NAMA : TARSUDIN

NIM : 06022681318036

MK : GEOMETRI

MACAM-MACAM PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS

1. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan luas segitiga sama sisi.

Sekarang kita akan membuktikan teorema Pythagoras dengan cara yang agak lain, yaitu

segitiga sama sisi? Apakah nantinya luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan

jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi-sisi yang lain. Untuk mengetahuinya, perhatikan

ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi di samping ditunjukkan bahwa

banyaknya segitiga sama sisi satuan pada sisi miring

sama dengan jumlah dari segitiga sama sisi satuan

pada sisi-sisi lainnya. Sehingga, luas segitiga sama sisi

pada sisi miring sama dengan jumlah dari luas segitiga

sama sisi pada sisi-sisi lainnya.

Untuk p, q, dan r adalah panjang dari sisi-sisi segitiga,

maka luas dari segitiga tersebut adalah

L=√s (s−p ) ( s−q ) (s−r ), dengan s=p+q+r

2. Apabila kita

misalkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku di atas dengan a, b, dan c (c panjang sisi miring),

maka kita dapat menentukan luas dari masing-masing segitiga sama sisi di atas.

La=√s ( s−a ) (s−a ) ( s−a )

La=√ 32

a ( 32

a−a)( 32

a−a)( 32

a−a)La=√ 3

2a ( 1

2a)( 1

2a)( 1

2a)

La=√ 316

a4=a2

4√3

Lb=√s ( s−b ) (s−b ) ( s−b )

Lb=√ 32

b ( 32

b−b)( 32

b−b)( 32

b−b)Lb=√ 3

2b ( 1

2b)( 1

2b)( 1

2b)

Lb=√ 316

b4=b2

4√3

Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c (sisi miring) sama dengan jumlah dari luas segitiga sama

sisi pada sisi a dan b, maka

Sehingga diperoleh bahwa c2 = a2 + b2. Atau dengan kata lain, kuadrat panjang sisi miring sama

dengan jumlah dari kuadrat panjang sisi-sisi lainnya, Terbukti.

2. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan luas segitiga siku-siku dan luas

persegi oleh Pythagoras.

Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan

menggunakan luas segitiga dan luas persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku. cobalah

menyusunnya membentuk persegi seperti di bawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi putih + Luas 4 Segitiga

Lc=La+Lb

c2

4√3=a2

4√3+ b2

4√3

4√3 ( c2

4√3)= 4

√3 ( a2

4√3+ b2

4√3)

c2=a2+b2

Lc=√s (s−c ) (s−c ) ( s−c )

Lc=√ 32

c ( 32

c−c)( 32

c−c)( 32

c−c )Lc=√ 3

2c ( 1

2c )(1

2c)( 1

2c)

Lc=√ 316

c4= c2

4√3

(a+b )2=c2+4( 12

ab)a2+2 ab+b2=c2+2 ab

a2+2 ab+b2=c2+2 ab

a2+b2=c2

Jadi, Terbukti

3. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Bhaskara

Bhaskara adalah matematikawan India dan juga Astronom

Hampir sama dengan yang digambarkan pythagoras, bahwa :

Luas Persegi Besar = Luas 4 Segitiga + Luas Persegi kecil

4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden AS. ke-20 yaitu James Garfield

c2=4( 12

ab)+ (b+a )2

c2=2 ab+b2−2 ba−a2

c2=2 ab+b2−2 ba−a2

a2+b2=c2

Jadi, Terbukti

Luas trapesium = Luas 3 Segitiga

12

(a+b ) (a+b )=12

ab+ 12

c2+ 12

ab

(a+b )2=ab+c2+ab

a2+2 ab+b2=2 ab+c2

a2+b2=c2

Terbukti

5. Bukti Teorema Phytagoras

Gambar segitiga siku-siku itu seperti ini:

Sekaranag Jika segitiga itu diputar 90o searah jarum jam, maka akan kita peroleh segitiga

berikut (gambar putus-putus). Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh

sebagai berikut ini.

Bentuk di atas itu bisa kita anggap aja sebagai trapesium. Untuk lebih jelasnya perhatikan

gambar berikut yang lebih jelas:

Luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga buah segitiga.

L = 2L1 + L2

½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c2

(a + b)2 = 2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

TERBUKTI.

6. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Persamaan Diferensial

Bukti dengan persamaan diferensial sesungguhnya sangatlah mudah. Pertama, gambar segitiga

ABC seperti di bawah.

Selanjutnya, ingat konsep

bahwa:

“Penambahan suatu variabel x akan

menyebabkan penambahan variabel y,

karena y terikat dengan x”.

Maka, dengan membuat nilai a tetap, kita

tambahkan b dengan db (diferensial b). Akibatnya, c juga harus ditambahkan dengan dc

(diferensial c). Perlu diketahui bahwa nilai db dan dc ini sesungguhnya mendekati nol (berada

dalam konsep limit). Namun, agar terlihat secara jelas secara visual maka kita

menggambarkannya agak renggang, seperti di bawah.

Perhatikan bahwa ∠ ABD sesungguhnya ≈ 00. Akibatnya,∠ BAE dan ,∠ BEA keduanya ≈ 900

Karena ∠ BEA ≈ 900, maka ,∠ AED ≈ 900.

Karena ∠ ABD ≈ 00., ini juga berakibat ∠ ABC ≈ ∠ BDC.

Kedua syarat di atas mengakibatkan ∆ ABC ∆ AED (sebangun).

Karena sebangun, maka berlaku:

dbdc

= cb

Kali silang menjadi

b . db = c . dc

Integralkan kedua ruas.

∫b .db=∫c . dc

12

b2=12

c2+konstanta

b2=c2+konstanta

Tahap terakhir, yaitu tinggal mencari konstantanya. Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka c

harus berhimpit terhadap a. Artinya, c = a. Maka:

Konstanta=−c2=−a2

Kita sudah dapatkan nilai konstanta. Maka, masukkan konstanta ini ke persamaan sebelumnya,

maka kita dapatkan teorema phytagoras.

b2=c2−a2

a2+b2=c2 TERBUKTI.

=====================================================================

Adapun kesalahan yang sering timbul selama pembuktian dengan cara ini adalah orang

menganggap bahwa ∆ ABC ∆ BCD , sehingga mereka langsung menuliskannya:

c+dcb+db

= cb

Pernyataan di atas salah, karena c > b namun dc < db. Artinya, peningkatan tersebut tidak

sebanding, dan tidak dapat digunakan. Justru, dengan membaliknya, maka kita mendapatkan

persamaan yang benar:

7. Bukti Teorema Phytagoras

Perhatikan gambar di atas !

Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau a2

Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau b2

Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan

panjang sisi b

25 satuan luas = 9 satuan luas + 16 satuan luas

25 satuan luas = 25 satuan luas

Kesimpulan :  c2    =    a2 +  b2 (TERBUKTI)

Keterangan :        

Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s2

8. Bukti Teorema Phytagoras

Mula-mula bangun segitiga pada gambar 1.9 dinotasikan dengan ABC.

Lalu ditambahkan sebuah garis AD sehingga terbentuk tiga buah

segitiga yaitu ABC, BDA, dan ADC. Ketiga segitiga tersebut sama

dengan perbandingan sebagai berikut:

AB / BC = BD / AB dan AC / BC = DC / AC.

Dapat ditulis dengan cara lain seperti:

AB x AB = BD x BC dan AC x AC = DC x BC

Jika dijumlahkan akan diperoleh:

AB x AB + AC x AC = BD x BC + DC x BC

(AB x AB) + (AC x AC) = (BD x BC) x BC

AB2 + AC2 = BC x BC

AB2 + AC2 = BC2

Misalkan

AB = a BC = c

AC = b BD = n

Maka dapat ditulis a2 + b2 = c2 atau c2 = a2 + b2 (TERBUKTI)

9. Bukti Teorema Phytagoras

Sekarang kita mulai dengan empat salinan dari segitiga yang sama. Tiga dari ini telah diputar 90°,

180°, dan 270°, masing-masing. Masing-masing memiliki luas ab/2. Mari kita menempatkan

mereka bersama-sama tanpa rotasi tambahan sehingga mereka membentuk persegi dengan sisi c.

