104584852-materi-kuliah-matematika-ekonomi.pdf
DESCRIPTION
Materi-Kuliah-Matematika-Ekonomi.pdfTRANSCRIPT
1
BAGIAN 1
Diskripsi Mata Kuliah
Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan
barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu.
Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk
menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung
kesamaan suatu nilai dari dua beris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau
suatu deret.
Tutjuan Khusus
Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan
bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha sejauh mana pertumbuhannya yang
konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan
panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu,
dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu
tertentu.
A. TEORI BARIS DAN DERET
1. Pengertian Baris
Baris yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan
tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.
Penggolongan baris dapat didasarkan pada :
Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi :
1. Baris berhingga
2. Baris tak berhingga
Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi
1. Baris Hitung
2. Baris Ukur
3. Baris Harmoni
2. Baris Hitung
Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya
tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya.
Contoh :
2, 4, 6, 8, 10, 12 ......................Sn
S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2
S2 (suku kedua) = 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4
S3 (suku ketiga) = 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6
S4 (suku keempat) = 8 S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8
Sn (suku ke n)
Maka untuk suku ke n di peroleh rumus :
Sn = a + ( n – 1 ) b.
Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan
n = suku ke n
Contoh soal :
Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke
sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
KONSEP DASAR TEORI BARIS DAN DERET SERTA
PENGGUNAANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
2
S3 = a + ( n – 1 ) b = 150 = a + 2b
S7 = a + (n – 1 ) b = 170 = a + 6b
-
- 20 = - 4b
b = -20 / -4 = 5
150 = a + 2b 150 = a + 2.5 150 = a + 10
a = 150 – 10 a = 140
S10 = a + (n – 1) b
= 140 + (10 -1) 5 140 + 45
= 185
3. Deret Hitung
Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama
dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris
hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris hitung di atas)
Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..... Maka
Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
D1 = 2,
D2 = 2 + 4 = 6,
D3 = 2 + 4 + 6 = 12
D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst
dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau
Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b}
Contoh Soal :
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku
ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?.
a = 140, b = 5
S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5
= 140 + 45 = 185
D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 )
= 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750
4. Baris Ukur
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya
tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku
sebelumnya
Contoh :
2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn
S1 (suku pertama) = 2
S2 (suku kedua) = 6
S3 (suku ketiga) = 18
S4 (suku keempat) = 54
S5 (suku kelima) = 162
Sn (suku ke n) = dst.
Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya
adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 =
54/18 = 162/54. maka r = 3.
S1 (suku pertama) = a = 2
S2 (suku kedua) = ar = 2.3 = 6
S3 (suku ketiga) = ar2 = 2.3
2 = 2.9 = 18
S4 (suku keempat) = ar3 = 2.3
3 = 2.27 = 54
S5 (suku kelima) = ar4 = 2.3
4 = 2.8 = 162
Sn (suku ke n)
Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus Sn = ar n-1
3
5. Deret Ukur
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan
suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya,
suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ....... maka
Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, .....
D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst.
Dn dapat dirumuskan :
1,1
1r
r
raD
n
n atau 1,1
1r
r
raD
n
n
Contoh Soal :
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku
ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
a = 20, r = 2
S6 = arn-1
= 20. 26-1
= 20. 25 = 20. 32 = 640
12
12206
6
D = 1
63.20 = 1260
B. PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI
1. Perkembangan Usaha
Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari
waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung.
Contoh Soal
1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya.
Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga
ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300
buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah
keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang
dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12.
S12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300
= 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik.
Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
D12 = n/2 (a + s12)
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
2. Teori Nilai Uang (bunga Majemuk)
Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam meminjam serta
masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang
besarnya diasumsikan tetap dari waktu ke waktu. Misalkan suatu modal sebesar P0‟ akan dibungakan
per-satu tahun selama jangka waktu n tahun. Tingkat suku bunga yang berlaku yang berlaku adalah r %
per-tahun, diasumsikan tetap dari tahun ke tahun selama n tahun. Sehingga menghitung modal awal
tahun ke-n yang diperoleh melalui pembungaan setiap satu tahun dapat dirumuskan
Pn = po ( 1 + r )n
, atau
Pn = po ( 1 + r /m)n.m
Pn = Modal pada tahun ke-n (di masa yang akan datang)
Po = Modal saat sekarang, saat t = 0
r = Tingkat suku bungan per-tahun
4
n = tahun ke m = periode per-tahun
Contoh Soal :
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka
waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan
konstan sebesar 11% per-tahun. Bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang akan
diterima pada akhir tahun ke-5 ?
Pn = P0 ( 1 + r )n
= 10.000.000 ( 1 + 0,11 )5 = 10.000.000 ( 1,11 )
5
= 10.000.000 (1,685058155) = 16.850.581,55
3. Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan
pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh
mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan :
Pn = P0.( 1 + i )n
Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1)
P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n
i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun
Contoh soal :
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen per
tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005.
Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun
Pn = P0.( 1 + i )n
= 100.000 ( 1 + 0,04 )10
= 100.000 ( 1,04 )10
= 100.000 ( 1,48024) = 148.024
Latihan Soal
1. Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke
10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?
2. Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris
hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya.
3. Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya,
dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. a) Andaikata perkembangan produksinya konstan,
berapa tambahan produksinya per tahun ? b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ? c) Pada
tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ? d) Berapa bungkus rokok yang telah ia
hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.
4. Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena
persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga
pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan produksinya per
tahun ? b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol
kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.
5. Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam
jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan
sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika
didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya
jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.
6. Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5
jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ?
Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?
Jawaban latihan soal.
5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2
= 10.000.000 (1 + 0,055)10
= 10.000.000 (1,708144)
5
= 17.081.444,58
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.081.444,58.
Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4
= 10.000.000 (1 + 0,0275)20
= 10.000.000 (1,720428431)
= 17.204.284,31
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.204.284,3.
6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk :
Pn = P0 (1 + i)n
4,5 = 3,25 (1 + i)2013-2008
4,5 = 3,25 (1 + i)5
4,5/3,25 = (1 + i)5
1,3846 = (1 + i)5
1,38461/5
= 1 + i
i = 1,38461/5
- 1
i = 0,0673
i = 6,73 %
Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 %
Jumlah penduduk pada tahun 2015.
P2015 = P2008 (1 + i)2015-2008
= 3,25 (1 + 6,73%)7
= 3,25 (1,577632)
= 5,13
Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta.
Daftar Pustaka :
6
BAGIAN 2
2.1 PENDAHUKUAN :
2.1.1. Diskripsi Mata Kuliah
Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta,
yang saling berkaitan satu sama lain dala hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis yaitu hubungan
yang linier. Fungsi-fungsi yang bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit, sejajar atau bahkan
berpotongan. Untuk mencari perpotongan dua fungsi yang linier digunakan metode eliminasi,
substitusi atau dengan cara determinan.
2.1.2.Tujuan Khusus
1. Menggabarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mencerminkan perilaku baik
perilaku konsumen maupun perilaku produsen. Perilaku konsumen dicerminkan melalui fungsi
permintaan, sedangkan perilaku produsen dicerminkan dengan fungsi penawaran. Pertemuan
antara keduanya merupakan titik keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar ini dapat bergeser
sejajar akibat adanya capur tangan pemerintah dalam bentuk pajak maupun subsidi
2. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mmenghitung berapa
produk yang sebaiknya diproduksi dan dijual oleh perusahaan agar perusahaan dapat menutup
biaya-biaya tetapnya, menutup totol biaya, bahkan agar perusahaan dapat memperoleh
keuntungan. Disebut Analisis Break-Even Analusis.
3. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat membantu menghitung berapa pendapatan
nasional yang harus diperoleh suatu negara agar tidak mengalami defisit akibat konsumsi yang
lebih besar dari pada pendapatan. Lebih jauh lagi berapa pendapatan minimum agar dapat
menabung.
4. Menggambarkan pendapatan nasional dapat menghitung melalui pendekatan pengeluaran yang
linier.
2.2. PENYAJIAN
2 .2.1. Uraian Materi
A. TEORI FUNGSI DAN TEORI FUNGSI LINIER
1. Pengertian Fungsi Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur
pembentukan fungsi yaitu variabel, Koevisien dan konstanta. Yang dimaksud dengan variabel ialah
unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Dalam suatu fungsi,
Penggolongan variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat dimana variabel
bebas yaitu variabel yang menerangkan variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel yang
diterangkan oleh variabel lain. Yang dimaksud dengan koefisien ialah bilangan atau angka yang
diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta
sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apa pun. secara umum jika dikatakan bahwa y
adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel
terikat. Contoh :
1. 3y = 4x – 8,
y adalah variabel terikat
x adalah variabel bebas
3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y)
4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x)
-8 adalah konstanta
2. y = x ½
y adalah variabel terikat
x adalah variabel bebas
KONSEP DASAR TEORI FUNGSI, TEORI FUNGSI LINIER DAN
PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
7
Jika x adalah fungsi dari y maka ditulis x = f(y), dimana y adalah variabel bebas dan x adalah
variabel terikat.
Contoh :
1. x = y-2 y adalah variabel bebas
x adalah variabel terikat
-2 adalah konstanta
2. x = -2 x adalah variabel terikat
-2 adalah konstanta
2. Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Irrasional : Fungsi yang memiliki
Bentuk umum Y = n√ a0 + a1x
1 + a2x
2 + a3x
3 + ......+ anx
n, n bilangan bulat positif
contoh :Y = (1+2x1
- 3x2 + 4x
3 +...........+ 12x
11)1/11
Fungsi Polinom : Fungsi yang memiliki banyak suku
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x
2 + a3x
3 + ........+ a
nx
n;bilangan bulat positif
Contoh: Y = 1 + 2x1 - 3x
2 + 4x
3 +..........-12x
11; n = 11
Fungsi Linier : Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu.
Bentuk umum Y = a0 + a1x1
Contoh: Y = 1 + 2x1
Fungsi Kuadrat :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah dua.
Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x
2
Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x
2
Fungsi Kubik :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah tiga.
Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 +a2x
2 + a3x
3
Contoh : Y = 1 + 2x1 – 3x
2 + 4x
3
Fungsi Bikuadrat:Fungsi polinom yang fariabel bebasnya memiliki pangkat paling tinngi adalah
empat.
Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x
2 + a3x
3 + a3x
4
Contoh :Y = 1 + 2x1 + 3x
2 + 4x
3 + 5x
4
Fungsi Pangkat :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil positif
Bentuk umum : Y = xn , n bilangan riil positif
Contoh :Y = x2
Fungsi Eksponen : Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat suatu konstanta.
Bentuk umum :Y = nx
Contoh :Y = 2x
Fungsi logaritma : Fungsi yang merupakan invers fungsi eksponen
Bentuk umum Y = n log x
Contoh :Y = 4 log x
Fungsi Hiperbola :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan riil negatif
Bentuk umum :Y = xn , n bilangan riil negatif
Contoh :Y = x-2
, n bilangan riil negatif
3. Pengertian Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsih polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah
satu : Y = a0 + a1x1 ,Y variabel terikat, x variabel bebas
a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol
a1 Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol
Untuk nilainya a0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif, atau nol, maka alternatif yang mungkin
untuk fungsi linier : Y= a0 + a1x1 yaitu :
misal a0 = 4 dan a1 = 2
1. a0 = + ; a1= + Y = a0 + a1x Y = 4 + 2x
2. a0 = + ; a1= - Y = a0 – a1x Y = 4 – 2x
3. a0 = + ; a1= 0 Y = a0 + 0.x Y = 4 + 0.x = 4
4. a0 = - ; a1 = + Y = -a0 +a1x Y = - 4 + 2x
5. a0 = - ; a1 = - Y = -a0 – a1x Y = - 4 – 2 x
6. a0 = - ; a1 = 0 Y = -a0 + 0.x Y = - 4 + 0.x = - 4
7. a0 = 0 ; a1 = + Y = 0 +a1x Y = 0 + 2x
8. a0 = 0 ; a1 = - Y = 0 – a1x Y = 0 – 2 x
8
9. a0 = 0 ; a1 = 0 Y = 0 + 0.x Y = 0 + 0.x = 0
4. Penggambaran Fungsi Linier
Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a0 = 4 dan a1 = 2
Y = 4 + 2x
(0,4)
1. Y = 4 + 2x
dua buah titik yang dibutuhkan
untuk mengambarkannya (-2,0) 0
(0,4) dan (-2,0)
2. Y = 4 – 2x
dua buah titik yang dibutuhkan (0,4)
untuk mengambarkannya
(0,4) dan (2,0) 0 (2,0)
Y = 4 – 2x
3. Y = 4
titik yang dibutuhkan (0,4) (Y = 4)
untuk mengambarkannya
(0,4)
0
4. Y = - 4 + 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan
untuk menggambarkannya 0 (2,0)
(0,- 4) dan (2,0)
(0,-4)
5. Y = - 4 – 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan (-2,0) 0
untuk menggambarkannya
(0,- 4) dan ( - 2,0)
(0,-4)
Y = -4 – 2x
6. Y = - 4
titik yang dibutuhkan
untuk menggambarkannya 0
(0.- 4)
(0,-4) Y = -4
9
7. Y = 0 + 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan Y = 0 + 2x
untuk menggambarkannya (2,4)
(0,0) dan (2,4)
(0,0) 2
8. Y = 0 –2x
dua buah titik yang dibutuhk (0,0) 2
untuk menggambarkannya
(0,0) dan (2,- 4)
-4 (2,-4) Y = 0 – 2x
9. Y = 0
dua buah titik yang dibutuhkan
untuk menggambarkannya
(0,0) dan (2,0) (0,0) (2,0)
5. Hubungan Dua Fungsi Linier
Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier yang
kedua yaitu : Y‟ = a0‟ + a1‟ x. Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan:
1. Berhimpit
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
karena berhimpit, maka a0 = a0‟ dan a1 = a1‟
contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2
Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2
2. Sejajar Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
Karena sejajar, maka a0 = a0‟ dan a1 = a1‟
Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 +4x , intersep 2, gradien 4
3. Berpotongan
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
0
Karena Berpotongan, maka dan a1 = a1‟
untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟
10
Contoh : Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien – 4
4. Berpotongan Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
0
Karena berpotongan, maka dan a1 = a1‟
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟ dan perpotongan pada titik (0, a0)
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x , intersep 2 , gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2 , gradien – 4 dan perpotongan pada titik (0,2)
5. Berpotongan tegak lurus
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
0
Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1‟ dan a1.a1‟. = - 1.
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟.
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4
fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien –1/4
6. Berpotongan tegak lurus
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
0
Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1‟ dan a1. a1‟ = -1
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟ dan berpotongan pada titik (0, a0)
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x, intersep 2, gradien 4
fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien – ¼
dan perpotongan pada titik (0,2)
6. Titik Potong Linier
Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan
dengan cara :
1. Substitusi
2. Eliminasi
3. Determinan
Contoh :
Carilah titik potong dari garis yang berpotongan yaitu 2 x + 3 y = 4 dan x + 2 y = 1 Jawab :
1. Cara Substitus
2 x + 3 y = 4 ........*
x + 2 y = 1 - x = 1 – 2 y .........**
memasukkan ** pada*
2 x + 3 y = 4
2 (1 – 2 y) + 3 y = 4 maka x = 1 – 2 y
2 (1) – 2 (2 y) + 3 y = 4 x = 1 – 2 (-2)
2 – 4 y + 3 y = 4 x = 1 – ( - 4)
11
2 – y = 4 x = 1 + 4
-y = 4 – 2 x = 5
-y = 2
y = - 2
2. Cara Eliminasi
2 x + 3 y = 4 (x 1) --- 2 x + 3 y = 4
x + 2 y = 1 (x 2) --- 2 x + 4 y = 2 _
- y = 2 y = - 2
maka x + 2 y = 1
x + 2 (- 2) = 1
x + (- 4) = 1
x – 4 = 1
x = 1 + 4
x = 5
3. Cara Determinan
2 x + 3 y = 4
x + 2 y = 1
| 4 3 | | 1 2 | (4)(2) – (1)(3) 8 – 3 5 x = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = 5 | 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 | | 2 4 | | 1 1 | (2)(1) – (1)(4) 2 – 4 -2 y = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = -2 | 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 | Baik dengan cara eliminasi, substitusi, ataupun determinasi, pasti akan diperoleh nilai yang sama.
7. Penamaan Fungsi Linier
1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x1, y1) dan B (x2, y2).
Gambar : B(X2,Y2)
A(X1,Y1)
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tesebut dapat diperoleh dengan
menggunakan rumus di bawah ini :
Y – Y1 = X – X1
Y2 – Y1 = X2 – X1
Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7).
Jawab : misalkan (x1,y1) = (3,3) dan (x2,y2) = (5,7)
maka : Y – 3 = x – 3
7 – 3 = 5 – 3
Y – 3 = x – 3
4 2
Y – 3 = 4 / 2 ( x – 3)
Y – 3 = 2 x – 6
Y = 2 x – 6 + 3
Y = 2 x – 3
Jadi garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7) adalah Y = 2 x – 3
12
2. Jika diketahui sebuah titik A (x1, y1) dan gradiennya / kemiringannya m
Gambar :
A(x1,y1)
n
0
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui titik tersebut dengan kecondongantertentu dapat
diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini :
Y – Y1 = m (x – x1), m = ∆Y/∆x
Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dengan kecondongan sebesar 5
Jawab : Misalkan (x1,y1) = (3,3) dan m = 5
Maka : Y – Y1 = m(x – x1)
Y – 3 = 5 (x – 3)
Y – 3 = 5x – 15
Y = 5x – 15 + 3
Y = 5x – 12
Jadi garis yang melalui titik (3,3) dengan kemiringannya 5 adalah Y = 5x - 12
B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. Pendahuluan
Penerapan fungsi linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu : Fungsi permintaan, Fungsi
penawaran, Keseimbangan pasar, Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar, Fungsi
penerimaan, Fungsi biaya, dan ‘ break-even analsis ‘. Penerapan fungsi linier dalam ekonomi mikro,
yaitu : fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan fungsi
pendapatan nasional yang dihitung melalui pendekatan pengeluaran.
PENERAPAN DALAM BISNIS DAN TEORI EKONOMI MIKRO
2. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan merupakan fungsi yang mencermintan hubungan antara variabel harga (P ; price)
suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd ; quantity demand). Ditulis: P= f(Qd).
Fungsi ini mencerminkan perilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika
harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan.
Demikian sebaliknya, jika harga mengalami penurunan maka jumlah barang yang diminta akan
mengalami peningkatan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu
datarnya jumlah barang yang diminta (Qd) dan sumbu tegaknya harga barang yang bersangkutan (P),
dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang diminta (fungsi linier),
maka fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sebagai berikut :
Sifat monoton turun :
P‟ > P maka Qd‟ < Qd
P” < P maka Qd” > Qd
Contoh :
1. P = 30 - 2 Qd
2. Qd = 15 – P
Contoh Soal :
1. Suatu barang, jika dijual seharga Rp 5.000 per-buah akan- laku sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi,
jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4.000 per-buah, maka jumlah permintaan terhadap
barang tersebut meningkat menjadi 6.000 buah. Bagaimana fungsi permintaanya ? Gambarkan
fungsi permintaan tersebut pada Grafik Kartesius.
