HIMPUNAN

MODUL MATEMATIKA

HIMPUNAN Diajukan untuk memenuhi salahsatu syarat kenaikan pangkatDari IIIa ke IIIbKELAS VIISEMESTER 2 UNTUK MTs DAN YANG SEDERAJAT

OLEH : PURWANTO, S.PdNIP. 198104012005011004

MTs DARUL ULUM 2 WIDANGKEC. WIDANG KAB. TUBAN JAWA TIMUR2009/2010

HALAMAN PENGESAHAN

Setelah membaca, meneliti, dan mengadakan perbaikan seperlunya, maka dengan ini menyatakan bahwa:1. Nama Diktat: Modul Matematika Himpunan Kelas VII Semester 2 Untuk MTs dan yang sederajat2. Penyusun/Pembuat:a. Nama Lengkap: Purwanto, S.Pdb. Jenis Kelamin: Laki-lakic. NIP: 198104012005011004d. Pangkat/Gol. : Penata Muda Tk I/III be. Mata Ajar pokok: Matematikaf. Institusi/Sekolah: MTs Darul Ulum 2 Widangg. Alamat: Perempatan desa Mlangi Kec. Widang Kab. Tuban Sudah dapat memenuhi syarat sebagai Modul yang bisa digunakan sebagaimana mestinya dan layak untuk digunakan sebagai salah satu sumber belajar atau refrensi siswa dan guruDemikian harap menjadi perhatian adanya, atas kerjasamanya diucapkan banyak terima kasih

Mengetahui, Widang, 20 Januari 2010Kepala Seksi Mapenda Kepala MTs Darul Ulum 2 Kab. TubanWidangDrs. Leksono, M.Pd.I

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul matematika manual untuk tingkat MTs dan sederajat, modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan satuan pendidikan, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMP/ MTs 2006. Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMP/MTs Edisi 2006 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada St andar Kompetensi dan Kompetensi Dasar (SK-KD) yang tertuang dalam Standar Isi sesuai dengan Permen no 22 tahun 2006. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh peserta didik untuk mencapai kompetensi sesuai yang diharapkan. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta didik MTs. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta didik kompetensi / kemampuan yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi yang sekarang ini begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi nyata.Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama Kepala Madrasah, Kawan-kawan Guru dan semua peserta didik dan keluarga khususnya atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang pendidikan sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK dalam rangka membekali kompetensi yang terst andar pada peserta didik. Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta didik MTs. untuk matapelajaran Matematika atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMP/ MTs.

DAFTAR ISI

Halaman Sampul.................................................................................iHalaman Pengesahan..............iiKata Pengantar.......................iiiDaftar Isi........................ivBAB I PendahuluanA. Deskripsi Modul ............................. 1B. Materi Prasyarat ................ 1C. Petunjuk Penggunaan Modul ............ ...1D. Tujuan Akhir .............................. 2E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar ........ 2F. Cek Kemampuan ........................................................................3BAB II PembelajaranA. Kegiatan Belajar 1..............4B. Kegiatan Belajar 2........................16C. Kegiatan Belajar 3................................................................D. Kegiatan Belajar 4............................29E. Kegiatan Belajar 5................................................................F. Kegiatan Belajar 6................................................................BAB III Penutup ................................43Daftar Pustaka

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi ModulDalam modul ini anda akan mempelajari 6 Kegiatan Belajar yang terdiri dari: Kegiatan Belajar 1 membahas tentang pengertian dan notasi himpunan, serta cara menyajikan himpunan, Kegiatan Belajar 2 membahas tentang Konsep himpunan bagian, Kegiatan Belajar 3 membahas tentang operasi gabungan dan irisan pada himpunan, Kegiatan Belajar 4 adalah membahas tentang operasi selisih (kurang) dan komplemen suatu himpunan, Kegiatan Belajar 5 tentang cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, dan Kegiatan Belajar 6 membahas tentang penerapan konsep himpunan dalam pemecahan masalah.Dalam Kegiatan Belajar 1, akan dijelaskan pengertian dan notasi atau lambang himpunan dan cara menyatakan suatu himpunan dalam empat cara, yaitu dengan kata-kata, dengan mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Dalam Kegiatan Belajar 2, akan diuraikan mengenai konsep himpunan bagian dan cara menentukan banyak himpunan bagian. Dalam kegiatan belajar 3 akan dibahas cara menentukan irisan dan gabungan dua himpunan atau lebih. Dalam kegiatan belajar 4 akan akan dibahas cara menentukan selisih dan komplemen suatu himpunan. Dalam kegiatan belajar 5 akan diuraikan cara menyajikan suatu himpunan atau beberapa himpunan dari operasi irisan, gabungan, kurang, dan komplemen. Dan dalam kegiatan belajar 6 akan dibahas mengenai penerapan himpunan dalam pemecahan masalah sehari-hari.