Persegi yang dibentuk mempunyai sebuah lubang persegi dengan sisi

(a-b). Total luasnya (a - b)² dan 2ab, luas dari empat segitiga (4·ab/2),

Selanjutnya kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

c2 = = (a - b)² + 2ab

c2 = a² - 2ab + b² + 2ab

c2 = a² + b² (TERBUKTI)

10. Bukti Teorema Phytagoras

Menggambar lingkaran dengan jari-jari c dan segitiga siku-siku dengan sisi a dan b seperti

yang ditunjukkan. Sebagai contoh, dalam lingkaran tersebut ada

tiga titik F, G, H terletak pada bentuk lingkaran segitiga siku-siku

lain dengan ketinggian FK dan panjang a. Sisi miring GH dibagi

dalam dua bagian: (c + b) dan (c - b). Jadi, seperti dalam Bukti no.

8, kita mendapatkan a² = (c + b)(c - b) = c² - b².

(TERBUKTI)

11. Bukti Teorema Phytagoras

Buatlah segitiga ABC, BCA, dan ACB' mirip dengan ABC,

seperti pada diagram. Dengan konstruksi, Δ ABC = Δ A'BC.

Selain itu, segitiga ABB' dan ABC' juga sama. Jadi kita

menyimpulkan bahwa:

luas (A'BC) + luas (AB'C) = luas (ABC).

Dari kesamaan segitiga kita mendapatkan:

B'C = AC²/BC dan BC' = AC·AB/BC. Menyatukan semuanya, menghasilkan:

AC·BC + (AC²/BC) · AC = AB · (AC · AB / BC) yang sama Sebagai BC² + AC² = AB².

(TERBUKTI)

a

b A

A

C

i

ii

c

12. Bukti Teorema Phytagoras

Perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan kesebangunan segitiga, maka diperoleh: xb=b

c

Sehingga diperoleh: x=b2

c

Dengan demikian, luas (i) = xc=b2

cc=b2

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan

Luas (ii) = a2

Sehingga, a2+b2=luas (i )+Luas (ii )=c2 (TERBUKTI)

13. Bukti Teorema Phytagoras

Mudah ditunjukkan jika BC = a dan AC = b maka diperoleh :

x

R

L

A

B

M

Q

C

E

DP

K

S

N

T U

Luas DBQE = luas NKBD = luas MKBC= luas SRBC = a2

Luas ADEP = luas LNDA = luas LMCA = luas UTCA = b2

Aibatnya, c2 = luas ADEP + luas DBQE = b2 + a2

Jadi, b2 + a2 = c2 . (TERBUKTI)

14. Bukti Teorema Phytagoras

Karena alas dan tingginya sama, maka

Luas segitiga BCQ = 1/2 × Luas persegi panjang BDEQ.

Dengan teorema S-Sd-S, dapat ditunjukkan bahwa segitiga BCQ kongruen dengan

segitiga BRA, sehingga

Luas segitiga BRA = luas segitiga BCQ

Selanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, maka

Luas segitiga BRA = 1/2 × Persegi SCBR.

Jadi, 1/2 × Luas persegipanjang BDEQ = 1/2 × Persegi SCBR , atau

Luas persegipanjang BDEQ = Luas persegi SCBR .... (i)

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa:

Luas persegipanjang DAPE = Luas persegi ACTU .... (ii)

Dari (i) dan (ii), diperoleh

Luas persegi SCBR + luas persegi ACTU = Luas BDEQ + luas DAPE

a2 + b2 = luas persegi BAPQ

a2 + b2 = c2 (TERBUKTI)

R

A

B

C

Q

UT

S

E

P

15. Bukti Teorema Phytagoras

Bukti pada gambar di atas, mirip dengan bukti sebelumnya, namun tanpa bantuan

gambar tambahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. Selain itu, transformasi

yang terjadi berturut-turut strain-strain-translasi/refleksi.

Perhatikan bahwa jajargenjang pada gambar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang

yang bersesuaian pada gambar ke-1. Lalu, persegi pada gambar ke-3 sama luasnya dengan

jajargenjang yang bersesuaian pada gambar ke-2. Terakhir persegi pada gambar ke-4

sama luasnya dengan persegi yang bersesuaian pada gambar ke-3. Ini dikarenakan

transformasi strain, translasi, dan refleksi tidak mengubah luas bangun datar.

Pembuktian yang lebih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama

lewat rumus luas bangun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a

pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajar

genjang sama dengan lebar l pada persegi panjang, sehingga luas kedua bangun sama.

(TERBUKTI)

strain

strain

Translasi/refleksi