4. matriks (1) - copy

M A T R I K

A. Materi Pembelajaran

Teori Pembelajaran Invers Matriks

Siti dan teman-teman makan diwarung. Mereka memsan 3 ayam penyet dan 2 gelas esjeruk.

Kemudian Beni datang dan bolnya, memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti

menantang Amir untuk menentukan harga satu porsi ayam penyet dan satu gelas es jeruk jika Siti

membayar pesanannya yang dimakan bersama temannya Rp. 70.000,- sementara Beni membayar

Rp. 115.000,- Berapa harga satu porsi ayam penyrt dan satu gelas es jeruk

Perhatikan sistem persamaan linier dari masalah diatas.

3 25 3

푥푦 = 70000

115000 ↔ 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵

Karena A adalah matrik tak singular maka matrik A mempunyai invers, karean itu langkah

berikutnya adalah menetukan Marik X

X = 3 −2−5 3 70000

115000

X = 푥푦 = −2000

−5000 = 20005000

Diperoleh : 푥푦 = −2000

−5000 sehinnga x = 20.000 dan y = 5.000

Didapat hasil yang sama jika penyelesaian menggunakan SPLDV ( Substitusi Persamaan Linear Dengan

Variabel). Siswa diajak untuk menemukan aturan untuk menentukan invers matrik dengan meninjau

langkah-langkah pemecahan masalah diatas. Membuat kespakatan terkait batasan persyaratn yang

diperlukan untuk menentukan inversE sebuah matrik

Dari 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵

Maka 푨 ퟏ = ퟏ푫푬푻 푨

푎 −푏−푐 푑 , dimana A = 푎 푏

푐 푑 matrik ordo 2 non singular

Salah satu sifat invers matrik 퐴( ).A = A. 퐴( ) = I maka bentuk 퐴.푋 = 퐵 dapat dimodifikasi

menjadi : 푨 ퟏ. 퐴.푋 = 푨 ퟏ .퐵

(푨 ퟏ. 퐴).푋 = 푨 ퟏ. B

I.X = 푨 ퟏ. B

X = 푨 ퟏ. B karena I.X = X

Berlaku secara um7m dengtan syarat det A ≠ 0


Perhatikan sistem persamaan linier

3 25 3

푥푦 = 7000

11500 ↔ 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵



X = 3 −2−5 3 70000

115000

X = 푥푦 = −2000

−5000 = 20005000


−5000 sehinnga x = 20.000 dan y = 5.000

Didapat hasil yang sama jika penyelesaian menggunakan SPLDV ( Substitusi Persamaan

Linear Dengan Variabel). Siswa diajak untuk menemukan aturan untuk menentukan invers matrik dengan meninjau langkah-langkah pemecahan masalah diatas. Membuat kespakatan

terkait batasan persyaratn yang diperlukan untuk menentukan inverssebuah matrik Dari 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵




Salah satu sifat invers matrik 퐴( ).A = A. 퐴( ) = I maka bentuk 퐴.푋 = 퐵 dapat

dimodifikasi menjadi : 푨 ퟏ. 퐴.푋 = 푨 ퟏ .퐵

(푨 ퟏ. 퐴).푋 = 푨 ퟏ. B

I.X = 푨 ퟏ. B



Teori Transpose matrik :

Transpose matrik adalah membalik elemen barin menjaadi kolom sehingga susunan elemennya berubah.

A = 푎 푏푐 푑 maka 퐴 = 푎 푐

푏 푑 , sifat ini dapat dikombinasikan

operasi-operasi matrik pada umummnya misalnya perkalian, perjumlahan, pengurangan dan

sebagainya.

Tes tertulis

1. Diketahui matriks

420332

A

012384

, B dan

123652

C . Tentukan matriks

yang diwakili oleh CBA t )(

2. Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan

yx

433

xy

xy2

2

4371

3. Tentukan matriks P dari operasi matriks berikut:

a. P +

4023

5231

b.