B. Materi PrasyaratMateri himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, persamaan linier satu variabel.

C. Petunjuk Penggunaan ModulUntuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun anda dalam mempelajari materi ini.2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan AkhirSetelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:1. Memahami himpunan dan cara menyajikan himpunan,2. Menentukan himpunan bagian dan banyaknya anggota himpunan bagian,3. Menentukan operasi pada himpunan, seperti operasi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen,4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn,5. Menggunakan konsep himpunan, khususnya operasi himpunan dalam memecahkan masalah sehari-hari,

E. Standar Kompetensi dan Kompetensi DasarMata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan MTs/ SMP meliputi aspek-aspek sebagai berikut: 1. Bilangan2. Aljabar3. Geometri dan Pengukuran4. Statistika dan Peluang.Adapun Standar kompetensi dan kompetensi dasar mata pelajaran Matematika pokok bahasan Himpunan adalah sebagai berikut :Standar kompetensi : 4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar : 4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya4.2 Memahami konsep himpunan bagian4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn 4.5 Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah

F. Cek kemampuanKerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi yang telah anda kuasai1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dan dengan notasi pembentuk himpunan.a. A adalah himpunan bilangan bulat antara 3 dan 3.b. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 50 dan habis dibagi 5.c. C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 31.d. D adalah himpunan tujuh bilangan cacah yang pertama.2. Diketahui X = {bilangan prima kurang dari 18}. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari X yang memiliki : a. 2 anggota; c. 5 anggota;b. 4 anggota; d. 6 anggota.3. Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan:

a. A B; d. A (B C)c;

b. A C; e. Ac (B C);

c. A B C; f. A\B.Kemudian, gambarlah diagram Venn dari masing-masing operasi himpunan tersebut.4. Setelah dilakukan pencatatan terhadap 35 orang warga di suatu kampung, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang suka minum teh, 17 orang suka minum kopi, 14 orang suka minum susu, 8 orang suka minum teh dan kopi, 7 orang suka minum teh dan susu, 5 orang suka minum kopi dan susu, 3 orang suka minum ketiga-tiganya.a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas.b. Tentukan banyaknya warga yang gemar minum teh, gemar minum susu, gemar minum kopi, dan tidak gemar ketiga-tiganya.

BAB I PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran: MatematikaMateri: HimpunanKelas/ Semester: VII/ 2(Genap)Standar Kompetensi : Aljabar4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar : 4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya4.2 Memahami konsep himpunan bagian4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn 4.5 Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalahIndikator Pencapaian : 1. Menjelaskan pengertian dan notasi himpunan serta menyajikannya2. Menentukan himpunan bagian dan banyaknya himpunan bagian3. Menentukan irisan dari beberapa himpunan4. Menentukan gabungan dari beberapa himpunan5. Menentukan komplemen suatu himpunan6. Menentukan himpunan dan banyaknya himpunan dalam diagram venn7. Memecahkan masalah sehari-hari berkaitan dengan himpunanAlokasi Waktu : 12 kali pertemuan (12 x 40 menit)Materi Prasyarat : Peserta didik memahami konsep operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, dan persamaan linier satu variabel

A. Kegiatan Belajar 1: Pengertian Himpunan dan Notasinya1. Tujuan Kegiatan Belajar 1:Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini diharapkan siswa dapat memahami dan menjelaskan: Pengertian dan notasi himpunan Cara menyatakan suatu himpunan2. Uraian Materi: Pengertian HimpunanHimpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi dengan jelas.Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah: siswa-siswa kelas 8A, kumpulan angka 2, 4, 5, 8., kelompok siswa SMP Sejahtera yang mengikuti upacara, kumpulan hewan pemakan daging, dan lain-lain.Lambang HimpunanHimpunan dinyatakan dengan huruf kapital; A, B, C, N, P, dan sebagainya. Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.Contoh: Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya; a, i, u, e, dan o. Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan anggotanya: 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan anggotanya: 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. K adalah himpunan huruf pembentuk kata MATEMATIKA, dapat ditulis: K = {m, a, t, e, i k} atau K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}.Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas (dicirikan dengan tiga buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga.Contoh Soal :1. Dari pernyataan berikut, manakah yang merupakan himpunan dan bukan himpunan?a. kelompok bilangan ganjilb. kelompok makanan enak dan pedasc. kumpulan hewan menyusuid. B himpunan bilangan primaJawab:a. kelompok bilangan ganjil merupakan himpunanb. bukan merupakan himpunan, karena makanan enak dan pedas sifatnya relatif.c. kumpulan hewan menyusui merupakan himpunand. B adalah himpunan

