ANALISIS ORTOGONAL POLINOMIAL BERDERAJAT EMPAT

PADA RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL)

Dyah Anggun Pratiwi, Loekito Adi Soehono, Eni Sumarminingsih

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya

Email : anggunuun@gmail.com

Abstrak. Analisis ragam adalah suatu metode analisis statistika yang sering digunakan oleh peneliti dalam bidang penelitian

yang menggunakan perlakuan kuantitatif. Dalam penelitian yang menggunakan perlakuan kuantitatif, uji lanjutan analisis

ragam yang tepat adalah dengan menggunakan metode ortogonal polinomial. Pada perlakuan dengan jarak yang berbeda

diperlukan cara untuk menghitung koefisien ortogonal polinomial. Gomez dan Gomez (1995:236) telah menguraikan

hubungan antara fungsi respon dengan jarak perlakuan berbeda hingga berderajat tiga. Penelitian ini bertujuan untuk

mendapatkan cara menghitung koefisien ortogonal polinomial berderajat empat pada perlakuan dengan jarak berbeda dan

ulangan sama. Berdasarkan hasil penelitian telah didapatkan rumus untuk menghitung koefisien ortogonal polinomial

berderajat empat yang kemudian diterapkan pada data penelitian. Hasil analisis menunjukkan bahwa rumus menghitung

koefisien ortogonal polinomial dapat diterapkan pada kedua data tersebut sehingga dapat dibentuk fungsi respon dengan

perlakuan hingga berderajat empat dan dapat diketahui nilai duga respon untuk perlakuan di luar pengamatan.

Kata Kunci: Analisis Ragam, Ortogonal Polinomial

1. PENDAHULUAN

Analisis ragam dipakai untuk pengambilan keputusan atau menguji hipotesis nol (H0) mengenai

ada atau tidaknya perbedaan pengaruh perlakuan yang diteliti. Penolakan terhadap hipotesis nol (H0)

dapat memberikan kesimpulan bahwa terdapat perbedaan pengaruh antar perlakuan terhadap variabel

respon yang diamati. Hal tersebut mengakibatkan peneliti harus melakukan uji lanjutan. Dalam

penelitian yang menggunakan perlakuan kuantitatif, uji lanjutan yang tepat adalah dengan

menggunakan metode ortogonal polinomial. Kegunaan metode ortogonal polinomial yaitu untuk

mengetahui hubungan fungsi respon antar perlakuan, dari hubungan fungsi tersebut bisa diduga respon

dari perlakuan di luar pengamatan. Gomez dan Gomez (1995) telah menguraikan hubungan antara

fungsi respon dengan jarak perlakuan berbeda hingga berderajat tiga. Pada penelitian ini akan

membahas tentang hubungan fungsi respon dengan perlakuan pada suatu pengamatan hingga

membentuk suatu fungsi ortogonal polinomial berderajat empat dengan ulangan sama dan jarak

perlakuan berbeda.

2. TINJAUAN TEORI

Asumsi dalam analisis ragam yang perlu diperhatikan adalah pengaruh perlakuan dan pengaruh

lingkungan harus aditif, galat percobaan harus menyebar secara normal, galat percobaan mempunyai

ragam yang homogen, dan kebebasan galat percobaan. Cara untuk mengatasi apabila terjadi

ketidaknormalan atau keheterogenan galat adalah dengan melakukan transformasi.

Rancangan percobaan yang hanya melibatkan satu faktor dan dilakukan pengacakan secara

lengkap pada perlakuan yang diamati sehingga setiap satuan pengamatan memiliki peluang yang sama

untuk mendapat setiap perlakuan disebut Rancangan Acak Lengkap (RAL). Model umum Rancangan

Acak Lengkap (RAL) adalah sebagai berikut:

ij i ijY

i = 1,2,.........,t; j = 1,2,.........,ri

Hipotesis yang akan diuji, yaitu:

H0 : (perlakuan tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati)

H1 : paling sedikit ada satu i di mana

Hipotesis nol ditolak apabila nilai statistik uji F > F α/2;db. Jika didapatkan kesimpulan dari analisis

ragam yaitu menolak H0 atau terdapat perbedaan pengaruh perlakuan yang nyata terhadap hasil

pengamatan yang dilakukan maka perlu dilakukan uji lanjutan dengan menggunakan metode ortogonal

polinomial.

