PENARIKAN SAMPEL BANYAK TAHAP9.1 PROSEDUR SAMPLINGDi dalambab 8, kita sudah membahas penarikan sampel berkelompok di mana kelompok dipertimbangkansebagai unit sampling dan semua elemen dalam kelompok yang terpilih disebut satu per satusecara lengkap. Telah disebutkan bahwa penarikansampel berkelompok itu, hemat dalam keadaan tertentu tetapi metode ini membatasi penyebaran dari sampel populasi yanghasilnyabiasanyameningkatkanpendugaanterhadapvarians. Oleh karena itu, wajar mengharapkan efisiensi dari estimator akan meningkat dengan cara pendistribusian elemen dalam jumlah besar dari kelompok dan hanya suatu contoh unit pada setiap kelompok terpilih sebagai wakil dengan menyebut satu per satu semua elemen sampel dari kelompok. Penarikan sampel jenis ini, yang terdiri dari pertama, pemilihan kelompok dan kemudian pemilihansecara spesifikbeberapa elemen dari setiap kelompokterpilihyang dikenal sebagai sub-sampling atau teknik penarikan sampel dua tahap. Dalam desain sampling, kelompok yang terbentuk dari pemilihan unit sampling pertama disebut unit-unit pada tahap pertamaatau unit-unit padasampelutamadan elemen dalam kelompok disebutunit-unitpadatahappertama. Prosedur ini dapat disamaratakanuntuktigatahapanataulebihdan dimasukkan dalam penarikan sampel banyak tahap. Sebagai contoh, dalam menyurvei panen untuk memperkirakan hasil dari panen di suatu daerah, suatu blok mungkin dipertimbangkan sebagai suatuunit sampel utama, desa/kampungsebagai unit sampel dalamlangkahyang kedua, area panen sebagai unit sampel pada langkah yang ketiga, dan suatu plot dari ukuran yang tetap dari unit sampling yang terakhir.Penarikan sampel banyak tahap telah ditemukan untuk menjadi hal yang sangat bermanfaat dalam hal praktik dan prosedur ini biasanya digunakan dalam survei berskala besar. Mahalonobis (1940) telah menggunakan prosedur ini dalamsurvei panen dan Ganguli memasukkanmulti-stage sampling(penarikansampel banyaktahap) ini dalampenarikan sampel bersarang. Chocran (1939), Hansen dan Hurwitz (1934), Sukhatme (1953), dan Lahiri (1954) sudahmembahaspenggunaannyadalambidangpertaniandansurvei populasi. Roy (1957)danSingh (1958) telahmempertimbangkan komponen penduga varians untuk desain sampling. Prosedurpenarikansampel banyak tahap menjadi kombinasi yang lebih baik dari penarikan sampel acak danpenarikan sampel berkelompok. Itu diharapkan menjadi (i) kurang efisiendibandingpenarikansampel acaksatutahapdanlebihefisiendibandingpenarikan sampel banyak tahap dari sudutpandang variabilitas sampling, dan (ii) lebih efisien dibanding penarikansampel acaksatutahapdankurangefisiendibandingpengelompokandari sudut pandang biaya dan operasional. Keuntungan utama dari prosedur sampling ini adalah bahwa pada langkah yang pertama, kerangka dari unit-unit pada tahap pertama diperlukan agar bisa disiapkan dengan mudah. Pada langkah yang kedua, kerangka dari unit-unit pada tahap kedua diperlukan hanya untuk yang terpilih unit-unit pada tahap pertama dan seterusnya. Desain ini menjadi lebih fleksibel, yaitu seperti memperbolehkan penggunaan prosedur penarikan sampel yang berbeda dalam tahapan yang berbeda. Itu juga bisa dikatakan bahwa penarikan sampel banyak tahap itu mungkin hanya satu-satunya pilihan dalam sejumlah situasi praktis di mana suatu kerangka sampel yanglengkap dari unit pada tahapan terakhir tidak tersedia dan membutuhkan biaya besar untuk memperoleh kerangka seperti itu.9.2 PENARIKANSAMPELDUATAHAPDENGANUKURANUNITSAMAPADA TAHAP PERTAMA: MEMPERKIRAKAN RATA-RATA DAN VARIANS POPULASIKarena, pada penarikan sampel dua tahap, unit-unit dipilih pada tiap tahapan dengan mempertimbangkanstrukturpeluangpadatiaptahap, prosedur pemilihanpadakedua tahapan adalah mempertimbangkan padaturunan dari nilai harapan danvariandari penduga berdasarkan pada jumlah observasi yang diambilpada sampel dari unit-unit pada tahap kedua. untuk mendapatkan nilai harapan dan varian sampel dari estimator berdasarkan padaunit-unit yangdipilihdenganmemperhatikanasas randomisasi padatahapdua, kita mungkinmengikuti hasil yangdiberikanpadaTeorema1.3.7dan1.3.8yangdirangkumdi bawah ini.( ) ( ) t E E t E2 1 (9.2.1)( ) ( ) ( ) t V E t E V t V2 1 2 1+ (9.2.2)dimanaE1danV1adalahekspektasi danvariandari tahappertamadanE2danV2adalah ekspektasi bersyarat danvariandari tahapkeduauntuksampel dari unit-unit padatahap pertama .Mari kita asumsikan bahwa populasi terdiri dari NM elemen yang dikelompokkan pada N unit-unit tahap kedua dari tiap Mpada unit-unit tahap kedua. maka nmenjadi nomor unit-unit pada tahap pertama padasampel dan madalah nomor unit-unit pada tahap kedua yang terpilih dari setiap unit sampel tahap pertama. Kita juga mengasumsikan bahwa unit-unit pada tiap tahap dipilih denga peluang yang sama. Di bawah ini adalah notasi yang digunakan : Myi YMiij Rata-rata setiap elemen pada unit-unit tahap pertama NYYNii Rata-rata setiap elemen populasi( )( )) 122NY YSNiib varian sebenarnya antara rata-rata unit pada tahap pertama( )) 1 (22M NY ySNiMiiijwvarian sebenarnya antara unit-unitdengan rata-rata pada tahap pertama myymjijirata-ratasampeltiap unit-unitpadatahap keduadalam uni-unit pada tahap pertama nyynijrata-rata semua sampel tiap elemenTeorema 9.2.1Jika n adalah darisetiap fsuadalah dipilih dengan metode simple random sampling, wor,y adalah unbiased estimator bagi Ydengan varian sampel( )( )mnSM m MnSN n Ny Vw b2 2) ( + (9.9.3)Pembuktian : Menggunakan persamaan (9.2.1) untuk mendapatkan ekspektasi, maka ( ) ( ) ( ) Y Y E i y E E y E ij 1 1 2 1/Itumenunjukkanbahwarata-ratasemuaelemensampeladalahunbiasedestimator bagi rata-rata populasi.Untuk memperoleh estimasi dari varians, dengan menghubungkan pada (9.2.2), kita punya( ) ( ) [ ] ( ) [ ] i y V E i y E V y V / /2 1 2 1+ ( )1]1