2. Tuliskan anggota himpunan dibawah ini!a. himpunan bilangan asli kurang dari 6b. himpunan 5 nama Ibu kota Negara ASEANc. himpunan Negara di kawasan Asia Tenggarad. himpunan huruf pembentuk kata PENDIDIKANJawab:a. misal himpunan bilangan asli kurang dari 6 adalah A, maka A = {1, 2, 3, 4, 5}b. misal himpunan 5 Ibu kota Negara ASEAN adalah B, maka B = {Jakarta, Bangkok, Kuala Lumpur, Singapura, Bandar Sri Bengawan}c. misal himpunan Negara dikawasan Asia Tenggara adalah C, maka C = {Indonesia, Malaysia, Filiphina, Singapura, Brunei Darussalam, Vietnam, Myanmar, Timor Leste} d. misal himpunan huruf pembentuk kata PENDIDIKAN adalah P, maka P = {A,D,E,I,K,N,P}Anggota HimpunanSimbol anggota satu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut: Bila x anggota A, maka ditulis x A Bila x bukan anggota A, maka ditulis x AMenentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti menghitung anggota himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n (A).Menyatakan HimpunanMenyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan cara: Kata-kata (metode deskripsi), mendaftar (metode tabulasi/roster), notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)1. Dengan kata-kata (metode deskripsi)Menuliskan suatu himpunan dengan kata-kata atau pernyataan untuk menunjukkan syarat keanggotaannya dan syarat keanggotaanya harus dinyatakan dengan jelas.2. Dengan cara mendaftar (metode tabulasi/roster),Dengan metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.3. Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, anggotanya dilambangkan dengan variabel kemudian diikuti dengan pernyataan matematika yang menggambarkan syarat keanggotaanya.Contoh Soal 2:Nyatakan pernyataan berikut dengan 3 cara dalam menyatakan himpunan, lalu tentukan banyaknya masing-masing himpunan tersebut:a. himpunan bilangan prima yang kurang dari 20b. himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30

Jawab:a. metode diskripsi : himpunan bilangan prima kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17 metode tabulasi : B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

metode bersyarat : B = { xI x 20, x bilangan prima}b. metode diskripsi : himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30 adalah 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, dan 29. metode tabulasi : B = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}

metode bersyarat : B = { xI 10 x 20, x bilangan ganjil}Himpunan BilanganHimpunan bilangan yang sering digunakan diantaranya adalah:1. Himpunan Bilangan Asli (A)Anggota himpunan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5..secara tabulasi dinyatakan sebagai: A = {1, 2, 3, 4, 5.}2. Himpunan Bilangan Cacah (C)Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4,.secara tabulasi dinyatakan sebagai: C = {0, 1, 2, 3, 4..}3. Himpunan Bilangan Prima (P)Anggota himpunan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11,..secara tabulasi dinyatakan sebagai: P = {2, 3, 5, 7, 11,.}4. Himpunan Bilangan Bulat (B)Bilangan bulat terdiri dari 3 macam, yaitu: bilangan bulat positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Anggota himpunan bilangan bulat adalah..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.. secara tabulasi dinyatakan sebagai: B = {..,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.}Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong disimbolkan dengan atau .Perhatikan kedua contoh berikut ini:1. H adalah himpunan bilangan satu cacah yang pertama, berarti H = {0} dan n(H) = 1. Anggota H adalah 0.2. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T = dan n(T) = 0. Anggota T tidak ada.

Berdasarkan kedua contoh diatas terlihat bahwa: tidak sama dengan atau

Himpunan SemestaHimpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat sebuah objek pembicaraan. Semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan S atau U. Contoh Soal :R = {3, 5, 7}Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R di antaranya adalah:a. S = R = {3, 5, 7}b. S = {bilangan ganjil}c. S = {1, 2, 3, 5, 7}d. S = {bilangan cacah}e. S = {bilangan prima}Contoh soal :Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!a. himpunan bilangan prima genapb. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap buland. A = {e. B = {}Jawab:a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebuland. Himpunan kosong, karena tidak ada bilangan asli yang memenuhi kecuali bilangan bulat negatif -4e. Bukan himpunan kosong karena ada angotanya3. Tugas Kegiatan Belajar 1:1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal:a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.3. Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut:a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}c. R = {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}4. N adalah himpunan namanama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan.5. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:a. {2, 3, 5, 7}b. {kerbau, sapi, kambing}4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 1:1. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 < x < 46, x bilangan ganjil}c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.3. a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.

4. Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N = atau N = { }.5. a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalahS = {bilangan prima} atauS = {bilangan asli} atauS = {bilangan cacah}.b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.

