12gunawan logikamatematika modul 012

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB B.Gunawan Sudarsono Logika Matematika 1

1

PERTEMUAN 12 Pengantar Logika Predikat

12.1 Latar Belakang logika predikat

Logika Predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788 1856)

dengan doktrinnya yang dinamakan Quantification Theory. Oleh karena itu,

logika predikat sebenarnya logika proposisional ditambah dengan hal-hal

yang baru yakni tentang pengkuantoran, kemudian ditambah istilah-istilah

baru seperti kuantor, universe of discourse, term, predikat, fungsi dan lain-

lainnya. Dengan demikian, apa saja yang ada pada logika proposisional juga

digunakan oleh logika predikat dengan penyesuaian tambahan pengertian-

pengertian tersebut.

Titik berat logika adalah pada pembuktian validitas suatu argument

dengan berbagai teknik yang relevan, yaitu menggunakan Tabel kebenaran

sebagai dasar pembuktian.

Selain table kebenaran, ada pula strategi pembalikan yang ternyata

sangat bermanfaat untuk membuktikan validitas dengan menekankan pada

konsistensi dan ketidakkonsistenan pada pernyataan-pernyataan yang berada

pada argument tersebut.

Dengan kata lain, logika proposisional sudah cukup untuk menangani

pernyataan-pernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa

sehari-hari. Akan tetapi, logika proposisional ternyata masih belum mampu

menangani berbagai argument yang berisi pernyataan-pernyataan yang rumit

dan kerap dijumpai dalam peristiwa sehari-hari.

Contoh :

(1) Semua gajah mempunyai belalai

(2) Dumbo seekor gajah

(3) Dengan demikian, Dumbo mempunyai belalai

Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti akan mengatakan

argument tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti premis-

premisnya. Akan tetapi, bagaimana cara membuktikannya ? Tentunya

memakai logika predikat.


2

12.2 Argumen pada Logika Predikat Validitas suatu argument dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip seperti

berikut :

(1) Semua mahasiswa pasti pandai

(2) Badu seorang mahasiswa (3) Dengan demikian, Badu pasti pandai

Secara nalar, kebanyakan orang akan menilai bahwa argument di atas

mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin

dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan.

Untuk itu perlu dilakukan percobaan akan pembuktian validitas tersebut

semakin meyakinkan.

Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika

proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :

A = Semua mahasiswa pasti pandai

B = Badu seorang mahasiswa

C = Badu pasti pandai

Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :

A premis 1

B premis 2

C kesimpulan Jadi dalam bentuk ekspresi logika akan menjadi ;

(A ^ B ) C

Dalam bentuk ekspresi logika ini, tidak ada hukum-hukum logika

proposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitas argument

tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga

proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang

berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain,

tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat dihasilkan dari premis A

dan premis B.

Dalam logika proposisional sudah diketahui bahwa kesimpulan harus diambil

atau berasal dari premis-premisnya, atau proposisi kesimpulan harus diambil


3

dari proposisi-proposisi pada premis, dan kesimpulan yang bernilai benar

harus dihasilkan dari premis-premis yang bernilai benar pula.

Walaupun diketahui bahwa ketiga proposisi tersebut berhubungan erat,

premis 1 hanya berhubungan dengan mahasiswa, sedangkan premis2 dan

kesimpulan berhubungan dengan mahasiswa bernama Badu. Tentu saja

hubungan tetap ada, dan ketiga pernyataan di atas tetap membutuhkan tiga

huruf untuk menyimbolkannya.

Jika argument di atas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional,

mungkin masih dapat dapat diperbaiki pernyataannya untuk bisa dibuat

proposisinya karena logika proposisional mengizinkan perbaikan kalimat

suatu pernyataan. Misalnya seperti berikut :

(1) Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai

(2) Badu seorang mahasiswa

(3) Dengan demikian, ia pasti pandai

Maka ekspresi logika yang dibentuk dari proposisi-proposisi yang relevan

adalah :

A B premis 1

A premis 2

B kesimpulan

Dalam bentuk ekspresi logika adalah ;

((A B ) ^ A ) B

Dalam logika proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karena

kesimpulan diambil dari premis-premis.

Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu

menangkap ide pada pernyataan di argument yang pertama, yang

menunjukkan pernyataan Semua mahasiswa pandai. Ide pada pernyataan

tesebut tidak tertangkap pada argument kedua karena hanya mampu

menunjuk seorang mahasiswa bernama Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnya

orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang.

Perhatikan pernyataan-pernyataaan berikut :


4

(1) jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai

(2) Dewi seorang mahasiswa

(3) Dengan demikian, ia pasti pandai

Siapakah ia yang berada pada kesimpulan di atas ? Apakah Badu atau Dewi

?

Kalau premis 1 diubah menjadi Jika Dewi seorang mahasiswa, maka ia pasti

pandai, maka tentu saja pernyataan tersebut sudah tepat. Akan tetapi,

argument tersebut menunjuk pada dua mahasiswa, yakni Badu dan Dewi

sehingga kata ia, sebagai kata ganti tunggal, tidak bisa berperan dengan

tepat karena bisa berarti Badu dan bisa juga Dewi.

Jadi, suatu argument yang sangat kuat logikanya, memang ada yang tidak

dapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu, logika

proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) atau

kalkulus predikat (predicate calculus) atau secara lengkap disebut first order

predicate logic .

Untuk mencari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dlam

argument dalam logika predikat, diperlukan sesuatu yang mampu

menghubungkannya.

Pada contoh terakhir, penghubung antara Badu dan Dewi, juga akan dicari

property dan predikatnya. Ini merupakan langkah awal logika predikat

sebelum membuktikan validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk

menjelaskan property, yakni hubungan antara individu-individu.

12.3 Komponen Sintaktik pada Logika Predikat Komponen sintaktik pada logika predikat terdiri dari :

1. Term

2. Predikat

3. Kuantor

4. Fungsi Proposisional

12.4 Predikat, Term dan Kuantor pada Logika Predikat Sebelum menjelaskan tentang pengertian predikat dan term, perlu adanya

contoh yang menjadi titik awal dalam pemahaman predikat dan term.

Berikut adalah contohnya :


5

Jono dan Leni berpacaran

Dalam logika proposisional, pernyataan di atas akan dipecah menjadi dua

pernyataan yaitu :

Jono berpacaran

Leni berpacaran

Kedua pecahan pernyataan di atas terlihat aneh, karena jelas maksudnya

tidak seperti itu. Di sini tidak diketahui dengan siapa Jono atau Leni

berpacaran, padahal pada pernyataan awal dengan jelas diketahui bahwa

yang berpacaran adalah Jono dengan Leni.

Dalam logika predikat, kata berpacaran pada contoh di atas

merupakan predikat, sedangkan individu-individu yang berupa entitas yang dihubungkan dengan predikat tersebut, yakni Jono dan Leni disebut sebagai

term. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda (noun) pada bahasa Inggris.

Sebagai pelengkap term dan predikat, digunakan kuantor (quantifier),

sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran (quantification).

Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulangan pada pernyataan

tertentu bernilai benar atau salah.

Ada 2 jenis kuantor yaitu ;

1. Kuantor Universal (Universal Quantifier) yang mengindikasikan suatu

pernyataan tertentu yang bernilai benar.

Contoh : Semua mahasiswa pasti pandai

Kata Semua pada kalimat di atas secara universal semuanya bernilai benar.

2. Kuantor eksistensial (Existential Quantifier) yang mengindikasikan

bahwa suatu pernyataan kadang-kadang bernilai benar, atau mungkin

juga salah.

Dari uraian di atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika

proposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnya menjadikan

logika proposisional menjadi universal atau menjadikannya umum. Dengan

demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat juga memiliki

proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian dari proses

pemanipulasian.

12gunawan logikamatematika modul 012

Documents