,_

+ niii SM m nE Y V221 11 1 1( ) ( )nSmMm MSnNn Nwb22+Dimana Nii wSNS2 21Jika f1 = n/Ndan f2 = m/M adalah fraksi sampel pada tahap pertama dan kedua, hasilnya bisa dituliskan sebagai ( )( ) ( )2 2 2 11 1w bSnmfSnfy V+ (9.2.4)Varians ditunjukkan pada persamaan (9.2.3) pada penarikan sampel dua tahap terdiri dari dua komponen. Komponen satu berasal dari variabilitas dari unit-unit pada tahap kedua di dalam unit-unit pada tahap kedua dan kedua muncul dari varian unit-unit pada tahap pertama. Jika pemilihan unit-unit pada tahap satu disebutkan satu per satu secara lengkap atau, dengan kata lain m= M,varian dari rata-ratasampel akan diberikan hanya oleh komponen pertama dan kondisi ini telah dibahas pada bab 8. jika n= N atau dengan kata lain setiap unit-unit pada sampel pertamadalampopulasi terlibat dalamsampel, kemudianuntukmetodestratifikasi denganunit-unitpadasampelpertama sebagaistrata terdiridari duakomponen,dan teknik penarikan sampel acak sederhana dari m unit-unit sampel pada tahap kedua di peroleh dari tiap strata Kesimpulan 1 Berdasarkan teorema 9.2.1, penduga tak bias dari( ) y Vadalah( )( ) ( )2 2 2 11 1w bsnmfsnfy v+ (9.2.5)Dimana( )( ) 122ny ysniib( )( ) 122m ny ysnimji ijbKesimpulan 2Tunjukkan bahwa unbiased estimator dari 2bSadalah( )2 2 2 21w b bsmfs S (9.2.6)Kesimpulan 3Jikanfsusdipilih secara acak dengan pengembalian (pemulihan) danm ssus dari setiap unit terpilih, dipilih dengan penarikan sampel acak sederhana, wor, y adalah unbiased estimator dari Y dengan varians sampel ( ) ( )mnSfnSy Vw b2221 + (9.2.7)Kesimpulan 4Jika n fsus dipilih secara acak, wor, dan m ssus dari setiap pemilihan unit dipilihsecararandom, wr,yadalahunbiasedestimatorYdari dengan varians( ) ( )mnSnSf y Vw b2 211 + (9.2.8)Kesimpulan 5 Jika n fsus dan m ssus dari setiap pemilihan unit dipilih dengan penarikan sampel acak sederhana, wor,yadalah unbiased estimatorYdari dengan varians( )mnSnSy Vw b2 2+ (9.2.9)Kesimpulan 6 Jika n fsus dan m ssus dari setiap pemilihan unit dipilih dengan penarikan sampel acak sederhana, wor, estimatorniinyNM Y(9.2.10)Adalah penduga tak bias dari total populsi Y dan varian sampel adalah( ) ( )mnSM NnSf M N y Vw b22 2212 21 + (9.2.11)9.3 ALOKASI OPTIMUM: UNIT-UNIT BERUKURAN SAMA PADA TAHAP PERTAMA Efisiensidaripenarikansampel duatahap sangattergantung pada nilaimdann,ini wajar untuk memperoleh nilai optimalmdanndalampraktiknya. Pada desain penarikansampel duatahap, fungsi biayadari sampel padasurveybisadituliskan sebagai2 1nmc nc a C + + (9.3.1)Dimana a adalah biaya umum,1c adalah biaya yang melibatkan fsu pada sampel dan 2cadalah biaya yang melibatkan ssu pada sampel.Dalam prakteknya,1c nampaknya akan lebih besar dibandingkan 2c . Oleh karena itu, meningkatnya n akan meningkatkan biaya yang lebih besar dari meningkatnya unit m. Mari kita juga mempertimbangkan variansampel dari penduga. Kita menemukan bahwa varian total pada penarikan sampel dua tahap terdiri dari dua bagian (1) varian antaraunit-unit padatahappertamadan(2) variansdi dalamunit-unit padatahap pertama. Pada kenyataannya, pendugaan dari varian sampel, pada desain dua tahap, bisa dituliskan sebagai

,_

+ + mAAnA Vo211(9.3.2)Dimana ,NSAnbo ,221MSS Awb 22 wS A Itu dapat dilihat bahwa komponen perbedaan dalam kaitan dengan pengurangan unit-unit pada tahap pertama dengan suatu peningkatan n hanya ketika perbedaan komponen karena pengurangan unit-unit pada tahap kedua dengan meningkatkan n dan m.Jadi, fungsi biaya dan varian berlawanan arah untuk meningkatkanndanm, supaya efisiensi tiap unit dari biaya menjadi maksimum atau biaya tiap unit minimum untuk nilai tertentu dari efisiensi. (a) Jika Biaya TetapAsumsi bahwa biaya C adalah tetap, katakan Co. Menggunakan metode faktor pengali Lagrange, fungsi yang terbentuk adalah ( ) ( ) ( )0 2 1, , C nmc nc a y V m n L + + + (9.3.3)Menurunkan Lterhadapndanm, menyamakan turunan parsial dengan nol dan mengeliminasi , kita mendapatkan ( )[ ]212 2212 1212 11 2//M S Sc c Sc A c Amw bwopt

,_

(9.3.4)Substitusikan nilai dari m pada persamaan (9.3.1), kita memperoleh nilai optimum dari n sebagai( )( )( ) ( )212 2211 1211 1/c A c Ac Aa C no opt+ (9.3.5)Substitusikan nilai darioptmdanoptnpada persamaan untuk varian, kita mendapatkan varian minimum, yaitu( )[ ]( ) a Cc A c AA y Voo++ 2 2 1 1min(9.3.6)(b) Jika Varians TetapMisalkan varians V dari penduga pada penarikan sampel dua tahaptetap, katakanaVo. kemudian, nilai darindanm, denganmeminimumkan biayadiberikanolehmetodefactor pengali Lagrange. Aplikasikanmetodeyang sama di (a) di atas, kita akan mendapatkan 212 11 2

,_

c A c AmoptSubstitusikannilai darimkepersamaan(9.3.2), kitanakanmendapatkannilai optimum dari n yaitu112 2 1 1cAA Vc A c Ano oopt+ (9.3.7)Substitusikan nilai dari optm dan optn pada persamaan biaya, kita akan mendapatkan biaya minimum yaitu[ ]022 2 1 1A Vc A c Aa Co ++ (9.3.8)Contoh9.1Padasuatupercobaan, ada100lahanyangdisebarbenihgandum. Tiaplahan dibagi menjadi 16 bidang dengan ukuran yang sama (1/16 hektar). Dari 100 lahan, dipilih 10 dengan teknik penarikan sampel acak sederhana, wor. Dari tiap lahan yang terpilih, 4 plot dipilih secara acak, wor. Lahan dalam kg/bidang diberikan di bawah ini :SelectedPlotsField 1 2 3 41 4.32 4.84 3.96 4.042 4.16 4.36 3.50 5.003 3.06 4.24 4.76 3.124 4.00 4.84 4.32 3.725 4.12 4.68 3.46 4.026 4.08 3.96 3.42 3.087 5.16 4.24 4.96 3.848 4.40 4.72 4.04 3.989 4.20 4.66 3.64 5.0010 4.28 4.36 3.00 3.52(i) Perkirakanrata-ratagandumper hektar dalampercobaanbesertakesalahan bakunya (standard error).(ii) Bagaimana perkiraan bisa diperoleh dari penarikan sampel acak dari 40 bidang yang dibandingkan dengan perkiraan yang diperolehpada (i)?(iii) Tentukan n dan m optimum dengan fungsi biayanm n + 4 100Diberikan, N = 100, M = 16, n =10, dan m = 4Perhitungan yang diperoleh ditunjukkan di bawah ini: S. N.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)1 17.16 4.290 0.0267 74.091 18.404 0.4752 17.02 4.255 0.0165 73.565 18.105 1.1453 15.18 3.795 0.4469 59.733 14.402 2.1254 16.88 4.220 0.0087 71.925 71.808 0.6945 16.28 4.070 0.0143 67.009 16.545 0.7496 14.54 3.635 0.2586 53.511 13.213 0.6597 18.20 4.550 0.1794 83.950 20.703 1.1388 17.14 4.285 0.0251 73.800 17.361 0.3564iijyijy ( )2y yij 412jij y ij y2

,_

42 2jij ij y m y9 17.50 4.375 0.0618 77.605 19.141 1.04110 15.16 3.790 0.4402 58.718 14.364 1.262Total 41.265 1.478 693.908 9.644(i) Pendugaan dari rata-rata lahan gandum, dengan rumus umum, adalah1265 . 410265 . 41 1 niiynyPendugaan dari varians yadalah( )2 21 1 1|1 1w bsM m nsN ny v

,_

+

,_

Menghitung nilai 2bs , kita mendapatkan( ) 1642 . 094782 . 111212 ni by ynsdan, ( )( ) 3215 . 030644 . 91122 nimji ij by ym nsOleh karena itu,( ) 0145 . 0 3215 . 01614110011642 . 01001101

,_

+

,_

y v Dan kesalahan baku (standard error) dari y= 120 . 0 0145 . 0 (ii) Pada penarikan sampel acak sederhana, estimasi dari varians diperoleh ( )21 1sNM nmy vran

,_

Perkiraandari2S , menggunakandesainsampel duatahap, bisadituliskan sebagai,( ) ( ) ( )( )1]1

)' + 2 2 211 111w bsmNm M M N s N MNMs 1]1

)' + 3215 . 0412 9915 100 1642 . 0 99 161 16001 xx x x = 4045 . 0Jadi, ( ) 0099 . 0 4045 . 016001401