B. Kegiatan Belajar 2 : Himpunan Bagian1. Tujuan Kegiatan Belajar 2:Setelah melakukan kegiatan belajar 3 ini, diharapkan siswa dapat menentukan: Himpunan bagian dari suatu himpunan Banyaknya anggota himpunan dari himpunan bagian2. Uraian Kegiatan Belajar 2:Pengertian Himpunan bagian

Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. lambing yang menyatakan himpunan bagian adalah . Jika B = {1, 2, 3} maka himpunan bagiannya adalah: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Ketentuan-ketentuan dalam himpunan bagian, antara lain: Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpuna itu sendiri. Untuk sembarang himpunan A, berlaku A AMenentukan Semua Himpunan Bagian dari Suatu HimpunanUntuk menentukan semua himpunan bagian dari suatu himpunan ada dua cara yaitu dengan metode penghapusan anggota dan dengan metode diagram pohon. Misal B = {1, 2, 3} himpunan bagiannya adalah:a. dengan metode penghapusan tanpa penghapusan diperoleh {1, 2, 3} = B penghapusan 1, diperoleh {2, 3} penghapusan 2, diperoleh {1, 3} penghapusan 3, diperoleh {1, 2} penghapusan 1 dan 2, diperoleh {3} penghapusan 1 dan 3, diperoleh {2} penghapusan 2 dan 3, diperoleh {1} penghapusan 1, 2, dan 3, diperoleh {} atau jadi himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}b. dengan metode diagram pohonaturan pembuatan diagram pohon dalam menentukan semua himpunan bagian adalah: setiap pangkal pohon harus bercabang dua cabangnya hanya boleh berbuah satu buah saja dan yang lainnya tidak buah dari cabang diambil dari anggota himpunan tetapi harus mempunyai keteraturan (berurutan)Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian

Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut sama dengan

Contoh Soal :1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah:a. himpunan bilangan primab. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3c. himpunan bilangan bulat yang habis 4Jawab:a. P ={2}b. T = {6}c. E = {4, 8}2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikuta. H = {h, i, a, t}b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}Jawab:a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {}.Hubungan Antarhimpunan Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan. Himpunan saling lepas dinotasikan dengan // atau . Himpunan Tidak Saling LepasDua himpunan dikatakan tidak aling lepas, jika:a. himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian yang lain. Biasanya dinotasikan dengan b. himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain atau himpunan yang saling bergantung. Biasanya dinotasikan dengan Himpunan yang SamaDua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan itu mempunyai angota yang sama, baik banyak maupun unsurnya. Biasanya dinotasikan dengan = Himpunan yang EkuivalenDua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyak masing-masing anggota himpunan adalah sama. Biasanya dinotasikan dengan ~

Contoh Soal :1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan dua himpunan yang sama.A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}Jawab:C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B2. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}c. T = {huruf pembentuk kata HISAP}, K = {huruf pembentuk kata PINTAR}Jawab:a. A tidak ekuivalen dengan Bb. C tidak ekuivalen denganDc. T tidak ekuivalen dengan K3. Tugas Kegiatan Belajar 2:1. Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyaia. satu anggota;b. dua anggota;c. tiga anggota;d. empat anggota.2. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut.a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6.b. Himpunan bilangan prima antara 4 dan 20.c. P = {huruf-huruf pembentuk kata stabilitas}d. Q = {nama-nama hari dalam seminggu}3. Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan antarhimpunan tersebut.

P ={x | x < 7, x A}Q = {bilangan prima kurang dari 10}R = {empat huruf pertama dalam abjad}

S ={x | 1 x 6, x C}4. Jawaban Tugas Belajar 2:1. Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r, s} yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakan diagram pohon seperti berikut.

a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota adalah {p} K; {q} K; dan {r} K; dan {s} K.

b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q} K; {p, r} K; {p, s} K; {q, r} K; {q, s} K; {r, s} K.

c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r} K; {p, q, s} K; {p, r, s} K; dan {q, r, s} K.d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K.2. a. A = {1, 2, 3, 4, 5}, n(A) = 5, maka banyak anggota himpunan bagian: 25 = 32 b. B = {5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(B) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 26 = 64 c. P = {a, b, i, l, s, t}, n(P) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 26 = 64 d. Q = {senen, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu}, n(Q) = 7, maka banyak anggota himpunan bagian: 27 = 1283. Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperoleh sebagai berikut.P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {2, 3, 5, 7}R = {a, b, c, d}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Perhatikan himpunan P dan Q.Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu {1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) Perhatikan himpunan Q dan R.Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R). Sekarang, perhatikan himpunan P dan S.Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama. Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama

C. Kegiatan Belajar 3: Operasi pada Himpunan (Irisan dan Gabungan)1. Tujuan Kegiatan Belajar 3: Operasi Irisan dan Gabungan dari HimpunanSetelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, diharapakan siswa dapat menentukan: Irisan dua atau lebih dari himpunan Gabungan dua atau lebih suatu himpunan2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3Irisan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis : .Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika maka dan berlaku sebaliknya2. Himpunan yang sama

Jika , maka 3. Himpunan yang saling lepas

Jika , maka dan berlaku sebaliknya4. Himpunan yang tidak saling lepasContoh Soal :1. Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:

a. AB c. BCe. A(BC)

b. AC d.(AB) CJawab:a. {2, 4} c. {4}e. {4}b. {3, 4} d. {4}2. Perhatikan gambar dibawah ini!S A C

B

c e

a

g

b f

d

Tentukanlah:

a. Sc. ABe. BC

b. Bd. ACf. ABCJawab:

a. S = {a, b, c, d, e, f, g} c. AB = {a, b}e. BC = {b, f}

b. B = {a, b, d, f} d. AC = {b, e}f. ABC = {b}Gabungan

Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis: Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika maka dan berlaku sebaliknya2. Himpunan yang sama

Jika , maka 3. Himpunan yang saling lepas

Jika , maka dan berlaku sebaliknya4. Himpunan yang tidak saling lepas

Jika , maka Contoh Soal :1. Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:a. ABb.