Jawab :
Diketahui (Qd1,P1,)= (3.000,5.000) dan (Qd2,P2,) = (6.000, 4.000) Fungsi permintaannya dicari dengan
rumus :
P - P1 = Qd – Qd1
P2 – P1 Qd2 – Qd1
13
P - 5.000 = Qd - 3.000
4.000 – 5.000 6.000 - 3.000
P - 5.000 = Qd - 3.000
- 1.000 3.000
P – 5.000 = - 1.000 ( Qd – 3.000 )
3.000
P – 5.000 = -1/3 (Qd – 3.000)
P – 5.000 = -1/3 Qd – 1/3 (- 3.000)
P = -1/3 Qd + 1.000 + 5.000
P = -1/3 Qd + 6.000
Gambar Grafik Kartesiusnya ( P vs Qd ) :
P
6000
P = - 1/3 Qd + 6.000
0 Qd= 18.000
Contoh Soal :
2. Permintaan suatu barang sebanyak 500 Buah pada saat harganya 40.000. apabila setiap kenaikan
harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah permintaan mengalami penurunan sebanyak 250,
sebagaimana fungsi permintaannya dan gambarkan fungsi permintaanya dan gambarkan fungsi
permintaan tersebut pada grafik kartesius
Jawab :
Diketahui ( P1 ,Qd1 ) = ( 40.000, 500 ) dan p = 1.250 , Qd = - 250
Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus :
( P – P1 ) = m (Qd – Qd1 )
dengan m = P / Qd
= 1.250 / (- 250 )
= - 5
Maka
( P – 40.000 ) = -5 ( Qd – 500 )
P – 40.000 = -5 Qd – ( 5 )( - 500 )
P – 40.000 = -5 Qd + 2.500
P = -5 Qd + 2.500 + 40.000
P = -5 Qd + 42.500
Jadi fungsi prmintaanya : P = - 5 Qd + 42.500
Gambar Fungsi Penawaran tersebut pada grafik Kartesius :
42.500
P = - 5 Qd + 42.500
0
Catatan :
Gradien fungsi permintaan yang dinyatakan dengan rumus
m = Δ P / Δ Qd nilainya
Senantiasa negatif, sebab :
1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang
diminta :
Menjadikan :
M = Δ P = negatif = negatif atau
ΔQd positif
2. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang
diminta
Menjadikan :
14
M = Δ P = positif = negatif
Δ Qd negatif
3. Fungsi Penawaran Fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga ( P : price )
suatu barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan ( Qd : Quantity Supply ). Ditulis : P = f (
Qs ). Fungsi ini mencerminkan perilaku produsen dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika
harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami
peningkatan. Demikian sebaliknya, jika harga barang mengalami penurunan maka jumlah barang yang
ditawarkan akan mengalami penurunan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan
sumbu datarnya jumlah barang yang ditawarkan (Qs) dan sumbu tegaknya harga barang bersangkutan
(P), dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang ditawarkan (fungsi
linier), maka fungsi penawaran suatu barang dicerminkan sebagai berikut :
Contoh :
1. P = 120 + 4Qs
2. Qs = -40 + ¼ P
3. ¼ P = 8Qs + 125
Contoh Soal :
1. Suatu barang, harga dipasarnya Rp 5.000 per buah maka produsen akan menawarkan sebanyak 3.000
buah. Akan tetapi, jika harga lebih tinggi yaitu menjadi Rp 6.000 per-buah, maka jumlah barang
yang ditawarkan oleh produsen akan bertambah menjadi 6.000 buah. Bagaimanakah fungsi
penawarannya ? Gambarkan fungsi penawarannya tersebut pada Grafik Kartesius.
Jawab :
Diketahui (P1,Qs1) = (5.000, 3.000) dan (P2,Qs2) = (6.000, 6.000)
Fungsi penawarannya dicari dengan rumus :
P – P1 = Qs – Qs1
P2 – P1 Qs2 – Qs1
P – 5.000 = Qs – 3.000
6.000 – 5.000 6.000 – 3.000
P – 5.000 = Qs – 3.000
1.000 3.000
P – 5.000 = 1.000 (Qs – 3.000)
3.000
P – 5.000 = 1/3 (Qs – 3.000)
P – 5.000 = 1/3 Qs + (1/3) (-3.000)
P = 1/3 Qs – 1.000 + 5.000
P = 1/3 Qs + 4.000
Jadi fungsi penawarannya adalah : P = 1/3 Qs + 4.000
Gambar Grafik Kartesiusnya (P vs Qs) :
Contoh Soal :
2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harganya 40.000. Apabila setiap kenaikan
harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran mengalami peningkatan sebanyak
250, bagaimana fungsi penawarannya dan gambarkan fungsi penawaran tersebut pada Grafik
Kartesius.
Jawab :
Diketahui (Pı,Qsı) = (40.000, 500) dan ∆P = 1.250, ∆Qs = 250
Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus :
( P – Pı ) = m (Qs – Qsı)
dengan m = ∆P / ∆Qs
= 1250 / 250
= 5
maka
(P – 40.000) = 5(Qs – 500)
P – 40.000 = 5Qs + (5)(-500)
P – 40.000 = 5Qs – 2.500
P = 5Qs – 2.500 + 40.000
P = 5Qs + 37.500
15
Jadi fungsi penawarannya : P = 5Qs + 37.500
Gambar fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius :
P
P = 5Qs + 37.500
37.500
0 Qs
Catatan :
Gradien fungsi penawaran yang dinyatakan dengan rumus:
m = ∆ P nilainya senatiasa positif, sebab :
ΔQs
1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan penurunan jumlah barang yang
ditawarkan; menjadikan :
m = ∆ P = negatif = positif atau
∆Qs positif
1. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang
ditawarkan; menjadikan :
m = ∆ P = positif = positif]
∆Qd positif
4. Keseimbangan Pasar
Keseimbangan pasar atau ‘Eqiullibrium’ adalah suatu kondisi dimana keseimbangan harga (Pe)
tercapai
Keseimbangan harga (Pe) tercapai :
Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan
Qe ›› Qd = Qs Atau
Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan
Pe ›› P = P
Fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sebuah grafik Kartesius dengan keseimbangan harga
(Pe) dan keseimbangan
Kuantitasnya (Qe), digambarkan sebagai berikut :
P
P = f (Qs)
Pe
P = f(Qd)
0 Qe Qd
Contoh Soal :
1. Untuk suatu barang, pada harga Rp 6.000 pengusaha menawarkan barang tersebut sebanyak 30
buah, dan setiap kenaikan harga sebanyak Rp 2.000 maka jumlah barang yang ditawarkan juga
meningkat sebanyak 20. Pada harga Rp 5.000 jumlah pemintaan barang tersebut sebanyak 20 buah
dan untuk kenaikan harga menjadi Rp 10.000 jumlah permintaannya berkurang menjadi 10 buah.
Bagaimanakah fungsi permintaan dan fungsi penawaran barang tersebut ? Gambarkan kedua fungsi
tersebut pada sebuah Grafik Kartesius.
Jawab :
Mencari fungsi penawaran :
Diketahui (P1,Qs1) = (6.000,30) dan ∆P = 2000, ∆Qs = 20
Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus :
(P – P1) = m (Qs – Qs1)
Jumlah barang yang diminta = Jummlah barang yang ditawarkan
Qe ›› Qd = Qs
16
dengan m = ∆P / ∆Qs
= 2000 / 20 = 100
maka
(P – 6.000) = 100 (Qs – 30)
P – 6.000 = 100Qs + (100)(-30)
P – 6.000 = 100Qs – 3.000
P = 100Qs – 3.000 + 6.000
P = 100Qs + 3.000
Jadi fungsi penawarannya : P = 100Qs + 3.000
Mencari fungsi permintaan :
Diketahui (P1,Qd1) = (5.000,20) dan (P2,Qd2) = (10.000,10)
Fungsi permintaannya dicari dengan rumus :
P – P1 = Qd – Qd1
P2 – P1 Qd2 – Qd1
P – 5.000 = Qd – 20
10.000 – 5.000 10 – 20
P – 5.000 = Qd – 20
5000 -10
P – 5.000 = 5.000 (Qd – 20)
-10
P – 5.000 = -500(Qd – 20)
P – 5.000 = -500Qd + (-500) (-20)
P – 5.000 = -500Qd + 10.000
P = -500Qd + 10.000 + 5.000
P = -500Qd + 15.000
Jadi fungsi permintaannya adalah : P = -500 Qd + 15.000
Keseimbangan Kuantitas (Q) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan
-500Q + 15.000 = 100Q + 3.000
15.000 – 3.000 = 100Q + 500Q
12.000 = 600Q
Qe = 12.000
600
Qe = 20
Jadi keseimbangan kuantitas tercapai pada 20 unit barang. Untuk Keseimbangan Harga (Pe) diperoleh
dengan cara :
Pe = -500 Qe + 15.000 atau Pe = 100Qe + 3.000
Pe = -500 (20) + 15.000 Pe =100(20) + 3.000
Pe = -10.000 + 15.000 Pe = 2.000 + 3.000
Pe = 5.000 Pe = 5.000
Jadi keseimbangan harga tercapai pada harga Rp 5.000
Grafiknya digambarkan sebagai berikut :
P
P = 100 Qs + 3.000
Pe = 5.000
3000 P = -500 Qd + 15.000
0 Qe = 20 Qd, Qs
2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang diberikan sebagai berikut :
Qd = 11P dan Qs = -4 +2P
Dimanakah keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai ?
Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah grafik kartesius.
17
Jawab :
Keseimbangan harga (Pe) tercapai :
Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan
Qe ›› Qd = Qs
11 – P = -4 + 2P
11 + 4 = 3P + P
15 = 3P
Pe = 5
Jadi keseimbangan harga di pasar tercapai pada harga 5.
Sehingga keseimbangan kuantitasnya (Qe) dapat dicari :
Qe = 11 – P atau Qe = - 4 + 2P
Qe = 11 – 5 Qe = -4 + 2(5)
Qe = 6 Qe = -4 + 10
Qe = 6
Jadi keseimbangan kuantitas di pasar tercapai pada jumlah 6
Grafik digambarkan sebagai berikut :
Qd, Qs
Qs = -4 + 2P
11
Qe = 6
0 P
2 Pe = 5
-4 Qd = 11 - P
5. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut dinyatakan
dengan : tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar
Contoh Soal :
Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai
berikut : Qd = 11 – P dan Qs = -4 + 2P. Kepada produsen tersebut, pemerintah mengenakan pajak
dengan terif pajak sebesar t = 3 / unit barang.
(i). Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak.
(ii). Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut.
(iii). Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen.
(iv). Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen.
(v). Berapa total pajak yang diterima pemerintah.
(vi). Berapa total pajak yang ditanggung konsumen.
(vii). Berapa total pajak yang ditanggung produsen.
(viii). Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar di atas.
Sebelum ada pajak Sesudah ada pajak
(Tarif Pajak (t)
Fungsi Penerimaan P = f(Qd) P = f(Qd)
Fungsi Penawaran P = f(Qs) + t P = f(Qs)
18
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dikenakan pajak.
Dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan
keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Grafiknya digambarkan sebagai berikut :
Jika hendak digambarkan dengan fungsi P sebagai fungsi tegak dan fungsi Qd,Qs pada sumbu datar
maka kita harus melakukan perubahan sebagai berikut : Fungsi permintaan :
Qd = 11 – P atau P = 11 – Qd
Fungsi penawaran :
Qs = -4 + 2P atau Qs + 4 = 2P
Maka P = ½ Qs + 4/2
P = ½ Qs + 2
Gambarnya menjadi :
P
P = ½ Qs +2
Pe = 5
2P = 11 - Qd
0 Qe = 6 Qd,Qs
Akibat dikenakan pajak, maka
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak
demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya pajak maka fungsi penawaran mengalami
perubahan. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran
sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs + 5. Perubahan tersebut mengakibatkan terjadinya pergeseran
keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar.
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah dikenakan pajak
Keseimbangan kuantitas (Qe‟) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan
11 – Qe‟ = ½ Qe‟ + 5
11 – 5 = ½ Qe‟ + Qe‟
6 = 3/2 Qe‟ 12 = 3 Qe‟ Qe‟ = 4
Jadi keseimbangan kuantitas setelah kena pajak tercapai pada 4 unit barang. Untuk keseimbangan
Harga (Pe) diperoleh dengan cara :
Pe‟ = 11 – Qe‟ atau Pe‟ = 1/2Qe‟ + 5
Pe‟ = 11 – 4 Pe‟ = 1/2(4) + 5
Pe‟ = 7 Pe‟ = 2 + 5
Pe‟ = 7
Jadi keseimbangan harga setelah kena pajak tercapai pada harga 7
Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya pajak) yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di
pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum
kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs
+ 5. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum dikenakan pajak maupun yang sesudah kena
pajak ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½. Sedangkan intersepnya
berbeda satu sama lainya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki
Sebelum ada pajak Sesudah ada pajak
(Tarif Pajak (t))
Fungsi Penerimaan P = 11 - Qd
P = 11 - Qd
Fungsi Penawaran P = ½ Qs + 2 + t
P = ½ Qs + 2 + 3
P = ½ Qs + 5
P = ½ Qs + 2
19
gradien yang sama tetapi intersepnya masing-masing berbeda satu sama lainnya, maka jika
digambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar. Agar perubahannya
terlihat jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena pajak dan fungsi penawaran
setelah kena pajak digambarkan bersama-sama dalam sebuah Grafik Kartesius. Fungsi permintaan,
fungsi penawaran sebelum ada pajak, dan fungsi penawaran setelah ada pajak, serta keseimbangan
harga dan kuantitas sebelum ada pajak digambarkan di bawah ini :
P P = ½ Qs + 5
Pe = 7 E “ P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E
0 Qe‟ = 4 Qe = 6 Qd,Qs
Keterangan gambar :
E : keseimbangan sebelum ada pajak
Qe : keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak
Pe : keseimbangan harga sebelum ada pajak
E‟ : keseimbangan setelah ada pajak
Qe‟ : keseimbangan kuantitas setelah ada pajak
Pe‟ : keseimbangan harga setelah ada pajak
Adanya pengenaan pajak dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan :
1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga sebelum ada
pajak :
Pe‟ = 7 sedangkan Pe = 5;
Maka : Pe‟ > Pe
2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan kuantitas sebelum
ada pajak :
Qe‟ = 4 sedangkan Qe = 6
Maka : Qe‟ < Qe
Tarif pajak yang dikenakan oleh pemerintah kepda produsen t = 3/unit. Akan tetapi, produsen tidak
mau menaggungnya sendiri. Sebagian dari pajak tersebut dibebankannya kepada konsumen. Beban
tarif pajak yang dibebankan oleh produsen kepada konsumen terasakan oleh adanya kenaikan
keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe‟ = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tinggal
sisanya. Tarif pajak dan Total Pajak :
6. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah memberikan subsidi kepada para produsen. Subsidi tersebut dinyatakan dengan : tarif
subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar
Contoh soal :
Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai
berikut :Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2 P kepada produsen tersebut, pemerintah memberikan subsidi
dengan tarif subsidi dengan tarif subsidi sebesar s = 1 / unit barang.
i) Carilah keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sesudah ada subsidi.
ii) Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut.
iii) Berapa tarif subsidi yang diterima konsumen.
iv) Berapa tarif subsidi yang di terima produsen.
v) Berapa total subsidi yang diberikan pemerintah.
vi) Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen.
vii) Berapa total subsidi yang dinikmati produsen.
viii) Arsirlah total subsidi masing-masing pada gambar di atas.
20
Keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sebelum dikenakan subsidi.
Akibat dikenakan subsidi, maka dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan
harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Dari tabel di atas terlihat
bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi
penawaran. Akibat adanya subsidi maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran
sebelum ada subsidi adalah :
P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi :
P = ½ Qs + 1. perubaha tersebut mengakibatkan terjadinya pengeseran keseimbangan harga maupun
keseimbangan kuantitas di pasar.
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi
Keseimbangan kuantitas (Qe’) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan
11 – Qe’ = ½ Qe’ + 1
11 – 1 = ½ Qe’ + Qe’
10 = 3/2 Qe’
20 = 3 Qe’
Qe’ = 6, 67
Jadi keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi tercapai pada 6, 67 unit barang
Untuk keseimbangan harga (Pe’) diperoleh dengan cara :
Pe’ = 11 – Qe’ atau Pe’ = 1 / 2 Qe’ + 1
Pe’ = 11 – 6, 67 Pe’ = 1 / 2 (6, 67) + 1
Pe’ = 4, 33 Pe’ = 3,33 + 1
Pe’ = 4,33
Jadi keseimbangan harga setelah ada subsidi tercapai pada harga 4,33
Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya subsidi), yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di
pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum
ada subsidi adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = ½
Qs + 1. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum ada subsidi maupun yang sudah ada
subsidi ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½ . Sedangkan intersepnya
berbeda satu sama lainnya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki
gradien yang sama tetapi intersepnya masing- masing berbeda satu sama lainya, maka jika di
gambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar.
Agar perubahannya terlihat dengan jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena
subsidi dan fungsi penawaran setelah kena subsidi digambarkan bersama sama dalam sebuah Grafik
Kartesius.
P P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E P = ½ Qs + 1
Pe = 4,33 E′
0 Qe‟ = 6 Qe = 6,67 Qd,Qs
Keterangan gambar
E : Keseimbangan sebelum ada subsidi
Qe : Keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi
Pe : Keseimbangan harga sebelum ada subsidi
E’ : Keseimbangan setelah ada subsidi
Qe’: Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi
Pe’ : Keseimbangan harga setelah ada subsidi
21
Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan :
1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga selum
ada subsidi :
Pe’ = 4,33 sedangkan Pe = 5 ;
Maka : Pe’ < Pe
2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan kuantitas
sebelum ada subsidi :
Qe’ = 6,67 sedangkan Qe = 6
Maka : Qe’ > Qe
Tarif subsidi yang dikenakan oleh pemerintah kepada produsen s = 1 / unit.
Akan tetapi, produsen tidak menikmatinya sendiri. Sebagian dari subsidi tersebut diberikannya
kepada konsumen.
Tarif subsidi yang diberikan oleh produsen kepada konsumen tersakan oleh adanya penurunan
keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe’ = 4,33, sedangkan yang diterima produsen berarti
tinggal sisanya.
P P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E P = ½ Qs + 1
Pe = 4,33 E′
0 Qe‟ = 6 Qe = 6,67 Qd,Qs
Gambar yang menunjukan total subsidi.
Keterangan gambar :
Sp : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsisi yang dinikmati produsen.
Sk : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmatikonsumen.
S : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang diberikan pemerintah.
: merupakan penjumlahan antara luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang
dinikmati produsen dengan luas aera yang menggambarkan ukuran total subsidi yang
dinikmati konsumen S = Sk + Sp
7. Fungsi Penerimaan
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan
dengan R (Revenue) atau TR (total revenue). Fungsi penerimaan merupakan fungsi dari Output : R
= f (Q) dengan Q : jumlah produk yang laku terjual.
Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang
diproduksi dan laku terjual.
Jika P adalah harga jaul per unit, maka :
R = P x Q dengan P : Harga jual per unit dan
Q : jumlah produk yang dijual
Contoh :
Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 per unit barang. Bagaimanakah fungsi
permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut dengan Grafik.
Jawab :
R = P x Q
R = 5.000 Q
22
Gambar :
Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi penerimaan digambarkan melalui titik (0,0)
dengan gradiennya positif :
R = 5.000 Q
0
8. Fungsi Biaya
Dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost). Terdiri atas dua jenis fungsi biaya:
1. Fixed Cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak tergantung pada jumlah
produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya biaya tetap adalah fungsi
konstanta :
FC = k dengan k adalah konstanta positif
Contoh :
Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000. Bagaimanakah fungsi
biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada Grafik Kartesius?
Jawab :
FC = 100.000.000,
Gambar Fungsi Biaya Tetap :
FC = 100.000.000
0
2. Variabel Cost atau Fungsi Biaya yang berubah-ubah (VC).
Merupakan fungsi biaya yang besarnya tergantung dari jumlah produk yang diproduksi.
Jadi : VC = f(Q). Merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang
diproduksi.
Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil
dibandingkan harga jual per unit barang, maka
VC = P x Q dengan P : biaya produksi per unit dan
Q : Produk yang diproduksi
Contoh:
Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp 3.000 per unit.
Bagaimanakah fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut dengan grafik.
Jawab :
VC = P x Q
VC = 3.000 Q
Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi biaya variabel digambarkan melalui titik (0,0)
dengan grdiennya positif.
23
Gambar Fungsi Biaya Variabel :
VC = 3.000 Q
0
3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel.
TC = FC + VC
Contoh :
Untuk contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp
100.000.000 dan biaya variabelnya : 3.000Q, maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q.
Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradienya sama
dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa penggambaran fungsi total
biaya haruslah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik VC.
Gambar Fungsi Biaya Tetap, Biaya Variabel, total Biaya :
TC=100.000.000 + 3000 Q
VC= 3000 Q
FC =100.000.000
9. Analisis ‘Break-Even’
Yang dimaksud dengan ‘Break-Even’ yaitu suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun
tidak rugi. Hal ini disebabkan karena seluruh penerimaan perusahaan dibayarkan untuk menutup
biaya tetap maupun biaya variabelnya. Keadaan tersebut digambarkan sebagai berikut:
‘ Break-Even’ TR = TC
Jika penerimaan sudah dapat melebihi biaya-biaya yang dikeluarkan, baik biaya tetap maupun
biaya variabelnya, maka barulah perusahaan tersebut dapat menikmati keuntungan:
Untung : TR > TC
Jika penerimaan masih belum dapat menutup biaya-biaya yang dikeluarkan baik biaya tetap
maupun biaya variabelnya, maka perusahaan dinyatakan dalam keadaan merugi.
Rugi : TR < TC
Untuk lebih menjelaskan hal tersebut dibawah ini diberikan contoh.