P46310

6504

4. Diketahui matriks-matriks

4203

A

2351

, B ,dan C

4233

tentukan

a. (A.B).C

b. 2A.B

Kunci Jawaban dan penskoran:

1. A + B =

420332

+

012384

=

4126

112

(A+B)t =

4211162

Type equation here.............................. skor 6

(A+B)t + C =

123

6524211162

=

3414714

…………………………..skor 4

yx

433

.2

xy

xy2

2 =

4371

xyyyx

221

=

4371

…………………………..skor 4

2 – y = 3 y = -1 …………………………….skor 2 y –x = -4 -1 – x = -4 X = 3 ………………………. skor 2

3. (a). P +

4023

=

5231

P =

5231

-

4023

…………………………. skor 3

P =

42

54 …………………………..skor 3

(b)

46310

- P =

6504

P =

46310

-

6504

…………………………..skor 3

P =

21136

………………………….skor 3

4. (a) A.B =

42

03 x

32

51

=

210

153 ………………………..skor 5

(AB).C =

210

153x

4233

=

38345121

………………………..skor 5

(b) 2A = 2

42

03

=

82

06 ………………………….skor 5

2A.B =

82

06 x

32

51

=

1418

306 ……………………………skor 5

A. Penjumlahan matriks.

1. Tentukan hasil penjumlahan matriks –matriks berikut! Contoh :

a.

5850

055332)1(1

0531

5321

b.

238

121402)7(426

57)3(213072531

246723

Lanjutkan dengan mengerjakan soal- soal berikut!

1. Jika A=

6431

dan B=

6837

.tentukan A + B

2. Jika P =

734

623 dan Q =

734693

,tentukan P + Q

3. Jika P =

321

, Q =

321

dan R =

321

Tentukan P + Q + R

Penyelesaian untuk soal nomor 1

6431

+

6837

=

...4

0...

Penyelesaian nomor 2

734

623+

734693

=

......8...11...

Penyelesaian soal nomor 3

321

+

321

+

321

=

...

...3

Latihan soal

Tentukan hasil dari operasi penjumlahan matriks berikut !

1.

285127

321+

283128

529

2.

503236160132

823172

01001

B. Pengurangan Matriks 1. Tentukan hasil pengurangan matriks –matriks berikut! Contoh :

a.

5812

055332)1(1

0531

5321

b.

2114

25202)7(426

57)3(213072531

246723


2. Jika A=

6431

dan B=

6837

.tentukan A - B

3. Jika P =

734

623 dan Q =

734693

,tentukan P - Q

4. Jika P =

321

, Q =

32

15dan R =

921

Tentukan P - Q – R


A – B =

6431

-

6837

=

0......6


P – Q =

734

623-

734693

=

...6...

...7...


P – Q – R =

321

-

32

15-

321

=

3...

.15..

Latihan soal

Tentukan hasil dari operasi pengurangan matriks berikut !

1.

285127

321

283128

529

2 .

283128

529

285127

321

3. 63727421

A. Perkalian Skalar dengan matriks 1. Tentukan hasil perkalian skalar dengan matriks –matriks berikut! Contoh :

1. Jika k adalah suatu skalar yang besarnya 3 dan A =

283128

529tentukan

a. k X A b. Axk

Penyelesaian :

a. k x A = 3x

283128

529=

)2(38333)1(32383

532393 =

62493624

15627

b. A x k =

283128

529x3 =

3)2(83333)1(3238

353239=

62493624

15627


2. 5x

283128

529

3.

283128

529x2

4.

43

113

3421

2 xx

Cara pengerjaan isilah titik titik yang masih kosong pada pengerjaan matriks untuk menyelesaikan soal no. 2

5 x

283128

529=5x

.......15............10...


5x

283128

529=

.........

.........252...


4311

33421

2 =

............

......3...

......

...2

Selanjutnya kerjakan soal soal latihan berikut!

1. 5x

283128

529

2.

283128

529x5

3. 3x

283128

529+2x

283128

529

4.

dcba

k

5. kdcba

6.