ABCc.

A (BC)d.

(AB) Ce.

(AB) (AC)Jawab:a. AB = {1, 2, 3, 5, 7}b.

ABC = {1, 2, 3, 5, 7, 9}c.

A = {2, 3, 5} dan BC = {1, 3, 5, 7, 9} maka A (BC) = {3, 5}d.

AB = {3, 5} dan C = {7, 9} maka (AB) C = {3, 5, 7, 9}e.

AB = {1, 2, 3, 5, 7} dan AC = {2, 3, 5, 7, 9} maka (AB) (AC) = {2, 3, 5, 7}2. Perhatikan gambar dibawah ini!S A C

B

c e

a

g

b f

d

Tentukanlah:a. ABb.

A(BC)c.

(BC) Ad.

(AB)(BC)e.

banyaknya himpunan bagian dari A(BC)Jawab:

a. AB = {a, b, c, d, e, f, g}

b. A = {a, b, c, e} dan BC = {a, b, d, e, f, g} maka A(BC) = {a, b, e}

c. BC = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka (BC) A = {a, b, c, e, f}

d. (AB) = {a, b, c, d, e, f} dan (BC) = {a,b,d,e,f,g} maka (AB)(BC) = {a,b,d,e,f}

e. A(BC) = {a, b, e}, maka n(A(BC)) = 3 sehingga banyaknya himpunan bagian adalah 23 = 83. Tugas Kegiatan Belajar 3:

1. Diketahui A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tentukan AB.

2. Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan anggota AB.

3. Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 11} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Tentukan anggota P Q.4. Diketahui : K = {faktor dari 6} danL = {bilangan cacah kurang dari 6}.Dengan mendaftar anggotanya, tentukan :

a. anggota K L;

b. anggota K L;

c. n(K L).4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 3:1. A = {2, 3, 5}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A B = {2, 3, 5} = A2. A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {1, 2, 3 , 4, 5}

Karena A = B maka A B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B3. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

P Q = {2, 4, 6, 8, 10}4. K = {faktor dari 6}= {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4L = {bilangan cacah kurang dari 6}= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6

a. K L = {1, 2, 3}

b. K L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. n(K L) = 7.

n(K L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.

n(K L) = n(K) + n(L) n(K L) = 4 + 6 3 = 7

D. Kegiatan Belajar 4 : Operasi Himpunan Komplemen dan Selisih1. Tujuan Kegiatan Belajar 4:Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar 4 ini, diharapkan siswa dapat memahami dan menentukan: Komplemen suatu himpunan Selisih suatu himpunan2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4:Komplemen

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka AS. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca bukan A.Dalam himpunan komplemen berlaku:

Komplemen dari S adalah S, karena S adalah himpunan semesta maka S adalah himpunan kosong dan ditulis S = {}, sebaliknya {} = S, sehingga berlaku: {} = S S = {} (A) = ASelisih Dua HimpunanKomplemen A terhadap B ditulis B A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:

3. Tugas Kegiatan Belajar 4:1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta.Jika A = {1, 2, 3, 4}dan B = {2, 3, 5, 7},tentukana. anggota Ac;b. anggota Bc;

c. anggota (A B)c2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta.Jika P = {2, 3, 5, 7}dan Q = {1, 3, 5, 7, 9},tentukana. anggota S P;b. anggota P Q;c. anggota Q P.4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 4:1. DiketahuiS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 3, 5, 7}a. Ac = {5, 6, 7, 8, 9, 10}b. Bc = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

c. Untuk menentukan anggota (A B)c, tentukan terlebih dahulu anggota dari A B.

A B = {2, 3}

(A B)c = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}2. a. S P = {1, 2, 3, ..., 10} {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6, 8, 9, 10}b. P Q = {2, 3, 5, 7} {1, 3, 5, 7, 9} = {2}c. Q P = {1, 3, 5, 7, 9} {2, 3, 5, 7} = {1, 9}.

