2 10 nilai eigen dan vektor eigen

7/28/2019 2 10 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

1/7

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Persamaannya berbentuk

A. x = x (1)

Dimana

- A : Matrik bujursangkar-

: Bilangan Skalar

Jelaslah x = 0 merupakan penyelesaian untuk sebarang nilai dan biasanya tidak banyak

manfaatnya. Untuk penyelesaian non-trivial yakni x 0 , nilai disebut nilai Eigen atau

nilai karakteristik atau nilai Laten dari matrik A dan penyelesaian yang berhubungan untuk

persamaan A. x = x yang diketahui disebut vektor eigen atu vektor karakteristik A.

Dinyatakan sebagai set persamaan yang terpisah diperoleh

11 12 1n 1 1

21 22 2n 2 2

n1 n2 nn n n

a a a x x

a a a x x.

a a a x x

(2)

Diperoleh

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x a x x

a x a x a x x

a x a x a x x

(3)

Dengan memindahkan suku-suku di sisi kanan ke sisi kiri, persamaan (3) disederhanakan

menjadi

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n

n1 1 n2 2 nn n

a - x a x a x 0

a x a - x a x 0

a x a x a - x 0

(4)

Sehingga

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

a a a x 0

a a a x 0.

a a a x 0

(5)


2/7

Dari persamaan (5) didapatkan

A. x = x A. x - x = 0 A - I x = 0 (6)

Perhatikan bahwa matrik satuan dimunculkan karena hanya dapat dikurangkan suatu matrik

dari matrik lain. Untuk set persamaan linear homogen agar diperoleh penyelesaian non-trivial

maka A - I harus sama dengan nol .

A - I 0 (7)

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a a

a a a0

a a a

(8)

Persamaan (8) disebut determinan karakteristik A dan persamaan (7) merupakan persamaan

karakteristik. Pada waktu menguraikan determinan ini, penguraian ini menghasilkan suatu

polinomial berderajat n dan penyelesaian persamaan karakteristik ini menghasilkan nilai

yakni nilai Eigen A.

Contoh 1 : Untuk matrik berikut

4 -1A =

2 1

Tentukan

a. Nilai Eigen dari matrik Ab. Vektor Eigen dari matrik A

Jawab :

Persamaan nilai eigen berbentuk Ax = x yang artinya A - I x = 0

Determinan karakteristik :

4 - 1A - I =

2 1-

Persamaan karakteristik :

4 - 1A - I = 0

2 1-

Selanjutnya

4 - 1- 2 0 2

5 6 0

3 2 0 1

= 3 dan2

= 2


3/7

Sehingga didapatkan nilai Eigen dari matriks A

1 = 3

2 = 2

Untuk1

= 3 persamaan Ax = x menjadi

1 1

2 2

x x4 -13

x x2 1

Diperoleh

1 2 1 1 24x x 3x x = x

1 2 1 1 22x + x 3x x = x

Hasil ini hanya memberitahu bahwa berapapun nilai1

x , nilai2

x akan sama dengan nilai1

x .

Oleh karena itu vektor Eigen1

1x

1

Untuk2

= 2 persamaan Ax =x menjadi

1 1

2 2

x x4 -1

2x x2 1

Diperoleh

1 2 1 1 24x x 2x 2x = x

1 2 2 1 22x + x 2x 2x = x

Hasil ini hanya memberitahu bahwa berapapun nilai1

x , nilai2

x akan sama dengan 2 kali

nilai 1x . Oleh karena itu vektor Eigen 21

x 2

Vektor Eigen dari matrik A adalah

1 1x =

1 2


4/7

Listing program Matlab untuk menyelesaikan contoh 1 :

clc

clear all

close all

%A= [4 -1; 2 1]

[v,d] =eig(A)

Hasil program

A =

4 -1

2 1

v =0.707106781186547 0.447213595499958

0.707106781186547 0.894427190999916

d =

3 0

0 2

Contoh 2 : Untuk matrik berikut

2 3 2

B = 1 4 2

2 10 5

Tentukan

a. Nilai Eigen dari matrik Bb. Vektor Eigen dari matrik B

Jawab :

Persamaan nilai eigen berbentuk Bx = x yang artinya B - I x = 0

Determinan karakteristik :

2 3 2

B - I = 1 4 2

2 10 5

Persamaan karakteristik :

2 3 2

B - I = 1 4 2 0

2 10 5

Selanjutnya

2 4 5 20 3 5 4 2 10 2 4 0


5/7

22 20 20 3 1 2 2 + 2 0

2

2 3 1 4 1 + 0

2

1 + 1 0

Sehingga didapatkan nilai Eigen dari matriks B

1 = -1

2 = 1

3 = 1

Untuk

1 = -1 persamaan Bx =x menjadi

1 1

2 2

3 3

2 3 2 x x

1 4 2 x 1 x

2 10 5 x x

Diperoleh

1 2 3 1 1 2 3

22x + 3x 2x -x x -x x

3

1 2 3 2 2 1 3

1 2x + 4x 2x -x x - x x

5 5

2 2 3 3 2 3

1 2 2 1 4x - -x x x x x

5 3 5 5 15

2 3 2 3

4 4 1x x x x

5 15 3

1 3 3 3

1 2 1x - x x x

3 3 3

1

1

3

1x

3

1

Untuk1

= 1 persamaan Bx =x menjadi

1 1

2 2

3 3

2 3 2 x x

1 4 2 x 1 x

2 10 5 x x

Diperoleh


6/7

1 2 3 1 1 2 32x + 3x 2x x x -3x 2x

1 2 3 2 2 1 3

1 2x + 4x 2x x x - x x

3 3

1 2 3 3 3 1 2

1 52x + 10x 5x x x x x

3 3

Dengan melakukan beberapa penyederhanaan diperoleh

1 2x x

3 2

x 2x

Maka

2

1

x 1

2

Dengan cara yang sama diperoleh

3

1

x 1

2

Vektor Eigen dari matrik B adalah

1 1 1

X 1 1 1

3 2 2

Listing program Matlab untuk menyelesaikan contoh 2 :

clc

clear all

close all

%

B = [2 3 -2; 1 4 -2;2 10 -5][v,d] =eig(B)

Hasil Program

B =

2 3 -2

1 4 -2

2 10 -5

v =


7/7

-0.408248300574233 0.408248280353495 0.301511344577764

-0.408248288441789 0.408248292485937 0.301511344577763

-0.816496576883578 0.816496584971874 0.904534033733291

d =

1.000000029718293 0 0

0 0.999999970281705 00 0 -1.000000000000000

Soal - Soal

1. Untuk matrik-matrik berikut2 1 1

B = 1 3 2

1 1 2

Tentukan

a. Nilai Eigen dari matrik Bb. Vektor Eigen dari matrik Bc. Bandingkan hasil perhitungan pada bagian a dan b dengan menggunakan Matlab2. Untuk matrik-matrik berikut

3 0 3

C = 0 3 3

2 3 1

Tentukan

a. Nilai Eigen dari matrik Cb. Vektor Eigen dari matrik Cc. Bandingkan hasil perhitungan pada bagian a dan b dengan menggunakan Matlab

2 10 nilai eigen dan vektor eigen

Documents