Contoh Soal:
Dari contoh sebelumnya diperoleh bahwa
Fungsi Fixed Cost : FC = 100.000.000
Fungsi Variabel Cost: VC = 3.000 Q
Fungsi Total Cost : TC = 100.000.000 + 3.000 Q
Fungsi Revenue : R = 5.000 Q
Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup Biaya
tetapnya? Berapakah penerimaan yang diperoleh?
24
Berapakah produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup
seluruh biaya yang dikeluarkannya? Berapakah penerimaan yang diperoleh?Berapa produk yang
harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut mendapatkan keuntungan? Berapakah
kontribusi marginnya?
Jawab:
Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup biaya tetap :
TR = FC
5.000 Q = 100.000.000
Q’ = 20.000
Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya tetap yang dikeluarkannya, maka perusahaan tersebut
harus dapat memproduksi sebanyak 20.000 unit barang.
Tingkat penerimaannya : R = FC = 100.000.000
Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkan :
TR = TC
5.000Q = 100.000.000 + 3.000Q
5.000Q-3.000Q = 100.000.000
2000Q = 100.000.000
Q* = 50.000
Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya produksinya, maka perusahaan tersebut harus dapat
memproduksi sebanyak 50.000 unit barang.
Tingkat penerimaanya sama dengan total biaya, yaitu‟
R = TC = 5.000 x 50.000
= 250.000.000
Agar perusahaan dapat menikmati keuntungan, maka total penerimaan harus melebihi total biaya.
Untuk itu perusahaan harus memproduksi produk sebanyak lebih dari 50.000 unit dengan
penerimaannya akan lebih dari Rp 250.000.000
Kontribusi margin yaitu keuntungan per unit, maka
Kontribusi margin= Harga jual per unit – Biaya produksi per unit
Kontribusi margin= Rp 5.000 – Rp 3.000 = Rp 2.000
Keadaan ‘Break-Even Analysis’ tersebut digambarkan dalam grafik sebagai berikut :
TR
FC,VC,TC,R TR” TC
TC”
VC
TC‟
250.000.000 TR‟
FC
100.000.000
0 Q‟ Q* Q” Q
Keterangan gambar :
Q* : Pada titik ini, Q = 50.000, seluruh penerimaan sebesar Rp 250.000.000 dipergunakan
untuk menutup total biaya yang juga sebesarRp 250.000.000
Q‟ : Pada titik ini, Q = 20.000 seluruh penerimaan sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan
untuk menutup biaya tetapnya sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan untuk menutup
25
biaya tetapnya sebesar Rp100.000.000. Sekaligus dapat terlihat pada gambar bahwa
pada titik Q‟ terjadi TR‟ < TC‟; perusahaan Rugi
Q” : Untuk Q” terlihat bahwa TR” > TC”; perusahaan untung!
Kesimpulan yang diperoleh:
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat yang masih lebih rendah dari Q*, maka
perusahaan akan mengalami kerugian karena masih terjadi TR < TC.
Jika perusahaan berproduksi tepat pada Q*, maka perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun tidak mengalami kerugian karena terjadi TR = TC
Jika perusahaan sudah mampu berproduksi pada tingkat yang melebihi Q*, maka perusahaan akan memperoleh keuntungan karena sudah terccapai TR > TC.
PENERAPAN DALAM TEORI EKONOMI MAKRO
10. Fungsi Pendapat Nasional yang terdistribusi Menjadi fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan.
Pendapatan suatu negara terdistribusi karena digunakan untuk kebutuhan konsumsi dan sisanya,
jika ada, ditabung; dinyatakan dengan fungsi :
Y = C + S Y = Pendapatan Nasional (National Income)
C = Konsumsi (Comsumption)
S = Tabungan (Saving)
Fungsi konsumsi dinyatakan dengan fungsi :
C = Co + bY Co = Autonomous Consumption, Co > 0
B = Marginal Propensity to Consume, 0 < b < 1
Keterangan :
Co = Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan.
b = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Fungsi tabungannya diperoleh dari :
Y = C + S
Y = (Co + By) + S
Y – (Co + By) = S
Y – Co – b S = S
Y – Co – by = S
Y(1 – b) – Co = S
- Co + (1 – b)Y = S
atau S = - Co + (1-b)Y – Co : Autonomous Saving, Co > 0
(1 – b ) : Marginal Propensity to Save,
0 < (1 – b) < 1
- Co = Tabungan yang tidak tergantung pada besarnya pendapatan.
(1 – b) = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Marginal propensity to consume : b
Marginal propensity to save : 1 – b
Karena :
B + (1 – b) = 1
Maka MPC + MPS = 1
26
Contoh Soal :
Suatu negara diketahui memiliki konsumsi otonominya sebesar Rp 300.000.000.
Marginal propensity to save-nya sebesar 0,45.
Bangunlah fungsi konsumsinya !
Bangunlah fungsi tabungannya !
Berapa yang dikonsumsi jika pendapatan nasional 1 miliar?
Berapakah yang ditabung jika pendapatan nasional 1 miliar?
Pada pendapatan nasional berapakah dimana tidak ada yang ditabung?
Gambarkan fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dan fungsi pendapatan nasional pada sebuah grafik!
Jawab :
Fungsi konsumsinya:
C = Co + bY
C = 300.000.000 + (1 – 0,45)1.000.000.000
C = 300.000.000 + 0,55 Y
Fungsi tabungannya :
S = - 300.000.000 + 0,45 Y
Jika pendapatan nasionalnya 1 miliar:
Fungsi konsumsi:
C = 300.000.000 + 0,55 x 1.000.000.000
C = 300.000.000 + 550.000.000
C = 850.000.000
Fungsi tabungan:
S = - 300.000.000 + 0,45 x 1.000.000.000
S = - 300.000.000 + 450.000.000
S = 150.000.000
Jadi pada tingkat pendapatan nasional sebesar 1 miliar, maka Rp 850.000.000 dipergunakan
untuk kebutuhan konsumsi dan Rp 150.000.000 ditabung.
Tidak ada pendapatan yang dapat ditabung, artinya S = 0
Y = C + S
Y = C + 0
Y = C
Tidak ada pendapatan yang ditabung maka berarti seluruh pendapatan habis dikonsumsi.
Tingkat pendapatan yang akan seluruhnya habis dikonsumsi yaitu :
Y = Co + bY
Y – bY = Co
Y ( 1 – b ) = Co
Coxb
Y )1(
1
CoxY )55,01(
1
27
000.000.300 )45,0(
1xY
Y = 2,22 x 300.000.000
Y = 666.000.000
Jadi pada tingkat pendapatan sebesar Rp 666.000.000 seluruh pendapatan dikonsumsi.
Gambar Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan, dan Fungsi Pendapatan Nasional diberikan bawah ini
:
C,S,Y Y = C Y = C + 5
C = 300.000.000 + 0,55Y
300.000.000
S = - 300.000.000 + 0,45Y
0 Saving Y
S = 0
Disaving
- 300.000.000
11. Fungsi Pendapatan Nasional yang Dihitung Melalui Pendekatan Pengeluaran
Untuk menghitung besarnya pendapatan nasional suatu negara, salah satu pendekatannya adalah
dengan menghitung pengeluaran dari masing-masing sektor. Sektor-sektor yang mungkin terlibat
dalam perhitungan tersebut ialah :
1. Sektor rumah tangga, di mana pengeluarannya dikenal sebagai konsumsi (C)
2. Sektor pengusaha, di mana pengeluarannya dikenal dengan investasi (I)
3. Sektor pemerintah, di mana pengeluarannya yaitu pengeluaran pemerintah (G)
4. Sektor perdagangan luar negeri, terdiri atas ekspor dan impor (X – M)
Jika yang terlibat sektor rumah tangga dan pengusaha, maka model pendapatan nasionalnya ditulis :
Y = C + I
Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha dan pemerintah, maka model pendapatan
nasionalnya ditulis :
Y = C + I + G
Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha, pemerintah, dan perdagangan luar negeri maka
model pendapatan nasionalnya ditulis :
Y = C + I + G + ( X – M )
Pendapatan Disposibel ( Yd )
Yang dimaksud dengan pendapatan disposibel yaitu pendapatan yang dapat langsung dikonsumsi.
Jika ada ‘transfer payment’ ( R ), maka pendapatan diposibel merupakan penjumlahan antara
pendapatan dengan ‘trasfer payment’ : Yd = Y + R
Jadi ‘trasfer payment’ menambah pendapatan disposibel.
Jika ada pajak (T), maka pendapatan baru menjadi pendapatan disposibel setelah dikurangi dengan
pajak : Yd = Y + T
Jadi pajak mengurangi pendapatan disposibel.
Jika ada pajak dan ‘transfer payment’, maka haru dipertimbangkan keduanya :
Yd = Y + R – T
28
Jika tidak ada pajak maupun ‘trasfer payment’ maka pendapatan disposibel adalah merupakan
pendapatan : Yd = Y
Trasfer Payment’ ( R )
Yang dimaksud dengan ‘trasfer payment’ yaitu pembayaran yang dialihkan, misalnya tunjangan
kesehatan, tunjangan hari raya, dan lain-lain.
Pajak (T)
Pajak terdiri atas dua jenis :
1. Pajak yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : To ( Autonomous Tax ), To > 0
2. Pajak yang bergantung pada besarnya pendapatan : tY ; t ( income tax rate ), 0 < T < 1 maka
alternatif fungsi pajaknya :
Jika tidak ada pendapatan : T = To
Jika ada pendapatan : T = tY atau T = To + tY
Fungsi Konsumsi ( C )
Konsumsi terdiri atas dua jenis :
1. Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : Co (Autonomous Consumtion), Co
> 0
2. Konsumsi yang bergantung pada besarnya pendapatan : bY ; b (marginnal propensity to
consume), 0 < b < 1
maka alternatif fungsi konsumsinya :
Jika tidak ada pendapatan : C = Co
Jika ada pendapatan dan ada pajak :
C = b Y d atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y – T
maka: C = b (Y – T) atau C = Co + b (Y – T)
Jika ada pendapatan dan ‘trasfer payment’ :
C = b Yd atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y + R
Maka : C = b (Y – R) atau C = Co + b (Y + R)
Jika ada pendapatan, pajak dan ‘trasfer payment’ :
C = b Yd atau C = Co + bYd, dimana Yd = Y + R – T
Maka : C = b (Y + R – T) atau C = Co + b (Y + R – T)
Jika ada pendapatan tetapi tidak ada pajak dan ‘trasfer payment’ :
C = Co + bYd atau C = b Y, dimana Yd = Y
Maka : C = Co + b Y atau C = b Y
Fungsi Investasi
1. Fungsi investasi merupakan variabel eksogen yang tidak dipengaruhi oleh tingkat suku bunga,
maka ditulis : I = Io
2. Jika dipengaruhi oleh tingkat suku bunga ditulis :
I = Io – i r, r : tingkat suku bunga
I : proporsi I terhadap i
Fungsi Pengeluaran Pemerintah
Pengeluaran pemerintah terdiri atas :
1. Pengeluaran pemerintah yang tidak bergantung pada pendapatan : G (Government Expenditure),
Go > 0
29
2. Pengeluaran pemerintah yang bergantung pada pendapatan : gY ; g (proporsi pengeluaran
pemerintah terhadap pendapatan, 0 < g < 1 maka alternatif fungsi pengeluaran pemerintah :
Jika tidak ada pendapatan : G = Go
Jika ada pendapatan : G = gY atau G = Go + gY
Fungsi Ekspor
Fungsi Investasi merupakan variabel eksogen, maka ditulis : X = Xo
Fungsi Impor
Impor terdiri atas :
1. Impor yang tidak bergantung pada pendapatan : M (Autonomous Import), Xo > 0
2. Impor yang bergantung pada pendapatan : mY;m (marginal propensity to import), 0 < m < 1
maka alternatif impor :
Jika tidak ada pendapatan : M = Mo
Jika ada pendapatan : M = mY atau M = Mo + mY
Variabel Eksogen
Variabel eksogen adalah variabel yang nilainya tidak diperoleh dari perhitungan model.
Biasanya dilambangkan dengan simbol yang diberi tambahan „0‟, seperti : Co, To, Io, Go, Xo, Mo
Variabel Endogen
Variabel endogen adalah variabel yang nilainya diperoleh dari perhitungan model.
Parameter
Diberi lambang dengan huruf kecil.
Contoh Soal :
1. Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption :
masyarakatnya sebesar 135. Marginal Propensity to Consume (MPC) = 0,8 Investasinya = 75
Pengeluaran pemerintah = 30.
Ada berapa variabel eksogen, variabel endogen dan parameternya ?
Bagaimanakah model pendapatan nasionalnya serta angka penggandaannya ?
Carilah semua nilai dari variabel endogenya ?
Jawab : Diketahui Co = 135, b = 0,3 , Io = 75, Go = 30
Yang terlibat tiga sektor, yaitu : sektor rumah tangga, sektor pengusaha dan Pemerintah :
Model Pendapatan Nasionalnya :
Y = C + I + G
di mana C = Co + b Y
I = Io
G = Go
maka Y = (Co + b Y) + Io + Go
Y = Co + b Y + Io + Go
Y – b Y = Co + Io + Go
Y(1 – b) = Co + Io + Go
)( )1(
1GoIoCox
bY
Angka penggandaan untuk 52,0
1
)8,01(
1
)1(
1
b
30
Model di atas
Ini berarti bahwa jika terjadi peningkatan faktor – faktor ‘autonomous consumption’ (Co),
‘investment’ (lo), ataupun ‘government expenditure’ (Go) sebanyak satu, maka akan
menyebabkanpeningkatan pendapatan nasional (Y) sebanyak lima kali.
Variabel eksogennya ada tiga, yaitu :
1. Autonomous Consumption (Co)
2. Investment (lo)
3. Government Expenditure (Go)
Parameternnya ada satu, yaitu :
‘Marginal Propensity to Consume’ (b)
Variabel endogennya ada dua, yaitu:
1. Pendapatan nasional (Y)
2. Consumtion (C)
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (y):
)( )1(
1GoIoCox
bY
)3075135( )8,01(
1xY
)240( )2,0(
1xY
Y = 5 (240) = 1200
Menghitung variabel endogen konsumsi(C):
C = Co + bY
C = 135 + 0,8 Y
C = 135 + 0,8 (1200)
C = 135 + 960
C = 1095
2. Autonomous consumption suatu negara = 100, dengan MPS-nya = 0,4 dari pendapatan
disposibel. Investasi nasionalnya = 40 dan autonomous tax = 50. Carilah model pendapatan
nasional ? Hitunglah angka penggandaannya ? Carilah semua nilai variabel endogennya ?
Jawab :
Diketahui : Co = 100 , MPC = 1 – MPS , lo = 40 , To = 50 = 1 – 0,4 = 0,6
Ada dua sektor yang terlibat yaitu : sektor rumah tangga dan sektor pengusaha.
Model pendapatan nasionalnya :
Y = C + I
dimana C = Co + b Yd
Yd = Y – To
I = lo
Sehingga Y = Co + b (Y – To) + lo
Y = Co + bY – b To + lo
Y - bY = Co – bTo + lo
Y (1 – b) = Co – b To + lo
31
Y = 1 (Co – b To + lo)
(1 – b)
Angka penggandaan : 1 = 1 = 1 = 2,5
(1 – b) (1 – 0,6) 0,4
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) :
)( )1(
1IobToCox
bY
)4050)6,0(100( )6,01(
1xY
)4030100( )4,0(
1xY
Y = 2,5 (110)
Y = 275
Jadi pendapatan nasionalnya sebesar 275
Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) :
C = Co + b Yd
C = Co + b (Y – To)
C = 100 + 0,6 (Y – 50)
C = 100 + 0,6 (275 – 50)
C = 100 + (0,6) (225)
C = 100 + 135
C = 235
3. Pengeluaran di sektor pengusaha = 90, sedang pengeluaran di sektor pemerintah = 65.
Transaksi ekspor terhitung = 80. Transaksi impor terhitung = 40 dengan marginal propensity to
import = 0,19. Konsumsi masyarakatnya terlihat dari fungsi sebagai berikut : C = Co + b Y di
mana autonomous consumption = 70 dan MPC = 0,9
Dinyatakan :
Carilah model pendapatan nasional ?
Hitung angka penggandaannya ?
Carilah nilai variabel endogennya ? Jawab : Diketahui lo = 90, Go = 65, Xo = 80, Mo = 40, m = 0,19, Co = 70, b = 0,9
Semua sektor terlibat sehingga model pendapatan nasionalnya ;
Y = C + I + G + (X – M)
di mana C = Co + b Y
C = 70 + 0,9 Y
I = lo = 90
G = Go = 65
X = Xo = 80
M = Mo + mY
= 40 + 0,19 Y
sehingga Y = C + l + G + (X – M)
Y = (Co + bY) + lo + Go + (Xo – Mo + mY)
Y = Co + bY + lo + Go + Xo + Mo + mY
32
Y – bY + mY = Co + lo + Go + Xo – Mo
Y (1 – b + m) = Co + lo + Go + Xo – Mo
)( )1(
1MoXoGoIoCo
mbY
Angka Penggandaannya
448,329,0
1
)91,09,01(
1
)1(
1
mb
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) :
)( )1(
1MoXoGoIoCo
mbY
)4080659070( )19,09,01(
1Y
)652( )29,0(
1Y
Y = 3,448 ( 265 )
Y = 913,72
Jadi pendapatan nasionalnya = 913,72
Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) :
C = Co + bY
C = 70 + 0,9 (913,72)
C = 892,348
Jadi konsumsinya = 892,348
Menghitung variabel endogen impor ( M ) :
M = Mo + mY
M = 40 + 0,19 (913,72)
M = 213,6068
Jadi impornya = 213,6068
33
BAGIAN 3
Tujuan Umum
Mempelajari perubahan variabel terikat perubahan variabel bebasnya, di mana perubahan variabel
bebasnya erupakan perubahan yang sangat kecil sekali. Juga dipelajari perbandingan antara perubahan
variabel terikat tersebut dengan perubahan variabel bebasnya yang disebut “kuosien Difference”. Juga
dipelajari kaidah-kaidah Diferensial serta jenis-jenis diferensial yang terdiri atas Diferensial Biasa,
Diferensial Parsial, dan Diferensial berantai.
Tutjuan Khusus
1. Mempelajari penerapan Diferensial Biasa seperti mencari laju pertumbuhan, fungsi arjinal,
menghitung elastisitas dan enghitung optiasi, seperti maksimasi pendapatan atau miniasi biaya.
2. Mepelajari Penerapan Diferensial Parsial, seperti enghitung Price Elasticity of Deand, Cross
Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand. Menghitung Optimasi untuk dua variabel
serta mmencari Marginal Rate of Technical Substitusi.
3. Mempelajari Penerapan Diferensial Berantai seperti dalam fungsi produksi menghitung Marginal
Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, arginal Revenue Product of
Capital dan Marginal Revenue Product of Labor.
PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL
DALAM BISNIS DAN EKONOMI
B. PERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
Penerapan Teori Diferensial Biasa
Teori Diferensial biasa diterapkan dalam berbagai masalah diantaranya untuk mencari :
I. Laju Pertumbuhan
II. Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum)
III. Elastis titik: Analisis Fungsi dan Grafis.
1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)
Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi.
Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu variabel terikat akibat perubahan variabel
bebasnya. Secara umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi
Marginalnya dy/dx : laju perubahan y akibat perubahan x sebanyak 1 unit. Lebih jauh lagi :
Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan searah; artinya jika x bertambah 1 unit
maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula.
Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan perubahannya tidak searah, yang artinya jika x
bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah.
Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue)
1. Fungsi permintan diberikan P = 3Q+27, di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah
fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika
perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya.
Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue)
R = P.Q
R = (3Q+27).Q
R = 3Q2+27Q
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue)
MR = dR/dQ = 6Q + 27
KONSEP DASAR TEORI DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM
BISNIS DAN EKONOMI
34
Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka
MR = dR/dQ = 6Q + 27 = 6(10) + 27 = 60 +27 = 87
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan
adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang
dijual sebanyak 1 unit akan banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87
2. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan.
Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal
pendapatanya jika perusahaan memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya.
Jawab:
Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu menjadi
P = 6/5 –1/5Q
Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue):
R = P.Q
R = (6/5 – 1/5Q) Q R = 6/5Q-1/5Q2
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue):
MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1, maka
MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5
artinya :untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan
adanya tambahan pendapatan sebesar 4/5,sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang
dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5, sebaliknya
untuk setiap penurunan
3. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue) diberikan AR = 80 – 4 Q
Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal
pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7 output, serta terangkan artinya.