E. Kegiatan Belajar 5 : Menentukan Himpunan dan Banyaknya Anggota Himpunan dengan diagram Venn1. Tujuan Kegiatan Belajar 5:Setelah mengikuti kegiatan belajar 5 ini, diharapkan siswa dapat : Memahamai diagram venn Menentukan himpunan dengan menggunakan diagram venn Menentukan banyaknya anggota himpunan dengan diagram venn2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5:Diagram VennDiagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 1923) Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiri atas persegi panjang.b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup.c. Setiap anggota ditunjukkan dengan nokta (titik)d. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.Contoh Soal :1. Lukislah diagram Venn dari setiap himpunan berikut ini:a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6}

b. S = {bilangan Asli}, P = {1, 4, 9, 16}, dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}Jawab: a. b. S P Q

6 7

8 1015 1718 1911 12 13 14 AS 1 B 3 5 2 4 6

9

16

1 2 3 4 5

2. Perhatikan gambar diagram Venn berikut ini:Hasil survei kegemaran siswa kelas IX terhadap olah raga.SB C

Ali rifqi Modin Beni Adi Doni Anang Markis anwar desta kamil Maki Ari ken Aam Azis

S = {siswa kelas IX A}, B = {siswa yang suka Basket}, C = {siswa yang suka Sepak Bola}Tentukan:a. himpunan yang ada pada B dan Cb. himpunan S yang ada di B tetapi tidak ada di Cc. himpunan C tetapi tidak ada di Bd. himpunan yang tidak termasuk di B maupun di Ce. berapa banyak siswa yang suka bola basket?Jawab:a. Himpunan yang ada pada B dan C adalah {Aam, Azis}b. B C = {Beni, Adi, Doni, Anang, Markis}c. C B = {Anwar, Desta, Kamil, Maki, Ari, Ken}d. (BC)c = {Ali, Modin, Rifqi}e. n(B) = 7

Banyaknya Anggota HimpunanRumus banyaknya irisan, gabungan, dan komplemen dua himpunan adalah:

Contoh Soal :1.

Diketahui n(A) = 27, n(B) = 43, dan n(AB) = 60. hitunglah nilai dari n(AB)!Jawab:

AB = A + B - AB sehingga:

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB)

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB) = 27 + 43 60 = 70 60

n(AB) = 102.

Dua himpunan sebagaimana dalam gambar, diberikan n(P) = 7, n(Q) = 11, dan n(PQ) = 5. Carilah n(PQ)!S P Q

Jawab:

n(PQ) = n(P) + n(Q) - n(PQ) = 7 + 11 5 = 18 5

n(PQ) = 133. Dua himpunan dan banyaknya anggota dari himpunan itu ditunjukkan pada diagram Venn berikut ini! jika n(A) = n(B), S A B

hitunglah:a. nilai x14 + x

x 3x

b. n(AB)Jawab:a. n(A) = n(B)(14 + x) + x = (x + 3x) 14 + 2x = 4x 14 = 2x x = 7b. n(A) = 14 + x = 14 + 7 = 21n(B) = 3x = 3(7) = 21

n(AB) = x = 7 maka

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB) = 21 + 21 7 = 42 7

n(AB) = 353. Tugas Kegiatan Belajar 51. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga himpunan tersebut.

2. Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.a. Himpunan S.b. Himpunan P.c. Himpunan Q.d. Anggota himpunan P Q.e. Anggota himpunan P Q.f. Anggota himpunan P\Q.g. Anggota himpunan PC.3. Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

a. P Q R

b. P Q

c. Q R

d. P (Q R)e. Qcf. P R4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 5

1. Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa A B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut:

2. a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau semesta pembicaraan. Himpunan S memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}.b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan P. Dalam diagram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

d. Anggota himpunan P Q adalah anggota himpunan P dan sekaligus menjadi anggota himpunan Q = {3, 6, 9}.

e. Anggota himpunan P Q adalah semua anggota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q ={1, 12, 15, 18}.g. Anggota himpunan Pc adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga Pc = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.

3. Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}, P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa P Q R = {2}

P Q = {1, 2, 5}

Q R = {2, 10}

P R = {2, 4, 6}Diagram Venn-nya sebagai berikut:

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan P Q R.

b. Daerah arsiran di samping menunjukkan himpunan P Q. Tampak bahwa P Q = {1, 2, 5}.

c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Q R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.

d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q R = {2, 10}, sehingga P (Q R) = {1, 2, 3, ..., 6} {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan daerah P (Q R).

e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Qc.

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5} Diagram Venn-nya sebagai berikut.

