Komunikasi dan Koneksi

A. KOMUNIKASI (COMMUNICATION)

Dalam pembelajaran matematika tradisional, komunikasi biasanya di lakukan

satu arah. Guru dan buku matematika menyajikan konsep matematika dengan

menggunakan kata dan simbol matematika yang kurang dipahami oleh siswa. Sebagai

contoh, penyajian dan penggunaan istilah himpunan korespondensi satu-satu,

himpunan yang ekuivalen, himpunan bagian, irisan dan gabungan dua himpunan

kurang atau bahkan tidak dijembatani dengan konteks. Akhirnya, siswa belajar

sesuatu yang mereka sendiri tidak mengetahui maknanya.

Matematika adalah bahasa. Matematika merupakan alat untuk membantu

berpikir, menemukan pola, menyelesaikan masalah, dan membuat kesimpulan.

Matematika juga merupakan alat yang tak terhingga nilainya untuk

mengomunikasikan berbagai ide dengan jelas, tepat, dan ringkas. Hal itulah yang

menyebabkan matematika merupakan suatu bahasa yakni “bahasa sains” (Dantzig

dalam Baroody, 1993) juga disebut bahasa universal (Jacobs dalam Baroody, 1993).

Bagi siswa, matematika merupakan bahasa kedua yang esensial. Manakala

pembelajaran matematika terfokus pada mengingat istilah-istilah, rumus, dan

prosuder maka ide-ide yang terkandung dalam matematika tidak akan sampai

(impernetrable). Siswa akan kesulitan dengan mempelajari bahasa barunya

(matematika) yang disampaikan secara tepat. Siswa hanya berada di kelas matematika

secara terpaksa karena matematika merupakan pelajaran wajib di sekolah.

Selain matematika sebagai bahasa, matematika, dan pembelajaran matematika

merupakan aktivitas sosial (Social Activity). Sebagaimana matematika itu sendiri,

pembelajaran matematika tak terpisahkan dari aktivitas social (Schoenfeld dalam

Baroody, 1993). Sayangnya, pembelajaran tradisional merupakan sifat dasar sosial

dari pembelajaran matematika sehingga mengganggu pengembangan matematika

siswa. Interaksi antarsiswa, sebagaimana komunikasi guru dengan siswa, penting

sebagai jalan untuk pemeliharaan potensi matematika siswa. Dengan demikian,

komunikasi memegang peran paling dalam pembelajaran matematika sebagaimana

aktivitas sosial siswa di masyarakat.

Komunikasi matematika (mathematical communication) diartikan sebagai

kemampuan dalam menulis, membaca, menyimak, menelaah, menginterpretasi dan

mengevaluasi ide, simbol, istilah, serta informasi matematika. NCTM (1989)

memberikan kemampuan dalam matematika sebagai :

1. Kemampuan dalam mengekspresikan ide-ide matematika melalui lisan,

tulisan, dan mampu mendemonstrasikannya, serta menggambarkan secara

visual;

2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan, dan mengevaluasi ide-ide

matematika melalui lisan, tulisan maupun bentuk visual lainnya;

3. Kemampuan dalam menggunakan istilah, notasi matematika, dan struktur-

strukturnya untuk menyajikan ide-ide menggambarkan hubungan-hubungan,

serta model-model situasi.

David K. Pugalee, Barabara Bissell, Corey Lock, Patricia Douville (2003)

menyatakan bahwa :

Communication is an essential element in the teaching and learning of

mathematics (NCTM, 2000; NCTM, 1989). These standards documents underscore

the importance of communication as one of the of the five process standards

emphasizing the role of writting, speaking, ang listening in developing mathematical

understanding. The Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000)

asserts “Students gain insights into their thinking when they present their methods for

solving problems, when they justify their reasoning to others, or when they formulate

a quation.”The communication Standard for pre-kindergarten through grade 12

consists of four goals for students:

1. Orgenize and consulidate their mathematical thinking through

communication;

2. Communicate their mathematical thinking coherently and clearly to peers,

teachers, and others;

3. Analyze and avaluate the mathematical thinking and stategies of others;

4. Use the language of mathematics to express mathematical ideas precisely

(NCTM, 2000).

Ketika siswa memahami apa yang sedang dipelajari melalui kegiatan berpikir,

merespons, dan berdiskusi dalam kelas matematika, susungguhnya mereka telah

menggunakan kemampuan komunikasi matematika. Siswa mungkin menggunakan

bahasa verbal dalam mengkomunikasikan pikiran, memperluas proses berpikir dalam

memahami konsep matematika (Astuti, 2004). Mungkin pula siswa menggunakan

bahasa tulisan untuk menjelaskan, berargumentasi dan mengungkapkan ide-ide

matematikanya.