Jawab:
Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) :
R = AR . Q
R = (80 – 4 Q) Q
R = 80 Q – 4 Q2
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) :
MR = dR/dQ = 80 - 8 Q
Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, maka
MR = dR/dQ = 80 - 8(7) = 80 – 56 = 24
Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya
tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual
sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24.
4.Fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan AR = 30. e Q/2
Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal
pendapatannya jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan artinya.
Jawab :
Funsi total pendapatan (Total Revenue) :
R=AR.Q
R=(30.e Q/2)Q
R=30Q.e Q/2
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) :
Dengan mengambil U = 30 Q. Sehingga U‟=30
Dan V = e Q/2 Sehingga V‟=1/2.e Q/2
Maka MR= dR/dQ = U‟ V+U V‟
= 30.e Q/2+30 Q.1/2.e Q/2
= 30.e Q/2+15 Q. e Q/2
= e Q/2(30+15 Q)
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 2
Maka MR = dR/dQ = e Q/2 ( 30+15 Q) = e 2/2 ( 30+15.2) = 60 e
35
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang di jual 1 unit akan menyebabkan adanya
tambahan pendapatan sebesar 60 e, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual
sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 60 e.
Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost)
5. Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut:
C = Q3 - 4Q
2 + 10Q + 75
Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) dan berapakah nilai marginal biaya
tersebut jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan arti.
Jawab:
Fungsi total biaya (total biaya):
C = Q3 - 4Q
2 + 10Q + 75
Fungsi Marginal Biaya (marginal cost):
C‟ = 3Q2 - 8Q + 10
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2, maka
MC = C‟= 3Q2 - 8Q + 10 = 3(2)
2 - 8(2) + 10 = 12 – 16 + 10 = 6
Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan
adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual
sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6.
Optimasi Satu Variabel
(Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum)
Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasa diajukan. Misalkan untuk fungsi
dengan satu variabel y= f (x), permasalahannya:
i. Berapakah x yang akan memberikan y optimum? Jika itu telah terjawab, maka pertanyaan
selanjutnya baru bisa dijawab yaitu:
ii. Berapakah y yang optimum tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskan dibawah ini:
Untuk fungsi yang mengandung satu variabel y= f(x)
Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue)
1. Harga jual barang P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar
diperoleh total pendapatan maksimum.
Jawab:
Fungsi total pendapatan:
P = - 2Q + 16
R = P.Q = (- 2Q + 16) Q
R = - 2Q2 + 16Q
Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total pendapatan kemudian dibuat = 0
R‟ = - 4Q + 16 = 0
4Q = 16
Q = 4
Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akan diperoleh total pendapatan
maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total
pendapatan:
R” = - 4
Ternyata R” = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum
Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu
sebanyak 4.
Total pendapatan maksimumnya:
R = - 2Q2 + 16Q
R = - 2(4)2 + 16(4)
R = 32
Maksimum Minimum
Langkah I
Langkah II
Y‟ = 0
Y” < 0
Y‟ = 0
Y” > 0
Diperoleh titik X
Menjamin Nilainya Optimum
(Maksimum atau Minimum)
36
Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum
sebesar 32.
Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan (marginal revenue)
2. Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar
diperoleh marginal pendapatan maksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum
tersebut?
Jawab:
Fungsi permintaan: P = 16 - 2Q
Fungsi total pendapatan: R = P.Q = (16 - 2Q) Q
= 16Q – 2Q2
Fungsi marginal pendapatan: MR = 16Q - 2Q2
Turunan pertama: MR‟ = 16 - 4Q = 0
16 = 4Q
Q = 4
Turunan kedua: MR” = - 4 < 0
Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum
sebanyak 4.
Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q2
= 16(4) - 2(4)2
= 48
contoh soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost)
3. Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q2 - 1000Q + 85000
Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum?
Berapakah total biaya minimum tersebut?
Jawab:
C = 5Q2 - 1000Q + 85000
C‟= 10Q – 1000 = 0
10Q = 1000
Q = 100
C” = 10 > 0
Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit.
Total biaya minimumnya sebesar:
C = 5Q2 - 1000Q + 85000
C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000
C = 35000
Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000
Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost)
4. Biaya total dinyatakan dengan C (Cost) = Q3 -90Q
2 + 2800Q + 56500
Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal biaya minimum?
Berapakah marginal biaya minimum tersebut?
Jawab:
Fungsi total biaya: C = Q3
- 90Q2 + 2800Q + 56500
Fungsi marginal biaya: MC = 3Q2 - 180Q + 2800
Turunan pertama: MC‟= 6Q – 180 = 0
6Q = 180
Q = 30
Turunan kedua: MR” = 6 > 0
Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal biaya minimum sebanyak 30.
Marginal biaya minimum: MC = 3Q2 - 180Q + 2800
= 3(30)2 - 180(30) + 2800
= 100
Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 30 unit:100
37
Contoh soal : Memaksimasi laba / keuntungan / provit
5. Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut:
P = 1000 - 2Q Dan C = Q3
- 59Q2 + 1315Q + 2000
Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang
maksimum ? Berapakah laba maksimum tersebut ?
Jawab:
Fungsi pendapatan: R = P.Q
R = (1000 - 2Q).Q
R = 1000 Q - 2 Q2
Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q
2 +1315Q + 2000
Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya
Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q
3 - 59Q
2 + 1315Q + 2000)
Laba = - Q3 + 57Q
2 - 315Q - 2000
Turunan pertama: Laba = -3Q2 + 114Q - 315
= Q2 - 38Q + 105
= (Q - 3) (Q - 35) = 0
Q1 = 3 Dan Q2 = 35
Turunan kedua: Laba” = - 6Q + 114
Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.
Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum.
Laba maksimum nya sebesar :
Laba = - Q3 + 57Q
2 - 315Q - 2000
= - (35)3 + 57(35)
2 - 315(35) - 2000
= 13925
Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum
sebanyak : 13925
Contoh soal: Memaksimasi Penerimaan Pajak
Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak
penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang di produksi dan di jual oleh
pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu
pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di
peroleh pajak maksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q* di mana t: tarif
pajak yang di kenakan pemerintah dan Q*= Jumlah output yang di produksi dan di jual
pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya
pajak.
Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah:
Laba = pendapatan – (biaya + pajak)
= R – (C+T), R: Pendapatan
= R – C – T C: Biaya
= R – C – t Q T: Pajak
Q :Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh pengusaha, yang memberikan laba
maksimum setelah mempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah.
6. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut :
R = 15Q - 2Q2 Dan C = 3Q
Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar
pemerintah memperoleh total pajak maksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang di
peroleh ?
Jawab:
Dari sudut pandang pengusaha:
Laba = R – C – t Q
= 15 Q – 2 Q2 – 3Q – t Q
= -2 Q2 + 12Q – t Q
Turunan pertama: Laba‟ = - 4Q + 12 – t = 0
12 – t = 2Q
38
2Q = 12 - t
Q* = 12 - t
4
Q* = b – ¼ t
Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0
Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 3 – ¼ t, pengusaha akan memperoleh laba
maksimum.
Dari sudut pandang pemerintah:
Pajak: T =t (3 – ¼ t)
=3t – 1/4 t2
Turunan pertama: T1 = 3 – ½ t = 0
T = 6
Turunan ke dua : T” = -½
Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6
Karena Q* = 3 ¼ t = 3 – 6/4 (6) = 3 – 1,5 = 1,5
Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 1,5 = 9
Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9
Contoh soal:
7. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk di nyatakan sebagai berikut:
R = 360 Q – 10,5 Q2 Dan C = 100 Q – 4 Q
2
Berapakah produk harus di buat dan di jual perusahaan agar di peroleh laba maksimum?
Berapakah laba maksimum tersebut?
Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang
harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut?
Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah?
Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah di kenakan pajak ?
Jawab:
Dari sudut pandang pengusaha:
Laba = R – C – t Q
= 360 Q – 10,5 Q2 – (100 Q – 4 Q
2) – t Q
= 360 Q – 10,5 Q2 – 100 Q + 4 Q
2 – t Q
= 260 Q – 6,5 Q2 – t Q
Turunan pertama: Laba‟ = 260 – 13 Q – t = 0
260 – t = 13 Q
Q = 260 – t
13
Q*= 20 – 1 t
13
Turunan ke dua : Laba‟‟ = - 13 < 0
Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 – 1/ 13 t, pengusaha akan memperoleh laba
maksimum.
Dari sudut pandang pemerintah:
Pajak: T = t Q*
= t (20 – 1/13 t)
= 20 t – 1/3 t 2
Turunan pertama : T‟ = 20 – 2/13 t = 0
20 = 2/13 t
t = 130
Turunan ke dua : T‟‟ = - 2/13
Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar : 130
Karena Q2 = 20 – 1 t
13
= 20 – 1 (130)
13
= 20 – 10
= 10
39
Maka
Total pajak maksimum:
T = t . Q*
= 130 . 10
= 1300
Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300.
Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya:
Laba = 260 Q – 6,5Q2 – t Q
= 260 (10) – 6,5(10)2 – (130)(10)
= 2600 – 65 – 1300
= 1235
Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235
Contoh soal : Meminimasi Total Biaya Persediaan
Dalam hal persediaan, manajemen perusahaan senantiasa di perhadapkan kepada permasalahan
yaitu jika jumlah persediaan bahan mentah maupun persediaan barang jadi di perhitungkan
banyak, hal itu berarti menimbulkan biaya penyimpanan. Akan tetapi, sebaliknya jika
persediaan bahan mentah di perhitungkan sedikit saja, maka akan ada resiko yaitu menimbulkan
hambatan dalam proses produksi. Demikian pula jika persediaan barang jadi di perhitungkan
sedikit maka akanmenimbulkan keluhan pada konsumen akibat kelangkaan barang
(permasalahan dalam pemasaran). Jika kelangkaan barang tersebut terjadi berlarut-larut, maka
pada akhirnya para konsumen akan mencoba untuk menutup kebutuhannya dengan cara melirik
produk dari pesaing. Hal tersebut kemudian berdampak dapat mengakibatkan perusahaan yang
bersangkutan kehilangan pelanggan, kehilangan pangsa pasarnya. Perusahaan tersebut, untuk
kemudian akan sangat sulit jika berusaha untuk mencoba mengembalikan pangsa pasarnya
kembali karena berhubungan dengan kepercayaan pelanggan serta di butuhkan investasi yang
sangat besar misalkan untuk biaya pemasarannya (periklanannya)
Biaya- biaya yang ada hubungan dengan masalah persediaan, di antaranya:
1. biaya pemesanan,
2. biaya penyimpanan,
3. biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan sehingga menghambat proses
produksi atau pemasaran.
Model yang akan di bahas dalam buku ini yaitu: model pengendalian persediaan dengan
kedatangan berkala (batch arrival model). Model pengendalian persediaan dengan kedatangan
berkala dalam model ini di asumsikan bahwa :
1. Jumlah kebutuhan barang, yang berarti jumlah pemesanan barang, dalam suatu periode
waktu tertentu di ketahui jumlahnya tetap dari tiap-tiap periode waktu.
2. biaya pemesanan tidak bergantung pada jumlah barang.
3. tidak terjadi kekurangan persediaan sehingga tidak ada biaya yang di timbulkan akibat
kekurangan persediaan.
4. sub-periode kedatangan panjangnya tetap.
Pola kedatangan barang persediaan digambarkan seperti gambar berikut ini:
Persediaan ( Q )
Q/2 Jumlah Rata-rata Persediaan
Waktu
D: kebutuhan jumlah barang per periode waktu yang kemudian dibagi sama besar menjadi
beberapa kali pemesanan
Q: jumlah pemesanan per sub-periode waktu
C: biaya total persediaan
C: biaya pemesanan setiap kali memesan
40
C2: biaya penyimpanan per-periode waktu
Masalahnya adalah berapa unit barang yang harus dipesan setiap kali pemesanan (Q) agar biaya
total persediaan (C) minimum. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka akan dihitung total
biaya pemesanan dan total biaya penyimpanan sebagai berikut:
Total biaya pemesanan:
Misalakan dibutuhkan 100 kg yang akan dipesan sebanyak 25 kg, maka D = 100 dan Q = 25
sehingga setiap periode waktu akan ada kedatangan akibat pemesanan sebanyak D/Q dengan
biaya total pemesanan: (D/Q) C1.
Total biaya penyimpanan:
Rata-rata sepanjang periode waktu terdapat Q/2 persediaan sehingga biaya total penyimpanan
per periode waktu: (Q/2) C2
Jadi total biaya persediaan = total biaya pemesanan + total biaya penyimpanan
C = D
Q C1 +
2
Q C2
Yang menjadi permasalahan adalah berapakah jumlah unit atau barang yang harus dipesan agar
dapat diperoleh total biaya persediaan yang minimum? Untuk menjawab permasalahan tersebut,
perlu dicari: jumlah produk yang harus dipesan setiap kali pemesanan sehingga diperoleh total
biaya persediaan yang minimum:
Total biaya persediaan: C = D
Q C1 +
2
Q C2
= D.Q1 . C1.
2
QC2
Turunan pertama: C′ = D.C1.(-1) .Q-2
+ ½ C2 = 0
–D.C1 + ½ C2 = 0
Q2
½ C2 = –D.C1
Q2
Q
2 = –D.C1
½ C2
Q =
2
1.2
C
CD
Turunan kedua: C” = 2D.C1 > 0 menjamin biaya persediaan minimum.
Q3
Contoh soal:
8. seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 100 kg setiap bulan. Biaya
pemesanan setiap kali memesan sebesar Rp. 2500 per-pemesanan, sedangkan biaya
penyimpanannya Rp. 50 per-minggu.
Berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan?
Berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan?
Berapakah total biaya persediaan minimumnya?
Jawab:
Jika diketahui bahwa:
D : Jumlah total pemesanan per-bulan:100 kg
C1: Biaya pemesanan: Rp. 2500
C2: Biaya penyimpanan: Rp. 50 per-minggu = Rp 200 per-bulan.
Jumlah yang harus dipesan:
Q =
2
1.2
C
CD
Q = 200
2500.100.2
Q = 50
41
Jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 50 kg. Dalam waktu satu bulan dilakukan
pemesanan sebanyak: D/Q = 100/50 =2 kali pemesanan.
Total biaya persediaan: C = D
Q C1 +
2
Q C2
C = 50
1002500 +
2
50200
C = 10.000
Jadi total biaya persediaan minimum : Rp 10.000
Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis.
Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibat adanya perubahan variabel bebasnya.
Misal: y = f(x), maka seberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut „elastisitas y terhadap
x‟. Di tulis Eyx.
Analisis fungsi Untuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahui fungsinya, digunakan
Rumus: Eyx = y/y atau Eyx = y/ x
x/x y/x
untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx
y/x
contoh soal: Elastisitas Permintaan
1. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut: Qd = 8 - 0,5 P
Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P1 = 4, P2 = 8, dan P3 = 12
Jawab:
Untuk titik P1 = 4 maka Qd = 8 - 0,5(4) = 8 – 2 = 6
Jadi EQDP1 = 4 = dQd/dP1= -0,5 = -0,5 . 4 = -1
Qd / P1 6/4 6 3
Besar elastisitas permintaan dititik P1 = 4 adalah -1/3
Jenis elastisitas permintaan dititik P1 = 4 adalah 3/1E =1/3 <1 (INELASTIS)
Untuk titik P2 = 8 maka Qd = 8 - 0,5(8) = 8 – 4 = 4
Jadi EQDP2 = 8 = dQd/dP2 = -0,5 = -0,5.8 = -1
Qd/P1 4/8 4
Besar elastisitas permintaan dititik P2 = 8 adalah -1
Jenis elastisitas permintaan dititik P2 = 8 adalah 1E = 1 (UNITARY ELASTIS)
Untuk titik P3 = 12 maka Qd = 8 - 0,5(12) = 8 – 6 = 2
Jadi EqdP3 =12 = dQd/dP3 = -0,5 = -0,5.12 = -3
Qd/P3 2/12 2
Besar elastisitas permintaan dititik P3 = 12 adalah -3
Jenis elastisitas permintaan dititik P3 = 12 adalah 3E E = -3 = 3 > 1 (ELASTIS)
Analisa Grafis: Elastisitas permintaan
Contoh soal:
4. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan:
Qd = 8 – 0,5 P, Grafik fungsinya:
Qd EQDP1=4 = 416
04 =
12
4 =
3
1
EQDP2=8 = 816
08 =
8
8 = 1
EQDP3=12 =
1216
012=
4
12 = 3
P
42
Contoh soal: Elastisitas penawaran
5. Di berikan fungsi penawaran sebagai berikut: Qs = 6 + 2P
Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P1 = 4, P2 = 8, Dan P3 = 12
Jawab:
Untuk titik P1 = 4 Maka Qs = 6 + 2(4) = 6 + 8 = 14
Jadi E QdP1 = 4 = dQs/Dp1= + 2 = + 2 . 4 = 8 = 4
Qs/P1 14/4 14 14 7
Besar elastisitas permintaan di titik P1 = 4 adalah 7
Jenis elastisitas permintaan di titik P1 = 4 adalah E = +4/14 = 7 < 1 (INELASTIS)
Untuk titik P2 = 8 maka Qs = + 2 (8) = 6 + 16 = 22
Jadi E QdP2 = 8 = dQs/Dp2 = + 2 = + 2 . 8 = 16 = 8
Qs/P2 22/8 22 22 11
Besar elastisitas permintaan di titik P2 = 8 adalah 8/11
Jenis elastisitas permintaan di titik P2 = 8 adalah E = 8/11 < 1 (INELASTIS)
Untuk titik P3 = 12 maka Qs = 6 + 2 (12) = 6 + 24 = 30
Jadi E QdP3 = 12 = dQs/dP3 = + 2 = + 2 . 12 = 24 = 4
Qs/P3 30/12 30 30 5
Besar elastisitas permintaan di titik P3 = 12 adalah = 4/5
Jenis elastisitas permintaan di titik P3 = 12 adalah E = + 4/5 = 4/5 < 1 (INELASTIS)
Analisis Grafis: Elastisitas Penawaran
Contoh soal :
6. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 6 + 2P, grafik fungsinya:
QS Qd= 6 + 2P
30
22
14
6
4 8 12 P
Penerapan Teori Diferensial Berantai
Teori diferensial berantai di terapkan dalam masalah produksi di antaranya untuk mencari:
I. Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L)*
II. Marginal Revenue Product Of Capital (MRP C)*
Contoh Soal: Marginal Revanue Product Of Labour (MRPL)
1. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik di berikan sebagai berikut:
R = - Q2 = 140 Q + 5 DI Mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 4
L.
Jika jumlah tenaga kerja yang ada 10 orang:
Berapakah „Marginal Physical Product Of Labour (MRP L)’ Dan jelaskan artinya!
Berapakah „Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L)’ Dan jelaskan artinya!
Jawab:
Fungsi Produksi: Q = 4 L Sehingga
Marginal Physical product of labour (MRP L): dL
dQ = 4
Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang,
# untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit
EQDP1=4 = 014
614 =
14
8 =
7
4
EQDP2=8 = 022
622 =
22
16 =
11
8
EQDP3=12 =
030
630=
30
24 =
5
4
43
Fungsi pendapatan: R = - Q2 + 140Q + 5
´Marginal Revenue: dQ
dR= - 2Q + 140
Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRPL):
dL
dR=
dQ
dR.
dL
dQ
dL
dR= (-2Q + 140) (4)
dL
dR= -8Q + 560
Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRPL) = - 8Q + 560
=- 8 (4L) + 560
= - 32 L + 560
Untuk tenaga kerja sebanyak 10 orang, maka MRPL = -32(10) + 560
= -320 + 560
= 240
Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang,
# untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
penambahan pendapatan sebanyak 240; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
pengurangan pendapatan sebanyak 240
contoh soal: marginal revenue product of capital (MRPC)
2. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut: R = - 3000Q2 + 410000Q
+ 7 di mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 3C. Jika kapital yang
dimiliki 1000:
Berapakah „Marginal Physical Product of Capital (MPPC)´ dan jelaskan artinya!
Berapakah Marginal Revenue Product of Capital (MRPC)´ dan jelaskan artinya! Jawab:
Fungsi produksi: Q = 3C sehingga
Marginal Physical Product of capital (MRPC): Dq = 3dC
Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000,
# untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan
jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan
jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit.