1653

gk

7.

1653

1653

gk

8.

146

346

k

9.

146

346

4

10. 4146

346

B. Perkalian Matriks dengan matriks 1. Tentukan hasil perkalian matriks dengan matriks berikut! Contoh :

Jika A =

0142

dan B =

0142

maka tentukan

a. A x B b. B x A Penyelesaian ;

a.

0142

.

0142

=

0041102104421422

=

4288

b.

0142

.

0142

=

0041102104421422

=

4288


1.

0142

.

1001

2.

0142

.

42

3.

0112

. 24 tidak bisa dikerjakan

4.

321

.231

201


0142

.

1001

=

......42


0142

.

42

=

......4...

Bagaimana yang nomor 3 ? Cara pengerjaan isilah titik titik yang masih kosong pada pengerjaan matriks untuk menyelesaikan soal no. 4

321

.231

201 =

...5

Selanjutnya kerjakan soal soal latihan berikut!

1.

0142

.

0146

2.

301

.231304

SOAL SOAL LATIHAN TUGAS DI RUMAH

Kerjakan secara individu dan dikumpulkan

1. Diketahui matriks A =

319232

dan B =

216232

. Tentukan

a. A + B b. A - B c. 5 A + 2 B d. 5 A . B

2. Diketahui A =

13

42 dan B =

13

02 dan C =

0342

.Tentukan

a. A . B b. B . A c. (A + B ) C d. A . ( B - C )

A. Instrumen. 1. Tentukan determinan matriks dari

a. 퐴 = 4 23 1

b. 퐵 = −4 −23 2

2. Tentukan determinan dari ⌊퐴⌋ =1 4 2−2 3 25 −2 0

Jawaban instrument:

1. a. det퐴 = 4.1 − 2.3 = 4 − 6 = −2 b. det퐴 = −4.2− (−2.3) = −8 + 6 = −2

2. ⌊퐴⌋ =1 4 2−2 3 25 −2 0

= ( 0 + 40 + 8 ) – (30 – 4 +0 ) = 48 – 26 = 22

Lembar 1. Lembar Aktivitas

Determinan matriks

Misalkan matriks 퐴 dan matriks 퐵 , maka l ⌊퐴⌋ =푎 푎푎 푎 = 푎 . 푎 .푎

, ⌊퐵⌋ =푏 푏 푏푏 푏 푏푏 푏 푏

= ( 푏 .푏 . 푏 + 푏 푏 . 푏 + 푏 . 푏 . 푏 ) −

(푏 . 푏 .푏 + 푏 .푏 . 푏 + 푏 .푏 . 푏 ),

Contoh 1:

Misal

퐴 = 3 2−2 4 , 퐵 =

1 0 53 4 −31 2 3

Maka ⌊퐴⌋ = 푎푑 − 푏푐

= 3.4 – 2.-2

= 16

⌊퐵⌋ =1 0 53 4 −31 2 3

= ( 1.4.3 + 0.-3.1 + 5.3.2 ) – ( 1.4.5 + 2.-3.1 + 3.3.0 )

= 42 – 14

= 28

Tugas Dirumah

Tugas Mandiri

Kerjakan dan kumpulkan pada pertemuan berikutnya:

1. Tentukan determinan dari matriks-mariks berikut!

a. 1 25 4

b. 2 −33 6

c. −2 0 13 1 10 1 −1

d. 1 3 23 4 55 6 3

e. −2 3 43 −1 24 4 1

B. Instrumen. 3. Tentukan determinan matriks dari

c. 퐴 = 4 23 1

d. 퐵 = −4 −23 2

4. Tentukan determinan dari ⌊퐴⌋ =1 4 2−2 3 25 −2 0

Jawaban instrument:

3. a. det퐴 = 4.1 − 2.3 = 4 − 6 = −2 b. det퐴 = −4.2− (−2.3) = −8 + 6 = −2

4. ⌊퐴⌋ =1 4 2−2 3 25 −2 0

= ( 0 + 40 + 8 ) – (30 – 4 +0 ) = 48 – 26 = 22

Lembar 1. Lembar Aktivitas

Determinan matriks (halaman 68 - 78)

