31002-7-746656772037

MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSISBy: Siti Nadhifah, Ir, MM, MSi

PENDAHULUAN

Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok

ukuran lain yang disebut momen. Dari momen ini juga dapat diturunkan

beberapaukuran lain. Bentuk-bentuk sederhana dari momen dan ukuran-ukuran

yang didapat daripadanya akan dapat diuraikan pada modul ini.

MOMEN

Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …, xn. Jika A

adalah bilangan tetap dan r = 0,1, 2, …,maka momen ke – r sekitar A, disingkat m r’,

didefinisikan oleh hubungan: ∑ (xi – A )r

mr’ = __________

n

Untuk A = 0 didapat momen ke – r sekitar nol atau disingkat momen ke – r.

∑ xir

Momen ke r = _______

n

Dan untuk r = 1 didapat rata-rata x¯.

Jika A = x¯. kita peroleh momen ke – r sekitar rata-rata, biasa disingkat

dengan

mr.

∑ (xi – x¯.)r

Dan didapat mr = ___________

n

Untuk r = 2 , maka akan memberikan varians s2

Untuk membedakan apakah momen itu untuk sample atau untuk populasi, maka

dipakai symbol:

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Siti Nadhifah Ir, MM STATISTIK I

1

7Tujuan Instruksional Khusus:

Mahasiswa dapat memperhitungkan bagaimana bentuk data mereka dengan adanya sebaran datanya, sehingga diharapkan untuk menetukan bahwa data mereka menyebar normal atau tidak.

mr dan mr’ untuk momen sample, sedangkan µrdan µr’ untuk momen populasi.

Jadi mr dan mr’ adalah statistic sedangkan µrdan µr’ adalah parameter.

Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus di atas

berturut-turut berbentuk:

∑ (xi – A.)r

mr’ = ___________

n

∑ fi xir ∑ fi (xi - x¯)r

Momen ke- r = _______ dan mr = _____________

n n

dengan n = ∑ fi, xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi.

Dari mr’, harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan

berdasarkan hubungan:

m2 = m2’ – (m1’)2

m3 = m3’ – 3m1’m2’ + 2(m1’)3

m4 = m4’ – 4m1’m3’ + 6(m1’)2m2’ – 3(m1’)4

Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam

daftar distribusi frekuensi, adalah:

Data fi ci fici fici2 fici

3 fici4

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 – 74

5

18

42

27

8

-2

-1

0

1

2

-10

-18

0

27

16

20

18

0

27

32

-40

-18

0

27

64

80

18

0

27

128

Jumlah 100 - 15 97 33 253

∑ ficir

Dengan menggunakan rumus sandi : mr’ = pr ________

n

∑ ficir

m1’ = p ______ = 3 (15/100) = 0,45


2

n

∑ ficir

m2’ = p2 _______ = 32 (97/100) = 8,73

n

∑ ficir

m3’ = p3 ______ = 33 (33/100) = 8,91

n

∑ ficir

m4’ = p4 ______ = 34 (253/100) = 204,93

n

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:

m2 = m2’ – (m1’)2 = 8,73 – (0,45)2 = 8,53

m3 = m3’ – 3m1’m2’ + 2 (m1’)3

= 8,91 – 3 (0,45)(8,73) + 2 (0,45)3 = -2,69

m4 = m4’ – 4m1’m3’ + 6 (m1’)2(m2’) – 3 (m1)4

= 204,93 – 4 (0,45)(8,91) + 6 (0,45)2(8,73) – 3 (0,45)4 = 199,38

Dari data ini diperoleh varians s2 = m2 = 8,53.

KEMIRINGAN

Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bias positif,

negative atau simetris. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang

memanjang ke sebelah kanan, sebaliknya jika ekornya memanjang ke sebelah kiri

didapat model negative. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri. Untuk mengetahui

derajad taksimetri sebuah model digunakan ukuran kemiringan yang dapat

ditentukan oleh:

Rata-rata – Modus 3 (rata-rata)-

median

Kemiringan = _______________ atau empiris: kemiringan = __________________

Simpangan baku simpangan baku

Rumus di atas dinamakan koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan tipe

kedua, dan dapat dikatakan sebagai model positif jika kemiringan positif, negative

jika kemiringan negative dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol.


3

Contoh: Data dari hasil ujian 80 mahasiswa menghasilkan x¯ = 76,62; Me = 77,3;

Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07

76,62 – 77,17

Kemiringan = ____________ = - 0,04 ( karena negative dan dekat nol maka model

13,07 sedikit ke kiri)

KURTOSIS

Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau

runcing datarnya bentuk kurvadisebut kurtosis. Kurva distribusi normal, yang tidak

terlalu runcing atautidak terlalu datar maka dinamakan mesokurtik. Kurva yang

runcing dinamakanleptokurtik sedangkan yang datar disebut platikurtik.

