LATIHAN SOAL TRANSFORMASI

Tugas halaman 31

1. Andaikan g dan h yang sejajar pada bidang euclide V. A sebuah titik yang

terleta ditengah antara g dan h. senuah T padanan dengan daerah g yang

didefinisikan sebagai berikut:apabila P g maka P’=T(P) = PA∩h.

a. Apakah daerah nilai T?

b. Apabila D g, E g, D≠E. buktikan D’.E’=DE , D’=T(D), E’=T(E).

c. Apakah T injektif?

Penyelesaian:

A terletak di tengah g dan h, P g,

P’ h, maka P’=T(P)

a. Apakah daerah nilai T?

Daerah T adalah h ( semua titik p pada garis h)

b. Apabila D g, E g, D≠E. buktikan D’.E’=DE , D’=T(D), E’=T(E).

D’=T(D), E’=T(E)

Lihat ∆DAE = ∆AD’E’

DAE = D’AE’ sudut bertolak belakang.

DA = AD’ karena A berada di tengah g dan h.

AE = AE’ karena A berada di tengah g dan h.

∆DAE ∆AD’E’ dengan sisi, sudut , sisi perbandingan

sehingga DE’

= DE.

c. Apakah T injektif?

Ambil 2 titik x dan y pada g dan h dengan x≠ y. akan dibuktikan T(x)= T(y).

Sehingga T(x)= garis xA∩h.

T(y)= garis yA∩h

Dalam hal ini maka garis xa dan garis ya memiliki 2 titik sekutu,jadi

T(x)=T(y).

Ini berarti bahwa garis xa dan ya berhimpit sehingga erakibat x=y.

Hal ini kontradiksi maka permisalan salah yang benar T(x) ≠T(y). dan T

injektif.

2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB, K AB dan sebuah garis g

sehingga g//AB dan jarak K ke AB adalah 2kali lebih panjang dari jara k ke g.

Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila

P AB maka T(P)=P =KP g.

a. Apakah bentuk hi,punan pet.peta P kalau P bergerak pada AB?

b. Buktikan bahwa T injektif !

c. Apabila E dan F dua titik pada AB apakah dapat dikatakan jarak E’F’ jika

E’=T(E) dan F’=T(F)?

Penyelesaian:

a. apakah bentuk hi,punan pet.peta P kalau P bergerak pada AB?

Gambar:

K AB = Jarak antara K dan AB dua kali jarak K ke g.

g//AB = padanan T daerah asal AB dan daerah nilai g.

Jika P AB maka T(P)=P =KP g

Bentuk himpunan P adalah setiap unsur garis g yang dibatasi oleh segmen AB.

a. Buktikan bahwa T injektif !

Misal titik D dan E AB

D=E T(D)=T(E)

D≠E T(D≠ (E)

Pembuktian kontradiksi ambil D E sehingga T(D)=T(E)

g(D)=E dimana D =KD g

g(E)=E dimana E = KE g

karena D ≠E sehingga T(D)≠T(E) hal ini kontradiksi.

b. Apabila E dan F dua titik pada AB apakah dapat dikatakan jarak E’F’ jika

E’=T(E) dan F’=T(F)?

Lihat ∆EKF dengan ∆E’KF’

KEF = KE’F’ ( dalam bersebranga)

KFE = KF’E’ ( dalam bersebrangan)

∆EKF sebangun dengan ∆E’KF’

P AB dimana P =T(P) g

Sebagai tinggi tiap segitiga perbandingan ∆EKF dengan ∆E’KF’ = 1: ½ .

Karena ∆EKF sebangun dengan perbandingan 1: ½ maka demikian pula jarak

E’F’= ½ EF

3. Diketahui tiga titik A,R,S yang berlainan dan tidak segaris ada padanan T

yang didefinisikan sebagai berikut:

T(A)=A,T(P)=P’ sehingga P titik tengah AP

a. Lukis R’=T(R)

b. Lukis Z sehingga T(Z)=S

c. Apakah T suatu transformasi A

Penyelesaian:

Jawaban a dan b

Jawaban c

T merupakan fungsi V ke V

A memiliki peta yaitu A sendiri

R≠A pada V. R mmiliki peta R’

A≠R≠S pada V,S memiliki peta yaitu Z.

T(A)=A,T(P)=P’ sehingga P titik tengah AP jadi ada ruas garis AP’ sehingga

AP=PP’. Jadi daerah asal T adalah V.

T merupakan fungsi V ke V.

Apakah T surjektif?

Setiap titik di V memiliki prapeta

T(A)=A

T(P)=P’

T(Z)=S

T(R)=R

Dengan demikian dapat diatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta.

Jadi T adalah sutu padanan yang surjektif.

Apakah T injektif?

Abil 2 titik R≠A,S≠A,R≠S,dan R,A,S tidak segaris.

Setiap titik memiliki padanannya masing-masing maka T injektif.

Dengan demikian T suatu transformasi.

4. Diketahui P=(0,0), C1={(x,y) x2+y2=1} dan C2={(x,y) x2+y2=25}

T: C1 C2 adalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut:

Bila X C, maka T(X)=X’ = PX C2

a. Apabila A = (0,1). Tentukan T(A)

b. Tentukan prapeta dari B (4,3)

c. Apabila Z sembarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan

Z’=T(Z)

d. Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apakah dapat dikatakan

tentang jarak E’F’.

Penyelesaian:

a. A=(0,1) maka T(A) = (0,5)

b. Melalui titik pusat (0,0) dan (4,3)

Subtitusi y ke dalam persamaan

Maka prapeta nya

c. ZZ’ adalah domain C1

Z = T(Z) adalah range C2

Maka C2 - C1 =5 – 1 =4

d. Iya dapat dikatakan jarak E’F’ terhadap EF