Ernest (1994) membedakan dua jenis komunikasi dalam matematika, yakni

komunikasi matematika nonverbal dan komunikasi matematika verbal. Komunikasi

matematika nonverbal menekankan pada interaksi siswa dengan dunia kecil dan

penafsiran secara serentak terhadap interaksi lainnya, sedangkan komunikasi

matematika verbal menekankan interaksi lisan antara satu sama lain atau interaksi

dengan guru ketika membangun tujuan pembelajaran.

Di lain pihak Broody (1993) membagi komunikasi matematika dalam lima

bagian, yakni representasi (representation), menyimak (listening), membaca

(reading), diskusi (discussion), dan menulis (writting). Agar kelima aspek dari

komunikasi itu muncul dalam pembelajaran matematika maka siswa memerlukan

tugas matematika yang dapat mengantarkan mereka untuk membaca, berdiskusi, dan

aktivitas lainnya.

Students need to work with mathematical tasks that are worthwhile topics of

discussion. Tasks that are procedural in nature requiring students to have well-

developed algoritmathic approaches are not the best problems to promote

discourse (NCTM, 2000). Additionally, the teacher may or may not have a

pedagogical understanding of how to plan and implement communication into

the mathematics classroom. Textbooks need to lead teachers in this critical area

(Reys, et al,2003).

Sumarmo (2003) mengungkapkan beberapa indikator yang dapat mengukur

kemampuan komunikasi matematika siswa, antara lain :

1. Menghubungkan benda nyata, gambar dan diagram dan diagram ke dalam ide

matematika;

2. Menjelaskan ide, situasi, dan relasi matematika secara lisan atau tulisan dengan

benda nyata, gambar, grafik atau bentuk aljabar;

3. Menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika;

4. Mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika;

5. Membaca presentasi matematika tertulis dan menyusun pertanyaan yang

relevan;

6. Membuat konjektur, menyusun argumen, merumuskan definisi, dan

generalisasi.

Ui Hock, Cheah (2007) berpendapat bahwa pengembangan komunikasi

matematika sejatinya tidak terlepas dari kompetensi matematika lainnya, penalaran,

koneksi, dan problem solving. Proses pengembangan tersebut memuat tiga area utama

(three main areas), yakni nilai dan tujuan komunikasi (values and aims of

communication), komunikasi lisan (oral communication), serta komunikasi tulisan

(written communication).

1. Values and Aims of Communication

Mengharpkan beberapa pertimbangan yang muncul, yakni mengidrntifikasi

konteks yang relevan, ketertarikan siswa dan sumber belajar, menjamin aktivitas,

keterampilan dalam menstimulasi metakognitif, mendorong sikap positifm dan

mengkreasi lingkungan belajar yang kondusif.

2. Oral Communication

Beberapa kemampuan teknik komunikasi yang diharapkan termasuk di

dalamnya story-telling, bertanya dan menjawab pertanyaan secara lisan,

wawancara terstruktur dan tidak terstruktur, berdiskusi, serta mempresentasikan

tugas-tugas matematika.

3. Written Communication

Kurikulum mendorong aktivitas komunikasi yang aktif, seperti doing exercise,

menyusun portofolio, menyusun kliping, keeping scrap books, keeping folios,

mengerjakan proyek matematika, dan menyelesaikan tes.

Komunikasi dalam pembelajaran akan membawa dampak pada nilai-nilai

komunikasi. Seperti diketahui bahwa sesorang guru jelas lebih tua usianya, lebih

dewasa, dan lebih berpengetahuan dari pada siswa sehingga memungkinkan

terjadinya proses penyebaran nilai dalam matematika sekolah. Siswa tidak hanya

belajar tentang ide dan fakta matematika, tetapi juga akan memperoleh

pengetahuan informal matematika, seperti apa tujuan dari belajar matematika, nilai

nilai ilmiah apa yang dapat diperoleh selama aktivitas informal, serta tentang

konsep komunikasi itu sendiri.

Turmudi (2008) mengungkapkan bahwa komunikasi merupakan bagian

esensial dari matematika dan pendidikan matematika. Hal ini merupakan cara untuk

sharig gagasan dan mengklasifikasikan pemahaman. Proses komunikasai membantu

membangun makna dan kelengkapan gagasan dan membuat hal ini menjadi milik

publik. Ketika seorang siswa ditantang diminta berargumentasi untuk

mengomunikasikan hasil pemikiran mereka kepada orang lain secara lisan dan

tertulis, belajar untuk menjelaskan dan meyakinkan orang lain mendengarkan

gagasan atau penjelasan orang lain, serta memberikan kesempatan kepada siswa

untuk mengembangkan pengalaman mereka.

