Fungsi Hiperbola dan Balikannya Ingat:

Fungsi trigonometri dikaitkan dengan lingkaran satuan L: u2

v2

1.

Fungsi trigonometri lainnya dirancang sebagai

sin

costan

x

xx= ,

cos

sincot

x

xx= ,

1

cossec

xx= ,

1

sincsc

xx= .

Fungsi hiperbolik dikaitkan dengan hiperbol satuan H: u2

v2

1.

Dari rancangan ini langsung diperoleh cosh x 1 dan sinh x .

Fungsi hiperbolik lainnya dirancang seperti fungsi trigonometri, yaitu sinh

coshtanh

x

xx= ,

cosh

sinhcoth

x

xx= ,

1

coshsech

xx= , dan

1

sinhcsch

xx= .

Fungsi hiperbolik y cosh x, y sinh x, y tanh x, dan y sech x terdefinisi

untuk x sedangkan yang lainnya terdefinisi untuk x , x 0.

Suatu pilihan untuk fungsi cosh x dan sinh x adalah kombinasi dari ex dan

ex

. Kita definisikan

2sinh

xx eex

,

2cosh

xx eex

Bentuk eksponen untuk tangen, cotangen, sekan, dan kosekan hiperbolik

adalah

xxh

xxh

x

xx

x

xx

sinh

1csc,

cosh

1sec

,sinh

coshcoth,

cosh

sinhtanh

1sinhcosh 22 xx

Turunan fungsi hiperbolik:

xxhxhD

xxhxhD

xhxD

xhxD

xxD

xxD

x

x

x

x

x

x

cothcsccsc

tanhsecsec

csccoth

sectanh

sinhcosh

coshsinh

2

2

Invers fungsi hiperbolik:

Invers fungsi hiperbolik dikonstruksi dengan cara yang sama seperti invers

fungsi trigonometri.

0,secsec

tanhtanh

0,coshcosh

sinhsinh

1

1

1

1

xhxyyhx

xyyx

xxyyx

xyyx

Invers Sinus Hiperbolik

Invers dari sinh , y x x , ditulis

1sinhy x-= adalah fungsi yang meme-

nuhi1sinh sinh , ,y x x y x y . Dari

1

2sinh ( )y yx y e e-= = -

diperoleh 2 y yx e e-= - , atau 2( ) 2 1 0y ye xe- - = . Selesaikan persamaan

kuadrat ini, diperoleh 2 1ye x x= ± + . Karena ye selalu bernilai positif,

maka 2 1ye x x= + + , sehingga

1 2sinh ln 1 ,( )y x x x x .

Invers Kosinus Hiperbolik

Invers dari cosh , 0y x x= > , ditulis

1coshy x-= adalah fungsi yang meme-

nuhi 1cosh cosh , 1, 0y x x y x y-= Û = ³ ³ . Bentuk logaritma naturalnya

adalah 1 2cosh ln 1 , 1( )y x x x x-= = + - ³ .

Invers Tangen Hiperbolik

Invers dari tanh , y x x , ditulis

1tanhy x-= adalah fungsi yang meme-

nuhi 1tanh tanh , 1 1, y x x y x y . Bentuk logaritma natu-

ralnya adalah 1 1 1

2 1tanh ln , 1 1

x

xy x x- +

-= = - < < .

Turunan dari balikan fungsi hiperbolik:

Turunan invers fungsi hiperbolik diperoleh dari bentuk logaritmanya atau

dengan rumus turunan invers seperti turunan invers fungsi trigonometri.

2

1 2 1

1sinh ln 1 ,( )d d

dx dx xx x x x

2

1 2 1

1cosh ln 1 , 1( )d d

dx dx xx x x x-

-= + - = >

( ) 21 1 1 1

2 1 1tanh ln , 1 1

d d x

dx dx x xx x- +

- -= = - < <

Perhatikan kedua turunan di bawah ini:

11,1

1sin

2

1

xx

xDx

11,1

1cos

2

1

x

xxDx

2

1

1

1tan

xxDx

11,1

1sec

2

1

x

xxxDx

10,1

1sec

11,1

1tanh

1,1

1cosh

1

1sinh

2

1

2

1

2

1

2

1

xxx

xhD

xx

xD

xx

xD

xxD

x

x

x

x