,_

y vran(iii) Fungsi biaya dari bentuk persamaannm c n c C2 1+ dengan c1= 4, c2= 1, dan C = 100. Nilai optimum dari m adalah21222211111]1

msssccmwbwopt=( )2143215 . 01642 . 03215 . 01411]1

x= 4Substitusi nilai dari m pada fungsi biaya yang diberikan, nilai optimum dari n adalah138100 optm9.4 THREE-STAGE SAMPLING DENGAN PELUANG YANG SAMA Prosedurtwostagesamplingdapatdipindahkan sepertiga oleh sampling ssus sebagai ganti menyebut satu per satu dengan sepenuhnya. Sebagai contoh, di dalam panen mensurvei untuk menaksir hasil rata-rata, suatu desa dipertimbangkan unit percontohan langkah yang pertama .Di dalam suatu yang terpilih, hanya sebagian dari bidang yang bertumbuh panen terpilih dan diambil [ketika;seperti] samplinglangkahyangkedua. Ketikasuatubidangyangterpilih, kemaluan yang hanya tertentu tentangnya adalah sampel,dimana mungkin memasukkan third-stage unit ( tsu). begitu hasil dari tiga sampling langkah dapat diperoleh denganberkembang merekayangduasamplinglangkah,dengan asumsi yang masing-masing ssu mempunyaiL third-stage unit. Ini juga mengira bahwa unit terpilih dengan kemungkinan yang sama. Nilai ijky diperoleh untuk kth third-stage unit di jth unit langkah yang kedua dari ith langkah yang pertama unit itu. Relevan populasi berarti tiapelement adalah sebagai berikut:LkijkijLyYMjLkijkiM LyYNiMjLkijkLMNyY, ,i ijy ydanyakanmendanakanbersesuaiannilai-nilai untukcontoh, bersesuaianvarians populasi nantinya:NiibNY YS) 1 () (22 Mii iNibM NY YS) 1 () (22 Lkij ijkNiMjbL NMY yS) 1 () (22 TEOREMA 9.4.1 jika n fsus, m ssus dan l unit yang terakhir terpilih oleh percontohan acak yang sederhana, wor, y adalah unbiased estimator dari Y dengan varian2322 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 () (u w bSnmlfSnmfSNfy V++ ( 9.4.1) Di mana LlfMmfNnf 3 2 1, , pecahan sampling pada tiga langkah-langkah, berturut-turut. bukti adalah jelas nyata. Varians yang diberi oleh hubungan ( 9.4.1) terdiri dari tiga komponen yang sesuai dengan yang three-stage dari sampling. Komponen yang pertama adalah variabilitas dari fsus, yang kedua ke variasi dari ssus dan yang ketiga ke tsus. jika m= M dan l= L, yaitu. masing-masing dari n fsus adalah dengan sepenuhnya disebut satu per satu, varians dari sampel berarti akan diberi olehkomponenyangpertamasaja, mewakili variansdari samplinglangkahyangtunggal. Dengan cara yang sama, jika masing-masing dari nm terpilih unit langkah yang kedua adalah dengan sepenuhnya disebut satu per satu, yaitu. l= L, varians dari contoh berarti akan diberi olehdua halpertamaitu terminologi saja, mewakili varians dari dua orang langkah yang samplingdisain. Di (dalam) n=Nataudi kata-katayanglain, tiap-tiapfsudi populasi dimasukkan di contoh, varians dari contoh berarti akan mempunyai [bertahan/berlangsung] dua terminologi, yaitu. sesuai dengansuatudibuat stratifikasi duasamplinglangkahmendesain dengan fsus strata. KESIMPULAN 1jika sampling telah selesai dengan penggantian pada tiap-tiap langkah, adalah suatu penduga yang unbiased dari dengan sampling varians nmlSnmSNSy Vu w b2 2 2) ( + + ( 9.4.2) KESIMPULAN 2suatu penduga yang unbiased dari ) ( y Vyang diberikanoleh 23 2 122 121) 1 ( ) 1 ( ) 1 () (u w bSnmlf f fSnmf fSnfy v++ (9.4.3) Di manakah 2 2 2, ,u w bs s s nilai-nilai contoh sesuai dengan, 2 2 2, ,u w bS S Sberturut-turut. KESIMPULAN 3Dengan fungsi biaya dari format C = a + nc1 + nmc2+ nmlc3Dan fungsi varians dari format nmlAnmAnAA y V3 2 10) ( + + + Nilai-Nilai jumlah maksimum dari l, m dan n yang memperkecil varians diberi oleh 2 / 13 22 3

,_

c A c Alopt2 / 12 11 2

,_

c A c Amopt (9.4.5)2 / 13 32 / 12 22 / 11 12 / 11 1 0) ( ) ( ) () / )( (c A c A c Ac A a Cnopt+ +Dengan nilai yang minimum dari varians untuk ditetapkan;perbaiki C, katakan C0 ) (] ) ( ) ( ) [(min02 2 / 13 32 / 12 22 / 11 10a Cc A c A c AA V+ +(9.4.6) KESIMPULAN 4Dengannotasi yangyangserupaseperti di kesimpulan3, nilai-nilai jumlah maksimum dari l, m, dan n yang memperkecil biaya ,diberi oleh 2 / 13 22 3

,_

c A c Alopt2 / 12 11 2

,_

c A c Amopt(9.4.7)2 / 11 1 0 02 / 13 32 / 12 22 / 11 1) / )( () ( ) ( ) (A c A Vc A c A c Anopt+ +Dengan biaya yang minimum untuk suatu varians yang spesifik. katakan V0, ) (] ) ( ) ( ) [(0 02 2 / 13 32 / 12 22 / 11 1A Vc A c A c Aa C+ ++ (9.4.8) 9.5 STRATIFIED MULTI-STAGE SAMPLING Disain yang paling umum di survei yang besar-besaran dibuat stratifikasi multi-stage sampling. Tidakprinsipyangbarudilibatkanketikaobyekadalahuntuk menaksir rata-ratadarisuatu populasi dibagi menjadi k strata dan sampling di dalam masing-masing lapisan adalah mandiri. Populasi dari fsus dibagi lagi ke dalam k strata. Di dalam masing-masing lapisan, suatu contoh fsus terpilih dan masing-masing dari terpilih fsus adalah sub-sampled. Biarkanhthlapisanberisi Nhunit langkahyangpertama, masing-masingdenganMhunit langkahyangkedua. Bersesuaianangka-angkacontohmenjadi nhdanmh. Pendugadari populasi berarti tiap unit langkah yang kedua diberi oleh khh hkhh hkhh h hsty WM Ny M Ny ( 9.5.1) Di mana hycontoh berarti dihth lapisan, dan khNhMhNhMhWhadalah penimbang dari lapisan dalam kaitan dengan ssus Menerapkan TEOREMA 9.2.1 di dalam masing-masing lapisan, kita mempunyai ]) 1 ( ) 1 ([ ) (2221 2whh hhbhhhkhstSm nfSnfWh y V+( 9.5.2) Di manahhhhhhMmfNnf 2 1, Dengan cara yang sama, suatu penduga yang unbiased tentang sampling varians diberi oleh ]) 1 ( ) 1 ([ ) (22 121 2whh hh hbhhhkhstSm nf fSnfWh y v+ ( 9.5.3) Untukmendiskusikankasus dari alokasi jumlahmaksimum, kitadapat tulis fungsi biaya sebagai + khh h h hkhhm n c n c C2 1 ( 9.5.4) Dari hubungan ( 9.5.2), varians mungkin ditulis [ketika;seperti] ] [ ) (2 102+ + + h hhhhhkhh stm nAnAA W y Vdimana 222 212, ,wh hwh bhhbhchS AmhS SANhSA Karenanya, memperkecil V untuk ditetapkan;perbaiki C, atau sebaliknya, kita dapat menggunakan LagrangeS metoda dari pengali yang tak dapat ditentukan. Pembedaan secara parsial w.r.t nh dan mh dan penyamaan pada nol, kita mendapatkan 2 / 1 2 22 / 12 12 / 12 11 2) / () / (Mh S Sc cSc Ac Amwh bhh hwhh hh hh

,_

(9.5.5) 2 / 11 12 / 11 1) / () (hh hhc h A Whc AnWh n(9.5.6)

2 / 112 22 / 112 2] / ) / ( [] / ) / [(h wh bhh wh bhc Mh S S Whc Mh S S nWhKarena; Wh NhMh kita boleh menyatakan hh wh bh h hhcM S S W Nn12 / 1 2 2] / [ hhcSNhMh1Di mana 2 / 12211]1