F. Kegiatan Belajar 6 : Menggunakan Konsep Himpunan dalam Pemecahan Masalah1. Tujuan Kegiatan Belajar 6Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, dirapkan siswa dapat menggunakan konsep himpunan dalam memecahkan masalah sehari-hari2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 6Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembali mengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakan permasalahan tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contoh berikut ini.Contoh soal:Perhatikan diagram Venn dibawah ini!S = himpunan siswa kelas VII AS K T

8

K = himpunan siswa yang suka minum es teh6

2 9

T = himpunan siswa yang suka minum jusSetiap angka menunjukkan banyaknya siswadalam masing-masing kesukaannya.Tentukanlah:a. Berapa banyak siswa yang suka minum keduanya?b. Berapa banyak siswa yang suka minum es teh?c. Berapa banyak siswa yang tidak suka minum keduanya?d. Berapa banyak siswa kelas VII A tersebut?Jawab:

a. n(KT) = 2b. n(K) = 6

c. n(KT)c = 8

d. n(S) = n(K T) + n(T K) + n(KT) + n(KT)c = 4 + 7 + 2 + 8 = 213. Tugas Kegiatan Belajar 61. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar keduaduanya. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut, kemudian tentukan banyaknya siswaa. yang hanya gemar bermain tenis;b. yang hanya gemar bermain sepak bola;c. yang tidak gemar kedua-duanya.2. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang suka makan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.a. Gambarlah diagram Venn yang menyatakan keadaan tersebut.b. Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut.

4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 61. Dalam menentukan banyaknya anggota masing-masing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebih dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola, yaitu 11 siswa. Diagram Venn-nya seperti gambar berikut

a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis = 24 11 = 13 siswab. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola = 23 11 = 12 siswac. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya = 40 13 11 12 = 4 siswa2. a. Dalam menentukan banyak anak dalam kelompok tersebut, tuliskan terlebih dahulu banyak anak yang suka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anak yang tidak suka keduanya pada diagram Venn. Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut

b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalam kelompok tersebut = 22 + 23 + 11 + 6 = 62 anak

G. Rangkuman Materi Himpunan1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A B atau B A.

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan A B.

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis A A.d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan A B = {x | x A dan x B}.

9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan A B = {x | x A atau x B}. Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan n(A B) = n(A) + n(B) n(A B).10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

BAB III EVALUASI

a. Evalusi Tes TulisUraikan soal berikut sehingga diperoleh jawaban yang benar1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan notasi himpunan!a. P adalah himpunan titik pojok kubus ABCD. EFGHb. K adalah huruf konsonanc. L adalah himpunan gambar pada sila-sila Pancasila2. Berikan nama himpunan dari kumpulan obyek dibawah ini berdasarkan sifat-sifat anggotanya agar disebut dengan himpunan.a. Tas, penggaris, buku tulis, penghapus, busur, LKSb. Surabaya, Malang, Jember, Ngawic. Maret, Mei3. Sebutkan dua buah himpunan semesta untuk himpunan-himpunan berikut:a. {1, 3, 5, 7, 9}b. {pesawat, kereta api, kapal, mobil}c. S = {bilangan prima}4. Jika S = {bilangan bulat}, A = {bilangan asli}, C = {bilangan cacah}, G = {bilangan ganjil}, H = {bilangan genap}, dan P = {bilangan Prima}. Lukislah diagram Venn dari pasangan himpunan berikut ini dengan himpunan semesta adalah Sa. A dan Pb. A, P, dan Hc. C, G, H, dan P5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai:a. dua anggota d. anggota lebih dari duab. tiga anggota e. anggota paling sedikit tigac. empat anggota6. Diberikan diagram Venn yang menyatakan himpunan A, B, dan C. Tentukanlah: A B

CS

3 13 14 15 12 10 11 9 1 2 4 5 6 8 7 77

a. banyaknya himpunan bagian dari Bb. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan himpunan A dan Cc. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan ketiga himpunan tersebut7. Perhatikan gambar dibawah ini!S A B

a

b

c

d

e g

f h

S = {penghuni Pondok Indah}A = {penghuni yang menyukai teh}B = {penghuni yang menyukai kopi}Tentukan:a. berapa banyak penghuni pondok yang menyukai teh?b. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai kopi tetapi menyukai teh?c. berapa banyak penghuni yang menyukai teh dan kopi?d. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai keduanya?8. Dari 53 bayi di PUSKESMAS, 30 bayi minum susu kaleng, 13 bayi minum susu ASI, dan 10 bayi minum keduanya. Berapa jumlah bayi yang hanya minum ASI?9. Dari 46 siswa yang gemar bahasa inggris ada 26 siswa, gemar bahasa arab ada 32 siswa dan 14 siswa gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar keduanya!10. Dari sekelompok siswa yang suka tennis meja ada 26 siswa, yang gemar bulu tangkis ada 27 siswa, yang gemar keduanya ada 9 siswa dan yang tidak gemar keduanya ada 4 siswa. Tentukan banyaknya siswa dalam kelompok tersebut!11. Perhatikan himpunan A, B, dan C dalam diagram Venn berikut!S A C

B

7

9-x 8 x 8-x 7-x 9

Diberikan S = ABC, dan n(S) = 34, hitunglah:a. nilai x

b. n(ABC)

b. Jawaban Evalusi Tes Tulis1. a. P = {A, B, C, D, E, F, G, dan H}b. K = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}c. L = {Bintang, Beringin, Kepala Banteng, Rantai, Padi dan kapas}2. a. Himpunan Peralatan Sekolah b. Himpunan Kota di Jawa Timur c. Himpunan bulan dengan huruf depan M3. a. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacahb. himpunan semester yang memenuhi adalah himpunan alat transportasi dan himpunan kendaraan bermesinc. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah4. a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, dan PS A

