document2

Konsep Deret & Jenis-jenis Galat

ALZ DANNY WOWOR

Metode Numerik (IT 402) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 2

Thursday, March 22, 2012

2Dalam Kalkulus, deret sering digunakan untuk mengintegralkan fungsi yang 4dak mempunyai an4 turunan elementer, menyelesaikan persamaan diferensial, dan menghampiri fungsi dengan polinom.

Contoh: Untuk menghitung dan

Masalah integral dan limit di atas 4dak dapat diselesaikan apabila integran dan fungsi pada limit 4dak dinyatakan kedalam bentuk deret.

1. Pengatar


3Deret menjadi bagian yang pen4ng dalam metode numerik, karena digunakan untuk menghampiri suatu fungsi yang rumit kedalam bentuk polinomial, sehingga fungsi tersebut menjadi lebih sederhana.

Selanjutnya akan deret yang akan digunakan adalah deret Taylor dan deret Maclaurin


Defenisi Deret Taylor

Dimisalkan fungsi f dan semua turunannya f , f , f , ... berada pada selang [a, b]. Diambil x0 [a, b], maka untuk nilai-nilai di sekitar x0,

4

2. Deret Taylor

dan x [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor:

(1)

x0x


5Pada persamaan (1), jika dimisalkan x - x0 = h, maka diperoleh

(2)


6Hampiri fungsi f(x)= sin (x), ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 1

Penyelesaian:

Contoh 1. Deret Taylor

Untuk menyelesaikan, harus menentukan turunan dari sin (x) terlebih dahulu.

f(x)= sin (x), f(x)= cos (x), f(x)= -sin (x),f(x)= -cos (x) f 4(x)= sin (x)

dan seterusnya


7Maka, berdasarkan persamaan (1), sin (x) dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut

Jika dimisalkan x - 1 = h, maka berdasarkan persamaan (2), diperoleh


Deret Maclaurin merupakan suatu deret yang diperluas berdasarkan deret Taylor. Jadi suatu fungsi yang diperluas dengan mengambil x0 = 0, yang merupakan deret Taylor baku.

8

Deret Maclaurin

Dengan mengambil x0 = 0 pada persamaan (1) diperoleh

(3)


9Uraikan f(x)= sin (x), ex, cos (x), ln (x + 1) masing-masing ke dalam deret Maclaurin

Contoh 2. Deret Maclaurin

Penyelesaian:

Beberapa turunan untuk sin (x)

f(0)= sin (0), f(0)= cos (0), f(0)= -sin (0),

f(0)= -cos (0) f 4(0)= sin (0) dan seterusnya


10

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk ex, harus menentukan turunan dari ex

f(x)= ex , f(x)= ex, f(x)= ex,

f(x)= ex f 4(x)= ex dan seterusnya

Deret Maclaurin dari ex adalah


11

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk cos(x) , harus menentukan turunannya

f(x)= cos(x) , f(x)= - sin(x), f(x)= - cos(x),

f(x)= sin(x), f 4(x)= cos(x) , dan seterusnya

Deret Maclaurin dari cos(x) , adalah


12

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk ln (x + 1), harus menentukan turunan dari ln (x + 1)

f(x)= ln (x+1), f(x)= (x+1)-1, f(x)= -(x+1)-2,

f(x)= 2(x+1)-3 f 4(x)= -6(x+1)-4 dan seterusnya

Deret Maclaurin dari ln (x + 1) adalah


Hitunglah hampiran nilai untuk cos(0.2), dengan deret Maclaurin sampai suku orde n = 6.

13

Contoh 3. Nilai hampiran deret Maclaurin

Penyelesaian

Dari hasil deret Maclaurin untuk cos(x) pada contoh sebelumnya, maka diperoleh:


Karena deret Taylor 4dak berhingga banyaknya, maka untuk alasan prak4s deret tersebut dipotong sampai suku orde tertentu.

Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh:

14

Deret Taylor Terpotong

(4)

yang dalam hal ini

disebut galat atau sisa (residu)

(5)


Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat ditulis sebagai:

15

yang dalam hal ini


Sebagai contoh, sin (x) pada contoh 1, jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 adalah

yang dalam hal ini


Deret Taylor terpotong di sekitar x0 = 0, disebut sebagai deret Maclaurin terpotong. Berdasarkan Contoh 2, maka deret Maclaurin terpotong untuk sin (x), ex, cos (x), dan ln (x + 1) adalah:

dimana

(sampai suku orde 5)





3. Analisis Galat

Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi)Hampiran terhadap solusi eksak, oleh karena itu solusi numerik mengandung galat.Galat (): selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak.

18

Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai seja4 a, maka galat didefenisikan

Jika tanda galat (posi4f dan nega4f) 4dak diperhitungkan maka didefenisikan galat mutlak sebagai


Galat kurang bermakna sebab 4dak menunjukan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai seja4nya.

Misalnya seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99cm, padahal 100cm dan anak yang lain memberitahukan panjang pensil 9cm, tetapi panjang sebernanya 10cm.

Galat dari panjang kawat dan pensil sama 1cm.

