MATEMATIK FISIKA

DAFTAR ISI

BAB I : Eksponen ,logaritma danDeret

1.1 Bilangan berpangkat

1.2 Pengertian logaritma

1.3 Pengertian baris

1.4 Pengertian deret

1. 5 Persamaan dan Kesamaan

BAB. II

-Bilangan dan pers Aljabar komplek

-Matrik definisi serta aljabar komplek

- Determinan, sistem persamaan linier

- Transformasi koordinat

-Analisa Vektor

- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral

- Fungsi vektor

BAB III. Persamaan deferensial biasa

3.1 Definisi pers.deff biasa

3.2 Membuat persamaan diff

3.3 Pers deff biasa orde satu

3.4 Penerapan PDB orde satu dalam fisika

BAB IV. Vektor

4. 1 Pendahuluan

4.2 Aljabar Vektor

4.3 Garis dan bidang

BAB.V. Matriks 5.1 Matrik 5.2 Aljabar matriks 5.3 Determinan 5.4 Persamaan linier 5.5 Matriks adjoin dan matrks invers 5.6 Rannk matriks 5.7. Transformasi linier 5.8 Matrik ortogonal 5.9 Nilai Eigen dan Vektor Eugen 5.10 Matriks digonal

TK1A

I.1 Bilangan berpangkat

Sifat-sifatnya

a.

b.

c.

d.

e. dan

f. dan

g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0

h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0

rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :

mnnm aa )(

).....(... mmmm cbacba

mm

m

b

a

b

amn

aam n

mnm baaa ).( m

m

m

b

a

b

a)(

Referensi.

1. Mery L Boas Mathematical Methods in the Physical, 3 and editor, Joen Weley & sons 2006

2. K>L Reley Mathematical Method for Physics and Engeneern,3and Combregge 2006.

3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.

i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0

j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y

I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya

Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g

ialah bilangan x sehingga gˣ = a

1. ͫlog mˣ = x dan

2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c

3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b

4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =

5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s

(pembuktian)

ag ag log

m

ax

x

log

log

sm

s

d

ax

a

dx

m

a m loglog

log

log

log

log

log

log

log

6.

7.

8.

9.

10.

baba gg loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 10loglog

yxgyx gg 10loglog

DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara

tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b

U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b

jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.

Sisipan

Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.

sehingga menjadi baris aritmatika :

m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n

kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b

maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan

Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’

Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:

1. 2. dn = n.St ; St =suku te

Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama

1'

k

bb

2

UnaSt

Barisan dan Deret Geometri

Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka

U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap

a = suku pertama ; p = pembanding

a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn

• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn

p = pembanding

dn=jml suku 1

Sisipan

Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :

a, …………………………,b, baris geometri semula

a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru

1

1

1

1

p

pa

p

padn

nn

ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p

1. p’=pembanding baru

k= banyak bilangan yang

disisipikan antara tiap dua

suku berurutan.

2. n’ = n + (n – 1 ) k

Deret ukur tak hingga

1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen

1' k pp

2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen

Jumlah deret geometri tak terhingga (d)

( [p] < 1 )

Baris dan Deret Ukur Hitung.

Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian

nlim

p

adn

1

Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b

Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ

Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .

1}.)1({ napbnaUn

PERSAMAAN DAN KESAMAAN

Persamaan

Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .

Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½

harga x tertentu yaitu = - ½

Macam-macam Persamaan

1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu

contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap

2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0

3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :

Persamaan kuadrat :

b² - 4ac = D = diskriminan

1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂

2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂

3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner

0.....2

2

1

10 n

nnn axaxaxa

a

acbbx

2

42

2,1

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a

Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)

1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.

2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama

3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya

Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu

variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.

(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻

+….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻

+….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻

+…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut

nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru

2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.

3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.

Dalil Sisa

Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻

+….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁).

Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap

2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier

3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat

Fungsi kuadrat.

Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0

Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²

Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0

Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1

Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y

-“- - “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x

Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x

x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y

Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)

Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.

a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam

interval itu f’(x) naik.

b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam

interval itu f’(x) turun

Syarat Maks dan Mim

a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum

b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum

c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )

Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung

fungsi dan bentuk2 turunan.

Deferensil dapat dikelompokkan :

1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)

2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)

Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g

2. Pers.Laplac:

ditulis dalam bentuk

pers. diffusi

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

02u

tuu /./1 22

Istilah dalam pers.deff.

1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat

dalam persamaan deferensial.

2.Degree :pangkat dari orde persamaan

diferensial.

Contoh : persamaan ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat

PDB ini berorde 2

dan degree 2

2

32

2

1dx

dy

dx

yd

322

2

2

1dx

dy

dx

yd

Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :

PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x).

dan

Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier

kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²

Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)

)(.... 12

2

21

1

10 xRyadx

dya

dx

yda

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

n

n

43

3

dxdy

dx

yd y xyy 2)'(

R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien tetap. Contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan koefisien tetap ; contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien variable , contoh :

R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible

042

2

dx

d y

5432

2

ydx

dy

dx

yd

02

2

dx

dy

dx

ydx

contoh :

Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.

Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx

integrasi pers. di atas

22 222

2

xyxxdx

dy

dx

yd

cxxdxy 22/1

Membuat Persamaan Diferensial.

Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan

contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma

F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu.

Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma

dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0

PDB orde satu

M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)

kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)

dxdyxf

xf

yg

yg

ygxf

ygxf

dx

dy

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

2

1

1

2

22

11

penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral .

PDB linier

Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau

dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=

maka dgn A =e

.

Jadi penyelesaiannya PDB : (*)

cdxxP )(dxxPcdxxP

Aeey)()(

dxxPdxxPdxxP

cedxxQeey)()()(

)(

Persamaan Bernoulli.

Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ.

PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ

Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :

(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →

dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)

T Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.

Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah

dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)

Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)

maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ ,

zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀

maka : ½ N₀ = N₀ → =1/2→-λt=ln 1-ln2

t = (ln 2)/ λ → waktu paruh

- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff

L di/dt + Ri = V ; aliran panas (h.90)

t

tete

dx

dTkAQ

, PDB orde Dua dalam bentuk Khusus.

Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1)

Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0

Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :

1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)

Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :

y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh

f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde

satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.

2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi

f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy .

Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0

maka f(p dp/dx, p, y) = 0. Jadi pers. Ini merupakan PDB orde satu dan

dapat diselesaikan

PDB Euler-Cauchy.

Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan

koefisien variabel :

a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)

Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy

Misalkan x = e

→ dx/dz = e

= x . Cari y’ = dy/dx

dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz

Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz

=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)

x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.

)1)....((21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd

Sisipkan y”,y’ ke pers.

a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)

a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)

Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna -kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).

)(21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd

VEKTOR

Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai

besaran, juga mempunyai arah

Vektor ditulis dengan huruf kapital ( ) →

Panjang panah menyatakan besar vektor arah panah menunjukan arah vektor . Besaran vektor adalah A atau .Vektor satuan searah dengan vektor dengan tanda

A A

A

A

A A

A a

A

A

A

Aa

Komponen vektor dalam sistem koordinat Kartesis (xyz) adalah terletak pada sumbu x, y, dan z. Vektor satuan yang searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor

dan besar A = adalah

,begitu juga koord kartesis xy

Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke sebuah titik ditulis . Jika titik terdapat dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka vektor : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)

Yaitu dan

A

zyx danAAA ,

kdanji ,,

A

kAjAiAA zyxA

222

zyx AAAA

Rataur

r

kzkyixr 222 zyxrr

Jika vektor berimpit atau sejajar arah yang sama , maka vektor dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka keduanya disebut vektor yang berlawanan arah. Dua vektor dikatakan sama jika

dan arahnya sama. Jika arah berlawanan dengan , tetapi , maka kita katakan . Sebuah vektor

(k= sekalar) menunjukan bahwa searah dgn

dan .

BdanA

BdanA

BdanA

BA B

A BA

BA AkB

B A

AkB

Vektor nol : vektor yang besarnya (harga mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah

Aljabar Vektor Penjumlahan vektor Dua vektor dan dapat dijumlahkan dengan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap)

ke titik ujung (terminal) →

A

B

A

ABA

AkB

A B

B A BA

B Titik tangkapnya terminal dan berimpit

Dari penjumlahan vektor

( komutatif )

(asosiatif ) Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang Kita dapat melakukan pengurangan Perkalian vektor. a. Perkalian titi(dot). perkalian titik didef. Sebagai :

α =sudut antara dan

A B

A

B

BA ABBA

CBACBA )()(

)( BABA

cos. BABA

A B

b. Perkalian silang (cross)

Perkalian silang def.

Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil

adalah sebuah vektor yang mempunyai besar

= dan searah dengan vektor satuan

Vektor tegak lurus terhadap bidang tempat

dan terletak.Menentukan arah vektor

gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah

Ternyata dan mempunyai besaran

skekar yang sama tetapi berlawanan arah.

sinBABxA

BxA

C

sinBA

C A

B C

C

BxA AXB

atau :

Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh :

;

dan

Garis dan Bidang.

1. Persamaan garis

Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik

sejajar dengan sebuah vektor .Buat garis l melalui ke // vektor

diperoleh atau

AxBBxA

00sin 0iiixi 0kxkjxjixi

090sinjiixi

),,( 000 zyxP

A

),,( 000 zyxP ),,( zyxQ A

0rrPQ kzzjyyixxPQ )()()( 000

Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena

karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka persamaan menjadi persamaan ini : pers.garis simetri

z

l

y

x

c

zz

b

yy

a

xx 000

),,( 00 zyxP o),,( zyxQ

0r r

A

Persamaan Bidang.

persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah vektor . Misalkan = tegak lurus pada bidang α, diperoleh

Kerena terletak pada bidang α maka ∟

maka perkalian titik sama dengan nol

α

N N kcjbia

0rrPQ

kzzjyyixxPQ )()()( 000),,( zyxQ

PQ N PQ

0.PQN

N rr

r

),,( 000 zyxP

S

Matrik dan Determinan Matrik Sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom : matrik.Objek matrik dapat berupa bilangan real,bil komplek (fungsi) Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal kolom m =jml baris I = 1,2,3……m n = jml kolom I = 1,2,3,…..n

mn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

434241

2232221

1131211

....

Matrik A dengan elemen ,mempunyai baris m dan kolom n dengan orde (mxn).

Matrik bujur sangkar dimana m=n yang terdiri

1. matrik nol

2. matrik satuan

Matrik lain :

1. Matriks transpos

2. Matrik vektor atau matrik vektor kolom

ija

00

00

10

01

fc

e

d

b

a

Afed

cbaA T

T

n

n

rrr

r

r

r

r ..

21

2

1