Metode Aplikasi Graf dalam Interaksi Dunia Nyata

1ALJABAR LINEAR Vektor2VektorDefinisi: vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. LuasPanjangMassaSuhuGayaKecepatanPercepatanPerubahan LetakSkalarVektor2Banyak besaran fisik, seperti luas, panjang, massa,dan suhu dideskripsikan dengan besar (magnitude) saja. Besaran lain, seperti kecepatan, gaya, perubahan letak, selain besar juga mempunyai arah. Besaran-besaran ini disebut vektor.

[Gambarkan angin/ kapal/ arus ke suatu arah, kmd gambarkan anak panah. Kmd gerakan makin cepat, gambarkan dengan panah yang lebih panjang][Bawahnya: munculkan luas, panjang, massa, suhu [(dikelompokkan) kmd dituliskan ]skalar[Disampingnya:] gaya, kecepatan, percepatan, perubahan letak [(kelompokkan, kmd tulis vektor).]3Jenis-jenis vektorVektor AljabarVektor FisikVektor Geometriabv = (a, b)vv(a, b)3Jenis-jenis vektor(fisik, geom, aljabar)Untuk mempermudah pembicaraan, vektor kita kelompokkan menjadi tiga jenis: 1. vektor fisik, 2. vektor geometri, dan 3. vektor aljabar. Vektor fisik adalah besaran fisik yang mempunyai besar dan arah, misalnya gaya, percepatan, kecepatan, berat, dsb. Secara visual vektor fisik digambarkan sebagai segmen garis berarah. Segmen garis berarah ini yang disebut vektor geometris. Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar.

[gambarkan orang mendorong kotak ke atas lewat bidang miring,Kmd gambarkan anak panah dari pusat kotak ke atas searah bidangTranslasikan anak panah ke bawah, (dengan anak panah mula2 tetap).Gambarkan sistem koordinat sedemikian hingga titik awal vektor ada di titik pangkalTulis koordinat titik ujungnya (a, b) dalam bentuk baris dan kolom

4Penyajian vektor geometri Notasi vektor: Vektor ditulis dengan huruf tebal atau miring dengan anak panah di atasnya, untuk membedakan dengan skalar:

a aABAByzxBAAB=a a==AB4Penyajian vektor geometri Vektor geometri disajikan sebagai segmen garis berarah / anak panah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor ditulis dengan huruf tebal atau dengan huruf biasa tanda panah di atasnya. Untuk mempermudah pembahasan, vektor geometri digambar dalam sistem koordinat. 5A(2, 3)B(7,4)Q(7, 3)P(5, 1)Penyajian vektor aljabarkomponen dari v.yxvv = (5, 1)5 dan 1 adalah komponen dari vv= (v1, v2) v1v2=v1v25Penyajian vektor secara aljabar

Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar. Untuk menyajikan vektor tersebut secara aljabar, maka vektor ditranslasi sehingga titik awalnya berada di titik pangkal. Koordinat titik akhirnya (x, y) merupakan penyajian aljabar dari vektor. Penyajian titik dan penyajian vektor dalam hal ini serupa.Ordinat dan absis dari titik tersebut merupakan komponen-komponen vektor.

6Menentukan komponen vektorVektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secara aljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b

yxA(a, b)B(c, d)P(c-a, d-b)vv = (c-a, d-b)zxyd-ae-bf-cKomponen vektor: d-a, e-b, f-c A(a, b, c)B(d, e, f)6Penyajian vektor aljabarVektor dalam bidang mempunyai dua komponen, yaitu komponen x dan komponen y. Komponen-x adalah absis dari titik akhir vektor yang titik awalnya di titik pangkal. Komponen-y nya merupakan ordinatnya.

Untuk vektor pada ruang, selain komponen x dan komponen y, terdapat komponen z.

7Kesamaan vektor a = b = cBesar vektor tidak tergantung posisixabya, b, cc7Kesamaan vektorBerat sebuah benda tidak berubah ketika diletakkan di atas meja, di atas lantai atau di atas kepala.Artinya, arah dan besar vektor fisk tidak tergantung pada posisinya.Karena vektor geometri menyajikan vektor fisik, maka kesamaan vektor geometri didefinisikan sbb: setiap vektor geometri yang mempunyai besar dan arah sama (tidak peduli titik awal dan akhirnya) maka dikatakan vektor tersebut sama. Hal ini konsisten dengan kesamaan vektor aljabar. Dua vektor aljabar dikatakan sama jika dan hanya jika setiap komponen yang bersesuaian sama.

8a = (0, y) a = b = cBerat benda tetap meskipun posisinya berubah.b = ( 0, y)c = ( 0, y)Kesamaan dua vektor fisik8Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar.