Lebih lanjut Turmudi mengatakan bahwa percakapan di mana matematika

diekplorasi dari berbagai sudut pandang untuk membantu para peserta mempertajam

pemikiran dan membuat hubungan-hubungan. Para siswa yang terlibat dalam diskusi

dimana mereka menjustifikasi penyelesaiannya(jawabannya) –khususnya dalam

menghadapi ketidaksetujuan- mereka akan memperoleh pemahaman matematika

yang lebih baik. Misalkan, dengan suatu upaya meyakinkan teman sebaya mereka

terhadap perbedaan pandangan. Kegiatan demikian membantu siswa

mengembangkan bahasa untuk mengemukakan gagasan matematika dan apresiasi

akan kebutuhan berbasa secara tepat.

Guru perlu membantu siswa belajar bertanya saat tidak setuju atau tidak

memahami penjelasan guru atau teman-temannya. Hal ini penting sehingga siswa

memahami bahwa focus tidak hanya benar atau salah suatu jawaban, tetapi lebih dari

itu apakah jawaban tersebut dapat dipahaminya. Siswa perlu belajar bahwa

argumentasi matematika addalah logis dan terkait dengan konsep matematika lainnya.

Ketika penyusunannya suatu konsep atau strategi perlu diperjelas lebih tajam, siswa

dapat menguji kembali seberapa jauh tingkat pemahamannya. Dalam kaitan itulah,

komunikasi menjadi jembatan yang baik dalam membantu siswa untuk menguji

kemampuan pemahaman dirinya.

Guru harus membantu siswa mendapatkan bahasa matematika untuk

menjelaskan objek dan pengaitannya. Sebagai contoh, secara informal siswa

menggunakan istilah “garis dari pojok ke pojok” dalam menggambarkan diagonal

segi empat. Guru harus memberi jembatan tentang istilah matemtikanya. Dengan kata

lain, ketika siswa dihadapkan padda suatu istilah baru dalam matematika maka harus

ada proses yang rasional dan bermakna yang biasanya dijembatani dengan konteks.

Guru juga perlu menyediakan atau meminta siswa untuk menulis tentang

konsep matematika. Guru diharapkan memeriksa tulisan tersebut serta

mengembalikan koreksinya sehingga tulisan siswa tersebut menjadi benar, lengkap,

sistematis, dan jelas. Selain itu, siswa juga perlu diberi kesempatan untuk saling

memeriksa dengan pekerjaan temannya. Awalnya memang sulit, namun secara

perlahan mereka akan terbiasa melakukannya. Misalnya, siswa diminta untuk

menjelaskan mengapa 12

lebih kecil daripada 25

. Lebih lanjut, siswa diminta untuk

memberikan penjelasan dengan minimal 3 cara berbeda. Untuk membantu siswa,

guru dapat menggunakan possing, misalnya apa yang kamu lakukan untuk

menyelesaikan masalah tersebut? Keputusan apa yang kamu buat? Mengapa kamu

membuat keputusan tersebut?

Memasuki sekolah menengah, secara substansi telah tumbuh kemempuasn

siswa dengan rangkaian logika yang terstruktur, mengekspresikan dengan masuk akal

dan jelas, menyimak ide-ide orang lain, serta berpikir tentang pendengar ketika

mereka berbicara. Artinya, siswa sekolah menengah mempunyai kemampuan yang

berbeda dalam komunikasi baik lisan maupun tulisan. Apa-apa kemampuan yang

mereka tulis, seperti lambang-lambang matematika, diagram, grafik, harus

menggunakan bahasa matematika yang benar. Mereka mampu menjelaskan, membuat

pertanyaan, serta menulis argumrntasi sesuai dengan kaidah-kaidah matematika.

B. KONEKSI (CONNECTION)

Koneksi matematis (mathematical connection) didasarkan bahwa matematika

sebagai body of knowledge, yakni ilmu yang terstruktur dan utuh, yang terdiri dari

bagian-bagian yang saling berhubungan. Selain itu, matematika merupakan ilmu

dasar yang digunakan sebagai alat dalam pengembangan ilmu lainnya serta yang

ketiga matematika sebagai ilmu yang dapat digunakan secara langsung dalam

memecahkan masalah kehidupan manusia. Dariketiga landasan tersebut maka koneksi

matematika diartikan sebagai koneksi antartopik matematika, koneksi dengan disiplin

ilmu lain, serta digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Koneksi sebagai standar proses dalam pembelajaran matematika bertujuan

untuk memperluas wawasan pengetahuan siswa, memandangmatematika sebagai satu

kesatuan, dan bukan sebagai materi yang berdiri sendiri, serta mengenali relevansi

dan manfaat matematika baik di sekolah maupun di luar sekolah (Sumarmo, 2000).

