2 geotrans transformasi rumus transformasi

1 | Geometri Transformasi Blog: aswhat.wordpress.com E-mail: [email protected]

2 T R A N S F O R M A S I

2.1. Rumus Transformasi

Pemetaan pada bidang Cartesius memetakan setiap titik (x, y) ke titik (x, y)

pada bidang itu. Perhatikan bahwa transformasi T yang memetakan (x, y) ke (x,

y) tidak mengharuskan (x, y) (x, y). Jika diberikan transformasi T sehingga

T((x, y)) = (x, y), maka selalu dapat dicari (x, y) untuk setiap (x, y), dan

sebaliknya.

Teorema 1.

Setiap pemetaan T: (x, y) (x, y) pada bidang cartesius yang memenuhi

x = ax + by + c

y = dx + ey + f

dan ae bd 0,

adalah transformasi.

Bukti:

Bentuk x = ax + by + c

y = dx + ey + f

dapat ditulis ke dalam bentuk matriks menjadi:

'

'

1 0 0 1 1

x a b c x

y d e f y

(1)

Akan dibuktikan T surjektif.

Misalkan matriks

0 0 1

a b c

A d e f

.

Matriks A memiliki invers jika determinan A =

det( ) 0

0 0 1

a b c

A d e f ae bd


Karena ae bd 0, maka

1'

'

1 0 0 1 1

x a b c x

y d e f y

'1

'

1 0 0 1

x e b bf ce x

y d a cd af yae bd

ae bd

Perhatikan bahwa a, b, c, d, e, f, x, y, x, dan y, adalah suatu bilangan real.

Oleh karena itu, setiap pasangan bilangan (x, y) selalu dapat ditemukan

pasangan bilangan (x, y) sehingga memenuhi

1'

'

1 0 0 1 1

x a b c x

y d e f y

(2)

Dengan demikian, untuk setiap titik P(x, y) selalu dapat ditemukan

prapetanya yaitu P(x, y) sedemikian sehingga memenuhi Persamaan (2).

Jadi T surjektif.

Akan dibuktikan T injektif.

Misalkan diketahui A(x1, y1) dan B(x2, y2), dengan A B.

Maka ada T(A) = A(x1, y1) dan T(B) = B(x2, y2).

Andaikan T(A) = T(B), maka x1 = x2 dan y1 = y2.

Perhatikan bahwa:

x1 = ax1 + by1 + c

y1 = dx1 + ey1 + f

dan

x2 = ax2 + by2 + c

y2 = dx2 + ey2 + f

sehingga untuk x1 = x2 dan y1 = y2, diperoleh

ax1 + by1 + c = ax2 + by2 + c

a(x1 x2) + b(y1 y2) = 0 (3)

dan

dx1 + ey1 + f = dx2 + ey2 + f


d(x1 x2) + e(y1 y2) = 0 (4)

Perhatikan bahwa dengan menyelesaikan Persamaan (3) dan Persamaan (4)

diperoleh x1 = x2 dan y1 = y2, yang berarti A = B. Hal ini bertentangan dengan

permisalan di awal bahwa A B. Jadi haruslah T(A) T(B).

Jadi T injektif.

Karena T surjektif dan injektif maka T suatau transformasi.

Akibat 1.

Rumus umum transformasi pada bidang cartesius adalah

'

'

x a b x m

y c d y n

Dengan ad bc 0.

Contoh 1.

Diketahui T: (x, y) (x, y)

Dengan x = 3x dan y = -x.

a. Apakah T suatu transformasi? Tunjukkan.

b. Jika A(9, -3), tentukan koordinat B sehingga T(B) = A.

Penyelesaian:

Dik: x = 3x x = 3x +0y

y = -x y = -1x +0y

atau:

' 3 0

' 1 0

x x

y y

a. T suatu transformasi jika ad bc 0

Karena 3.0 0.(-1) = 0 maka T bukan suatu transformasi.

b. Misalkan koordinat B(a, b)

Karena T(B) = A(9, -3) maka

9 3 0

3 1 0

a

b


9 = 3a a = 3

Jadi, koordinat B adalah (3, k) untuk k suatu bilangan real. Atau dengan kata

lain, B yang memenuhi T(B) = A(9, -3) adalah semua titik pada garis x = 3.

Contoh 2.

Misalkan diketahui suatu rumus transformasi T berikut:

' 1 2

' 2 1

x x

y y

.

Tentukan bayangan titik A(2, 3) dan B (1,0) oleh transformasi tersebut.

Penyelesaian:

Bayangan titik A(2, 3)

' 1 2 2 8

' 2 1 3 7

x

y

Jadi, bayangan titik A(2, 3) adalag A(8, 7).

Bayangan titik B (1,0)

' 1 2 1 1

' 2 1 0 2

x

y

Jadi, bayangan titik B(2, 3) adalag B(1, 2).

2 geotrans transformasi rumus transformasi

Documents