___________________ ___________________ ________________

leptokurtic platikurtik mesokurtik

Salah satu ukuran kurtosis adalah koefisien kurtosis, diberi simbul a4, dan

ditentukan oleh rumus: a4 = (m4/m22) nilai m2 dan m4 diperoleh dari rumus di atas

Kriteria yang didapat dari rumus :

a. a 4 =3 distribusi normal

b. a 4 > 3 distribusi leptokurtic

c. a 4< 3 distribusi platikurtik

Untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering pula

dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul yang rumusnya:

SK ½ (K3 –K1)

k = ________ = ___________

P90 – P10 P90 – P10

Dimana: SK = rentang semi antar kuartil P10 = persentil ke sepuluh

K1 = kuartil ke Satu P90 = persentil ke 90

K3 = kuartil ke tiga P90 – P10 = rentang 10 – 90 persentil

Untuk model distribusi normal, harga k = 0,263


4

Contoh: Diketahui m2 = 8,53; m3 = - 2,69 dan m4 = 199,38

Dan koefisien urtosisnya a4 = (m4/m22) = 199,38/(8,53)2 = 2,74 dan ini

kurang dari 3 jadi kurvanya akan platikurtik.

Contoh:

Dari bab lalu tentangupah 60pegawai diperoleh K1 = Rp 68,25 dan K3 =

90,75

P10 = Rp 58,12 dan P90 = Rp 101,00

Koefisien kurtosis persentil adalah ?

Ringkasan rumus kemencengan dan keruncingan:

JkJk sekelompoksekelompok data data sebanyaksebanyak n: X1,X2, n: X1,X2, ……,,XnXn makamakamomenmomen keke r (r (MrMr) :) :

nnMMrr = 1/n = 1/n ∑∑XXii

rr utkutk data data taktak berkelompokberkelompoki=1i=1nn

MMrr = 1/n = 1/n ∑∑ ffii MMiir r utkutk data data berkelompokberkelompok

i=1i=1

jadijadi::

* r = 1 * r = 1 makamaka MM11 adalahadalah ratarata--rata rata hitunghitung* r = 2 * r = 2 makamaka MM22 variansvarians ((kuadratkuadrat simp.bakusimp.baku))*M*M33 dandan MM44 utkutk mengukurmengukur kemencengankemencengan ((skewnessskewness) ) dandanKeruncinganKeruncingan (kurtosis)(kurtosis)


5

UKURAN KEMENCENGAN UKURAN KEMENCENGAN KURVA(SKEWNESS)KURVA(SKEWNESS)

X X ¯̄ -- Mod 3(XMod 3(X¯̄ -- med)med)

TK = _________ TK = _________ atauatau ____________________

s ss s

UkuranUkuran KemencenganKemencengan jgjg dptdpt diukurdiukur berdasarkanberdasarkan momenmomen keke 3 :3 :

MM33 1 n _1 n _ Data Data tdktdk berkelompokberkelompok: : αα33 = ____ = ___ = ____ = ___ ∑∑ (Xi (Xi –– X )X )33

ss33 nsns33 i=1i=1

MM33 1 k _1 k _ Data Data berkelompokberkelompok : : αα3 3 = ____ = ___ = ____ = ___ ∑∑ fifi (M(Mii –– X)X)33

ss3 3 nsns33 i=1i=1

UntukUntuk interval interval ygyg samasama::

cc33 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k1 kαα33 = ____ = ____ ____ ∑∑ fidifidi33 -- 3 ( __ 3 ( __ ∑∑ fidifidi22)( __ )( __ ∑∑ fidifidi ) + 2 ( __ ) + 2 ( __ ∑∑ fidi)fidi)33

ss33 n I =1 n i=1 n i=1 n I =1 n i=1 n i=1 n i=1n i=1

dimanadimana::

αα33 = = ukuranukuran tingkattingkat kemencengankemencengans = s = simp.bakusimp.bakuc=p= c=p= besarbesar kelaskelas intervalintervalfifi = = frekuensifrekuensi kelaskelas keke II

didi = = simpsimp. . KelasKelas keke IterhadapIterhadap ttkttk asalasal asumsiasumsik = k = banyakbanyak kelaskelas

JadiJadi makinmakin besarbesar αα33 , , kurvakurva distribusidistribusi makinmakin mencengmenceng atauatau miringmiring


6

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS)

• Digunakan• M4 1 n _• Data tdk berkelompok: α4 = ____ = ___ ∑ (Xi – X )4

• s4 ns4 i=1• M4 1 k _• Data berkelompok : α4 = ____ = ___ ∑ fi (Mi – X)4

• s4 ns4 i=1

• c4 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k• α4 = ____ -__ ∑ fidi4 - 4 ( __ ∑ fidi3)( __ ∑ fidi ) + 6( __ ∑ fidi2)( ___ ∑ fidi)2 - 3( __ ∑ fidi)4

• s4 n I =1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1

• dimana:

α3 = ukuran tingkat kemencengans = simp.bakuc=p= besar kelas intervalfi = frekuensi kelas ke I

di = simp. Kelas ke Iterhadap ttk asal asumsik = banyak kelas

Latihan Soal:

1.

Kelas: Frekuensi

0 – 4

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

2

7

12

6

3

Hitunglah:

a. jarak

b. deviasi standar

c. variasinya

d. nilai K1

e. K3

f. Nilai KV

g. Nilai koefisien kemencengan dan keruncingannya?


7

31002-7-746656772037

Documents