Fungsi pendapatan: R = -3000Q2 + 410000Q + 7 maka
Marginal revenue: dQ
dR= -6000Q + 410000
Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC):
dC
dR=
dQ
dR.
dC
dQ
dC
dR = (-6000Q + 410000) (3)
dC
dR = -18000Q + 1230000000
Jadi marginal revenue product of capital (MRPL)
= -18000Q+1230000000
= -18000(3C)+1230000000
= -54000C+1230000000
Untuk kapital sebanyak 1000 maka MRPL
= -54000C+1230000000
= -54000(1000)+1230000000
44
= -54000000+1230000000
= 1176000000
Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, maka
# untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan
pendapatan sebanyak 1176000000 sebaliknya
# untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan
pendapatan sebanyak 1176000000
Penerapan Teori Diferensial Parsial
Teori Diferensial Parsial diterapkan dalam berbagai masalah di antaranya untuk mencari:
I. Elastisitas Parsial
II. Optimasi 2 variabel:
Maksimasi pendapatan
Minimasi biaya
Maksimasi laba/keuntungan
III. Mencari marginal rate technical substitution(MRTS)
Elastisitas Persial
Fungsi permintaan suatu barang tentu di tentukan oleh harga barang itu sendiri. Akan tetapi,
juga ternyata di tentukan oleh harga barang lain tersebut merupakan barang substitusinya atau
barang komplementernya. Di samping itu juga di tentuka oleh pendapatan. Misalnya ada dua
barang yaitu barang 1 dan barang 2. fungsi permintaannya masing-masing dapat di tuliskan
sebagai berikut:
Qd1 = f (P1,P2,Y) Dan Qd2 = f (P1,P2,Y)
Fungsi permintaan barang 1 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P1), harga barang lain
(P2), dan pendapatan (Y). Demikian pula dengan fungsi permintaan barang 2 di pengaruhi oleh
harga barangnya sendiri (P2), harga barang lain (P1), dan besarnya pendapatan (Y).
Price elastisity of demand
Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barangnya sendiri, yaitu:
kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd1), akibat perubahan harga barangnya (P1) maupun
kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan harga barangnya (P2):
Jadi E QdP1 = 11
11
/
/
pQd
dPdQd dan E QdP2 =
22
22
/
/
pQd
dpdQd
Cross Elasticity of demand
Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barang lain, yaitu: kepekaan
fungsi permintaan barang 1 (Qd1) akibat perubahan harga barang lain (P2) maupun kepekaan
fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan harga barang lain (P1):
Jadi E QdP1 = 21
21
/
/
PQd
dPdQd dan EQdp2 =
12
12
/
/
PQd
dPdQd
Income Elasticity of Demand
Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan pendapatan:
Yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd1) akibat perubahan pendapatan (Y) maupun
kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan pendapatan (Y);
Jadi E QdP1 = YQd
dYdQd
/
/
1
1 dan E QdP2 =
YQd
dYdQd
/
/
2
2
Hubungan antar-komoditi:
# jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand positif, maka hubungan antar komoditi
adalah substitusi; sedangkan
# jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand negatif, maka hubungan antar
komoditi adalah komplementer.
45
Contoh soal:
1. Qdr = 2Pj - 30 Pr + 0,05 Y
Untuk Pj = 3000, Pr = 100, dan Y = 30000
Carilah: - Price Elasticity of Demand
- Cross Elasticity of Demand
- Income Elasticity of Demand
Bagaimanakah hubungan antara komoditi j dan r?
Jawab:
Price Elasticity of Demand:
E QdPr = prQdr
ddQdr
/
P/ r =
100/4500
30=
45
30 =
3
2
Cross Elasticity of Demand:
E QdPr = 3
4
45
60
3000/4500
2
/
/
pjQdr
dPdQd jr
Income Elasticity of Demand:
E QdPr = 3
1
45
15
30000/4500
05,0
/
/
YQdr
dYdQdr
Hubungan antara komoditi r dan j:
Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif, maka hubungan antara komoditi r dan
komoditi j adalah Subtitusi.
Optimasi Dua Variabel.
Fungsi yang mengandung 2 variabel misalnya dituliskan sebagai berikut:
Y=f(x1,x2)
Dalam setiap permasalahan optimasi, selalu memunculkan dua pertanyaan:
1. Berapakah x1 dan x2 yang akan memberikan Y optimum (maksimum atau minimum)
2. Berapakah Y optimumnya (maksimum atau minimum)
Untuk dapat menjawab pertanyaan pertama tersebut, maka diberikan langkah-langkahnya
sebagai berikut:
Langkah-langkah dalam tabel tersebut membantu untuk memperoleh X1 dan X2 yang
pasti akan menjamin bahwa Y optimal, jadi ke tiga langkah tersebut di atas hanyalah untuk
menjawab pertanyaan pertama saja. Belum di peroleh berapa besar Y yang optimal tersebut.
Untuk mendapatkan nilai Y yang optimal maka nilai X1 dan X2 harus di masukan dalam
persamaan Y tersebut.untuk memberikan penjelasan yang lebih jelas, maka di bawah ini di
berikan tiga contoh yang merupakan permasalahan optimal dua variabel, yaitu: maksimasi
pendapatan, minimasi biaya, maksimasi laba.
Optialisasi dua variabel
Y = f ( x1 ,x2 )
Maksium Minimum
Langkah I Turunan pertama
Y1 = 0 , Y2 = 0
Turunan pertama
Y1 = 0 , Y2 = 0
Diperoleh
X1 dan X2
Turunan kedua dan Matriks Hessian:
H = Y11 Y12
Y21 Y22
Langkah II
Langkah III D1 = Y11 < 0
Difinit negatif,
Menjamin Y maksium
D1 = Y11 > 0
Difinit positif,
Menjamin Y minimum
Diperoleh
Titik ekstrim
maksium atau titik
ekstrim minimum
46
Contoh soal: Maksimasi pendapatan
1. Di berikan fungsi pendapatan : R = 160 Q1 – 3 Q12
– 2 Q1 Q2 – 2Q22
+ 120 Q2 –180
Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi dan di jual sehingga
dapat di peroleh pendapatan maksimum? Berapakah pendapatan maksimumnya?
Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di jual :
Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi pendapatan:
R1 = 160 – 6 Q1 – 2 Q2 = 0
R2 = 120 – 2 Q1 – 4 Q2 = 0
Untuk mencari Q1 dan Q2 menggunakan aturan determinan:
Fungsinya menjadi: 6 Q1 – 2 Q2 = - 160
2 Q1 – 4 Q2 = - 120
Maka
Q1 =
4
2
4
2
2
6
120
160
= (-2) (2)-(-4) (-6)
(-2)(-120)-(-160)(-4) =
424
240-640=
20
400= 20
Q2 =
4
2
120
160
2
6
2
6
= (-2) (2)-(-4) (-6)
(-2)(-160)-(-6)(-120) =
424
320-720=
20
400= 20
Langkah ke dua adalah mencari turunan keduannya:
R11 = -6, R12 = -2, R21 = -2, R22 = -4
Matriks hessiannya: H = 4- 2-
2- 6-
RR
R R
2221
1211
Matriks pertamanya : D1 = 6- < 0
Matriks keduannya : D2 = H = 4- 2-
2- 6-
= (-6)(-4) – (-2)(-2)
= 24 – 4
= 20 > 0
karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin pendapatan maksimum.
Pendapatan maksimumnya: R = 160Q1 - 3Q12 - 2Q1Q2 - 2Q2
2 + 120Q2 – 180
R = 160(20) - 3(20)2 - 2(20)(20) -2(20)2 +120(20) – 180
R = 2620
Contoh soal: Minimasi biaya
2. di berikan fungsi biaya sebagai berikut: C = 8Q12 + 6Q2
2 - 2Q1Q2 - 40Q1 - 42Q2 + 180
Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi sehingga di peroleh
biaya minimum? Berapakah biaya minimumnya?
Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di produksi:
Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya:
C1 = 16Q1 – 2Q2 – 40 = 0
C2 = -2Q1 + 12Q2 – 42 = 0
Untuk mencari Q1 dan Q2 menggunakan aturan determinan:
Fungsinya menjadi: 16Q1 – 2Q2 = 40
-2Q1 + 12Q2 = 42
Maka
Q1 =
12 2-
2- 16
12 42
2- 40
= )2)(2()12)(16(
)42)(2()12)(40( =
192
84480 =
188
564 = 3
47
Q2 =
12 2-
2- 16
120- 2 -
160- 6-
= )2)(2()12)(16(
)160)(2()120)(6( =
192
320720 =
188
400 = 2,12 = 2
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:
R11=16, R12 = -2, R21 = -2, R22 = 12
16 -2
Matriks Hessiannya: H = 22 21
12 11
RR
RR
12 2-
2- 16
Matriks pertamanya : D1 = 16 > 0
Matriks keduanya : D2 = H = 16 -2
12 2-
=(16) (12) – (-2) (-2)
=192 – 4
=188 > 0
Karena D1 > 0 dan D2 > 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum.
Biaya minimumnya: C = 8Q12 + 6Q2
2 - 2Q1 Q2 - 40Q1 - 42Q2 + 180
C = 8(3)2 + 6(2)
2 - 2(3) (2)- 40 (3)- 42 (2)+180
C = 60
Contoh soal: maksimasi laba / keuntungan
2. Diberikan fungsi pendapatan dan fungsi biaya sebagai berikut:
R = 12 Q1 + 8 Q2 dan C = 3 Q12 + 2 Q2
2
Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga
diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimumnya?
Jawab:
Fungsi labanya:
Laba = R – C
= 12Q1`+ 8Q2 - ( 3 Q12 + 2 Q2
2)
= 12Q1 + 8Q2 - 3Q12
- 2Q22
Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba:
Laba1 = 12 – 6 Q1 = 0, maka Q1 = 2
Laba2 = 8 – 4 Q2 = 0, maka Q2 = 2
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:
Laba11 = - 6, Laba12 = 0, Laba22 = - 4
Matriks Hessiannya: H = Laba 11 Laba 12 = -6 0
Laba 21 Laba 22 0 -4
Matriks pertamanya: D1 = 6- < 0
Matriks keduanya : D2 = H = - 6 0
= (-4) (-6)
4- 0 -(0)(0)
= 24 – 0
= 24 > 0
Karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum.
Pendapatan maksimumnya: Laba = 12 Q1+8 Q2-3Q12-2Q2
2
Laba = 12(2) +8(2)-3(2)2-2(2)
2
Laba = 24+16-12-8
Laba = 20
48
7.3.1 Mencari Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS)
Rumus: MRTS = dL
dK
Jika diketahui Fungsi Produksi Q=f(K,L), maka mencari MRTS-nya dengan
MRTS = dL
dK
dQ
dK
dL
dQ
dK
dQ
dL
dQ
dKdQ
dLdQ.:
/
/
Contoh soal:
1. Di berikan fungsi produksi sebagai berikut:
Q = 0,2K 0,5 + 0,8L 0,5, Di mana K = 160 dan L = 40
Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya!
Jawab:
MRTS = dKdQ
dLdQ
/
/
= 0))5,0(2,0
)5,0(8,0015,0
15,0
K
L
= 5,0
5,0
1,0
4,0
K
L
=
5,0
4L
K
MRTS = 40
1604
MRTS = 44
MRTS = – 4 . 2
MRTS = – 8
2. Diberikan fungsi produksi sebagai berikut: Q = 96 K 0,3 L 0,7
K = 210 dan L = 70
Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya!
Jawab:
MRTS = dKdQ
dLdQ
/
/
= 7,013,0
17,03,0 )7,0(
)3,0(96
96
LK
LK
= 7,07,0
3,03,0
)3,0(
7,0
LK
LK
= 7,03,0
7,03,0
3
7
LL
KK
MRTS = L
K
3
7
MRTS = 70.3
210.7
MRTS = – 7
PENYELESAIAN SOAL-SOAL Fungsi marginal pendapatan (marginal revenue)
1. carilah fungsi marginal pendapatannya untuk fungsi P = 16 – Q
jawab:
fungsi permintaan: P = 16 – Q
fungsi pendapatan: R = P . Q
R = (16 – Q) . Q*
R = 16 Q – Q2
Maka fungsi marginal pendapatannya: MR = 16 – 2Q
49
Maksimasi total pendapatan (Total Revenue)
2. fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan di bawah ini:
AR = 120 – 6 Q
# Pada tingkat output berapakah yang memberikan pendapatan maksimum?
# Berapakah pendapatan maksimum yang diperoleh?
# Gambarkan fungsi pendapatan rata-rata dan marginal pendapatan pada sebuah grafik!
Jawab:
Fungsi pendapatan rata-rata: AR = 120 – 6 Q
Fungsi pendapatan: TR = AR . Q
= (120 – 6Q) . Q
= 120 Q – 6 Q2
Turunan pertama fungsi pendapatan: TR′ = 120 – 12Q = 0
120 = 12Q
Q = 10
Turunan kedua fungsi pendapatan: TR″ = -12 < 0 menjamin pendapatan maksimum.
Jadi pada tingkat output Q = 10 menjamin pendapatan maksimum.
Pendapatan maksimum: TR maksimum = 120 Q – 6 Q2
R maksimum = 120(10) – 6(10)2
= 1200 – 600
= 600
jadi pendapatan maksimumnya diperoleh sebesar 600
fungsi pendapatan rata-rata: AR = 120 – 6 Q
fungsi marginal pendapatan: TR′= MR = 120 – 12 Q
maka grafik dari kedua fungsi tersebut di gambarkan sebagai berikut:
AR.MR
120
AR = 120 - 6Q
MR =120 – 12Q
10 20 Q
Minimasi total biaya (Total Cost)
3. Total biaya suatu perusahaan dinyatakan dalam fungsi sebagai berikut:
TC = Q3 – 4Q2 + 4Q +4
# Pada output berapakah yang akan memberikan total biaya minimum?
# Berapakah total biaya minimumnya?
Jawab:
Fungsi total biaya: TC = Q3 – 4Q
2 + 4Q + 4
Turunan pertama fungsi total biaya: TC‟= 3Q2 – 8Q + 4 = 0
(3Q - 2)(Q - 2) = 0
3Q - 2 = 0, Q1 = 2/3
Q - 2 = 0, Q2 = 2
Turunan kedua fungsi total biaya: TC″= 6Q – 8
Untuk Q1 = 2/3 maka TC″= 6 (2/3) – 8 = - 4 < 0
Untuk Q2 = 2 maka TC″= 6 (2) – 8 = 4 > 0
Jadi output yang memberikan total biaya minimum adalah yang TC″>0, yaitu Q = 2.
Total biaya minimum: TC = Q3 – 4Q
2 + 4Q + 4
TC = (2)3 – 4(2)
2 + 4(2) + 4 = 4
50
Maksimasi penerimaan total pajak
4. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut:
P = - 5Q + 100 dan C = 5Q2 – 30Q
Berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar
pemerintah memperoleh total pajak maksimum? Berapakah total pajak maksimum yang
diperoleh pemerintah?
Jawab:
Dari sudut pandang pengusaha:
Laba = P . Q – C – t Q
= -5Q + 100 – (5Q2-30Q) – tQ
= -5Q2 + 25Q – Tq + 100
Turunan pertama:
Laba′ = -10Q + 25 – t = 0
25 – t = 10Q
Q* = 25 – t
10
Q* = 2,5 – 1/10 t
Turunan kedua:
Laba″ = -10 < 0
Jadi dengan memproduksi Q* = 2,5 – 1/10 t, pengusaha memperoleh laba maksimum.
Jadi sudut pandang pemerintah:
Pajak: T = t Q*
= t (2,5 – 1/10 t)
= 2,5 t – 1/10 t 2
turunan pertama: T′ = 2,5 – 1/5 t = 0
2,5= 1/5 t
t = 12,5
turunan kedua: T″= -1/5 < 0
Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: t = 12,5
Karna Q* = 2,5 – 1/10 t = 2,5 – 1/10(12,5) = 2,5 – 1,25 = 1,25
Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 12,5 . 1,25 = 15,625
Jadi total pajak yang diterima pemerintah sebesar: 15,625
Minimasi total biaya persediaan
5. Seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 1440 kg tiap
bulan.biaya pemesanan tiap kali memesan sebesar Rp 6000 per pemesanan, sedangkan
biaya penyimpanannya Rp 300 per minggu.
# berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan?
# berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan?
# berapakah total biaya persediaan minimumnya?
Jawab:
Jika diketahui bahwa:
D : jumlah total pemesanan per bulan : 1440 kg
C1: biaya pemesanan : Rp 6000
C2: biaya penyimpanan : Rp 300 per minggu = Rp 1200 per bulan
Jumlah yang harus di pesan :
Q = 2
1.2
C
CD
Q = 1200
6000.1440.2
Q = 120
jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 120 kg.
Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak:
D/Q = 1440/120 = 12 kali pemesanan.
Total biaya persediaan:
51
C = 21
2C
QC
Q
D
C = 12002
1206000
120
1440
C = 144000
Jadi total biaya persediaan minimum: Rp 144000
Elastisitas persial
6.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut:
Qd = 16 – 0,4 P1 – 0,8 P2 + P3 + Y
Untuk P1 = 20, P2 = 10, P3 = 40, dan Y = 40
# carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya!
# carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya!
# carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya!
# bagaimana hubungan antara komoditi-komoditi tersebut? Jelaskan!
Jawab:
Qd1 = 16 – 0,4 P1 – 0,8 P2 + P3 + Y
Qd1 = 16 – 0,4(20) – 0,8(10) + 40 + 40
Qd1 = 80
Price elasticity of demand:
E Qd1P1 = 400
4
20/80
4,0
Pr
/
1
1
1
1 dP
Qd
dQd
Cross elasticity of demand
E Qd1P2 = 10
1
10/80
8,0
Pr/
/
2
2
1
1 dP
Qd
dQd
E Qd1P3 = 2
1
40/80
1
Pr
/
3
3
1
1 dP
Qd
dQd
Income elasticity of demand
E Qd1Y = 2
1
40/80
1
/
/
1
1
Y
dY
Qd
dQd
Hubungan antara komoditi 1 dan 2:
Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya negatif, maka hubumgan antara komoditi 1
dan komoditi 2 adalah subtitusi.
Hubungan antara komoditi 1 dan 3:
Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif , maka hubungan antara komoditi 1
dan komoditi 3 adalah subtitusi.
Marginal Physical and Revenue Product of Labour and Capital
7. fungsi produksi : Q = 1/2K ½
L = ½, dengan K = 4, L = 16
# hitunglah Marginal Physical Product of Labour!
# hitunglah Marginal Physical Product of Capital!
Jika fungsi pendapatan R = 2Q, maka
# hitunglah Marginal Physical Product of Labour!
# hitunglah Marginal Physical Product of Capital!
jawab:
fungsi produksi: Q = ½ K ½ L
½
Q = ½ 4 ½
16 ½
Q = ½ . 8
Q = 4
Sehingga:
Marginal Physical Product of Labour (MPRL):
21
21 1
21 2/1. LK
dL
dQ
52
21
21
41 LK
dL
dQ
21
21
41
K
L
dL
dQ
21
21
4
1641
dL
dQ
2
1
dL
dQ
Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang
# untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan
penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan
pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit
Marginal Physical Product of Capital (MRPC):
dC
dQ= ½. K
½. 1/2L
½-
dC
dQ= ¼ K
1/2 L
-1/2
21
21
41
L
K
dC
dQ
21
21
16
441
dC
dQ
dC
dQ=
8
1
Artinya : Pada tingkat investasi sebesar 4,
# untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan
jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 orang akan menyebabkan
pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit
jika fungsi pendapatan: R = 2Q sehingga
′ Marginal Revenue: 2dQ
dR
Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRPL):
dL
dQ
dQ
dR
dL
dR.
(2).(1/2) dL
dR
1 dL
dR
Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRPL)=1
Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang,
# untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan
pengurangan pendapatan sebanyak 1.
Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC):
dC
dQ
dQ
dR
dC
dR.
dC
dR= (2).(1/4)
53
dC
dR= 1/4
Jadi Marginal Revenue Product of Capital (MRPC)=1/4
Artinya: Pada tingkat investasi berjumlah 4 orang,
# untuk setiap penambahan investasi sebanyak 4 orang akan menyebabkan
penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya
# untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 4 orang akan menyebabkan
pengurangan pendapatan sebanyak 1.
Minimasi Biaya dari Dua Produk
8. Fungsi biaya dari perusahaan yang menghasilkan dua produk sebagai berikut:
Biaya = 12 Q12
+ 4Q2 2
– 8 Q1 – 16 Q2
# Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi agar dapat
diperoleh biaya minimum?