Misalkan matriks 퐴 dan matriks 퐵 , maka l ⌊퐴⌋ =푎 푎푎 푎 = 푎 . 푎 .푎

, ⌊퐵⌋ =푏 푏 푏푏 푏 푏푏 푏 푏

= ( 푏 .푏 . 푏 + 푏 푏 . 푏 + 푏 . 푏 . 푏 ) −

(푏 . 푏 .푏 + 푏 .푏 . 푏 + 푏 .푏 . 푏 ),

Contoh 1:

Misal

퐴 = 3 2−2 4 , 퐵 =

1 0 53 4 −31 2 3

Maka ⌊퐴⌋ = 푎푑 − 푏푐

= 3.4 – 2.-2

= 16

⌊퐵⌋ =1 0 53 4 −31 2 3

= ( 1.4.3 + 0.-3.1 + 5.3.2 ) – ( 1.4.5 + 2.-3.1 + 3.3.0 )

= 42 – 14

= 28

Tugas Dirumah

Tugas Mandiri

Kerjakan dan kumpulkan pada pertemuan berikutnya:

2. Tentukan determinan dari matriks-mariks berikut!

f. 1 25 4

g. 2 −33 6

h. −2 0 13 1 10 1 −1

i. 1 3 23 4 55 6 3

j. −2 3 43 −1 24 4 1

B. Materi Pembelajaran


Siti dan teman-teman makan diwarung. Mereka memsan 3 ayam penyet dan 2 gelas esjeruk.

Kemudian Beni datang dan bolnya, memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti

menantang Amir untuk menentukan harga satu porsi ayam penyet dan satu gelas es jeruk jika Siti

membayar pesanannya yang dimakan bersama temannya Rp. 70.000,- sementara Beni membayar

Rp. 115.000,- Berapa harga satu porsi ayam penyrt dan satu gelas es jeruk

Perhatikan sistem persamaan linier dari masalah diatas.

3 25 3

푥푦 = 70000

115000 ↔ 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵



X = 3 −2−5 3 70000

115000

X = 푥푦 = −2000

−5000 = 20005000


−5000 sehinnga x = 20.000 dan y = 5.000

Didapat hasil yang sama jika penyelesaian menggunakan SPLDV ( Substitusi Persamaan Linear Dengan

Variabel). Siswa diajak untuk menemukan aturan untuk menentukan invers matrik dengan meninjau

langkah-langkah pemecahan masalah diatas. Membuat kespakatan terkait batasan persyaratn yang

diperlukan untuk menentukan inverssebuah matrik

Dari 퐴.푋 = 퐵 ↔ 푋 = 퐴 .퐵




Salah satu sifat invers matrik 퐴( ).A = A. 퐴( ) = I maka bentuk 퐴.푋 = 퐵 dapat dimodifikasi

menjadi : 푨 ퟏ. 퐴.푋 = 푨 ퟏ .퐵

(푨 ퟏ. 퐴).푋 = 푨 ퟏ. B

I.X = 푨 ퟏ. B



5. Diketahui matriks-matriks

4203

A

2351

, B ,dan C = A + B

Tantukan harga 푪 ퟏ

6. . Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan

yx

433

xy

xy2

2

4371

Kunci Jawaban dan penskoran: 1. C = A + B score 20

C =

42

03

+

23

51

=

65

54

score 20

퐶 =

6554

...................... score 20

퐶 =

6554

=

34/634/534/534/4

--------score 40

yx

433

.2

xy

xy2

2 =

4371

score 20

xyyyx

221

=

4371

…………………………..skor 40

2 – y = 3 y = -1 …………………………….skor 20 y –x = -4 -1 – x = -4 X = 3 ………………………. skor 20 Score tiap soal = 100 Score maksimal 200 /2 = 100

C.

