2.5 operator diferensial
TRANSCRIPT
OPERATOR DIFERENSIAL
Operator ialah suatu transformasi yang mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain. Metode operasional memainkan peranan yang semakin penting di dalam matematika rekayasa. Pendiferensialan merupakan sebuah operator. Misalkan D menyatakan pendiferensialan terhadap x, maka ditulis :
D merupakan suatu operator yang mengubah y (yang diasumsikan terdiferensialkan) menjadi turunan (y).
Contoh :
Dengan menerapkan D dua kali, maka diperoleh turunan kedua D(Dy) = D(y) = y Maka dapat ditulis D(Dy) = D2(y) = y D(y) = y D(Dy) = D2(y) = y D2(Dy) = D3(y) = y
Maka
: D menyatakan koefisien diferensial pertama D2 menyatakan koefisien diferensial kedua D3 menyatakan koefisien diferensial ketiga
Lebih umum lagi, .................................. (1)
Ini disebut operator diferensial ordo-kedua. Disini a dan b adalah konstanta. P melambangkan polinom. L melambangkan linear. Bila L diterapkan pada suatu fungsi y, maka akan dihasilkan :
................................. (2)
L adalah operator linear. Menurut defenisi ini berarti bahwa : Untuk sembarang konstanta dan dan sembarang fungsi y dan w yang terdiferensialkan dua kali.
Persamaan diferensial linear homogen sederhana
sekarang dapat dituliskan secara lebih
............................................. (3)
Misalnya :
............................................. (4)
Karena :
Maka diperoleh dari (2) dan (3) .................. (5)
Berarti
adalah solusi bagi (3) jika dan hanya jika adalah solusi persamaan ciri P()=0. Jika
P() mempunyai dua akar yang berbeda, maka diperoleh suatu basis. Jika P() mempunyai akar kembar, dibutuhkan solusi lain yang bebas. Untuk memperoleh solusi tersebut, maka mendiferensialkan kedua ruas :
Lihat (5) terhadap diperoleh :
dan kemudian saling menukar pendiferensialan terhadap dan x, sehingga
Dimana Untuk akar kembar, lain yang dicari. , sehingga diperoleh . Jadi, adalah solusi
Merupakan P() suatu polinom di dalam , dalam gertian aljabpenar biasa. Jika kita ganti dengan D, maka kita peroleh polinom operator P(D). Keuntungan kalkulus operasional ini ialah P(D) dapat diperlakukan seperti suatu besaran aljabar. Khususnya, dapat menfaktorkannya.
Pemfaktoran, solusi suatu persamaan diferensial soal Faktorkan dan kemudian pecahkan
Penyelesaian , selanjutnya, menurut defenisi, Dengan demikian
Jadi pemfaktoran boleh dilakukan artinya memberikan hasil yang benar. Solusi bagi :
fungsi eksponensial
fungsi eksponensial
Masing-masing sembarang selang
dan
. Ini merupakan suatu basis bagi
pada
Metode operasional dapat juga digunakan untuk operator :
Dengan koefisien-koefisien f dan g berupa fungsi dari x bukan konstanta, namun ini lebih sulit dan harus berhati-hati. Misalnya, sebab : sedangkan