Gomez dan Gomez (1995) menjelaskan suatu derajat polinomial ke-n digunakan untuk

mengetahui hubungan antara peubah respon Y dan peubah prediktor X disajikan sebagai berikut:

2

1 2

n

nY X X X

202

Gomez dan Gomez (1995) telah menguraikan perhitungan untuk mendapatkan koefisien

ortogonal polinomial untuk derajat polinomial pertama (linier), derajat polinomial kedua (kuadratik),

dan derajat polinomial ketiga (kubik), sebagai berikut:

i iaL X 2

i iib cQ X X

2 3

i i ii d e fC X X X

Tabel 2. Analisis ragam sesuai dengan pembandingan ortogonal polinomial

Sumber

Keragaman

derajat

bebas (db)

Jumlah

Kuadrat (JK)

Kuadrat

Tengah

(KT)

Statistik

Uji F

Perlakuan

Linier

Kuadratik

Kubik

Kuartik

Galat

Percobaan

t - 1

1

1

1

1

sisa

JKP

JKP1

JKP2

JKP3

JKP4

JKG

KTP

KTP1

KTP2

KTP3

KTP4

KTG

F

Total n - 1 JKT

Untuk pengambilan keputusan dapat dilihat dari hasil pembandingan nilai statistik uji F yang

telah dihitung dengan nilai kritis. Menurut Widiharih (2001:1), penentuan derajat polinomial

didasarkan pada kontras-kontras ortogonal yang nyata, sehingga akan didapatkan hubungan fungsi

respon antar perlakuan sesuai dengan derajat polinomial yang signifikan.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada penelitian ini pengujian asumsi aditivitas dilakukan dengan menggunakan uji Tukey. Nilai

Statistik Uji F pada kedua data disajikan dalam Tabel 3.

Tabel 3. Hasil pengujian asumsi aditivitas

Data Nilai Statistik uji F Nilai Statistik Uji F kritis

(α=0.05)

1 1.4512 5.72

2 0.3210 6.29

Dapat disimpulkan bahwa antara pengaruh perlakuan dengan lingkungan bersifat aditif karena

nilai statistik uji F kurang dari nilai kritis. Hasil pengujian asumsi normalitas menggunakan uji

Shapiro Wilk menunjukkan bahwa galat telah menyebar secara normal. Pengujian asumsi

homogenitas dengan menggunakan uji Levene menunjukkan bahwa galat telah menyebar homogen.

Begitu pula, pengujian asumsi kebebasan galat dengan menggunakan Run Test dapat disimpulkan

bahwa pola perolehan pengamatan melalui suatu proses acak.

Pengujian analisis ragam menunjukkan bahwa terdapat perbedaan pengaruh perlakuan untuk

kedua data maka dapat dilakukan uji lanjutan. Untuk mengetahui hubungan fungsi respon antar

perlakuan maka uji lanjutan yang tepat yaitu dengan menggunakan ortogonal polinomial. Selain itu,

ortogonal polinomial dapat digunakan untuk menduga nilai respon dari perlakuan di luar pengamatan.

Persamaan derajat polinomial keempat adalah sebagai berikut: 2 3 4

uQ k lX mX nX X

Dari nilai penduga parameter tersebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan setiap

derajat polinomial linier, kuadratik, kubik, dan kuartik, sehingga didapatkan hasil koefisien seperti

pada Tabel 4 untuk data 1 dan Tabel 5 untuk data 2.

203

Tabel 4. Koefisien ortogonal polinomial data 1

Derajat

Polinomial

Perlakuan

0 2 4 8 16

Linier -6.0000 -4.0000 -2.0000 2.0000 10.0000

Kuadratik 31.0000 2.0000 -19.0000 -37.0000 23.0000

Kubik -79.7538 71.6546 87.2814 -96.8099 17.6278

Kuartik 57.3804 -174.8737 153.0145 -38.2536 2.7324

Dari setiap derajat polinomial tersebut, apabila koefisien ortogonal polinomial dijumlahkan

akan menghasilkan nol 1

0t

ii

c

dan apabila koefisien tersebut dikalikan setiap derajat polinomial

akan sama dengan nol 0i jc c maka dapat disimpulkan bahwa koefisien ortogonal polinomial

yang didapat sudah benar. Dengan menggunakan koefisien tersebut kemudian dihitung Jumlah

Kuadrat (JK) masing-masing derajat polinomial dengan mengalikan setiap koefisien ortogonal

polinomial dengan total perlakuan. Setelah itu, dihitung Kuadrat Tengah dan statistik uji F sehingga

akan didapatkan analisis ragam seperti pada Tabel 6 untuk data 1.