MhSS Swhbh hdapatdilihatdenganmudahdariyangtersebut diatashubunganbahwarumusanuntukmh jumlah maksimum. Apakah secara tepat sama halnya di sampling yangtidak dibuat stratifikasi. Dengancarayangsama, nilai jumlahmaksimumdarinhyangsamamembentukperihal sampling yang dibuat stratifikasi uni-stage. 9.6 TWO-STAGE SAMPLING WITH UNEQUAL FIRST STAGE UNITS ESTIMATORS OF MEAN DAN THEIR VARIANCES Durbin ( 1953), Des Raj ( 1966) dan Rao ( 1975) sudah membahas berbagai penduga dari multi-stage sampling .Bagian ini diabdikan bagi suatu uraian tentang beberapa penduga yang bersama-sama menggunakan. Biarkan populasi dalam pembahasan terdiri dari N unit langkah yangpertama.Ithfsuberisi Mi unit langkahyangkedua. Lebihjauh, unit terpilihtanpa penggantian, dengan kemungkinan berbeda atau sama. Suatu contoh n fsus terpilih dan dari ith terpilih fsu, suatu contoh mi, ssus terpilih. Mari kita tentukan Mi = banyaknya ssus di ith fsu ( i=1,2,,N) Mo== total jumlah ssus di populasi mi = banyaknya ssus untuk terpilih dari ith fsu dimasukkan di contoh mo== total jumlah ssus di contoh Mi y YMijij i = ith fsu berarti N Y YNji N = keseluruhan cara fsu berarti NiNiMii Y MiY=Nii Y Wi== rata-rata tiap ssu atau populasi berarti unsur Adabeberapapendugadari populasi berarti tetapi kitamengusulkanhanyauntukbelajar sebagian dari yang metode yang praktis adalah, M ny My unynii inii i 1(9.6.1)nyynii 1 (9.6.2)nnii iMiy My1 (9.6.3)Di manamij iijmyy. 1, NMoM , danMMiuiTEOREMA9.6.1menujukkanbahwapendugayangdiberi olehhubungan( 9.6.1) adalah unbiased dan sampling variansnya diberi oleh ]) 1 ( ) 1 ([ ) (222 2 21miSM nN fMi Snfy vwi hNib+(9.6.4)Di mana) 1 () (22NY Y uSNii ib dan) 1 () (22MiY ySwiMiji ij Bukti untuk membuktikan ny uynii i adalah suatu penduga yang unbiased, kita dapat tulis1) ( E y E ]) | ([2ni y u Enii i = nii inii iY Y u En nY uE ) (1] [1 1 Sampling varians dari penduga diberi oleh) | ( ) | ( ) (2 1 2 1n y V E n y E V y V + 11]1

+1]1

niiinii in y VMMnE Y unV ) | (1 1.2221 1miSM nNf MnSfwNii i b2222 21) 1 () 1 (+ Unit terpilih dengan kemungkinan yang sama di metode ini dan kontribusi dibuat oleh fsus kepada komponen dari varians ini tergantung pada variasi antar fsu total. Jika unit berubah-ubah sesuai ukurannya maka ukuran, komponen ini akan jadi besar. Komponen yang kedua dari varians adalah juga besar seperti nampaknya akan ada korelasi yang positif antar Mi dan. 2. wiS . Sering, komponen ini menjadi sangat besar bahwa penduga tidaklah lebih disukai KESIMPULAN 1Menunjukkan bahwa perkiraan penduga nini yNMi Y.secara unbiased populasi total Y dan sampling varians nya akan [jadi] diberi oleh 2222 21 2) 1 ( ) 1 () (wiinii bSM nmi fNM SnfN y V+( 9.6.5) KESIMPULAN 2Suatupenduga yangunbiasedtentangvarians di (dalam) hubungan ( 9.6.4) diberi oleh 2 2221) 1 ( ) 1 () (i wiinibu SnmiNfSnfy v+(9.6.6) Di mana 2bSdan dan 2wiSadalah mempunyai; maksud/arti umum mereka TEOREMA 9.6.2Menunjukkanbahwapendugayangdiberiolehhubungan (9.6.2)bias dan biasnya diberi oleh M N Y M Mi Bi/ ) ( ( 9.6.7) Dan sampling varians oleh 22211) 1 ( 1 ) 1 () (wiiNibSmifnNSnfy V+ ( 9.6.8) Di mana NiibNY YS) 1 () (22 dan 2wiSadalah seperti biasanya Bukti Untuk membuktikan 1yadalah suatu penduga yang bias, kita dapat mendapatkanE y E ) (1} {1nny=]) | . ([21ni y EEnii =Y YnYENnii ] [1Yang mana menunjukkan 1yadalah suatu penduga yang bias. Biasnya dapat diperoleh NiNii iNM N Y MiNYY Y B =] ) ( [1 NiiNiiY M Y MiM N= NiiY M MiM N] ) ( [1 Sampling varians dari penduga diberi oleh ) | ( ) | ( ) (2 2 1 1 2 1n y V E n y E V y V + 1]1

+1]1

niiniii y VnE YnV ) | (1 1. 221 1]) 1 ( 1[ ) 1 (222121miS fnEnSfwinii b+ miS fnN nSfwinii b2221) 1 ( 1) 1 (+ Bias di penduga1ynampak dalam kaitan dengan fakta bahwa kemungkinan dari pemilihan dari ssusbertukar-tukar dari satuunit kelain, di fsus, dalamkaitandenganukuranberbeda mereka. Jika MiS tidak bertukar-tukar dengan sangat dan variabel studi tidaklah dihubungkan dengan Mi. bias tidak boleh besar. Di sini, MSE dari akan terdiri dari tiga komponen: satu dari bias, satu dari variasi di dalam fsus dan seseorang timbul dari variasi antar rata-rata dari fsus. Nilai-Nilai dari mis tidaklah ditetapkan dan suatu pilihan yang sesuai tentang mi dapat sangat menolong di dalam mengendalikan komponen ini. KESIMPULAN 1Suatu penduga yang unbiased dari bias diperoleh oleh B= niiy y M Min M N N) )( ( [) 1 () 1 (1 .(9.6.9)dimananMiMni KESIMPULAN 2Suatu unbiased estimators dari varians diberi oleh miSnNfnSf y vwinii b2221 1) 1 () 1 ( ) (+ (9.6.10)dimana) 1 () (22ny ySniib dan ) 1 () (22miy ySwimiji ijTEOREMA 9.6.3 Menunjukkan bahwa penduga yang dihubungkan oleh ( 9.6.3) adalah bias dan biasnya adalah

,_

,_

YSS YN ny BiasMyM221 1) (( 9.6.11) Dan sampling variansnya adalah miSMf MnNSN ny VwiNii i b222 22) 1 ( 1)1 1( ) (+ ( 9.6.12)Di mana) 1 () 1 (22NMMSniiM) 1 ()( 1 ( NYM i Y MiMMSniiy M) 1 () (22 22N MY Y MiSbniiDan 2wiSseperti biasaBukti:Jikakitamengambily nMy Minii.danu n M Minikemudianpenduga2y dapat ditulis penduga perbandingan u y . Menerapkan hubungan (6.3.2) dan (6.4.1.) kita dapat temukan varians dan bias Benar-Benar2y adalah perbandingan ke penduga ukuran, di mana pengetahuan dariMtidaklahperlu. Padabentukyangyangserupa, seseorangbolehmenggambarkanpenduga kemunduran dan bias nya, dan sampling varians dapat diperoleh tanpa kesukaran. DenganmembandingkanV(2y ) danV( y), seseorangbolehmenyimpulkanbahwaistilah yangkeduadi (dalam)hubungan(9.6.12)adalahserupadenganistilahyangkeduadalam hubungan (9.6.4). Istilah yang pertama bagaimanapun, diharapkan untuk kurang dari bersesuaian istilah di yangsama jika fsus szes dan total mereka adalah secara positif dihubungkan dan koefisien korelasi adalah lebih besar dari separuh perbdaningan dari CVS mereka. Dengan Cara Yang Sama, jika Mi dan) ( Y Yi adalah secara positif dihubungkan dan bias di 1y adalah sepele, kemudian V(2y ) akan [jadi] lebih besar dari V(1y ). Secara umum, jika MiS bertukar-tukar dengan sangat, penduga, yang disajikan n adalah danMi yang cukup besar adalah sangat dihubungkan dengan variabel studi. Di panen mensurvei di (dalam) India, suatu studi yang empiris pada efisiensi yang relatif dari tiga penduga,,y,1y , dan2y telah dibuat ketika diamatibahwayangsederhana rata-rata mempunyai standar paling sedikit kesalahan. Hasil yang yang serupa dipertunjukkan di (dalam) contoh 9.2. MiS ditemukan untuk bertukar-tukar dengan sangat dari desa ke desa dan bias ditemukan untuk sepele. Penduga telah diamati untuk secara komparatif lebih sedikit efisien Penduga yang tidak bias untuk varians (2) adalah sebagai berikut v(2) = Contoh 9.2Untuk latihan penelitian memberi makan dan membesarkan domba dan bulunya di negara Rajashtan, selama tahun 1980-81, desain sampel dua tahap dengan tehsils sebagai tahap pertama dan desa sebagai tahap kedua yang digunakan dalam metode ini. Data yang diberikan di bawah ini adalah populasi domba yang tetap di desa yang terpilih dari 4 tehsil yang terpilih dari 12 tehsil dari divisi Ajmer, data ini dihitung dari survei dengan jumlahdesa di tehsil.Tehsil terpilihJumlah desa di setiap tehsil (Mi)Populasi domba di desa terpilihBehrar 102 266,890,311,46,174,31,17,186,224,31,162,46,31,109,275,128,125,267,153,152,84,21,52,10,0,48,94,123,87,89,109,0,310,3Bairath 105 129,57,64,11,163,77,278,50,26,127,252,194,350,0,572,149,275,114,387,53,34,150,224,185,157,244,466,203,354,816,242,140,66,590,747,147Ajmer 200 247,622,225,278,181,132,659,403,281,236,595,265,431,190,348,232,88,1165,831,120,987,938,197,614,187,896,330,485,60,60,1051,651,552,968,987Bansur 88 347,362,34,11,133,36,34,61,249,170,112,42,161,75,68,0,247,186,473,0,143,198,65,0,308,122,345,0,223,302,219,120,199,35,0,0Hitunglah rata-rata dari populasi domba di desa Ajmer selama tahun 1980-81, dengan standard errornya jika=124.Didapatkan=124, M1= 102, M2= 105, M3= 200, M4= 88,N= 4, m1 = 34, m2 = 36, m3 = 35, m4 = 36,= 135, = 225, = 471, = 141,