Untuk mengukur koneksi matematika ini Kusumah (2003) memberikan

indikator:

1. Mengenali representasi ekuivalen dari konsep yang sama;

2. Mengenali hubungan prosedur atau proses matematika atau representasi ke

prosedur representasi yang ekuivalen;

3. Menggunakan dan menilai kaitan antartopik matematika;

4. Menggunakan dan menilai kaitan antarmatematika dengan disiplin ilmu lain;

5. Menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Lappan, Fey, Fitzgerald, Friel, da Philips (1996) memberi ilustrasi

pembelajaran matematika untuk sekolah dasar melalui koneksi matematika dalam

konsep menentukan luas segitiga sebagai berikut.

Anak diminta menggambar sembarang segitiga dengan alas a dan tingginya t.

kemudian anak menggambar jajaran genjang dengan cara melukis segitiga congruent

dengan cara mencerminkan terhadap salah satu sisinya.

Gambar 1

Menentukan Rumus Luas Daerah Segitiga melalui Koneksi

Dengan proses tersebut diperoleh jajar genjang dengan alas a dan tinggi t.

Oleh karena luas jajar genjang adalah sama dengan luas persegi panjang yang

berukuran a dan t maka luas segitiga adalah setengah luas jajar genjang tersebut, yang

setengah dari hasil kali alas (a) dan (t). dengan demikian luas daerah segitiga adalah

12

alas x tinggi.

Ilustrasi tersebut dapat dilakukan langsung dengan benda nyata, yakni melalui

kegiatan melipat atau memotong kertas. Focus utama dari kegiatan tersebut adalah

melalui koneksi antar segitiga, jajar genjang, dan persegi panjang, anak memperoleh

pengetahuan, tentang luas daerah segitiga.

Koneksi matematika dengan ilmu pengetahuan lain dan kehidupan sehari-hari

kurang dikenal lebih jauh oleh masyarakat atau siswa. Biasanya siswa atau

tt

t

a t

a t

a t

masyarakat sering bertanya apa arti matematika dalam kehidupan sehari-hari atau apa

kontribusi nyata dari matematika terrhadap perkembanngan ilmu pengetahuan dan

teknologi. Pada umumnya, masyarakat hanya mengenal matematika sebatas

aritmatika dan operasinya, yakni penggunaan mateamtika dalam kehidupan sehari-

hari sebagai sarana atau alat komunikasi dalam menghitung untung atau rugi,

penerimaan dan pengluaran pendapatan. Akibatnya, siswa atau masyarakat tidak

memandang matematika sebagai suatu yang harus dipelajari lebih lanjut.

Dijkgraaf, R. (2008) memberikan ilustrasi tentang bagaimana publik

mengabaikan tentang koneksi matematika yang lebih dalam dengan ilmu pengetahuan

lain, misalnya dalam fisika. Secara sederhana Dijgkraaf memberi contoh tentang

tanda sama dengan “=” yang menghubungkan dua pernyataan.

Most people therefore overlook a modest but crucial ingredient in these

equations: the equals sign. In its archeptypal form A=B, the equals sign

connects two worlds represented by A and B. Through it ideas can flow from

A to B and back, as if the equals sign conducts the electric current that’s lights

up the ‘Aha!’ light bulb in the mind indicating the insight gained. Albert

Enstein was an absolute master in finding equations with that property. Take

E=mc2, which connect mass and energy and is, without a doubt, the most

famous equation in the public imagination. The equations of general relativity,

although less catchy and well-known, link in an equally surprising and elegant

way the worlds of geometry and matter.

Dalam pembelajaran matematika, guru matematika harus memilih tugas

sehingga dapat mendukung aktivitas siswa melakukan eksplorasi mengembangkan

peningkatan ide-ide matematika yang canggih. Siswa harus difasilitasi dengan

pertanyaan-pertanyaan yang mendorong dan menantang mereka untuk menjelaskan

ide-ide baru matematika dan pengembangan strategi baru yang didasarkan pada

matematika yang telah diketahuinya. Sebagai contoh, siswa ditanya untuk

menjelaskan dua cara berbeda dalam menaksir harga 12 buku catatan dengan cepat.