# Berapakah biaya minimum yang diperoleh?
Jawab:
Fungsi Biayanya: 12 Q12 + 4Q2
2 – 8 Q1 – 16 Q2
Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya:
Biaya1 = 24 Q1 – 8 = 0, maka Q1=3
Biaya2 = 8 Q2 – 16 = 0, maka Q2=2
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:
Biaya11= 24 , Biaya12= 0 , Biaya21= 0 , Biaya22= 8
Matriks Hessiannya : H= 8 0
0 24
Biaya Biaya
Biaya Biaya
22 21
1211
Matriks pertamanya : D1 = 024
Matriks keduanya : D2 = H= 8 0
0 24
= (24) (8) - (0) (0)
= 192 - 0
= 192 > 0
Karena D1> 0 dan D2> 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum.
Jadi perusahaan sebaiknya memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua
sebanyak 2 agar berproduksi pada tingkat biaya minimum.
Biaya minimumnya: Biaya = 12 Q12 + 4Q2
2- 8Q 1+ 16Q2
Biaya = 12 (3)2 + 4(2)
2- 8(3) +16(2)
Biaya = 12.9 + 4.4 - 24-32
Biaya = 68
Dengan memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua sebanyak 2 maka
akan berproduksi pada biaya minimum sebesar 68.
Maksimasi Laba/Keuntungan dari dua produk
9. Fungsi Laba diberikan Laba = - 4Q12
- 2Q22 + 32Q1+12Q2
Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga
dapat diperoleh laba maksimum?
Berapakah laba maksimum yang diperoleh?
Jawab:
Fungsi Labanya : - 4Q12
- 2Q22 + 32Q1+12Q2
Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba:
Laba1 = - 8Q1 + 32 = 0 makaQ1 = 4
Laba2 = - 4Q2 +12 = 0 makaQ2 = 3
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:
Laba11= - 8 , laba12= 0 , laba21= 0 , laba22= - 4
Matriks Hessiannya: H= 4- 0
0 8-
Biaya Biaya
Biaya Biaya
22 21
1211
Matriks pertamanya: D1 = 08
54
Matriks keduanya : D2 = H= 4- 0
0 8-
= (-8) (-4) – (0) (0)
= 32 > 0
Karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum.
Jadi sebaiknya di produksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3
agar diperoleh laba maksimum.
Laba maksimumnya: Laba = - 4Q12
- 2Q22 + 32Q1 + 12Q2
Laba = - 4(4)2-2(3)2
2+ 32(4) +12(3)
Laba = - 4.16 - 2.9 + 32.4 + 12.3
Laba = 82
Dengan memproduksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3
maka akan diperoleh laba maksimum sebesar 82.
SELESAIKANLAH SOAL-SOAL LATIHAN DIBAWAH INI
1. fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut :
Qd2 = 5200 + 4P1 – 3P2 – 8P3 + 0,25 Y
Untuk P1 = 200, P2 = 100, P3 = 500 dan Y = 5000
# carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya!
# carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya!
# carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya!
# bagaimana hubungan antara komoditi - komoditi tersebut? Jelaskan!
2.total pendapatan dan total biaya diberikan sebagai berikut:
R = 221Q + 5100 – 2Q2 dan C = 125Q + 4100
# berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar
pemerintah memperoleh total pajak maksimum?
# berapakah jumlah produk yang harus diproduksi dan dijual oleh perusahaan tersebut
sehingga diperoleh laba maksimum setelah mempertimbangkan masalah pejak?
# berapakah total pajak maksimum yang diperoleh pemerintah ?
# berapakh laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut?
3.fungsi produksi: Q = 0,5 K2 + 2KL + L2,
dengan K = 20 L = 40
# hitunglah Marginal Physical Product of Labour!
# hitunglah Marginal Physical Product of Capital!
Jika fungsi pendapatan R = 3Q, maka
# hitunglah Marginal Physical Product of Labour!
# hitunglah Marginal Physical Product of Capital!
4.diberikan fungsi total biaya suatu perusahaan sebagai berikut:
TC = 6Q12- 3Q1 Q2 + 12Q2 – 24 Q1 – 10 Q2
# Pada tingkat output (Q1 dan Q2) berapakah yang akan membuat perusahaan
memperoleh total biaya minimum!
# Berapakah total biaya minimum tersebut?
5.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan pada gambar dibawah ini .
carilah nilai dan jenis elastisitas di masing-masing titik!
Q
(P1,Q1) = (12,9)
(P2,Q2) = (24,6)
(P3,Q3) = (36,3)
0 48 P
55
TEORI INTEGRAL DAN PENERAPANNYA
DALAM BISNIS DAN EKONOMI
TUJUAN UMUM
Mempelajari jenis integral baik integral tak tentu maupun integral tentu serta mempelajari
kaidah-kaidah dari masing-masing jenis integral.
TUJUAN KHUSUS
# Integral digunakan dalam mencari suatu fungsi total atau fungsi asalnya jika di ketahui
fungsi turunannya.
Ini merupakan penerapan integral tidak tentu.
# Integral juga digunakan dalam menghitung surplus konsumen dan surplus produsen
dengan cara menghitung luas dibawah kurva.
Ini merupakan penerapan integral tentu.
TEORI INTEGRAL
BAGIAN 3
Tujuan Umum
Mempelajari Jenis Integral baik integral Tak Tentu maupun Integral Tertentu serta mempelajari kaidah-
kaidah dari masing-masing jenis integral.
Tutjuan Khusus
1. Integral digunakan dalam encari suatu fungsi asalnya jika diketahui fungsi turunannya. Ini
merupakan peenerapan Integral Tidak Tentu.
Integral juga digunakan dalam menghitung Surplus Konsumen dan Surplus Produsen dengan cara
menghitung luas di bawah kurva. Ini merupakan penerapan Integral tertentu.
PENDAHULUAN
Pada dasarnya integral terdiri atas dua jenis yang dikenal dengan integral tak tentu dan integral tentu.
INTEGRAL TAK TENTU
Integral tak tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan perincian fungsi asal atau fungsi
totalnya dari fungsi turunannya yang diketahui secara umum penulisannya:
dxxfKxF )()(
Dengan K : konstanta pengintegral yang tak tentu nilainya
)(xf : integral
dx : diferensial
KxF )( : fungsi asal atau fungsi total
Disebut sebagai integral tak tentu akibat hasil pengintegralannya berupa F(x)+ K dimana K adalah
konstanta yang nilainnya tak tentu.
TEORI INTEGRAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS
DAN EKONOMI
56
KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL TAK TENTU
Kaidah 1. formula pangkat
1,1
1nK
n
Xnxndx
contoh : 13
133 KXdxx
= Kx
4
4
Kaidah 2. formula logaritma
Inxdx4
1
contoh : KInXdxx
dxx
.31
33
Kaidah 3. formula eksponensial
Kedxe xx
contoh : Kedxe xx 22
Kaidah 4. formulasi penjumlahan
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
contoh : dxedxxdxex xx 22
Kex x33/1
Kaidah 5. formulasi pengurangan
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
contoh : dxedxxdxex xx 22
Kex x33/1
Kaidah 6. formula perkalian
xdxfKdxxfK ).(.)(.
contoh : dxxdxx 44 55
Kx55/1.5
45x
Kaidah 7. formula substitusi
KuFdxdx
duufdxxf )()()(
contoh:
misalkan 2xu maka dxdu
u
du
x
dx
2
KInu
KxIn )2(
contoh : dxe x 12
misalkan : 12zu maka dxdu .2
2/1dx
duedxe ux 2/112
due42/1
Ku2/1
Ke x 122/1
57
Kaidah 8. formula sebagian-sebagian
duvvudvu ...
Contoh : dxxe x
Misalkan xu maka dxdu
dan dxedv x . maka xev
dvudxex x ...
duvvu ..
dxeexx x ..
Keex xx.
Kxe x )1(
Integral Tentu
Integral tentu adalah integral dimana nilai dari variabel bebasnya memiliki batasan-batasan tertentu.
Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan pencarian luas suatu daerah yang dibatasi
oleh kurva-kurva serta batasan-batasan nilai yang membatasi dengan tepat area yang dimaksud. Secara
umum penulisannya:
dengan: dxxf )( : integral )(xf terhadap x wilayah untuk rentang a hingga b
)()( aFbF : hasil integral fungsi )(xf antara a dan b
b : batas atas integrasi
a : batas bawah integrasi
Kaidah-Kaidah Integral Tentu
Kaidah 1. a b f(x) dx = F(x) a b =F(b)-F(a) , a<c<b
Contoh: 2 4 x2 dx = x2+1 2 4 = 4 2+1 – 2 2+1
2+1 2+1 2+1
= 4 3 – 2 3
3 3
= 56
3
Kaidah 2. a a f(x) dx = F(x) a a = F(a) – F(a) = 0
contoh: 2 2 x2 dx = 2 2 x2 dx = 2 3 – 2 3 = 0
3 3
kaidah 3. a b f(x) dx = - b a f(x) dx
contoh: 2 4 x2 dx = - 4 2 x2 dx
2 4 x2 dx = x2+1 2 4 = 4 2+1- 2 2+1
2+1 2+1 2+1
= 4 3 – 2 3
3 3
x2+1 4 2 = 2 2+1- 4 2+1
2+1 2+1 2+1
= 2 3 - 4 3
3 3
= 56
3
kaidah 4. a b k f(x) dx = k a b f(x) dx
contoh: 2 4 6x2 dx = 6.2 4 x2 dx
= 6. x3 2 4
3
= 6. 4 2 – 6. 2 2
)()()().( aFbFxFdxxfb
a
58
3 3
= 2.64 – 2.8
= 8
kaidah 5. a b [f(x)+g(x)] dx = a b f(x) dx+a b g(x) dx
contoh: 2 4 [6x2+4x] dx = 2 4 6.x2 dx+2 4 4x dx
= 6. x3 2 [4 + 4x2 2]4
3
= 2. 4 3 – 6. 2 3 + 4.4 2 – 4. 2 2
3 3
= 2 . 64 – 2.4 + 4 . 16 – 4 . 4
= 125 – 16 + 64 – 16
= 160
kaidah 6. a b [f(x) – g(x)] dx = a b f(x) dx – a b g(x) dx
contoh: 2 4 [6x2 – 4x] dx = 2 4 6.x2 dx – 2 4 4x dx
= 6.x3 2 4 – 4x2 2 4
3
= [6.4 3 – 6.2 3] – [4.4 2 – 4.2 2]
3 3
= [2.64 – 2.48] – [4.16 – 4.4]
= 128 – 16 – 64 + 16
= 64
kaidah 7. a b [f(x) + c d f(x) dx = a d f(x) dx
contoh: 2 3 4x dx + 3 3 4x dx = 2 4 4x dx
2 3 4x dx + 3 4 4x dx = 4x2 2 3 + 4x2 3 4
2 2
= 4.3 2 – 4.2 2 + 4.4 2 - 4.3 2
2 2 2 2
= 4/2.9 – 4/2 . 4 + 4/2 . 16 – 4/2.9
= 18 – 8 + 32 – 18
= 24
2 4 4x dx = 4 . x2 4 2
= 4 . 4 2 – 4 . 2 2
2 2
= 4 . 16 – 4/2 . 4
= 32 – 8
= 24
PENYELESAIAN SOAL-SOAL
Kaidah 1. formula pangkat
Contoh: x8 dx = x
8 + 1
8+1
= x9
9
= 1/9 x9
contoh:
4
2
x8 dx = x
8+1 2
4
8+1
= 4 9 – 2
9
9 9
Kaidah 2. formula logaritma
Contoh: = 33 dxx
1 = 33 . In x + k
59
Contoh:
4
2
33 dx = 33 2 4 1 dx = 33 . In x 2 4 = 33(In4 – In2)
x dxx
33 x
Kaidah 3. formula eksponensial
Contoh: ex dx = ex + k
Contoh: 2 4 ex dx = ex 2 4 = e4 – e2 = -e4 –e2
Kaidah 4. formula penjumlahan
Contoh: [x17 + e x+2] dx = x17 dx + e x+2 dx
= 1/18 x18 2 4 + e x+2 + k
contoh: 2 4[x17 + e x+2] dx = 2 4 x17 dx + 2 4 e x+2 2 4
= 1/18 x18 2 4 + ex+2 2 4
= 1/18 [4 18 – 2 18] + e4+2 – e2+2
= 1/18 [4 18 – 2 18
PENERAPAN INTEGRAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI
PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
Dalam bidang ekonomi, Integral tak tentu dapat dipergunakan di antaranya untuk mencari persamaan
fungsi total, sedangkan Integral tertentu diantaranya digunakan untuk mencari Surplus Konsumen dan
Surplus Produsen
FUNGSI TOTAL
Jika yang diketahui adalah persamaan fungsi total, maka untuk mengetahui persamaan fungsi marginal
digunakan perhitungan diferensial. Sebaliknya, jika yang diketahui adalah persamaan fungsi marginal,
maka mencari persamaan fungsi totalnya dipergunakan hitungan Integral.
Contoh :
1. Fungsi Total Revenue (TR) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal
revenuenya : dQMRTR .
2. Fungsi Total Cost (TC) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal Costnya :
dQMCTC .
3. Fungsi Total Utility (TU) dapat diperoleh dengan cara mengintergralkan fungsi marginal
utilitynya : dQMUTU .
Contoh Soal :
Carilah Fungsi Total Revenue sebesar QMR 214
Jika berproduksi pada Q = 25
Jawab :
dQMRTR .
dQQ..214
Misalkan U = 14+2Q maka dU = 2dQ Dan dQ = ½ dU
Sehingga: QdQ214
dUU 21.
dUU .. 21
21
1
21
21 2
1
. U
21
.41 U
60
2
1
41
U
32
1
825.214214
41
41
41
QTR
Jadi total revenue-nya pada Q = 25 diperoleh sebesar 1/32
Surplus Konsumen
Yaitu : Keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh konsumen karna konsumen tersebut
dapat membeli barang dengan harga pasar yang lebih murah daripada harga yang sanggup
dibayarnya.(Kesanggupan bayar > harga).jika permintaan suatu barang dinyatakan dengan persamaan
P= f (Qd)dan ternyata bahwa harga barang tersebutdipasar sebesar Pe, maka bagi setiap konsumen
yang pada dasarnya memiliki keinginan untuk membeli barang tersebut dan memiliki kesanggupan
untuk membeli barang tersebut walaupun harganya diatas Pe dinyatakan bahwa konsumen tersebut
mengalami keuntungan. Bpk Alfreed Marshall menyebutnya surplus konsumen.surplus konsumen
tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi permintaanya serta menghitung luas area di
bawah kurva yang bersangkutantetapi diatas harga pasar Pe.
Penggambaran :
P
P'
Surplus konsumen (SK)
Pe
0 Qe Q' Q
Surplus konsumen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus
1. ee
e
PQdQQfSK
Q
.)(0
Atau
2.
p
pe
dPpfSK ).(
Contoh soal:
Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P 2
gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik Qd vs P !
carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2
Jawab :
Qd = 75 – 3P 2
Qe = 75 – 3.2 2
Qe = 75 – 3.4
Qe = 75 – 12
Qe = 63
Jadi (Pe,Qe) = (2,63)
Fungsi Qd = 75 – 3P 2
merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik
puncaknya (P,Qd) = (0,75).penggunaan grafiknya :
61
Qd
75
63
Surplus konsuemen
0 2 5 P
)63.2(.)(
63
0
dqQfSK
dPpfSK
5
2
)(
5
2
2 )375( dPP
22
5
2
5
2
3
5
2
5
2
2 252.755.75.375 pdPpdP
812515075.2
= 125 – 125 + 8
= 8
SURPLUS PRODUSEN
Yaitu : keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat
menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya.(kesanggupan
menjual < harga pasar)
Jika fungsi penawaran suatu barang dinyatakan dengan persamaan P = f(Qs) dan ternyata bahwa harga
barang tersebut dipasar sebesar Pe, maka bagi setiap produsen yang pada dasarnya ingin menawarkan
barang tersebut serta memiliki kesanggupan untuk menjual barang tersebut di atas harga pasar Pe
dinyatakan bahwa produsen tersebut mengalami keuntungan.Bapak Alfred Marshall menyebutnya
surplus produsen.surplus produsen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi
penawaranya serta menghitung luas area diatas kurva yang bersangkutan tetapi di atas harga pasar Pe
Penggambaran : P
Pe E(Qe,Pe)
Surplus Produsen
P1
0 Qe Q
surplus produsen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus :
62
1.
Qe
dQQfQePeSP0
)(.
atau
Pe
P
dPpfSP )(
Contoh soal:
Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs
gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q !
carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.
Jawab:
Fungsi penawaranya
P = 20 +5Qs
P – 20 = 5Qs
5Qs = P – 20
Qs = 1/5 P – 20/5
Qs = 1/5 P – 4
Diketahui bahwa harga keseimbangan pasar adalah 40, maka
Untuk Pe = 40
Qe = 1/5P – 4
Qe = 1/5.40 – 4
Qe = 8 – 4
Qe = 4
Jadi (Pe,Qe) = (40,4)
Penggambaran grafiknya
Pe = 20 – 5Qs Pe = 40
Surplus Produsen
P11
= 20
0 4 Qs
Daerah yang diarsir menunjukkan surplus produsen yaitu keuntungan yang diperoleh akibat harga
dipasar di atas (lebih tinggi)dari kesanggupan menjual.
Perhitungan mencari surplus produsen sebagai berikut.
Surplus produsen : Qe
dQQfeQePSP0
)(.
4
0
)520(4.40 dQQ
4
0
4
0
.5(20160 dQQdQ
4002
54.
2
5)0.20)4.20(160 22
atau
63
40
20
40
20
40
20
2 410
14
5
1)(
eP
Pu
PPdPPdPPfSP
20.440.420.10
140.
10
1 22
408016040160
PENYELESAIAN SOAL – SOAL
Fungsi total
4. carilah fungsi total revenue dari fungsi marginal revenue : MR = Q2e
Q ,dengan Q adalah
julah
output yang diproduksi dan di jual.
Jawab:
dQMRTR .
dQeq Q .2
Misalkan U = Q2 Sehingga dU = 2Q.dQ
Dan dV = eQ.dQ Sehingga V = e
Q
Maka dengan rumus : dUVVUdVU ...
Diperoleh :
dQQeeQTR QQ .2..2
dQQeeQTR QQ .2.2.2
dQeQeQTR QQ ....2.2
Misalkan U = Q Sehingga dU = dQ
Dan dV = eQ.dQ Sehingga V = e
Q
Maka dengan rumus : dUVVUdVU ...
Diperoleh :
dQeeQeQTR QQQ ..2.2
QQQ eeQeQTR .2.2
QQQ eeQeQTR 2.2.2
Jadi fungsi Total Revenue : QQQ eeQeQTR 2.2.2
Surplus konsumen
5. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing – masing ditunjukan dengan fungsi sebagai
berikut : Qd = 30 – 2P dan Qs = – 6 + P
Hitunglah surplus konsumenya!
Jawab:
Mencari harga dipasar dengan cara :
Qd = Qs
30 – 2P = – 6 +P
30 + 6 = P + 2P
36 = 3P
maka Pe=12
dan Qe = –6 + 12
Qe = 6
Fungsi perimintaan : Qd = 30 – 2P Fungsi penawaran : Qs = – 6 + P
2p = 30 – Qd Qs + 6 = P
P = 15 – ½ Qd P = Qs + 6
64
Penggambaranya :
P
Surplus Konsumen
P´=15 P = Qs + 6 atau Qs = – 6 + P
Pe=12
Surplus Produsen
P11
= 6 P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P
0 Qe = 6 30 PSurplus Konsumen : 6
0
6
0
)6.12()2/115(.)( dQQQPdQQfSK ee
972990726.4
16.1572
4
115 2
6
0
2
6
0
atau
9121512.3015.3030)230( 22
15
12
15
12
2
15
12
PPdPP
baik menghitung dengan menggunakan rumus ke-1 maupun dengan rumus ke-2 diperoleh surpl,us
konsumenya sebesar 9.
Surplus Produsen
6. dari soal no 2 hitunglah surplus produsenya!
Jawab
Surplus produsen
1.
6
0
6
0
6
0
)6(72)(6.12)(. dQQdQQfdQQfQpSP ee
183618726.662
1726
2
172 2
6
0
6
0
2 QQ
maka akan diperoleh surplus produsen sebesar 18.
SELESAIKAN SOAL – SOAL LATIHAN DIBAWAH INI
1. Carilah fungsi total biaya dari fungsi marginal biaya sebesar : 2) Q-Q(CM jika
berproduksi dari range Q = 4 hingga Q = 8.
2. Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran terhadap suatu barang P 1,5 Qs +15.
berapakah surplus produsenya bila ternyata bahwa tingkat harga di pasar adalah 25?
Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua
cara!
