4. fungsi invers

MODUL AJAR MATEMATIKA

Kode Modul : MA34FI

Pokok Bahasan : Fungsi Invers

Penyusun : Nur Muchamad

Website : matematika.mdl2.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2014

http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 1

FUNGSI INVERS

A. Konsep dan Sifat Invers Fungsi

Misalkan fungsi 𝑓 adalah pemetaan dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 dinyatakan dalam

bentuk pasangan terurut:

𝑓 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐵}

Suatu relasi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐴 yang diperoleh dengan cara menukarkan

tiap pasangan terurut (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑓 menjadi (𝑏, 𝑎) disebut invers fungsi 𝑓. Invers fungsi 𝑓

dilambangkan dengan 𝑓−1.

Jadi invers suatu fungsi didefiniskan sebagai berikut:

Definisi:

Jika fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dinyatakan dengan pasangan terurut

𝑓 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐵

Maka invers dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 ditentukan oleh

𝑓−1 = {(𝑏, 𝑎)|𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ∈ 𝐴}

Catatan:

1. Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi.

2. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi

invers.

Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 mempunyai fungsi invers 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 jika dan hanya jika 𝑓

merupakan fungsi bijektif atau dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵 dalam korespondensi

satu-satu.

B. Fungsi Invers dari Suatu Fungsi

Jika 𝑓 adalah suatu fungsi bijektif maka invers fungsi 𝑓 merupakan fungsi atau 𝑓−1

adalah fungsi invers.

Misalkan fungsi 𝑓 adalah fungsi bijektif dan 𝑦 adalah peta dari 𝑥 oleh fungsi 𝑓, sehingga

pemetaan oleh fungsi 𝑓 dapat dinyatakan dengan persamaan:

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Kalau 𝑓−1 adalah invers dari fungsi 𝑓, maka 𝑥 adalah peta dari 𝑦 oleh fungsi 𝑓−1. Jadi,

pemetaan oleh fungsi 𝑓−1 dapat dinyatakan dengan persamaan:

𝑥 = 𝑓−1(𝑦)

Rumus 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) diperoleh dengan cara menyatakan persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam

bentuk 𝑥 sebagai fungsi 𝑦. Selanjutnya dengan mengganti peubah 𝑦 pada 𝑓−1(𝑦) dengan

peubah 𝑥, didapatlah rumus fungsi invers 𝑓−1(𝑥).

Berdasarkan uraian di atas, langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers

𝑓−1(𝑥) kalau fungsi 𝑓(𝑥) sudah diketahui adalah sebagai berikut.

Langkah 1

Ubah persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam bentuk 𝑥 sebagai fungsi 𝑦.


Langkah 2

Bentuk 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 pada langkah 1 dinamai dengan 𝑓−1(𝑦).

Langkah 3

Gantilah 𝑦 pada 𝑓−1(𝑦) dengan 𝑥 untuk mendapatkan 𝑓−1(𝑥).

𝑓−1(𝑥) adalah rumus fungsi invers dari fungsi 𝑓(𝑥).

Jika fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi bijektif dan 𝑓−1(𝑥) adalah fungsi invers dari 𝑓(𝑥), maka

berlaku:

1. 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝐼 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠.

2. Grafik fungsi 𝑓 𝑥 dengan fungsi 𝑓−1(𝑥) simetri atau setangkup terhadap garis

𝑦 = 𝑥.

Contoh Soal:

Jika diketahui 𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥+2 dengan 𝑥 ≠ 2. Maka tentukanlah inversnya!

Penyelesaian:

Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑦, dengan kata lain 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)sehingga fungsinya menjadi

𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥 + 2

𝑦 =𝑥

𝑥 + 2

𝑦 𝑥 + 2 = 𝑥

𝑦𝑥 + 2𝑦 = 𝑥

𝑦𝑥 − 𝑥 = −2𝑦

𝑦 − 1 𝑥 = −2𝑦

𝑥 =−2𝑦

𝑦 − 1

Karena 𝑥 = 𝑓−1(𝑦), maka 𝑓−1 𝑦 =−2𝑦

𝑦−1

Sehingga 𝑓−1 𝑥 =−2𝑥

𝑥−1 dengan 𝑥 ≠ 1.

C. Grafik Fungsi Invers

a. Menentukan Domain dan Kodomain Fungsi Invers

Contoh Soal:

Diketahui fungsi 𝑓 ditentukan oleh rumus 𝑓 𝑥 =2

𝑥+1.

1. Carilah rumus 𝑓−1(𝑥)

2. Tentukan domain dan kodomain fungsi 𝑓 agar 𝑓(𝑥) mempunyai fungsi invers.

Penyelesaian:

1. Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑦 =

2

𝑥 + 1

𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑦(𝑥 + 1) = 2

𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑦𝑥 + 𝑦 = 2


𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑦𝑥 = 2 − 𝑦

𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑥 =

2 − 𝑦

𝑦

𝑓 𝑥 =2

𝑥 + 1⇔ 𝑓−1 𝑦 =

2 − 𝑦

𝑦

Jadi, invers dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓−1 𝑥 =2−𝑥

𝑥

2. Karena fungsi 𝑓 berbentuk fungsi rasional (pecahan), maka syarat agar

domainnya Real adalah bahwa penyebutnya tidak boleh sama dengan nol.

Dengan kata lain 𝑥 + 1 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ −1.

Jadi, domain untuk fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ≠ −1, 𝑥 ∈ 𝑅}.

Kita mengetahui bahwa rumus 𝑓−1 𝑥 =2−𝑥

𝑥, sehingga domain alaminya adalah

semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak sama dengan nol, dengan

kata lain 𝑥 ≠ 0.