dan (i) Cara pertama.Penduga yang tidak bias dari rata-rata populasi domba adalah sebagai berikut = Jadi, = = Estimasi dari V( ) adalahv( ) = dimananilainya, = = dan = ==154.87Jadi,v( )= standard error dari = = 94.94(ii) Cara kedua. Penduga yang lain dari populasi domba adalah = = Varians estimator dari adalah sebgai berikutv( ) = dimana dandidapatkanDan telah dihitung sebelumnya.Jadi,v( )= 4214 standard error dari= =64.92(iii) Cara Ketiga Kita juga mempunyai yang merupakan estimator dari rata-rata populasi yaitu Kita menghitung, = 0.998karena itubegitu juga, estimasi dari V( ) adalahv( ) = dimana maka = 38401.87Dan bagian kedua dari varians telah ada di (i).Jadi v( ) = = 6555.19 standard error dari adalah = 9.7 Alokasi optimum : unit yang berbeda tahap pertamaDi bagian 9.3, kita telah membicarakan alokasi optimum untuk tahap pertama jika unit-unitnya mempunyai ukuran yang sama. Fungsi dari biaya dan varians mempunyai lawan dalam perlakuan peningkatan jumlah n dan m, dan hal itu penting untuk dipertimbangkan sebelum alokasi optimum dibicarakan lebih lanjut.Fungsi Biaya. Di desain penarikan contoh untuk dua tahap, biaya survey dapat dituliskan sebagai berikut (9.7.1)Dimana adalah biaya tidak tetap, adalah biaya rata-rata per fsu, dan adalah biaya rata-rata per ssu.Dalam kenyataannya,kelihatan lebih besar dari. Karena itu, peningkatan jumlah unit (n) meningkatkan biaya yang dapat dibandingkan dengan peningkatan . Jadi, komponen kedua dari fungsi biaya akan berbeda dari setiap sampel yang satu dengan sampel yang lainnya untuk jumlah n tertentu dan oleh karena itu, itu menjadi hal yang penting untuk diketahui dari alokasi optimum dari jumlah total sampel berdasarkan ssu yang terpilih, jadi rata-rata jumlah sampel ssu yang terpilih untuk setiap fsu adalah m. Masalah ini telah dibicarakan oleh Rangarajan (1957) dan Rao (1961). Mereka memberikan metode yang berbeda dengan dengan m adalah nilai rata-rata atau dengan adalah konstanta positif. Maka kita mepertimbangkan bahwa biaya rata-rata dari pembicaraan sebelumnya dapat dituliskan sebagai berikut (9.7.2)FungsiVariansDari pernyataan varians penarikan contoh yang dibahas pada bagian sebelumnya, kita dapat berkata bahwa varians total dalam penarikan contoh dua tahap dapat dituliskan dalam rumusV( )(9.7.3)Dimana adalah konstanta yang independen dari dan, dan dan fungsi dari populasi parameter yang analog dengan dan, jumlah sampel yang independen yaitu dan. Jika, dimana m adalah rata-rata dari jumlah unit yang terpilih per ssu, = E( ) dan tergantung dari metode yang menentukan sekelompok nilai dari , maka hubungan (9.7.3) diambil dari rumusV( )(9.7.4)Peningkatan dari n dan m mebuat perubahan yang signifikan yaitu penurunan varians. Singh (1958) telah membicarakan perlakuan dari varians dan efisiensi ketika jumlah dari fsu dan ssu tetap. Petunjuk yang mendasar untuk alokasi optimum, adalah utnuk meminimalkan varians untuk biaya tetap, efisiensi setiap unit dari biaya adalah maksimum atau meminimumkan biaya dengan varians tertentu, biaya per unti adalah minimum untuk suatu nilai efisiensi tertentu. Kita harus membicarakan kedua kasus di atas.(a) Jika biaya tetap.Andaikan biaya tetap, katakanlah dan estimator digunakan. Dengan memproses apa yang kita bicarakan di bagian 9.3 maka kita mempunyai(9.7.5)Dimana (9.7.6)(9.7.7)Dengan mensubstitusi nilaidan ke rumus varians maka kita mendapatkan rumus varians minimum adalah sebagai berikut(9.7.8)Andaikan telah ditentukan sebagai penimbang yang proporsional untuk , jika , dimana adalah konstanta positif dan bisa didapatkan sebagai (9.7.9)Jika ukuran ssu adalah sama, nilai optimum dari m dan n adalah sebagai berikut (9.7.10)(9.7.11)Rumus di atas dapat dibandingkan dengan nilai yang diberikan dalam hubungan (9.3.7) dan (9.3.5)(b) Jika varians ditentukan. Andaikan varians ditentukan oleh suatu nilai tertentu, katakanlah . Dengan prosedur yang biasa, kita mendapat nilai yang sama darisebagai hubungan dari (9.7.5). Selanjutnya, kita mempunyai rumus sebagai berikut (9.7.12)Dengan mensubstitusi nilai dari dan di fungsi biaya, kita mendapat biaya minimum sebagi berikut (9.7.13)Dalam praktik, pengambil sampel akan mempunyai pertimbangan akan faktor lain seperti adminstratif dan kenyamanan pelayanan di lapangan sebagai tambahan untuk pendekatan varians-biaya. Dalam survei skala besar, kegiatan yang ada di lapangan akan selalu mempunyai peran yang mendominasi dan pengambil sampel akan memutuskan pilihan sesuai keputusannya sendiri.9.8 Metode PPS dua tahapDi bagian pembahasan, teori untuk metode yang memiliki tahap banyak dengan peluang yang sama dari setiap tahap yang terpilih telah dibicarakan. Jika fsu adalah besar dan berbeda dalam ukurannya, maka lebih dianjurkan untuk memakai metode pps, ukuran menjadis. Sistem dari metode ini terbentuk dari penggunaan peluang yang bervariasi dan metode ini telah digunakan oleh Hansen dan Hurwitz (1943,1949). Singh (1954) membandingkan dua estimator dalam desain penarikan contoh dua tahap dimana fsu dipilih dengan peluang yang bervariasi, tanpa pengembalian, dan ssu dengan peluang yang sama, dengan pengembalian, dan tanpa pengembalian. Penduga alternatif disarankan oleh Rao (1966). Metode yang sederhana dari pendugaan varians telah ditemukan oleh Durbin (1967). Brewer dan Hanif (1970) telah memperbaiki dan memperluas metode untuk estimator yang lain.Andaikan sampel dari n fsu dipilih dengan pps, WR. Dari sampel terpilih dengan fsu, pilihan dari ssus dibuat dengan SRS,WOR. Jika fsu terpilih lebih dari sekali, kemudian akan timbul kebebasan dari ssus yang disebabkan oleh pengambilan sampel WOR dari fsu yang lengkap setiap saat. Estimator yang tidak bias dari Y adalah (9.8.1)Dimana p adalah peluang untuk memeilih sampel dari fsu dari setiap pengambilan , dan Estimator dari varians sampel adalah sebagai berikut(9.8.2)Estimator yang tak bias bagi adalah(9.8.3)Yang memberikan prosedur yang baik dari pendugaan, metode apasaja dari pemilihan yang diambil pada tahap kedua, menyediakan fsu yang dipilih dengan pengembalian. Jika tertarik dalam menduga varians di dalam populasi dan antar populasi kemudian komponen antar populasi bisa didapatkan dengan menggabungkan komponen dalam populasi dengan (9.8.3). Komponen varians fsu dalam populasi dapat diduga secara tidak bias melalui (9.8.4)9.9 Desain tertimbang sendiriDalam survei skala besar, estimator didefinisikan dalam rumus (9.8.1) termasuk pernyataan yang akan bervariasi dari unit yang satu ke unit yang lain. Dikarenakan kerumitan dari keragaman yang alami, analisis dari data akan cukup tidak praktis. Dalam situsi ini, teknik sampel tertimbang sendiri dijelaskan di bagian 3.7.2 akan terbukti sangat berguna. Desainnya menyediakan timbangan tunggal umum untuk seluruh unit sampel yang dikenali sebagai desain tertimbang sendiri, dan sering disebut desain tertimbang yang sama. Desain ini bisa dibuat dengan tahap penduga dimana tiap unit mempunyai timbangan sendiri-sendiri. Jika pemilihan dari unit dilakukan untuk membuat seluruh timbangan sama satu sama lain maka desainnya dinamakan desain tertimbang sendiri pada tahap lapangan. Contohnya, desain tahap bertingkat bisa dibuat dari tahap desain tertimbang sendiri dengan pilihan yang tepat dari jumlah unit untuk setiap tahap yang dipilih dalam tahap penarikan contoh yang terakhir. Jika metode ini dipakai melalui beberapa penduga pada setiap tahap maka desain ini disebut desain tertimbang sendiri pada tahap penduga.Biasanya desain ini dibuat dan dipakai karena faktor-faktor yang berada di lapangan seperti biaya dan kenyamanan operasional. Contohnya, dalam survei panen padi, hal itu mungkin akan menjadi sulit dalam membuat kerangka dari pertumbuhan semua padi yang ada, dimana kerangka dari setiap desa mungkin mudah didapatkan. Begitu juga susunan dari kerangka padi tersebut akan menaikkan biaya, menghabiskan tenaga, dan usaha yang lain, bila faktor-faktor ini minimum dari desa yang terpilih dan lahan yang terpilih pada setiap desa yang terpilih. Bagaimanapun juga, itu mungkin tidak selalu merujuk pada desain tersebut karena dalam praktiknya sulit untuk mempunyai timbangan yang sama untuk seluruh unit sampel. Pada beberapa kasus, dua atau lebih timbangan digunakan, menyediakan jumlah timbangan yang umum itu hampir kecil. Kadang-kadang itu menjadi hal yang penting untuk membuat desain tertimbang sendiri pada tahap pendugaan. Metode yang bervariasi tersedia untuk tujuan ini. Pada bagian ini, kedua situasi dalam membuat desain di lapangan dan pada tahap pendugaan dipertimbangkan.Prosedurdalam membuat desai tertimbang sendiri pada tahap lapangan telah dipikirkan oleh Hansen (1953) dan Lahiri (1954). Masalah dalam membuat desain tertimbang sendiri pada tahap pendugaan telah dibicarakan oleh Murthy dan Sethi (1959,1961). Som (1959) telah memberikan prosedur untuk membuat desain tertimbang sendiri dua tahap dalam suatu strata dengan jumlah unit terpilih pada setiap fsu pada tahap terkahir metode adalah sama.Dalam stratifikasi, kita telah mengetahui bahwa alokasi proporsional mengacu pada desain sampel yang tertimbang sendiri. Dengan kata lain, jikabahwa penimbangnya adalah sama untuk setiap unit sehingga (i)tabulasi menjadi lebih mudah, (ii) analisis menjadi lebih mudah, dan (iii) biaya diminimumkan. Keuntungan lain dari desain penimbangsendiri adalahmemberikanukuransampleyangkonstandari setiapfsuterpilih. Jadi, para peneliti tidak bertanggung jawab terhadap hasil yang berbeda dari fsu yang berbeda. Kelemahan sistemini hanya bahwa beberapa metode menghasilkan estimasi yang bias meskipun, di beberapa kasus, dengan varians yang lebih kecil.CONTOH 9.3 Untukmengestimasi total populasi dombadi Divisi Ajmer Rajashtantahun 1980-81, desainsurveyyangdigunakanadalahpenarikansampel duatahapdengantehsil sebagai unittahappertama(fsu)danjumlahdesapadatehsilsebagai unittahapkedua(ssu). Tehsil diambil dengan pengembalian dan dengan peluang mengacu pada populasi domba(pps) dalamsensuspeternakantahun1976, dimanadesa-desapadasetiaptehsil diambil dengan peluangyangsamasertatanpapengembalian. Datayangdiberikanmenunjukkanpopulasi domba di desa terpilih pada Divisi Ajmer yang merupakan hasil penghitungan survey putaran kedua.Tehsil TerpilihNo. Desa pada Tehsil (Mi)Peluang Tehsil Terpilih (pi)Populasi Domba pada Desa TerpilihBehrar 102 0.008568 266, 174, 224, 66, 109, 267, 21, 48, 87, 890, 31, 31, 102, 275, 153, 52, 94, 89, 311, 17, 108, 46, 128, 152, 10, 123, 109, 46, 186, 128, 39, 126, 84, 0Bairath 105 0.015079 129, 163, 26, 350, 275, 34, 157, 354, 66, 57, 77, 127, 0, 114, 150, 244, 816, 590, 64, 278, 252, 572, 387, 224, 466, 242, 747, 11, 50, 194, 149, 53, 185, 203, 140, 174Ajmer 200 0.073556 247, 181, 403, 265, 232, 130, 197, 330, 1051, 622, 987, 281, 431, 88, 987, 614, 485, 651, 225, 132, 236, 190, 1165, 938, 187, 60, 552, 278, 650,595, 348, 831, 968, 895, 60,570Bansur 88 0.012632 347, 133, 249, 161, 247, 143, 308, 223, 120, 362, 36, 170, 75, 186, 198, 122, 302, 199, 34, 112, 68, 43, 65, 345, 219, 35, 11, 61, 42, 0, 0, 0, 0