3. Fungsi permintaan suatu barang dinyatakan sebagai berikut: Q = 120 – 6P berapakah surplus
konsumenya bila ternyata tingkat harga adalah 60? Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p
vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua cara!
4. Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai
berikut : Qd = 40 – 10P dan Qs = 12P – 4
Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar!
Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)!
Carilah surplus konsumenya!
Carilah surplus produsenya! 5. Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai
berikut : Qd = 30 – 2 P dan Qs = – 66 + 10
65
Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar!
Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)!
Carilah surplus konsumenya!
Carilah surplus produsenya!
Linier Programming
Suatu Pendekatan Grafik
13.1 Penyelesaian dengan Grafik
Tujuan linier programming adalah untuk menetapkan alokasi sumberdaya yang langka secara
optimal di antara produk atau aktivitas yang saling bersaing. Situasi perekonomian seringkali
mengharuskan pengoptimuman suatu fungsi di bawah beberapa kendala pertidaksamaan. Apabila
kendala pertidaksamaan yang dilibatkan lebih dari satu, maka linier programming adalah lebih
mudah. Jika kendala-kendalanya tersebut, betapapun banyaknya, terbatas variabel, betapapun
banyaknya, kendala penyelesaian yang termudah adalah dengan pendekatan grafik. Pendekatan
grafik untuk maksimasi dan minimisasi diperagakan masing masing dalam contoh.
Contoh 1 Sebuah pabrik memproduksi meja (x1) dan bangku (x2). Setiap meja memerlukan 2,5 jam
untuk perakitan (A), 3 jam untuk pemolesan (B), dan 1 jam untuk pengepakan (C). Setiap bangku
memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2 jam untuk pengepakan.
Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakan lebih dari 20 jam untuk perakitan, 30 jam untuk
pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap minggu. Margin laba adalah Rp. 3 per meja dan
Rp. 4 per bangku.
Pendekatan grafik digunakan dibawah ini untuk mencari bauran (output mix) yang akan
memaksimumkan laba mingguan perusahaan tersebut.pendakatan ini diperagakan dalam empat
langkah yang mudah.
1. Nyatakan data tersebut dalam persamaan atau pertidaksamaan.fungsi yang akan
dioptiumkan,fungsi obyektifnya, menjadi
Π = 3x1 + 4x2
Di bawah kendala,
Kendala dari A : 2,5x1 + x2 ≤ 20
Kendala dari B : 3x1 + 3x2 ≤ 30
Kendala dari C : x1 + 2x2 ≤ 16
Kendala ketidaknegatifan : x1,x2 ≥ 0
Tiga pertidaksamaan pertama merupakan kendala – kendala teknis (echnical constrain) yang
ditentukan oleh keadaan teknologi dan tersedianya input; pertidaksamaan yang keempat
merupakan suatu kendala ketidaknegatifan (nonnegativity constrain) yang ditentukan pada setiap soal untuk menghindarkan nilai negatif(karena itu tak dapat diterima)dari penyelesaian.
2. Perlakukan ketiga kendala pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, selesaikan masing –
masing untuk x2 dalam kaitanya dengan x1 , dan gambarkan grafiknya.jadi
Dari A x2 = 20 – 2,5x1
Dari B x2 = 10 – x1
Dari C x2 = 8 – 0,5x1
(a) (b)
66
gambar 13 - 1
Grafik dari pertidaksamaan asal “ lebih kecil atau sama dengan ” akan mencakup semua titik –
titik pada garis dan disebelah kiri garis.lihat gambar 13 – 1 (a).kendala ketidaknegatifan x1,x2
≥ 0, masing – masing digambarkan oleh sumbuh tegak (vertikal) dan sumbu datar (horisontal).
Daerah yang digelapkan disebut daerah yang memungkinkan (feasible region). Daerah itu
memuat semua titik – titik yang memenuhi ketiga kendala ditambah kendala
ketidaknegatifan.x1 dan x2 disebut variabel keputusan atau struktural (decision or stuktural
variables).
3. untuk memperoleh pemecahan yang optimal dalam daerah yang memungkinkan,jika ada,
gambarkan fungsi obyektif sebagai suatu seri garis isoprofit.
124
3
4xx
Jadi,garis isoprofit tersebut mempunyai kemiringan - ¾. Dengan menggambarkan suatu seri
garis isoprofit (garis putus – putus) yng menunjukan laba(profit)yang semakin besar,kita
menemukan garis isoprofit yang menunjukan laba terbesar yang memungkinkan menyentuh
daerah yang mungkin di E. Dimana 41x dan 62x lihat gambar 13 – 1 (b). Dengan
mensubstitusikan dalam (13.1), = 3(4) + 4(6) = 36.
4. laba dimaksimumkan pada perpotongan kedua kendala tersebut,yang disebut titik
ekstrim(extreme point).
13.2 DALIL TITIK EKSTRIM
Dalil titik ekstrim menyatakan bahwa jika suatu nilai optimal yang memungkinkan (optimal
feasible value) dari fungsi obyektif ada, nilai tersebut akan ditenukan pada salah satu titik ekstrim
(atau sudut) dari batas tersebut. Perhatikan bahwa terdapat sepuluh titik ekstrim :
(0,2),(0,10),(6,5),(10,0),(16,0),(0,8),(4,6),(7,3),(8,0) dan (0,0) dalam gambar 13 – 1,(a) yang
terakhir adallah perpotongan kendala – kendala ketidaknegatifan. Semuanya disebut penyelesaian
dasar (basic solution) tetapi hanya lima terakhir yang merupakan penyelasaian dasar yang mungkin
(basic feasible solution) karena penyelesaian – penyelesaian tersebut tidak melanggar kendala yang
manapun. Biasanya hanya salah satu dari penyelesaian dasar yang mungkin tersebut yang akan
optimal. Di (7,3) upamanya, Π = 3 (7) + 4(3) = 31 yang lebih rendah dari Π = 36 diatas.
Contoh 2. seorang petani ingin mengetahui bahwa ternak gembalanya memperoleh kebutuhan
harian minimum dari tiga bahan pokok makanan pokok A,B dan C. Kebutuhan harianya adalah 14
untuk A, 12 untuk B,dan 18 untuk C. Produk y1 mempunyai dua unit A,dan satu unit masing –
masing B dan C; produk y2 mempunyai satu unit masing – masing A dan B dan tiga unit C.harga y1
adalah Rp 2,- dan harga y2 adalah Rp 4,-. Metode grafik digunakaqn dibawah ini untuk menentukan
kombinasi biaya yang paling murah dari y1 dan y2 yang akan memenuhi semua kebutuhan
minimum. Dengan menggunakan prosedur yang digunakan dalam contoh 1,
1. fungsi obyektif yang akan diminimumkan adalah
c = 2y1 + 4y2
di bawah kendala ,
kendala dari A : 2y1 + y2 ≥ 14
kendala dari B : y1 + y2 ≥ 12
kendala dari C : y1 + 3y2 ≥ 18
kendala ketidaknegatifan y1,y2 ≥ 0
dimana kendala teknisnya dibaca ≥ karena kebutuhan minimum harus dipenuhi tetapi ungkin
dilampaui
2. Perlakukan pertidaksamaan selesaikan masing – masing untuk y2 dalam satuan y1 dan
gambarkan grafiknya. Grafik dari pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” akan
mencakup semua titik – titik pada garis dan disebelah kanan garis. Lihat gambar 13 – 2 (a).
Daerah yang digelapkan merupakan daerah yang mungkin memuat semua titik – titik yang
memenuhi semua ketiga kendala kebutuhan ditambah kendala ketidaknegatifan.
67
(a) (b)
gambar 13 - 2
3. Untuk memperoleh penyelesaian optimal, gambarkan grafik fungsi obyektif sebagai suatu seri
garis isocost (garis putus-putus) Dari (13.2)
122
1
4y
cy
Garis isocost terendah yang akan menyinggung dareah yang memungkinkan adalah garis
singgung (tangen) di 91y dan 32y dalam gambar 13 – 2 (b).jadi c = 2(9) + 3(3) = 30 yang
menunjukan suatu biaya yang lebih rendah ketimbang di titik ekstrim yang mungkin lainya.
Umpamanya di (2,10),c = 2(2) + 4(10)[untuk soal meminimasi, (0,0) tidak dalam daerah yang
memungkinkan]
13.3 VARIABEL SLACK DAN VARIABEL SURPLUS
Soal yang melibatkan lebih dari dua variabel berada di luar lingkup pendekatan grafik dua
dimensi yang disajikan dalam bab sebelumnya.karena perlunya persamaan, sistem perttidaksamaan
linear harus dirubah menjadi sistem persamaan linear.ini dilakukan dengan memasukan suatu
variabel slack atau surplus yang terpisah (si) kedalam masing – masing pertidaksamaan (kendala ke
i) dalam sistem tersebut.lihat contoh 3.
Suatu pertidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan ” seperti 5x1 + 3x2 ≤ 30 dapat dirubah
menjadi suatu persamaan dengan menambahkan suatu variabel slack s ≥ 0, sedemikian rupa
sehingga 5x1 + 3x2 + s = 30.jika 5x1 + 3x2 = 30, variabel slack s = 0. jika 5x1 + 3x2 < 30, s adalah
suatu nilai positif yang sama dengan selisih antara 5x1 + 3x2 dan 30.
Suatu pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” seperti 4x1 + 7x2 ≥ 0 sedemikian rupa
sehingga 4x1 + 7x2 – s = 60.jika 4x1 + 7x2 = 60,variabel surplus s = 0 jika 4x1 + 7x2 = 60, s adalah
suatu nilai positif yang sama dengn selisih antara 4x1 + 7x2 dan 60
CONTOH 3 karena kendala – kendala teknis dala contoh 1 semua melibatkan pertidaksamaan “
lebih kecil atau sama dengan ” variabel slack ditambah sebagai berikut :
2,5x1 + x2 + s1 = 20 3x1 + 3x2 + s2 = 30 x1 + 2x2 + s3 = 16
dinyatakan dalam bentuk matriks,
16
30
20
1 0 0 2 1
0 1 0 3 3
0 0 1 1 2,5
3
2
1
2
1
s
s
s
x
x
sebaliknya dalam contoh 2 semua kendala adalah “ lebih besar atau sama dengan ”. karena itu
variabel surplus dikurangkan.
2y1 + y2 - s1 = 14 y1 + y2 - s2 = 12 y1 + 3y2 - s3 = 18
68
Dalam bentuk matriks,
18
12
14
1 0 0 3 1
0 1- 0 1 1
0 0 1- 1 2
3
2
1
2
1
s
s
s
y
y
13.4 DALIL DASAR
Untuk suatu sistem persamaan m yang konsisten dan variabel n, dimana n > m akan terdapat
sejumlah penyelesaian yang tak terhingga. Akan tetapi, banyaknya titik ekstrim adalah
terhingga.Dalil dasar menyatakan bahwa untuk suatu sistem m persamaan dan n variabel,dimana
n > m suatu penyelesaian dimana sedikitnya n - m variabel saa dengan nol merupakan titik ekstrim.
Jadi dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol menyelesaikan m persamaan untuk m
variabel yang tersisa,suatu titik ekstrim,atau penyelesaian dasar dapat diperoleh.besarnya
penyelesaian dasar dapat diberikan dengan rumus
)!(!
!
mnm
n
dimana n! Dibaca n factorial lihat contoh 4
CONTOH 4 dengan mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan dalam contoh 3 menghasilkan
tiga persamaan dan lima variabel.perhitungan untuk menentukan (1) banyaknya variabel yang harus
ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh suatu penyelesaian dasar dan (2) besarnya
penyelesaian dasar yang ada,diperlihatkan dibawah ini.
1. karena terdapat 3 persamaan dan 5 variabel ,dan n- m variabel harus sama dengan nol untuk
penyelesaian dasar 5 – 3 atau 2 variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar
atau titik ekstrim.
2. dengan menggunakan rumus untuk besarnya penyelesaian dasar, n!/[m!(n-m)] dan dengan
mensubstitusikan parameter – parameter yang diketahui.
)!2(!3
!5
dimana 5! = 5(4) (3) (2) (1). Jadi
10(1) (2) (1) 3(2)
(1) (2) (3) 5(4)
CONTOH 5. Beberapa dasar dapat dibaca secara langsung dari matriks tanpa suatu manipulasi
aljabar.lihat contoh 3.
Dalam atriks pertama,dengan menetapkan x1 = 0 dan x2 = 0 akan menghasilkan suatu matriks
identitas untuk s1.s2.s3.jadi s1 = 20,s2 = 30 dan s3 = 16 merupakan suatu penyelesaian dasar yang
dapat dibaca secara langsung dari atriks tersebut.
Dalam matriks kedua,dengan menetapkan y1 = 0 dan y2 = 0 akan menghasilkan suatu matriks
identitas yang negatif untuk s1.s2.s3.jadi s1 = -14,s2 = -12 dan s3 = -18 merupakan penyelesaian
dasar.akan tetapi,perhatikan bahwa penyelesaian dasar tersngebut bukan suatu penyelesaian dasar
yang memungkinkan karena melanggar kendala ketidaknegatifan.
SOAL DAN JAWABAN
PERNYATAAN MATEMATIS ATAS MASALAH EKONOMI
1. Sebuah pabrik khusus baja memproduksi dua tipe baja (g1 dan g2) tipe satu memerlukan 2 jam
untuk peleburan,4 jam untuk percetakan dan 10 jam untuk pemotongan. tipe dua memerlukan 5
jam untuk peleburan,1 jam untuk percetakan dan 5 jam untuk pemotongan.empat puluh jam
tersedia untuk peleburan,dua puluh jam untuk percetakan dan 60 jam untuk pemotongan.marjin
laba untuk tipe 1 adalah 24,untuk tipe 2 adalah 8.nyatakan data tersebut dalam persamaan –
persamaan dan pertidaksamaan yang perlu untuk menetapkan bauran output yang akan
memaksimumkan laba.
Maksimumkan Π = 24 g1 +8 g2
Dibawah 2 g1 + 5 g2 ≤ 40 kendala peleburan
69
4 g1 + g2 ≤ 20 kendala percetakan
10 g1 + 5 g2 ≤ 60 kendala pemotongan
g1 + g2 ≥ 0
2. Sebuah perusahaan gilingan batu untuk pekarangan rumah memproduksi dua macam batu;
kasar (x1) dan halus (x2).batu kerikil yang kasar memerlukan 2 jam untuk penghancuran, 5 jam
untuk pengayakan dan 8 jam untuk pengeringan. batu halus memerlukan 6 jam untuk
penghancuran, 3 jam untuk pengayakan dan 2 jam untuk pengeringan. Marjin laba untuk batu
kasar adlah 40, untuk batu halus adalah 50. Di perusahaan tersebut tersedia waktu 36 jam untuk
penghancuran, 30 jam untuk pengayakan dan 40 jam untuk pengeringan.
Tentukan bauran output yang memaksimumkan laba dengan menyederhanakan data ini menjadi
persamaan – persamaan dan pertidaksamaan.
Maksimumkan Π = 40 x1 + 50 x2
Dibawah 2 x1 + 6 x2 ≤ 36 kendala penghancuran
5 x1 + 3 x2 ≤ 30 kendala pengayakan
8 x1 + 2 x2 ≤ 40 kendala pengeringan
x1 + x2 ≥ 0
3. Seorang yang gandrung model hidup sehat ingin memperoleh minimum 36 unit vitamin A, 28
unit vitamin C, dan 32 unit vitamin D setiap hari. Merk 1 harganya Rp 3,- dan memberikan 2
unit vitamin A, 2 unit vitamin Cdan 8 unit vitamin D. Merk 2 harganya Rp 4,- dan memberikan
3 unit vitamin A, 2 unit vitamin C dan 2 unit vitamin D.Dengan memakai persamaan -
persamaan dan pertidaksamaan, bagaimanakah kombinasi paling murah yang menjamin
kebutuhan harian?
Minimumkan c = 3 y1 + 4 y2
Dibawah 2 y1 + 3 y2 ≥ 36 kendala vitamin A
2 y1 + 2 y2 ≥ 28 kendala vitamin C
8 y1 + 2 y2 ≥ 32 kendala vitamin D
y1 + y2 ≥ 0
4. Pak samin memastikan bahwa ayam – ayamnya mendapatkan paling sedikit 24 unit zat besi dan
8 unit vitamin setiap hari. Jagung (x1) memberikan 2 unit zat besi dan 5 unit vitamin. Tepung
tulang (x2) memberikan 4 unit zat besi dan 1 unit vitamin.padi – padian (x3) memberikan 2 unit
zat besi dan 1 unit vitamin.bagaimana makanan – makanan tersebut harus dicampur untuk
memberikan pemmenuhan yang paling murah atas kebutuhan harian jika harga makanan
tersebut masing – masing Rp 40,- Rp 20,- dan Rp 60,-
Minimumkan c = 40 x1 + 20 x2 + 60 x3
Dibawah 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≥ 24 kendala vitamin zat besi
5 x1 + x2 + x3 ≥ 24 kendala vitamin
x1, x2, x3 ≥ 0
GRAFIK UNTUK PENYELESAIAN 5. dengan menggunakan data dibawah,
1) Gambarkan grafik kendala – kendala pertidaksamaan setelah menyelesaikan masing –
masing untuk g2 dalam g1
2) Grafikan kembali dan hitamkan daerah yang memungkinkan(feasible region).
3) Hitunglah kemiringan fungsi obyektif.taruhlah penggaris diatas kemiringan ini gerakkan
penggaris tersebut ke titik singgung dengan fungsi obyektif,dan tariklah suatu garis putus –
putus.
4) Bacalah setiap nilai kritis untuk g1dan g2 pada titik singgung, dan evaluasilah fungsi
obyektif pada nilai – nilai ini.
Dari soal 1.
Maksimumkan Π = 24 g1 + 8 g2
Dibawah 2 g1 + 5 g2 ≤ 40 kendala 1
4 g1 + g2 ≤ 20 kendala 2
70
gkin dignh 10 g1 + 5 g2 ≤ 60 kendala 3
g1 + g2 ≥ 0
kendala – kendala pertidaksamaan tersebut harus digrafikan seperti terlihat dalam gambar
13.3 (a).untuk kendala 1, dari g2 = 8 – 2/5 g1, apabila g1 = 0, g2 = 8;apabila g2 = 0,g1 = 20. perhatikan bahwa kendala ketidaknegatifan hanya membatasi analisis pada kuadran pertama.
Daerah yang mungkin digrafikan dalam gambar 13.3 (b). Dari fungsi obyektif,g2=Π/8– 3 g1;
kemiringan = -3. di titik singgung, g1 = 4 dan g2 = 4.jadi Π= 24(4) + 8(4) = 128
(a) (b)
gambar 13.3
6. kerjakan kembali seperti soal 5, dengan menggunakan data berikut, yang diperoleh dalam soal 2
Maksimumkan Π = 40 x1 + 50 x2
Dibawah 2 x1 + 6 x2 ≤ 36 kendala 1
5 x1 + 3 x2 ≤ 30 kendala 2
8 x1 + 2 x2 ≤ 40 kendala 3
x1 + x2 ≥ 0
lihat gambar 13.4 (a) untuk kendala yang digrafikan; gambar 13.4 (b) untuk daerah yang
memungkinkan.
Dari fungsi obyektif, x2 = Π /50 – 4/5 x1, kemiringan = - 4/5, dalam gambar 13.4 (b), x1 =3
dan x2 = 5. jadi Π = 40(3) + 50 (5) = 370
(a) (b)
gambar 13.4
PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA 7. Kerjakan kembali seperti soal diatas apabila diketahui data berikut :
Minimumkan c = 4 x1 + 2 x2
Dibawah 4 x1 + x2 ≥ 20 kendala 1
2 x1 + x2 ≥ 14 kendala 2
x1 + 6 x2 ≥ 18 kendala 3
x1, x2 ≥ 0
71
(a) (b)
gambar 13.5
Dalamgambar 13.5 dengan garis isocost menyinggung kendalan kedua, maka tidak
terdapat penyelesaian tunggal optimal yang memungkinkan. Setiap titik antara garis (3,8) dan
(6,2) akan meminimumkan fungsi obyektif dibawah kendala tersebut.penyelesaian optimal
berganda (multiple optial solution) akan terjadi bilamana terdapat ketergantungan linear antara
fungsi obyektif dan salah satu kendala. Dala kasus ini, fungsi obyektif dan kendala 2 adalah
secara linear tergantung (tak bebas) karena yang satu dapat dinyatakansebagai penggandaan
dari yang lain. Perhatikan bahwa penyelesaian optimal berganda tidak menyangkal dalil titik
ekstrim,karena titik – titik ekstrim (3,8) dan (6,2) juga termasuk dalam penyelesaian optimal,
yaitu c = 4(3) = 38 atau c = 4(6) + 2(2) = 28
VARIABEL SLACK DAN SURPLUS 8. (a) ubahlah kendala – kendala pertidaksamaan dalam data berikut menjadi persamaan dengan
menambahkan variabel slack atau mengurangkan variabel surplus dan (b) nyatakan persamaan
tersebut dalam bentuk matriks.
