam 3 Dimensi• Tegangan-tegangan yang bekerja

pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:– Tiga tegangan normal xx, yy, dan

zz

– Enam tegangan geser xy, yx, yz, zy, zx, dan xz

• Sebagai syarat kesetimbangan rotasional : xy = yx, yz = zy, dan zx = xz

• Tegangan-tegangan yang bekerja cukup dinyatakan dengan enam komponen

©RKW 55

Tegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan)

• Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat dinyatakan dengan matriks tegangan [], sebagai berikut:

zyzzx

yzyxy

zxxyx

σ

©RKW 56

Transformasi Tegangan• Sumbu-sumbu referensi untuk

penentuan kondisi tegangan dapat dilakukan secara bebas.

• Sistem sumbu asal (x,y,z)• Sistem sumbu baru (l,m,n)• Orientasi dari sumbu tertentu, relatif

terhadap sumbu-sumbu asal didefinsikan oleh sebuah vektor baris dari cosinus arah.

• Cosinus arah adalah proyeksi dari vektor satuan yang paralel dengan salah satu sumbu baru (l, m, atau n) pada salah satu sumbu lama (x, y, atau z).

©RKW 57

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

• Cosinus arah sumbu l: lx = cos l, ly = cos l, lz = cos l

©RKW 58


• Cosinus arah sumbu m: mx = cos m, my = cos m, mz = cos m

©RKW 59


• Cosinus arah sumbu n: nx = cos n, ny = cos n, nz = cos n

©RKW 60


• Tetrahedron OABC adalah bagian dari kubus yang digunakan untuk menentukan kondisi tegangan sebelum ini.

• Untuk kesetimbangan, material yang dihilangkan digantikan oleh gaya penyeimbang sebesar t per unit luas yang bekerja pada ABC.

• Normal bidang ABC, yaitu OP mempunyai cosinus arah (x, y, dan z).

©RKW 61


• Jika luas ABC adalah A, maka proyeksi ABC pada bidang-bidang dengan normal sumbu-sumbu x, y, dan z adalah:– OAC = Ax = Ax

– OAB = Ay = Ay

– OBC = Az = Az

• Anggap komponen-komponen vektor traksi t adalah tx, ty, tz.

©RKW 62


• Syarat kesetimbangan gaya pada arah x akan menghasilkan:txA – xAx – xyAy – zxAz = 0

txA – xAx – xyAy – zxAz = 0

atautx = xx + xyy + zxz

• Dengan menggunakan syarat kesetimbangan gaya pada arah y dan z, diperoleh:

©RKW 63


• Dengan melakukan hal yang sama untuk sumbu-sumbu l, m, dan n diperoleh:

σt

atau

t

t

t

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

©RKW 64


• [t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektor-vektor yang dinyatakan relatif terhadap sistem koordinat x,y,z dan l,m,n.

* *σ*t

atau

t

t

t

n

m

l

nmnnl

mnmlm

nllml

n

m

l

©RKW 65


• Dari dasar-dasar analisis vektor (MA2132):Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem sumbu x,y,z ke sistem sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

v R*v

atau

v

v

v

nnn

mmm

lll

v

v

v

z

y

x

zyx

zyx

yxx

n

m

l

©RKW 66


• Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh vektor baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap sumbu asal.

• Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan transpose-nya, atau:

T1 RR

©RKW 67

• Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*] serta [] dan [*]:


:diperluas yangbentuk dalam atau

R σ R*σ

maka

* *σ*t

karena

* R σ R σ Rt R*t

sehingga

* R R*

dan

*t Rtt R*t

T

T

T

T

©RKW 68


zzz

yyy

xxx

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zyx

zyx

zyx

nmnnl

mnmlm

nllml

nml

nml

nml

σ

σ

σ

nnn

mmm

lll

σ

σ

σ

©RKW 69

Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan

akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan

Tegangan Utama• Seperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama (principal plane)

adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.• Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan

tegangan utama (principal stress), sedangkan normal dari bidang tersebut merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).

• Karena terdapat tiga acuan arah yang harus diperhitungkan, akan terdapat juga tiga sumbu utama.

• Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang harus ditentukan untuk menggambarkan kondisi tegangan di sebuah titik.

©RKW 70

Tegangan Utama (Lanjutan)

• Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu mempunyai orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan yang bekerja padanya hanya tegangan normal p.

• Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:

z

y

x

p

z

y

x

σ

t

t

t

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

t

t

t

©RKW 71

• Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:


• Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

©RKW 72

• Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan simultan yang homogen dalam x, y, dan z.

• Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan persamaan pangkat tiga:


2

xyz2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

3p22p1

3p

σσσ2σσσI

σσσσσσI

σσσI

dimana

0IσIσIσ

©RKW 73

I1 = Invariant tegangan (Stress invariant) pertama

I2 = Invariant tegangan (Stress invariant) kedua

I3 = Invariant tegangan (Stress invariant) ketiga


• Solusi dari persamaan

0IσIσIσ 3p22p1

3p

©RKW 74

adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke terkecil sebagai berikut:

1 = Tegangan utama mayor (Major principal stress)

2 = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress)

3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)


Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama, yang cosinus arahnya (x,y,z) dapat dicari langsung dari persamaan matriks:

12z

2y

2x

0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

©RKW 75

dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:


Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan utama i (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

21222zi

21222yi

21222xi

CBAC

CBAB

CBAA

©RKW 76

dengan A, B, dan C adalah:


• Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasi dari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilai eigen (eigenvalues) dari matriks tegangan dan vektor eigen (eigenvector) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)

• Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil perkalian skalar (dot product) dari vektor cosinus arahnya sama dengan nol:

0

0

0

1z3z1y3y1x3x

3z2z3y2y3x2x

2z1z2y1y2x1x

©RKW 78


• Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak lurus bersifat invariant (ingat materi terdahulu), maka:

zyx321 σσσσσσ

©RKW 79

• Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan besar dan arah tegangan utama

Latihan 2

x = 7.825 MPa

y = 6.308 MPa

z = 7.866 MPa

xy = 1.422 MPa

yz = 0.012 MPa

zx = -1.857 MPa

©RKW 80

Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada suatu titik jika keenam komponen tegangan pada titik

tersebut adalah


MPa 0.350σσσ2σσσI

MPa 0.155σσσσσσI

MPa 0.22σσσI

2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

00.350σ 0.155σ 0.22σ p2p

3p

MPa 0.5σ

MPa 0.7σ

MPa 0.01σ

3

2

1

©RKW 81

sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama menjadi:

yang menghasilkan:


38.7012.0857.1

692.3422.1

012.0857.1

0.10308.6422.1σσC

012.3134.2857.1

012.0422.1

0.10866.7857.1

012.0422.1

σσ B

857.7134.2012.0

012.0682.3

0.10866.7012.0

012.00.10308.6σσ

σσA

yzzx

1yxy

1zzx

yzxy

1zyz

yz1y

©RKW 82

Mencari cosinus arah 1:


1.0000(-0.6307)(0.2778))7246.0( 2222z1

2y1

2x1

)129.1 (cos 6307.0843.10839.6CBAC

)73.9 (cos 2778.0843.10012.3CBAB

)43.6 (cos 7246.0843.10857.7CBAA

0212221z

0212221y

0212221x

©RKW 83

Periksa:


268.1012.0857.1

692.0422.1

012.0857.1

0.7308.6422.1σσC

254.1866.0857.1

012.0422.1

0.7866.7857.1

012.0422.1

σσ B

599.0866.0012.0

012.0692.0

0.7866.7012.0

012.00.7308.6

σσ

σσA

yzzx

2yxy

2zzx

yzxy

2zyz

yz2y

©RKW 84



0.9999(-0.6740)(-0.6664))3186.0( 2222z2

2y2

2x2

)132.4 (cos 6740.0881.1268.1CBAC

)131.8 (cos 6664.0881.1254.1CBAB

)108.6 (cos 3186.0881.1599.0CBAA

0212222z

0212222y

0212222x

©RKW 85

Periksa:


446.2012.0857.1

308.1422.1

012.0857.1

0.5308.6422.1σσC

098.4866.2857.1

012.0422.1

0.5866.7857.1

012.0422.1

σσ B

749.3866.2012.0

012.0308.1

0.5866.7012.0

012.00.5308.6σσ

σσA

yzzx

3yxy

3zzx

yzxy

3zyz

yz3y

©RKW 86



0.9999(0.4031)(-0.6752))6177.0( 2222z3

2y3

2x3

)66.2 (cos 4031.0069.6446.2CBAC

)132.5 (cos 6752.0069.6098.4CBAB

)51.8 (cos 6177.0069.6749.3CBAA

0212223z

0212223y

0212223x

©RKW 87

Periksa:


0009.0

)6740.0)(6307.0()6664.0)(2778.0()3186.0)(7246.0(

2z1z2y1y2x1x

0018.0

)4031.0)(6740.0()6752.0)(6664.0()6177.0)(3186.0(

3z2z3y2y3x2x

0006.0

)6307.0)(4301.0()2778.0)(6752.0()7246.0)(6177.0(

1z3z1y3y1x3x

©RKW 88

Periksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama 2




MPa 22.0

5.07.010.0

σσσ 321

MPa 21.999

866.7308.67.825

σσσ zyx

©RKW 89

Periksa sifat invariant tegangan-tegangan utama

5._analisis_tegangan.ppt

Documents