Guru harus meminta siswa untuk mengeksploraasi dan menjelaskan

keterkaitan matematika dan memastikan bahwa mereka melihat ide-ie matematika

dalamberbagai konteks dan model. Konsep sains dapat secara khusus dihasilkan dari

dari eksplorasi dan penggunaan matematika. Matematika dan sains mempunyai

sejarah panjang yang saling mengisi satu sama lain, sains berkembang dengan

bantuan matematika. Begitu juga sebaliknya, masalah dalam sains memunculkan teori

matematika.

Siswa yang berada di sekolah menengah harus meningkatkan kapasitasnya

untuk mengaitkan ide-ide matematika dan pemahaman yang lebih mendalam

bagaimana menggunakan pendekatan yang lebih dari satu dalam pemecahan suatu

masalah. Misalkan siswa diberi masalah sebagai berikut.

Tunjukkan bahwa titik tengah (midpoint) dari sisi miring suatu segitiga siku-

siku jaraknya sama dari ketiga titik.

Untuk memudahkan pemahaman, biasanya siswa menggambar masalah di

atas sebagai berikut:

Gambar 2

Masalah Midpoint

Harus ditunjukkan bahwa panjang segmen AM = BM = CM.

M

BA

C

Dalam menyelesaikan masalah tersebut, guru harus mendorong siswa untuk

menggunakan berbagai pendekatan, misalnya melalui koordinat kartesius, lingkaran,

bangun datar geometri atau transformasi. Di sini jelas bahwa, mengaitkan masalah

matematika dengan berbagai konsep matematika akan memberi banyak pilihan pada

siswa dalam menyelesaikan masalah tersebut. Siswa akan terbiasa dengan

memandang suatu masalah dari berbagai topik matematika. Seperti masalah midpoint

di atas.

M

BA

C

C C (0,2c)

M(b,c)

A C (0,0)

(a)

B (2b,0)

M’ C

M

B= C B’

C

A= C A’

C’ C

M

BA

C

(c)

D

(d)

Gambar 3

Beberapa Penyelesaian Masalah Midpoint

Pendekatan menggunakan koordinat kartesius. Siswa akan lebih mudah

menyelesaikannya melalui perhitungan jarak antara dua titik. Mereka akan sampai

pada penyelesaian bahwa panjang segmen AM, BM, dan CM adalah √a2+b2.

Pendekatan yang kedua menggunakan lingkaran. Karena lingkaran yang berpusat di

M melalui semua titik A, B, dan C maka AM, BM, dan CM adalah jari-jari lingkaran

tersebut. Dengan demikian, panjang keempat segmen tersebut sama. Pendekatan yang

ketiga dilakukan melalui konstruksi persegi panjang ABCD. Titik M adalah

perpotongan diagonal persegi panjang ABCD, artinya panjang AM, BM, dan CM

adalah sama. Cara yang lebih kompleks menggunakan transformasi. Segitiga ABC

direfleksikan terhadap garis AB sehingga terbentuk segitiga A’B’C’. Oleh karena M

dan M’ titik tengah dari segmen BC dan B’C’ maka segitiga MBM’ sebangun dengan

segitiga CBC’, dengan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga MBM’

setengah dari panjang sisi segitiga CBC’. Demikian juga hal yang sama berlaku

antara segitiga AMC dengan CBC’. Akibatnya, segitiga MBM’ kongruen dengan

AMC, dari kaitan tersebut dapat disimpulkan bahwa CM dan MB sama panjang.

Aktifitas di atas memberi inspirasi bahwa guru harus memberi dorongan

agar siswa mencoba dan membuat koneksi matematika. Koneksi matematika tersebut

akan muncul apabila masalah/problem yang dipilih guru berpotensi mmberikan ruang

pada siswa untuk melakukan eksplorasi dan investigasi, tidak terpaku pada satu

konsep matematika, serta ada dorongan dari siswa mencoba berbagai pendekatan

dalam menyelesaikan masalah matematika yang diberikan. Selain itu, ketika jawaban

yang muncul tersebut tidak tepat maka guru harus membantu siswa untuk

memperoleh hal/ide yang benar dari jawaban yang kurang tepat atau salah tersebut

yang dapat menjadi ide untuk mengonstruksi penyelesaian atau koneksi baru. Ketika

siswa telah mampu menyelesaikan masalah yang diberikan maka siswa harus

didorong untuk membuat generalisasi hasil pekerjaannya. Masalah yang kaya

(“kompleks”) merupakan iklim yang dapat mendukung berpikir matematika dan

merupakan jalan untuk memperluas berbagai ide matematika sehingga dapat

mengengembangkan kemampuan koneksi matematika siswa.