Perkirakan total populasi domba pada Divisi Ajmer tahun 1980-81 serta standar error-nya.Penyelesaiannya adalah sebagai berikut :No. TehsilMi pimiiijyjijiyMpmiijiiijipmyM1 102 0.008568 34 4592 468384 0.291312 1,607,843.13722 105 0.015079 36 8120 852600 0.542844 1,570,616.97283 200 0.073556 36 17062 3412400 2.648016 1,288,662.90844 88 0.012632 34 5080 447040 0.429488 1,040,867.26525,507,290.2836Sebuah estimasi yang tidak bias terhadap total populasi domba diberikan sebagai 57 . 13770722836 . 5508290411 YYpmyMYppsppsni jiiijippsmniEstimasi terhadap ( )Y ppsV adalah sebagai berikut( )( )( ) ( )( ) 9167 . 0 1760340438025 7584488460 516 77960535123 411112 21111]1

,_

,_

YYpmyMpmyMYppsppsnippsvvnimijiiijinmijiiijin nvStandar error dari54 . 132779 9167 . 0 1760340438 Y ppsdan persentase relatif standar error61 . 9 10057 . 137707254 . 132779 9.10 Penarikan Sampel pps Tiga TahapKitatelah membahaspenarikansample pps dua tahap pada bagian sebelumnya, yang dapat dikembangkan menjadi tiga tahap atau lebih. Sebuah sample dari nml unit dipilih dalam 3 tahap dengan mengunakan pps, dengan pengembalian, pada setiap tahap. Misalkan sebanyak nfsu terpilihdenganpimenyatakanpeluangterpilihuntukfsuke-i (i=1, ,N). Dari setiapfsu terpilihsebanyakmi ssudipilihdenganpijmenyatakan peluang terpilih untuk ssu ke-j (j=1,,Mi)dandari setiapssuterpilihsebanyaklunit tahapketiga(tsu) dipilihdenganpijk menyatakanpeluangterpilihuntuktsuke-kdarissuke-jpadafsuke-i p(k=1, ,Lij).yijk menyatakan nilai dari tsu ke-k pada ssu ke-j dari fsu ke-i (i = 1, ,n; j = 1, ,m; k = 1, , l) pada sample. Sebuah penduga populasi total Y didefinisikan sebagai lkijkijkmjijnipyp pnmlY1 1 11(9.10.1)Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa penduga tersebut tidak bias yaitu( ) ( ) Y Y Y EE E E 3 2 1Dengan ragam penduga diperoleh dari( ) ( ) ( ) ( ) Y Y Y Y VV E E E V E E E V 3 2 1 3 2 1 3 2 1+ + Sehingga,( )

