INTERPOLASI

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan, bila kita

memerlukan nilai suatu fungsi y = f (x) yang tidak diketahui perumusannya secara tepat

pada nilai argumen x tertentu, bila nilainya pada argumen lain di sekitar argumen yang

diinginkan diketahui.

Untuk memperlihatkan hal ini akan ditinjau contoh berikut. Misalkan kita melakukan

percobaan atau pengamatan, dan dari upaya tersebut diperoleh sekumpulan data (x, y),

seperti tabel berikut. Hubungan y = f (x) tidak kita ketahui secara jelas (eksplisit).

x y1,0 1,01,1 1,211,2 1,441,3 1,691,4 1,961,5 2,25

Misalkan suatu waktu kita memerlukan nilai y = f(1,45) yang tidak tercantum pada tabel

tersebut. Dalam keadaan demikian, kita perlu memperkirakan nilai y = f(1,45) dengan

melakukan interpolasi pada data yang tersedia. Untuk itu kita perlu memisalkan bahwa

antara dua titik argumen yang berdekatan, y mengikuti suatu fungsi tertentu, misalkan

bahwa x = 1,4 dan x = 1,5 fungsi berbentuk linear, atau y (1,4) dan y (1,5) dihubungkan oleh

suatu garis lurus.

Dengan demikian y(1,45) terletak di tengah-tengah antara y(1,4) dan y(1,5), sehingga

berdasarkan anggapan tersebut diperoleh:

y(1,45) = 1,96+2,25

2 = 2,0325

Cara demikian disebut interpolasi linear. Metode yang paling sering digunakan untuk

menaksir harga tengah di antara titik-titik data yang tepat adalah interpolasi polinomial.

Bentuk umum polinomial orde ke-n:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ……. + anxn

untuk (n + 1) titik data terdapat tepat satu, dan hanya satu polinomial orde n yang melalui

semua titik tersebut. Contoh polinomial interpolasi:

A

B

C

D

E

x0 x x1X

x0 xx0 x1xx0

A

B

CE

Xx1xx0

(a) (b) (c)

(a) Orde pertama (linear)/ garis lurus

(b) Orde kedua (kuadratik)/ parabola

(c) Orde ketiga (kubik)/ 4 titik

Interpolasi polinomial ini kemudian memberikan sebuah formula (rumus) untuk

menghitung nilai-nilai antara. Walaupun terdapat satu dan hanya satu polinomial orde ke-n

yang mencocokkan (n + 1) titik data, ada berbagai format matematika dimana polinomial ini

dapat dinyatakan. Akan dibahas dua pilihan yaitu polinomial Newton dan polinomial

Lagrange.

A. Polinomial Interpolasi Beda Terbagi Newton

Merupakan bentuk yang paling populer dan berguna. Sebelum menyajikan

persamaan umum, akan diperkenalkan versi orde pertama dan kedua, karena tafsiran

visualnya mudah, yaitu:

1. Interpolasi linear

Memakai segitiga sebangun:

Δ ABC ≈ Δ ADE

y = f (x)

f (x0)

f (x1)

f1(x)

f (x)

f (x1)

f1(x)

f (x)

f (x0)

f (x1)

f1(x)

f (x)

f (x0)

f (x1)

f1(x)

f (x)

f (x0)

f (x1)

f1(x)

f (x)

f (x0)

f (x1)

f1(x)

f (x)

BCDE =

ACAE

f 1 ( x )− f (x0)f (x1 )− f (x0)

= x−x0

x1− x0

f 1 ( x )−f (x0)x−x0

= f (x1 )−f (x0)x1−x0

f1 (x) = f (x0) + f (x1 )−f (x0)x1−x0

(x – x0)

bentuk f (x1 )−f (x0)x1−x0

adalah hampiran beda terbagi hingga untuk turunan pertama.

2. Interpolasi kuadratik

Untuk memperbaiki taksiran dipakai polinomial ordo yang lebih tinggi, yaitu:

f2 (x) = b0 + b1 (x –x0) + b2 (x – x0) ( x – x1)

Penentuan b0, b1 dan b2 :

Bila x = x0

f (x0) = b0 + b1 (x0 –x0) + b2 (x0 – x0) ( x0 – x1)

b0 = f (x0)

Bila x = x1

f (x1) = f (x0) + b1 (x1 –x0) + b2 (x1 – x0) ( x1 – x1)

b1 = f (x1 )−f (x0)x1−x0

Bila x = x2

f (x2) = f (x0) + f (x1 )− f (x0)x1−x0

(x2 –x0) + b2 (x2 – x0) ( x2 – x1)

b2 = f (x2 )−f (x1)x2−x1

−f (x1)−f (x0)x1−x0

x2−x0

Bentuk Umum Polinomial Interpolasi Newton

Analisis sebelumnya dapat diperluas untuk mencocokkan polinomial ordo n terhadap

(n + 1) data.

fn (x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) + ……. + bn (x – x0) (x – x1)……. (x – xn-1)

Seperti telah dilakukan sebelumnya dengan interpolasi linear dan kuadratik titik data

dapat digunakan untuk menghitung koefisien-koefisien b0, b1, b2…….bn. untuk polinomial

ordo ke-n, diperlukan (n + 1) titik data: x0, x1, x2…….xn. koefisien-koefisien tersebut:

b0 = f (x0)

b1 = f (x0, x1)

b2 = f (x0, x1, x2)

bn = f (x0, x1, x2…….xn)

yang merupakan beda terbagi hingga. Beda terbagi hingga pertama f(x) pada x i dan xj

adalah:

f(xi, xj) = f (x j )−f (xi)x j−x i

Beda terbagi hingga kedua:

f(xi, xj, xk) = f (x j , xk )−f ( xi , x j)

xk−x i

Serupa, beda terbagi hingga ke-n:

f(x0, x1,……. Xn-1, xn) = f (x1 ,…….xn )−f (x0 , xn−1)

xn−x0

Persamaan polinomial interpolasi beda terbagi Newton:

fn(x) = f(x0) + (x - x0) f(x0, x1) + (x - x0) (x – x1) f(x0, x1, x2) + ……. + (x - x0) (x – x1)…….

(x – xn-1) f(x0, x1,……. Xn)

B. Polinomial Interpolasi Lagrange

Berupa penulisan ulang polinomial Newton yang menghindari perhitungan terbagi.

Secara jelas dapat dinyatakan sebagai berikut:

fn(x) = ∑i=0

n

Li ( x ) . f (x i)

dimana:

Li (x) = ∏i=0 , j ≠i

n x−x jxi−x j

Tanda ∏ menyatakan hasil kali dari

Ketika n = 1

i = 0 L0(x) = x−x1

x0−x1

i = 1 L1(x) = x−x0

x1− x0

f1(x) = x−x1

x0−x1f (x0) +

x−x0

x1− x0f (x1)

Ketika n = 2

i = 0 L0(x) = x−x1

x0−x1 . x−x2

x0−x2 ; j = 1 dan 2

i = 1 L1(x) = x−x0

x1− x0 . x−x2

x1− x2 ; j = 0 dan 2

i = 2 L2(x) = x−x0

x2−x0 . x−x1

x2−x1 ; j = 0 dan 1

f2(x) = x−x1

x0−x1 . x−x2

x0−x2f (x0) +

x−x0

x1− x0 . x−x2

x1− x2f (x1) +

x−x0

x2−x0 . x−x1

x2−x1f (x2)

Note:

Metode Newton/Langrange: datanya tidak mengandung galat dan fungsi harus melalui

semua titik

Metode Regresi: datanya masih mengandung galat dan fungsi tidak melalui semua titik