D. Materi Pembelajaran . Perkalian dua matriks.

Misalkan matriks An x m dan matriks B m x p matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika

Banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Hasil perkalian matriks A berordo

n x m terhadap matriks B berordo m x p adalah suatu matriks berordo n x p. proses menentukan

elemen-elemen hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut :

nmnnnn

n

n

n

mxn

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

A

4321

3333231

2232221

1131211

:::::.........

,dan

mpmmm

n

n

m

pxm

bbbb

bbbbbbbbbbbb

B

...:::::

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A n x m dan matriks B m x p dinotasikan 퐶 = 퐴 × 퐵, maka :

Matriks C berordo n x p Elemen-elemen matriks C pada baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan c ij diperoleh dengan

cara mengalikan elemen baris ke I matriks A dengan elemen kolom ke j matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan c ij = a i1b 1j + a i2b 2j +a i3b 3j+… +a inb nj.

Tes tertulis 1. Tentukan hasil perkalian matriks-matriks berikut !

a. 1 22 50 4

1 25 4

b. −2 0 13 1 10 1 −1

1 3 23 4 55 −6 −3

2. Diketahui matriks-matriks berikut :

퐴 = [−5 3 2 −2 7] ,퐵 =

⎣⎢⎢⎢⎡

4 0−7 −93 −2−1 1−5 6 ⎦

⎥⎥⎥⎤

Tentukan nilai A.B !

Kunci Jawaban dan penskoran: Jawaban nomor 1

Jawaban Skor

a. 1 22 50 4

1 25 4 =

1 + 10 2 + 82 + 25 4 + 200 + 20 0 + 16

=11 1027 2420 16

10

b. −2 0 13 1 10 1 −1

1 3 23 4 55 −6 −3

=

−2 + 0 + 5 −6 + 0 − 6 −4 + 0 − 33 + 3 + 5 9 + 4− 6 6 + 5 − 30 + 3 − 5 0 + 4 + 6 0 + 5 + 3

=3 −12 −7

11 7 8−2 10 8

10

Jawaban nomor 2 Jawaban Skor

퐴퐵 = [−5 3 2 −2 7]

⎣⎢⎢⎢⎡

4 0−7 −93 −2−1 1−5 6 ⎦

⎥⎥⎥⎤

=

[−20 − 21 + 6 + 2 − 35 0 − 27 − 4 − 2 + 42] = [−68 9]

10

A. Misalkan matriks 퐴 dan matriks 퐵 , matriks 퐴 dapat dikalikan dengan matriks 퐵 jika banyak kolom matriks 퐴 sama dengan matriks 퐵. Hasil perkalian matriks 퐴 berordo 푚푥푛 dengan matriks berordo 푛푥푝 adalah suatu matriks berordo 푚푥푝.

Misal 퐴 =푎 푎푎 푎 , 퐵 = 푏 푏

푏 푏 ,

Maka 퐴푥퐵 = 푎 . 푏 + 푎 .푏 푎 . 푏 + 푎 .푏푎 . 푏 + 푎 .푏 푎 . 푏 + 푎 .푏

Contoh 1:

Misal

퐴 =−1 02 30 −2

, 퐵 = 0 3 −23 0 4

Maka 퐴푥퐵 =(… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… )(… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… )(… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… ) (… 푥… ) + (. . . 푥… )

=… + . . . … + . . . … + . . .… + . . . … + . . . … + . . .… + . . . … + . . . … + . . .

=… … …… … …… … …

TUGAS DIRUMAH

Tugas Mandiri

Kerjakan dan kumpulkan pada pertemuan berikutnya !

3. Tentukan hasil perkalian matriks-mariks berikut!

k. 1 22 50 4

1 25 4

l. 2 1 57 6 7

−301

m. −2 0 13 1 10 1 −1

1 0 00 1 00 0 1

n. 1 0 00 1 00 0 1

1 3 23 4 55 6 3

4. matriks (1) - copy

Documents