9Dua vektor sama jika dan hanya jika panjang dan arahnya sama, tidak tergantung posisinya pada sistem koordinat.Kesamaan dua vektor geometri9Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar.

10Kesamaan dua vektor aljabarDua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama.

a1a2b1b2a1a2a3b1b2b3==Jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2

Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3

10Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar.

11Jumlahan VektorMenjumlahkan dua vektor fisik:F3 = F1 + F2Jika dua gaya dijumlahkan, maka efeknya sama dengan menerapkan resultantenya.F1F2F1F2F311 Jumlahan vektorJika ada dua gaya F1 dan F2 ditambahkan, maka efeknya akan sama dengan menerapkan resultante gaya tersebut. Sebagai contoh, sebuah benda di lantai yang licin didorong oleh dua orang dengan kekuatan berbeda dan arah dorongan berbeda, maka benda akan meluncur searah resultante dua gaya doron orang tersebut.Menjumlahkan dua vektor geometri a dan b dapat dilakukan sbb: Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b. hasilnya konsisten dengan jumlahan vektor aljabar yang sesuai.Jumlahan dua vektor pada bidang menghasilkan vektor pada bidang. Jumlahan dua vektor pada ruang menghasilkan vektor pada ruang. Jumlahan vektor pada R2 dan R3 bersifat tertutup.

Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri?

[Menjumlahkan dua vektor fisk:Dua gaya dijumlahkan, efeknya sama dengan menerapkan resultanenya.Gambarkan: dua vektor F1 dan F2 dijumlahkan 12Menjumlahkan dua vektor geometri:ayyba+bJumlahan Vektor12Menjumlahkan dua vektor geometri:Prosedur:Menjumlahkan a dan b.Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b.Pertegas hasil dari prosedur di atas dengan jumlahan vektor aljabar berikutMisalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2).]

13Menjumlahkan dua vektor aljabar Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2)

Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri?

ybB(b1, b2)b = (b1, b2)xyaA(a1, a2)a = (a1, a2)xa+ba+b = (a1+b1, a2+b2)yxC(a1+b1, a2+b2)Jumlahan Vektor13Menjumlahkan dua vektor aljabar adalah menjumlahkan komponen-komponen yang sesuai. Hal ini konsisten denganPenjumlahan secara geometris.14Latihan1.uvManakah vektor yang merupakan u+v ?Jawab: aabcduva14Jawablah soal-soal berikut ini untuk menguji pemahamanmu. 152.abManakah vektor yang merupakan a+b ?defgJawab: eLatihanabe16u = (5, 6) dan v = (3, 2)Apakah vektor yang merupakan hasil dari u+v?a = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

4. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Apakah vektor yang merupakan hasil dari u - v?a = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

Jawab: bJawab: aLatihan175.abtentukan vektor c sedemikian hingga b = a + cLatihanhijkabJawab: hh?18yxzVektor nol dan vektor satuanVektor nol

Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol: 0 = (0, 0) pada bidang dan 0 =(0, 0, 0) pada ruang.0 vektor nolyx0 vektor nol18Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar, vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol.

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. Ada tak hingga banyak vektor satuan.

[highlight titik pangkal pada sistem koordinat bidang, dan sistem koordinat ruang, tulislah] 0 vektor nol19bVektor satuanVektor satuan adalah vektor dengan panjang 1.yxj=(0, 1)i=(1, 0)acVektor nol dan vektor satuan19Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu. Jika kamu mempunyai vektor tak nol a, maka vektor satuan yang sejajar a dapat diperoleh dengan mengalikan a dengan 1 dibagi panjang a.

[gambarkan sistem koordinat, kmd gambarkan vektor-vektor yang panjangnya satu: i=(1, 0), j=(0, 1) dan 3 vektor lain] highlight 2 vektor standard i dan j]

20Perkalian vektor dengan skalarb searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a

aba-a2a-1/2a1/3aJika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang aJika k 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang aJika k0cos =0cos 0 jika sudutnya lancip39Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik yang menggunakan sudut dua vektor.Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai . Jadi hasil kali titik dua vektor bisa positif, negatif atau nol tergantung pada sudut antara dua vektor. Coba kamu simpulkan.

Bagaimana hasil kali titik dua vektor yang berimpit?Feedback: karena cos = 1, maka hasil kali titknya adalah hasil kali panjang masing-masing vektor. Hasilnya pasti positif.

Karena salah satu vektor mempunyai panjang nol, maka hasil kali titiknya pasti sama dengan nol

Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik Berikan rumus hasil kali titik dengan sudut

Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai

Gambarkan 4 kuadran, warnai kuaderan ertama dengan hijau, tuliskan cos >0. Warnai sumbu y positif dengan warna biru, tulis di situ cos = 0 . Warnai kuadran ke tiga dengan warna merah, tuliskan cos