,_

+

,_

+

,_

Ni i kij ij iNi iij iNiiMLijijknmlMiijnminY Viijiypyp pYpYpYpY2222221 1 1 1 1 1(9.10.2)Sebuah penduga tidak bias( ) Y V diberikan oleh( )( )

,_

ninin nY vYy2211(9.10.3)Dimana

,_

mjlkijkijkij iipyp py1 1Harus diingat bahwa, seperti pada penarikan sample dua tahap, fungsi ragam penarikan sample pada penarikan sample tiga tahap juga dapat ditulis sebagai( )nml nm nY VA A A 3 2 1+ + Demikian juga, fungsi biaya dapat ditulis dalam bentukc c cnml nm n a C3 2 1+ + + (9.10.4)Dimana a adalah biaya tambahan dan c1, c2 serta c3 seperti pengertian biasanya.(i) Jika biaya survey tetap, katakan C0,maka nilai optimum dari n, m,dan l diberikan sebagai( )( )( ) ( ) ( ))+ +

,_

,_

c A c A c Ac A cnc A c Amc A c Alaoptoptopt3 3 1 2 1 11 12 11 23 22 32 1 2 1 2 12 102 12 1(9.10.5)Dengan mensubstitusi nilai-nilai l, m dan n, kita memperoleh ragam minimum sebagai( )( ) ( ) ( ) { }( ) aYcc A c A c AV+ +02min3 32 12 22 11 12 1 (9.10.6)(ii) Jikaragamnyaditentukan, katakanV0, nilai-nilai optimumn, mdanl diberikan sebagai( ) ( ) ( )( ))+ +

,_

,_

A c Vc A c A c Anc A c Amc A c Alooptoptopt1 13 3 2 2 1 12 11 23 22 32 12 1 2 1 2 12 12 1(9.10.7)Dengan mensubstitusi nilai-nilai l, m dan n, kita memperoleh biaya minimum sebagai( )c A c A c AVa C3 3 2 2 1 1120+ ++ (9.10.8)Kumpulan Soal9.1 Definisikanpenarikan sample multi-tahapdantuliskan kegunaannya dibandingkan skema penarikan sample lainnya. Tuliskan penduga tidak bias dari total populasi dan tentukan ragam penarikan sampelnya.9.2 Apakahyangdimaksuddenganpenarikansamplemulti-tahap?Berikanpersamaan penduga ragam dari total populasi untuk desain penarikan sample tiga tahap yang sesuai saat setiapunit memiliki ukuranyangberbedapadasetiaptahappenarikansample. Berikan struktur analisis ragampada penarikan sample tiga tahap dan jelaskan bagaimana analisis tersebut dapat digunakan dalam merencanakan survey selanjutnya.9.3 Misalkan sebanyak n fsu dipilih dengan pps, dengan pengembalian, dan, dari setiap fsu terpilih, dipilih sebanyak mssu dengan penarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian. Berikan penduga tidak bias dari total populasi Y dan tentukan penduga tidak bias dari ragam penarikan sample dari penduga tersebut.9.4 Jika f1 dan f2 adalah fsu penarikan sample dua tahap yang sama dengan ukuran fsu yang sama dan fungsi biaya adalah linear, tunjukkan bahwa m = 2 menghasilkan nilai( ) Y Vyang lebih kecil daripada m = 1 jikaSSccwb221 2>9.5 Jika adalah koefisien korelasi antara ssu pada fsu yang sama, buktikan bahwa ( )SS Sww bM NN22 21111]1

9.6 Sebuah populasi memiliki N fsu, masing-masing memiliki M ssu. Untuk mengestimasi proporsi Pdari unit yangmemiliki sifat tertentu, sebanyaknfsudipilihdengan penarikansampleacaksederhana, tanpapengembalian, dandari setiapfsuterplih sebanyak m ssu dipilih dengan penarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian. Jika pi menyatakan proporsi sifat pada fsu terpilih ke-i, tunjukkan bahwa niin Pp merupakanpendugayangtidakbiasdari proporsi populasi P. Tentukanragamdari penduga tersebut dan tunjukkan bahwa penduga tidak bias dari( ) P V adalah( ) ( )( )( )( )( )( ) + nii inim Nn n niP vp pfP pf11111221Dimana f1 dan f2 pada pengertian seperti biasanya.9.7 Pada sebuah survey pendahuluan dengan desain penarikan sample dua tahap, sebanyak m ssu dipilih dari setiap n fsu. Perkirakan( ) y V , saat sample fsu lainnya diambil dari n dandari setiapfsuterpilih, diadakanpemilihanssusebanyakm. Tunjukkanbahwa penduga tidak bias dari( ) y Vadalah( ) ( ) ( )nmmny vSf f fmSfw b22 1 1'211 1 111]1