Untuk mengatasi kesalahan interpretasi, maka galat dinormalkan terhadap nilai seja4nya, gagasan ini melahirkan galat rela@f.

19

atau dalam persentase


Kadang dalam penggunaan nilai seja4 a 4dak diketahui, karena itu galat seringkali dinormalkan dengan solusi hampirannya, sehingga galat rela4fnya dinamakan dengan galat rela@f hampiran.

Sebagai contoh, misalkan nilai seja4 = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat rela4f, dan galat rela4f hampiran.

20


Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:

1. Galat Pemotongan (trunca.on error)

2. Galat pembulatan (round-o error)

21

Sumber Utama Galat


Galat Pemotongan

Galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran (aproksimasi) sebagai pengganti formula eksakContohnya, hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret taylor di sekitar x = 0

22

pemotongan


23

Galat pemotongan tidak dapat dihitung dengan pasti, karena jumlah seluruh suku-suku setelah dipotong tidak mengkin dihiutng.Namun dapat dihampiri dengan rumus suku sisa.

maka untuk cos(x) diperoleh


Nilai Rn yang tepat hampir 4dak pernah diperoleh, karena 4dak diketahui nilai c sebernanya.

Oleh karena itu dicari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan.

24


Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1, untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat.

25

Contoh 4. Nilai Galat Pemotongan

Penyelesaian f(x) = ln(x) f(1) = 0f(x) =1/x f(1) = 1f(x) = -1/x2 f(1) = -1f(x) =2/x3 f(1) = 2f4(x) = -6/x4 f4(1) = - 6f5(x) =24/x5 f5(1) = 24/c5

Deret Taylornya adalah:


26

Sehingga untuk ln(0.9) adalah

juga

dan nilai Max|24/c5| di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9, dengan berdasar pada suatu pecahan nilainya semakin besar apabila penyebutnya dibuat manjadi lebih kecil

Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034


Menurut Sahid dalam (Pengantar Numerik dengan Matlab, hal 23)

Galat Pembulatan sering dilakukan dalam proses komputasi. Pembulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir.Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut: Jika digit pertama yang dibuang kurang dari 5, digit didepanya tidak berubah Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, maka angka didepannya

ditambah 1 nilainya.

27

Galat Pembulatan


Sebagai contoh

Nilai-nilai 2.324, 2.316, dan 2.315 jika dibulatkan sampai dua angka desimal (di belakang koma), hasilnya adalah 2.32

Nilai 3.14159, -0.0025, dan 84.009974 jika dibulatkan berturut sampai dua, 4ga, dan empat angka desimal (di belakang koma), hasilnya berturut-turut adalah 3.14, -0.003, dan 84.0100.

Catatan:

Pengulangan pembulatan 4dak disarankan, karena akan memperbesar galat Misalnya nilai 18.34461 dibulatkan sampai 3 angka desimal hasilnya 18.345, jika dibulatkan lagi sampai

dua angka desimal menjadi 18.35. Akan tetapi, jika langsung dibulatkan sampai dua anga desimal hasilnya adalah 18.34. Galat dua kali pembulatan sampai 2 angka desimal adalah 0.00539, sedangkan galat sekali pembulatan senilai 0.00461

28


29

Menurut Rinaldi Munir:Galat Pembulatan merupakan galat yang timbul akibat keterbatasan komputer dalam merepresentasikan bilangan riil.

Contoh: 1/6 = 0.1666666666..., dalam mesin dengan 6-digit direpresentasikan sebagai 0.166667. Galat pembulatan = 1/6 0.166667 = -0.000000333.Dalam sistem biner misalnya 1/10 = 0.00011001100110011001100110011...2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas.


1. Bilangan titik-tetap (fixed-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap

Contoh: 62.358, 0.013, 1.000.

2. Bilangan titik-kambang (floating-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah digit berar4 yang sudah tetap

Contoh: 0.6238 103, 0.1714 10-13

30

Represenatasi Bilangan Riil dalam Komputer


Angka Bena (signifikan)

Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pastiContoh:

31

43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2) 278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3,0,0)270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0,0,9,0)0.0090 memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena


Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena.

Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu.

Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan.

32

4.3123 x 101 memiliki 5 angka bena 1.764 x 10-1 memiliki 4 angka bena 1.2 x 10-6 memiliki 2 angka bena 2.78300 x 102 memiliki 6 angka bena0.2700090 x 103 memiliki 7 angka bena9.0 x 10-3 memiliki 2 angka bena13.60 x 102, 0.1360 x 10, 0.1360 x 101, 1.360 x 10-3 semuanya memiliki 4 angka bena


Galat Total

Galat total adalah galat akhir pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

33

Misalnya pada contoh 3, deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2)

Galat pemotongan timbul karena cos(0.2) dihmapiri sampai suku orde-4, sedangkan galat pembulatan timbul karena membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

galat pemotongan

galat pembulatan


Latihan1. Dengan menggunakan deret Maclaurin sampai orde 8, Hitunglah

34

2. Dari hasil integaral pada soal 1(a), hitunglah nilai integral dengan batas 0 x 1

(a)

(b)


document2

Documents