Karena domain untuk 𝑓−1(𝑥) juga sekaligus kodomain untuk fungsi 𝑓 (ingat

definisi invers fungsi), maka kodomain dari 𝑓 adalah 𝐾𝑓 = {𝑥|𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

b. Menggambar Grafik Fungsi Invers

Telah diketahui bahawa fungsi 𝑓 memiliki invers (𝑓−1) jika dan hanya jika fungsi 𝑓

adalah bijektif. Grafik fungsi bijektif pada himpunan bilangan Real adalah kurva

yang dibagun oleh himpunan titik-titik {𝑥, 𝑓 𝑥 }, sedangkan grafik fungsi inversnya

dibangun oleh himpunan titik-titik 𝑓 𝑥 ,𝑥 .

Contoh Soal:

Diketahui fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 ditentukan oleh 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6. Tentukanlah:

1. Rumus fungsi 𝑓−1(𝑥)

2. Daerah asal (domain) untuk 𝑓(𝑥)

3. Daerah asal (domain) untuk 𝑓−1 𝑥

4. Gambarlah grafik fungsi 𝑓 𝑥 dan 𝑓−1 𝑥

Penyelesaian:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑦

𝑦 = 2𝑥 + 6

𝑦 − 6 = 2𝑥

𝑦 − 6

2= 𝑥

𝑥 =𝑦 − 6

2

𝑓−1 𝑦 =𝑦 − 6

2

𝑓−1 𝑥 =𝑥 − 6

2

2. Daerah asal fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅


3. Daerah asal fungsi 𝑓−1 adalah 𝐷𝑓 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅

4. Untuk 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6

𝑥 0 −3

𝑓(𝑥) 6 0

Untuk 𝑓−1 𝑥 =𝑥−6

2

𝑥 0 6

𝑓−1(𝑥) 3 0

Grafik 𝑓(𝑥) dan 𝑓−1(𝑥)

Apabila diperhatikan dengan seksama, terlihat bahwa grafik fungsi 𝑓(𝑥) dengan

grafik fungsi inversnya 𝑓−1 𝑥 simetris terhadap garis 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥, sehingga

dapat dikatakan bahwa:

Grafik dari fungsi invers 𝑓−1(𝑥) adalah pencerminan dari grafik fungsi 𝑓(𝑥) terhadap

garis 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥.

D. Invers dari Fungsi Komposisi

Perhatikan gambar diagram panah fungsi komposisi berikut ini.


Dari diagram tersebut terlihat bahwa fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓) memetakan dari 𝑎 ke 𝑐.

Sedangkan fungsi invers dari (𝑔 ∘ 𝑓) yaitu 𝑔 ∘ 𝑓 −1 memetakan dari 𝑐 ke 𝑎, atau dapat

dinyatakan dengan 𝑔 ∘ 𝑓 −1 𝑐 = 𝑎.

Dalam hal ini, 𝑔−1 memetakan 𝑐 ke 𝑏 dan 𝑓−1 memetakan 𝑏 ke 𝑎, seperti yang terlihat

pada diagram berikut ini.

Maka diperoleh 𝑓−1 𝑔−1 𝑐 = 𝑓−1 𝑏 = 𝑎 dengan 𝑓−1 𝑔−1 𝑐 = 𝑓−1 ∘ 𝑔−1 (𝑐).

Untuk sembarang nilai 𝑥, secara umum dapat dikatakan bahwa:

𝑔 ∘ 𝑓 −1 𝑥 = 𝑓−1 ∘ 𝑔−1 (𝑥)

Dengan perluasan konsep didapat pula bahwa 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝑕 −1 𝑥 = 𝑕−1 ∘ 𝑔−1 ∘ 𝑓−1 (𝑥).

E. Menentukan Komponen Fungsi Komposisi dengan Menggunakan Sifat-sifat Invers

Fungsi

Sifat-sifat Fungsi Invers

1. 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝐼

2. 𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 𝑔−1 ∘ 𝑓−1

3. Jika 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑕, maka 𝑓 = 𝑕 ∘ 𝑔−1

4. Jika 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑕, maka 𝑔 = 𝑓−1 ∘ 𝑕

Contoh Soal:

Jika 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥 + 1 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3, maka 𝑓 𝑥 = . . . .

Penyelesaian:

Berdasarkan sifat invers fungsi, bahwa jika 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑕, maka 𝑓 = 𝑕 ∘ 𝑔−1.

Kita ketahui 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥 + 1 = 𝑕(𝑥). Maka kita perlu mencari terlebih dahulu

untuk rumus 𝑔−1(𝑥).

Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑦 sehingga 𝑥 = 𝑔−1(𝑦), maka

𝑦 = 2𝑥 + 3

2𝑥 + 3 = 𝑦

2𝑥 = 𝑦 − 3

𝑥 =𝑦 − 3

2

Karena 𝑥 = 𝑔−1(𝑦) maka 𝑔−1 𝑦 =𝑦−3

2.


Atau 𝑔−1 𝑥 =𝑥−3

2.

Jadi, diketahui bahwa 𝑔−1 𝑥 =𝑥−3

2.

𝑓 𝑥 = 𝑕 𝑥 ∘ 𝑔−1 𝑥

𝑓 𝑥 = 6𝑥 + 1 ∘ 𝑥 − 3

2

𝑓 𝑥 = 6. 𝑥 − 3

2 + 1

𝑓 𝑥 = 3. 𝑥 − 3 + 1

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 9 + 1

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 8

Jadi, rumus untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 8.

F. Menentukan Rumus Invers Fungsi dengan Metode Arah Perjalanan Terbalik

DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas

XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk

Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI

Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.

Jakarta: Erlangga.

4. fungsi invers

Education