+ Dimana Sb2 dan Sw2 diperoleh dari sample pendahuluan.9.8 Definisikandesainpenimbangsendiri dandiskusikankeulebihandankelemahannya secarasingkat.Tunjukkanbahwa sebuahdesain duatahap,dimanasebanyak ndesa dipilih dengan peluang mengacu kepada jumlah rumah tangga yang dimilikinya, pada tahap pertama, dan sebanyak m rumah tangga dipilih dengan peluang yang sama tanpa pengembalian pada tahap kedua, dari setiap desa terpilih, merupakan penimbang sendiri. Tentukan penduga tidak bias dari ragam penduga penimbang sendiri.9.9 Sebuah populasi dibagi ke dalam k lapisan dengan Mi merupakan fsu pada lapisan ke-i (i = 1, , k). Setiap fsu memiliki sebanyak N ssu. Sebuah sample acak dari m fsu dipilih sari setiap lapisan dan sebuah sample acak dari n ssu diambil untuk penelitian padasetiapfsuterpilih. BagaimanacaraAndauntukmemperolehsebuahperkiraan yangtidakbiasdari populasi total karakteristiksample?Tentukansebuahrumusan untuk menduga perbedaan antara ragam perkiraan total penarikan sample dengan ragam penduga tidak bias linear dari populasi yang sama yang mugkin dapat diperoleh dari sebuah sample acak yang tidak berlapis dari fsu sebanyak km dengan sebanyak n ssu diambil untuk penelitian pada masing-masing fsu.9.10 Sebuah sample dengan fsu sebanyk n dipilih dengan penarikan sample acak sederhana , tanpe pengembalian, dan dari setiap fsu terpilih diambil sebuah fraksi tetap ssu yaitu f2. Jika ridari missu pada fsu ke-i menyatakan sebuah sifat, tunjukkan bahwa penduga rasio pada ukuran ( ) m r i ip menduga proporsi populasi sifat tsb dan perkiraan ragamnya adalah( )( ) ( ) ( )( ) +nii iii iniip pm m Mnf fp pMMfM mninp v 1111122 12221Dimana mrpiii (Cochran, 1977)9.11Padapenarikancontohduatahap, sebanyaknfsudipilihdenganmetodepeluang mengacu pada ukuran(pps), dengan pengembalian, dan dari fsu terpilih ke-i dengan Mi unit, sebanyak missu dipilih dengan penarikan sample acak sederhana, dengan pengembalian. Untuk memperkirakan populasi total Y, urutan sub-penarikan sample mi ditetapkan sebagai (i) nilai harapan dari mi, ditentukan pada m, atau (ii) jumlah sample ssu ditentukan sebagai m0. Tentukan nilai optimum mipada kedua kasus tsb sehingga ragam penduganya minimum. Serta bandingkan ragam minimum keduanya.(Rangarajan, 1957)9.12 Pada penarikan sample dua tahap, sebanyak n fsu dipilih dengan metode pps, dengan pengembalian. Jika fsu ke-i muncul sebanyak ri kali dalam sample, salah satu prosedur berikut dapat digunakan untuk penarikan sample tahap kedua :(i) ri mi ssu dipilih dengan penarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian;(ii)diambil ri sample mi ssu saling bebas( diperoleh dengan penarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian); dan(iii) Sebanyak mi unit dipilih tanpa pengembalian dan observasi ditimbang oleh ri.Tentukanpendugatidakbiasdari populasi total Ydanragampenarikansamplenya untuk semua kasus tsb. Jika V1,V2dan V3adalah ragam penduga, tunjukkan bahwa, untuk ukuran sample harapan yang sama,V V V 3 2 1 (Rao, 1961)9.13 Pada penarikan sample dua tahap, sebanyak n fsu ipilih dengan pps, tanpa pengembalian. Dari setiap sample fsu, sebanyak m ssu dipilih dengan penarikan sample acaksederhana, tanpapengembalian. Perkirakansebuahpenduga tidakbias untuk populasi total. Sebuah penduga untuk populasi total adalah Nii i YYdimana Yimerupakanpendugatidakbiasdari fsuke-idan imerupakanbilanganriil, telah ditentukan sebelumnya untuk setiap sample dengan batasan bahwai adalah 0 jika fsu ke-i tidak temasuk dalam sample. Tunjukkan bahwa penduganya tidak bias. Tentukan penduga tidak bias bagi ragamnya.(Des Raj, 1966)9.14Berikut ini diberikan skema penarikansample untukmeperkirakan rata-rata populasi sebuah karakteristik :(i) PopulasidibagimenjadiN kluster masing-masing sebanyak M unit serta dengan menerapkanpenarikansampleduatahapdipilihsebanyakn klusterdanmunitdari setiap kluster terpilih dengan penarikan sample acak sederhana, dengan pengembalian, (ii) Populasidibagikedalam kluster denganmasing-masing m unit dan sampledari kluster dipilih dengan penarikan sample acak sederhana, dengan pengembalian.Tunjukkan bahwa, pada kedua kasus tsb rata-rata sample merupakan penduga tidak bias bagi rata-ratapopulasi dantentukanragambagi keduakasustsb. Tunjukkanbahwa efisiensi dari kedua skema ini akan sama saat nm=nm.(Singh. D. ,1956)9.15Dalam sebuah survey sample untuk memperkirakan jumlah standar kertas dalam sebuah tehsil dengan 72 desa, sample yang terdiri dari 12 desa dipilih dengan metode penarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian, dan dari setiap desa terpilih sebanyak 5 kluster yangmasing-masingterdiri dari 20lahandipilihdenganmetodepenaarikan sample acak sederhana, tanpa pengembalian. Berikut diberikan datakluster pada desa sample dan data jumlah standar pada kluster sample:Desa Sampel Jumlah KlusterJumlah Standar pada kluster sample1 2 3 4 51 27 430 402 363 975 3892 24 586 1234 100 368 3443 14 1164 546 3060 1724 12744 116 693 218 836 1218 5755 25 191 270 4502 4184 2436 118 1036 1333 1179 728 19577 147 1555 254 950 382 3558 36 910 452 129 122 2439 91 340 0 92 28 34010 171 57 59 0 0 2111 86 159 45 242 1075 53912 88 84 462 147 16 10Tentukan penduga tidak bias bagi jumlah standar total pada tehsil dan tentukan standar errornya.9.16Wol mentah terdiri dari berbagai jenis lemak, kotoran dan lainnya, kualitasnya diukur dari persentaseberat wol bersih, yaituisi bersihnya. Untukmemperkirakanisi bersih, digunakan sebuah mesin penarik inti elektris yang menarik inti sekitar 1/4pon per bal, yang kemudian diberikan pada laboratoriu analisis. Dalamsebuah percobaan , sebanyak 6 bal diambil dari tumpukan besar dengan peluang yang sama dan dari setiap bal diambil 4 core secara acak dan kemudian isi bersihnya ditentukan. Hasil percobaan ini adalah sebagai beikut :Core Sampel Bal1 2 3 4 5 61 54.3 57.0 54.6 54.9 59.9 57.82 56.2 58.7 57.5 60.1 57.8 59.73 58.9 58.2 59.3 58.7 60.9 59.64 55.5 57.1 57.5 55.6 57.5 58.1(i) Perkirakan rata-rata isi bersih wol dalam tumpukan tsb dan tentukan perkiraan untuk standar errornya.(ii) Tentukan efisiensi dari penarikan sample 12 bal dan 2 inti pada setiap bal serta bandingkan dengan skema di atas.9.17Untuk memperkirakan total panen padi di suatu wilayah, digunakan penarikan sample dua tahap berlapis dimana dari setiap lapisan dipilih 4 desa, dengan pps, dengan pengembalian, dan area geografis sebagai ukurannya. Empat bidang lahan diambil dari setiap desa sample dengan sirkuler, secara sistematik, untuk menyatakan panen padi. Berikut diberikan data panen padi untuk bidangsample :Lapisan Desa Sampel Invers Peluang Jumlah Bidang Panen Padi (kg)1 2 3 41 1 440,21 28 104 182 148 872 660.43 84 108 64 132 1563 31.50 240 100 115 50 1724 113.38 76 346 350 157 1192 1 21.00 256 124 111 135 2162 16.80 288 123 177 106 1383 24.76 222 264 78 144 554 49.09 69 300 114 68 1113 1 67.68 189 110 281 120 1142 339.14 42 80 61 118 1243 100.0 134 121 212 174 1064 68.07 161 243 116 314 129Perkirakan total panen padi dan tentukan penduga standar errornya.9.18Sebuahsurveypanenpotongdi suatuwilayahmenggunakanmetodepenarikansample acak multi tahap berlapis, pada jumlah panen rami, untuk memperkirakan rata-rata berat ramihijau untukwilayah tsb,dengan tiga sub-divisi administratif pada setiap strata. Pada setiap sub-divisi administatif, sejumlah desa dipilih secara acak. Tiga lahan rami dipilih secara acak dari total lahan rami di desa tsb. Pada setiap lahan, dibuat bidang seluas 1/60 acre, baik rami yang telah dipanen maupunyang masih hijau dicatat dalam kg. Berikut adalah datanya:Sub-DivisiTotal Area Rami dalam acrePanen Rami Hijau dalam kg per Bidang untuk desa dan Lahan Terpilih1 5089 86, 85, 57, 81, 71, 92, 72, 37, 51, 81, 50, 43, 78, 71, 792 4133 86, 45, 81, 55, 56, 55, 91, 70, 64, 19, 62, 413 3007 81, 8, 43, 67, 48, 47, 35, 34, 37Perkirakan rata-rata berat panen rami dalamkg per acre untuk wilayah tsb dan hitunglah standar errornya.DAFTAR PUSTAKABrewer, K.W.R. andM. Hanif, Durbins newmulti-stagevarianceestimator,J.R.Statist.Soc., 32B, 302-311, (1970) Cochran, W.G., The use of analysis of variance in enumeration by sampling, J. Amer Statist.Assoc., 34, 492-510, (1939)---Sampling Techniques, Third Edition, Jhon Wiley and Sons, NewYork, (1977)Des Raj, Some remarks on a simple procedure of sampling without replacement, J. Amer.Statist. Assoc., 61, 391-397, (1966)Durbin, J., Someresults insamplingtheorywhentheunits ares selectedwithunequal probabilities, J.R. Statist. Soc., 15B, 262-269, (1953)---Design of multi-stage surveys for the estimaton of sampling errors, Applied Statistics, 16, 152-164, (1967)Ganguli, M., A note on nested sampling, Sankhya, 5, 449-452, (1941)Hansen, M.H. and W.N. Hurwitz, On the theory of sampling from finite populations, Ann.Math. Statist., 14, 333-362, (1943)---On the determination of optimum probabilities in sampling, Ann. Math. Statist.,20, 426-432, (1949)---and W.G. Madow,Sample Survey Methods and Theory, Vol. I, Jhon Wiley and Sons, New York, (1953)Lahiri, D.N., Technicalpaperonsome aspects ofthe developmentofthe sample design, Sankhya, 14, 332-362, (1954)Mahalanobis, P.C.,Report on the Sample Census of Jute in Bengal, Ind. Central Jute Committee, (1940)Murthy, M.N. and V.K. Sethi, Self-weighting design at tabulation stage,NationalSample Survey Working Paper, No. 5 (1959); (also Sankhya, 27B, 201-210, (1959))---Randomized rounded off multipliers, J. Amer. Statist. Assoc., 56, 328-334, (1961)Rangarajan, R., A note o two-stage sampling, Sankhya, 17, 373-376, (1957)Rao, J.N.K., On sampling with varying probabilities in sub-sampling designs, J. Ind.Soc.Agr. Statis., 13, 211-217, (1961)---Alternative estimators in pps sampling for multiple characteristics, Sankhya, 23A, 47-60, (1966)---Unbiased variance estimation for multi-stage designs, Sankhya, 32A, (1975)Roy, J., A note on estimation of variance components in multi-stage sampling with varying probabilities, Sankhya, 17, 367-372, (1957)Singh, D.,The sampling with varying probabilities without replacement,J. Ind. Soc.Agr.Statist., 6, 48-57, (1954)---On efficiency of cluster sampling, J. Ind. Soc. Agr. Statist., 8, 44-55, (1956)---Estimates of variance components in finite populatons, J. Ind. Soc. Agr. Statist., 10, 1-15, (1958)Som, R.K., Self-weignting sample design with an equal number of ultimate stage units in each of the selected penultimate stage units, Bull. Cal. Statist. Assoc., 8, 59-66, (1959)Sukhatme, P.V., Efficiencyof sub-samplingdesigns inyieldsurveys,J. Ind. Soc. Agr. Statist., 2, 212-228, (1950)