Tabel 5. Analisis ragam sesuai dengan pembandingan ortogonal polinomial data 1

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Tengah

Statistik

Uji F

Nilai P

Perlakuan

-Linier

-Kuadratik

-Kubik

-Kuartik

Galat

4

1

1

1

1

25

0.5810

0.3705

0.1568

0.0192

0.0345

0.1119

0.1453

0.3705

0.1568

0.0192

0.0345

0.0045

32.4471

82.7670

35.0210

4.2869

7.7135

<0.0001

<0.0001

<0.0001

0.0489

0.0102

Total 29 0.6929

Berdasarkan hasil analisis ragam pada Tabel 6 untuk data 1 didapatkan kesimpulan bahwa data

1 dapat dibentuk fungsi respon dengan perlakuan pada derajat polinomial linier, kuadratik, dan kuartik

sedangkan data 2 dapat dibentuk fungsi respon dengan perlakuan pada derajat polinomial linier dan

kuartik. Hasil regresi polinomial untuk kedua data terdapat pada Lampiran 8. Berikut merupakan

persamaan regresi yang diperoleh:

Data 1 : ˆ 1.022 0.0196y x (linier)

2ˆ 1.1105 0.0666 0.0028y x x (kuadratik)

2 3 4ˆ 1.1550 0.2390 0.0747 0.0088 0.0003y x x x x (kuartik)

Data 2 : ˆ 13.853 0.691y x (linier)

42 3ˆ 14.5750 19.00 34.3 18.83 3.12y x x x x (kuartik)

Dari penghitungan koefisien determinasi dari setiap persamaan regresi polinomial yang mungkin

terjadi menunjukkan bahwa untuk data 1 dapat diambil kesimpulan bahwa persamaan regresi terbaik

terletak pada derajat polinomial ke-empat (kuartik) karena memiliki nilai koefisien determinasi (R2)

tertinggi yaitu sebesar 0.813. Untuk data 2 dapat diambil kesimpulan bahwa persamaan regresi terbaik

terletak pada derajat polinomial ke-empat (kuartik) karena memiliki nilai koefisien determinasi (R2)

tertinggi yaitu sebesar 0.403.

Dengan meregresikan setiap perlakuan dengan respon didapatkan nilai penduga koefisien

regresi untuk kemudian dibentuk fungsi respon setiap data seperti pada Gambar 1 untuk data 1.

204

Gambar 1. Kurva pengaruh penundaan pemberian

pakan terhadap panjang villi usus ayam pedaging

Dari pembentukan fungsi respon dengan perlakuan dapat dilakukan pendugaan nilai respon

pada perlakuan di luar pengamatan. Sebagai permisalan pada data 1 dilakukan penundaan pemberian

pakan selama 1 jam dan 10 jam maka nilai duga panjang villi usus ayam pedaging tersebut masing-

masing yaitu 0.8272 cm dan 0.28 cm.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat rumus untuk menghitung

koefisien ortogonal polinomial berderajat empat (kuartik). Dari rumus tersebut kemudian dapat

diterapkan ke dalam penelitian untuk mengetahui hubungan fungsi respon antara perlakuan.

DAFTAR PUSTAKA

Gomez, K. A. dan Gomez, A. A., (1995), Prosedur Statistik untuk Penelitian Pertanian, Terjemahan:

Endang Sjamsuddin dan Justika S. Baharsjah, UI Press, Jakarta, hal. 231-237.

Widhiarih, T., (2001), Pendekatan Regresi Polinomial Orthogonal pada Rancangan Dua Faktor

(dengan Aplikasi SAS dan Minitab), Jurnal Matematika dan Komputer, 4, hal. 1-10.

Yitnosumarto, S., (1987), Percobaan, Perancangan, Analisis dan Interpretasinya, Universitas

Brawijaya. Malang.

Fitted and observed relationship with 95% confidence limits

0 4

-0.2

8

0.0

12

0.2

16

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

2 10 14 6

Panja

ng V

illi

Usu

s (c

m)

Lama Penundaan Pemberian Pakan (jam)