P H

S

CS A

P

HG

P

5. a. {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}b. {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}c. {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e}, {b,c,d,e}d. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e}e. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e},{a,b,c,d,e}6. a. B = {3,4,6,7,10,11,12,13,14,15}, n(B) = 10, maka banyak himpunan bagian dari B = 210 = 1024b. A C = {6, 7, 8}, n(AC) = 3 maka banyak himpunan bagian dari n(AC) adalah 23 = 8c. ABC = {6, 7}, n(ABC) = 2, maka banyak himpunan bagian dari n(ABC) adalah 22 = 47. a. A = {c, d, e, f} maka n(A) = 4 c. AB = {e, f}, maka n(AB) = 2b. {c, d} jadi ada 2 d. {a, b} jadi ada 2

8. Misal banyak seluruh bayi adalah n(KA) = 53, banyak bayi suka susu kaleng n(K) = 30, banyak bayi suka minum keduanya n(KA) = 10, maka n(KA) = n(K) + n(A) - n(KA), sehingga jumlah bayi yang minum ASI adalah: n(A) = n(KA) + n(KA) n(K) = 53 + 10 30 = 33

Jumlah bayi yang hanya minum ASI adalah n(A) - n(KA) = 33 10 = 23 anak9. Banyak siswa, n(S) = 46Banyak siswa gemar bahasa ingris, n(I) = 26 Banyak siswa gemar bahasa arab, n(A) = 32

Banyak siswa gemar keduanya, n(IA) = 14S I A

26 - 14

14 32-14

Maka banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah:

n(IA)c = n(S) n(I - A) + n(A - I) + n(IA) = 46 (26 14) - (32 14) - 14

= 46 12 18 14 = 46 44n(IA)c = 2Jadi banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah 2 anak10. Misal banyak anak yang suka tennis meja n(T) = 26banyak anak yang suka bulu tangkis n(B) = 27

banyak anak yang suka keduanya n(TB) = 9

banyak anak yang tidak suka keduanya n(PC)c = 4ditanya banyak siswa dalam kelompok tersebut?:diagram Venn:S T B

4

26 - 9

9 27 - 9

Banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah:

n(S) = n(T B) + n(B T) + n(TB) + n(TB)c = (26 9 ) + ( 27 9 ) + 9 + 4

= 17 + 18 + 9 + 4 n(S) = 48jadi banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah 48 siswa11. a. n(S) = 349 x + x + 8 x + 7 x + 7 + 8 + 9 = 34 - 2x + 48 = 34 - 2x = 34 48 - 2x = -14 x = 7

b. n(ABC) = x = 7

BAB IV PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya. Mintalah pada guru untuk melakukan uji kompetensi dengan sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh madrasah apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi sebagai bahan penilaian sesungguhnya. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi.Pembuatan modul ini tidaklah mudah dan hasilnya sangatlah besar bagi perkembangan keilmuan matematika sehingga besar harapan kami selaku penyusun agar hasil kerja keras ini perlu segera didaftarkan hak patennya agar tidak disalah gunakan dan dibajak. Sebagai penulis modul ini, angka kredit dalam hal pengembangan profesi bukanlah satu-satunya tujuan akhir dari pembuatan modul, melihat tidak kecil manfaat dan tidak semudah pembuataanya penyusun mengharapkan apresiasi yang besar berupa penghargaan yang layak demi kesejahteraan bersama. Dari pengalaman penyusun, ternyata masih banyak bidang-bidang pengembangan profesi yang berpotensi untuk dimanfaatkan baik untuk pembelajaran secara khusus maupun untuk pendidikan dan bidang-bidang lain yang akan bermanfaat bagi masyarakat. Apalagi saat ini telah berkembang teknologi informasi hingga ke pelosok-pelosok desa, tentu ini akan sangat membantu rekan-rekan guru dalam mengembangkan profesi dan kelimuannya. Meski begitu masih banyak bidang-bidang pengembangan profesi yang dibuat oleh guru namun kurang mendapat tempat di dunianya sendiri atau enggan untuk untuk diakui oleh masyarakat.

DAFTAR PUSTAKA

1. Negoro, ST dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonersia2. Diktat Soal-soal lomba Matematika Sedunia 1989 20023. Departemen Pendidikan Nasional, Kurikulum 2006, Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Pelajaran Matematika SMP MTs, Jakrta, 20064. Sukino, Simangunsong Wilson, 2004, Matematika untuk SMP kelas VII, semester 1 dan 2. Erlangga. Jakarta.

Modul Matematika Himpunan MTs Kelas VII Semester 215