Maksimumkan Π = 24 y1 + 8 y2
Dibawah 2 y1 + 5 y2 ≤ 40
4 y1 + y2 ≤ 20
10 y1 + 5 y2 ≤ 60
y1 , y2 ≥ 0
(a) untuk pertidaksamaan “lebih kecil atau sama dengan”. Tambahkan variabel slack.jadi,
2 y1 + 5 y2 + s1 = 40 4 y1 + y2 + s2 = 20 10 y1 + 5 y2 + s3 = 60
(b)
60
20
40
1 0 0 5 10
0 1 0 1 4
0 0 1 5 2
3
2
1
2
1
s
s
s
y
y
9. Kerjakan seperti soal di atas untuk yang berikut :
Minimumkan c = 60 x1 + 80 x2
Dibawah 2 x1 + 3 x2 ≥ 36
2 x1 + 2 x2 ≥ 28
8 x1 + 2 x2 ≥ 32
x1, x2 ≥ 0
(a) untuk pertidaksamaan “lebih besar atau sama dengan”. kurangkan variabel surplus.jadi,
2 x1 + 3 x2 - s1 = 36 2 x1 + 2 x2 - s2 = 28 8 x1 + 2 x2 - s3 = 32
72
(b)
32
28
36
1- 0 0 2 8
0 1- 0 2 2
0 0 1 - 3 2
3
2
1
2
1
s
s
s
x
x
10. (a) Reduksikan kendala – kendala pertidaksamaan dari data berikut ini menjadi persamaan dan
nyatakan dalam bentuk matriks. Tentukan (b) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama
dengan nol untuk memperoleh penyelesaian dasar dan (c) banyaknya penyelesaian dasar yang
ada, (d) tentukanlah penyelesaian dasar pertama dari matriks tersebut.
Minimumkan c = 54 g1 + 48 g2 + 50g3
Di bawah 6 g1 + 4 g2 + 5g3 ≥ 30 3 g1 + 6 g2 + 5g3 ≥ 20 g1,g2,g3 ≥ 0
(a) 6 g1 + 4 g2 + 5g3 ≥ 3020
30
1- 0 5 6 3
0 1- 5 4 6
2
1
3
2
1
s
s
g
g
g
3 g1 + 6 g2 + 5g3 ≥ 20
(b) karena terdapat dua persamaan dan 5 variabel, maka sebanyak n – m = 5 – 2 = 3 variabel
harus ditetapkan sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar.
(c) Banyaknya penyelesaian adalah
10)1)(2)(3)(1(2
)1)(2)(3)(4(5
)!3(!2
!5
)(!
!
mnm
n
(d) Dengan menetapkan g1 = g2 =g3 = 0, penyelesaian dasar pertamanya adalah 301s dan
202s ,karena keduanya negatif penyelesaian – penyelesaian ini tidak dapat menjadi
suatu penyelesaian dasar yang memungkinkan
LIN EAR PROGRAMMING : ALGORITMA SIMPLEKS
14.1. ALGORITMA SIMPLEKS : MAKSIMASI
Algoritma adalah suatu kaidah aatau suatu prosedur sistematis untuk mendapatkan penyelesaian
suatu soal. Algoritma simpleks adalah suatu metode(atau prosedur perhitungan) untuk menentukan
penyelesaian dasar yang memungkan atas asuatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan
penyelesaian tersebut. karna paling sedikit n – m variabel harus sama dengan noluntuk suatu
penyelesaian dasar, n – m variabel ditetapkan saa dengan nol dala setiap langkah dari prosedur
tersebut, dan penyelesaian diperoleh dengan menyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya.
Algoritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar yang lain,
sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian optimal
dicapai.variabel – variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut tidak dalam
basis atau tidak dalam penyelesaian. variabel – variabel yang tidak ditetapkan saa dengan nol
disebut dalam basis atau dalam penyelesaian. Atau lebih sederhana variabel – variabel dasar.
Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 untuk
miniisasi.
Contoh . Algoritma simpleks digunakan sebagai berikut untuk memeksimumkan laba, apabila
ditentukan Π = 5x1 + 3x2
Di bawah kendala,
6x1 + 2x2 ≤ 36 2x1 + 4x2 ≤ 28
73
5x1 + 5x2 ≤ 40 x1,x2 ≥ 0
1. Tabel Sipleks Awal
i) Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel – variabel
slack
6x1 + 2x2 + s1 = 36
5x1 + 5x2 + s2 = 40
2x1 + 4x2 + s3 = 28
ii) Nyatakan persamaan – persamaan kendala dalam bentuk matriks,
28
40
36
1- 0 0 4 2
0 1 0 5 5
0 0 1 2 6
3
2
1
2
1
s
s
s
x
x
iii) Susunlah suatu tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien dari persamaan
kendala dan vektor kolom dari konstanta letakan diatas satu baris dari indiktor yang
merupakan negatif – negatif dari koefisien fungsi obyektif dan sebuah koefisien nol untuk
masing – masing variabel slack. Elemen kolom konstanta dari baris terakhir adalah juga
nol,sesuai deng n nilai fungsi obyektif di titik asal (kalau x1 = x2 = 0)
Tabel simpleks awal :
iv) Penyelesaian mendasar pertama yang mungkin dapat dibaca dari tabels impleks awal.
Dengan menetapkan x1 = 0 dan x2 = 0, seperti dalam contoh 5 bab 3,s1 = 36, s2 = 40, s3 = 28
pada penyelesaian mendasar pertama yang mung kin tersebut, fungsi obyektif mempunyai
nilai nol.
2. Elemen Pivot dan Perubahan Dasar (basis)
Untuk menaikan nilai fungsi obyektif, suatu penyelesaian mendasar yang baru diperiksa. Untuk
bergerak kesuatu penyelesaian mendasar baruyang mungkin, suatu variabel diasukan kedalam
basis dan salah satu variabel sebelumnya berada dalam basis harus dikeluarkan. Proses
pemilihan variabel yang dimasukan dan variabel yang dikeluarkan tersebut dinamakan
perubahan basis (change of basis)
i) Indikator negatif dengan nilai absolut terbesar akan menentukan variabel yang asuk ke dala
basis. Karna -5 dalam kolom pertama (atau x1)merupakan indikator negatif dengan nilai
absolut terbesar, x1 di asukan ke dalam basis x1enjadi kolom pivot dan ditandai dengan anak
panah.
ii) Variabel yang dieliminasi ditentukan oleh rasio pemindahan (displacement ratio). Rasio
pemindahan diperoleh dengan membagi elemen kolom konstan dengan elemen kolom pivot.
Baris dengan ratio pemindahan terkecil (yaitu baris pivot) dengan mengabaikan rasio –
rasio lebih kecil atau sama dengan nol,akan menentukan variabel yang meninggalkan baris.
Karena 6
36 memberikan rasio terkecil2
28
5
40
6
36 , baris1 merupakan baris pivot. Karena vektor
satuan (unit vektor) dengan 1 dalm baris pertamanya berada dibawah kolo s1, maka s1 akan
meninggalkan basis. Elemen pivotnya adalah elemen pada perpotongan kolom variabel
x1 x2 s1 s2 s3 konstanta
2 1 0 0 36
5 5 0 1 0 40
2 4 0 0 1 28
-5 -3 0 0 0 0
indikator
74
yang masuk ke basis dan baris yang berhubungan dengan variabel yang meninggalkan
basis(yaitu elemen pada perpotongan baris pivot dan kolo pivot)
3. Pivoting
Pivoting adalh proses penyelesaian m persamaan dalam bentuk m varibel yang sekarang berada
dala basis. Karena hanya satu variabel baru yang memasukibasis pada setiap langkah proses,dan
langkah sebelumnya selalu melibatkan suatu matriks identitas, pivoting hanya meliputi
pengubahan elemen pivot menjadi 1 dan semua eleen lainya dalam kolom pivot menjadi nol,
seperti dala metode eliminasi Gauss ( lihat butir 10.12),swebagai berikut :
i) Kalikan baris pivot dengan kebalikan (reciprocal) dari eleen pivot. Dalam hal ini, kalikan
baris1 dengan 6
1 .
Tabel kedua:
ii) Setelah mereduksi elemen pivot menjadi 1, rampungkan kolom pivotnya. Di sini, kurangkan
5 kali baris1 dari baris2,2 kali baris1 dari baris3 dan tambahkan 5 kali baris1 ke baris4. ini
memberikan tabel kedua
Penyelesaian mendasar kedua yang mungkin dapat dilihat secara langsung dari tabel
kedua. Dengan menetapkan x2 = 0 dan s1 = 0 , sekarang tinggal suatu atriks identitas yang
memberikan x1 = 6, s2 = 0,dan s3 = 16. eleen terakhir dala baris terakhir (dalam hal ini, 30)
merupakan nilai fungsi obyektif pada penyelesaian mendasar kedua yang mungkin.
4. Optimisasi
Fungsi obyektif di maksimumkan kalau tidak terdapat indikator negative dalam baris terakhir.
Dengan mengubah basis dan melakukan pivoting kontinu menurut kaidah di atas sampai hal ini
di capai. Karena 3
4 dalam kolom kedua merupakan satu – satunya indikator negative. Maka x2
dimasukan kedalam basis; kolom2 menjadi kolom pivotnya. Dengan membagi kolom konstanta
dengan kolom pivot memperlihatkan bahwa rasio terkecil adalah dalam baris kedua. Jadi 3
10
menjadi elemen pivot yang baru. Karena vector satuan dengan 1 dalam baris keduanya adalah
dibawah s2 , maka s2 akan meninggalkan basis untuk mempivot.
i. Kalikan baris2 dengan 10
3
x1 x2 s1 s2 s3 konstanta
1 3
1 6
1 0 0 6
5 5 0 1 0 40
2 4 0 0 1 28
-5 -3 0 0 0 0
x1 x2 s1 s2 s3 konstanta
1 3
1 6
1 0 0 6
0 3
10
6
5 1 0 10
0 3
10 3
1 0 1 16
0 3
4
6
5 0 0 30
x1 x2 s1 s2 s3 konstanta
1 3
1 6
1 0 0 6
0 1 4
1
10
3
0 3
0 3
10
3
1 0 1 16
0 3
4
6
5 0 0 30
75
ii. Kemudian kurangkan 3
1 kali baris2 dari baris1, 3
10 kali baris2 dari baris3,dan tambahkan
3
4
kali baris2 ke baris4, menghasilkan table ketiga
Tabel ketiga
Penyelesaian mendasar ketiga yang memungkinkan dapat dibaca secara langsung dari tabel
tersebut. Karena tidak terdapat indicator negative yang tertinggal dalam baris terakhir, ini
merupakan penyelesaian optimal. Elemen terakhir dalam baris terakhir menunjukan bahwa
51x , 32x , 01s , 02s , 63s , fungsi obyektif tersebut mencapai suatu maksimum
pada 34 . Dengan 01s dan 02s , dari (14.1) tidak terdapat variabel slack dalam dua
kendala yang pertama dan dua input yang pertama semuanya habis. Akan tetapi, dengan 63s ,
6 unit dari input yang ketiga tetap tidak terpadu. Untuk gabar grafik lihat contoh 13.11.
14.2. NILAI MARGINAL ATAU HARGA BAYANGAN.
Nilai indicator dibawah setiap variabel slack dalam tabel terakhir menyatakan nilai
marginal (marginal value) atau harga bayangan (Shadow price) dari input yang berhubungan
dengan variabel tersebut, yaitu berapa banyak fungsi obyektif akan berubah sebagai akibat dari
kenaikan satu unit dalam input tersebut. Jadi, alam contoh 1, laba akan naik sebesar ½ unit atau
50 sen untuk perubahan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 1; dan sebesar 5
2 atau 40
sen untuk kenaikan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 2; dan sebesar 0 untuk kenaikan
satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 3. karena kendala 3 mempunyai variabel slack
positif, erarti tidak sepenuhnya dimanfaatkan penyelesaian optimal dan nilai marginalnya
adalah nol (yaitu penambahan satu lagi unit lain,tidak akan menambah sesuatupun pada fungsi
laba). Nilai optimal dari fungsi dari fungsi obyektif akan selalu sama dengan penjumlahan dari
nilai marginal setiap input dikalikan kuantitas yang tersedia dari masing – masing input.
CONTOH 2. jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik
dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala dalam (14.1) dan (2)
mengevaluasi jimlah nilai marginal dari sumberdaya (resources). Semua sarat harus dienuhi
untuk suatu optimum. Umpamakan A,B,C melambangkan berbagai konstanta dalam kendala
1,2,3.
1. Π = 5x1 + 3x2 5x1 + 5x2 + s2 = 40
= 5(5) + 3(3) = 34 5(5) + 5(3) + 0 = 40
6x1 + 2x2 + s1 = 36 2x1 + 4x2 + s3 = 28
6(5) + 2(3) + 0= 36 2(5) + 4(3) + 6 = 28
2. Π = MPA (A) + MPB (B) + MPC (C) = 2
1 (36) +
5
2(40) + 0 (28) = 34
14.3. ALGORITMA SIMPLEKS : MINIMISASI
Apabila algoritma simpleks digunakan untuk mencari suatu nilai minimal, nilai negative
yang dihasilkan oleh variabel surplus menghadirkan suatu soal istimewa.lihat contoh 3.
seringkali akan lebih mudah untuk menyelesaikan soal – soal minimasi dengan memakai dua,
yang di bahas dalam bab 15. oleh karena itu, para mahasiswa mungkin lebih baik membaca bab
15 terlebih dahulu.
x1 x2 s1 s2 s3 konstanta
1 0 4
1
10
1 0 5
0 1 4
1
10
3
0 3
0 0 2
1 -1 1 6
0 0 2
1
5
2 0 34
76
CONTOH 3. algoritma simpleks digunakan di bawah ini untuk meminimumkan biaya. Data
tersebut berasal dari contoh 2 dalam bab13, dengan y sekarang dig anti x, dimana c = 2 x1+ 2
x2 , dibawah kendala – kendala gizi.
2 x1+ x2 ≥ 14 x1+ 3 x2 ≥ 18
x1+ x2 ≥ 12 x1 , x2 ≥ 0
1. tabel simpleks awal (sedikit dimodifikasi)
i. ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel – variabel
surplus
2 x1+ x2 – s1 = 14
x1+ x2 – s2 = 12
x1+ 3 x2 – s2 = 18
ii. Nyatakan persamaan kendala dalam bentuk matriks,
18
12
14
1- 0 0 3 1
0 1 - 0 1 1
0 0 1- 1 2
3
2
1
2
1
s
s
s
x
x
Dari matriks tersebut jelas bahwa jika x1 = 0 dan x2 = 0, seperti dalam simpleks awal
untuk maksimisasi, penyelesaian dasar tidak mungkin karena s1 = -14, s2 = -12,
s3 = -18 dan nilai negatif adalah tidak mungkin (nonfeasible). Untuk mengatasi
masalah tersebut, harus di msukan variabel – varaibel buatan (artificial variables).
iii. Tambahkan variabel – variabel buatan. Variabel buatan (Ai ≥ 0)adalah suatu variabel
kosong (dummy variable) yang ditambahkan dengan maksud khusus untuk
menghasilkan suatu penyelesaian dasar awal yang mungkin. Variabel tersebut tidak
mempunyai makna ekonomi. Sutu variabel yang terpisah ditambahkan untuk masing –
masing pertidaksamaan asal yang bersifat “lebih besar atau sama dengan”. Jadi,
18
12
14
1 0 0 1- 0 0 3 1
0 1 0 0 1 - 0 1 1
0 0 1 0 0 1- 1 2
3
2
1
3
2
1
2
1
A
A
A
s
s
s
x
x
2. Tabel Simpleks Awal yang Disesuaikan untuk Meminimisasi.
i. Buatlah tabel simpleks awal dengan meletakan matriks koefisien dan vector kolom dari
konstanta dalam (14.2) diatas baris indicator yang negatif dari koefisien – koefisien fungsi
obyektif. Fungsi obyektif mempunyai koefisien – koefisiennol untuk variabel surplus dan
koefisien – koefisien M variabel – variabel buatan, dimana M adalah suatu bilangan besar
yang tidak mungkin (impossibly large number) untuk meyakinkan bahwa A akan
dikeluarkan dari penyelesaian optimal.
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
2 1 -1 0 0 1 0 0 14
1 1 0
-1 0 0 1 0 12
1 3 0 0 -1 0 0 1 18
-2 -4 0 0 0 -M -M -M
indikator
77
ii. Kemudian pindahkan M dari kolom variabel buatan dengan menambahkan M kali ( baris1 +
baris2 + baris3).ini akan menghasilkan tabel awal.
Tabel awal
Penyelesaian mendasar pertama yang unkindapat dilihat secara langsung dari tabel awal
tersebut. Dengan mengandaikan x1 = x2 = s1 = s2 = s3 = 0, penyelesaian mendasar pertama
yang memungkinkan adalah A1 = 14, A2 = 12, A3 = 18, dan fungsi obyektifnya adalah 44M,
suatu bilangan besar yang tidak mungkin. Untuk menurunkan biaya, carilah perubahan
basis.
3. Elemen Fivot
i. Untuk menimasi, indicator positif terbesar akan menentukan kolom pivot dan variabel yang
memasuki basis. Karena elemen terakhir dari baris paling bawah , 44M , bukan indicator ,
5M – 4 merupakan indicator positif terbesar. Jadi x2 menjadi kolom pivot, sebagaimana
ditandai dengan anak panah.
ii. Baris pivot dan variabel yang meninggalkan basis ditentukan oleh rasio terkecil yang
dihasilkan dari pembagian elemen – elemen kolom pivot, persis untuk soal maksimisasi,
karena 63
18 merupakan rasio terkecil yang dihasilkan, maka baris3 menjadi baris pivot. A3
akan meninggalkan basis karena vector satuan dengan 1 dalam baris ketiga adalah
berhubungan dengan A3. elemen pivot pada perpotongan kolom pivot dan baris pivot adalah
3.
4. Pivoting
i. Kurangi elemen pivot menjadi 1 dengan mengalikan baris3 oleh 3
1
ii. Rampungkan kolom pivot dengan engurangkan baris3 dari baris1 dan baris2, dan (5M-4) kali
baris3 dari baris4
Tabel kedua :
5. Pengulangan (Reiterasi)
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
2 1 -1 0 0 1 0 0 14
1 1 0
-1 0 0 1 0 12
1 0 0 -1 0 0 1 18
4M-2 5M-4 -M -M -M 0 0 0 44M
2 1 -1 0 0 1 0 0 14 1 1 0
-1 0 0 1 0 12
3
1 1 0 0 -
3
1 0 0
3
1 6
4M-2 5M-4 -M -M -M 0 0 0 44M
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
3
5 0 -1 0
3
1 1 0 -
3
1 8
3
2 0 0
-1
3
1 0 1 -
3
1 6
3
1 1 0 0 -
3
1 0 0
3
1 6
3
2-7M 0 -M -M
3
4-2M 0 0
34-5M
14M + 24
78
Selama masih ada suatu indikator positif, proses tersebut berjalan terus. Kolo pivot yang baru
menjadi kolom1; baris pivot yang baru adalah baris1. jadi x1 masuk ke basis dan A1
meninggalkan basis.elemen pivotnya adalah 3
5 .
i. Kalikan baris1 dengan 5
3.
ii. Rampungkan kolom1 dengan mengurangkan 3
2baris1 dari baris2, 3
1 baris1 dari baris3, dan (7M
– 2)/3] baris1 dari baris4, menghasilkan tabel ketiga.
6. Pivot Keempat
i. Kalikan baris2 dengan 2
5
ii. Tambahkan5
3baris2 ke baris1, dan kurangkan
5
1baris2 dari baris3 dan [2M – 2)/5] baris2 dari
baris4.
Tabel keempat
1 0 -5
3 0
5
1
5
3 0 -
3
1
5
24
3
2 0 0
-1
3
1 0 1 -
3
1 6
3
1 1 0 0 -
3
1 0 0
3
1 6
3
2-7M 0 -M -M
3
4-2M 0 0
34-5M
14M + 24
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
1 0 -5
3 0
5
1
5
3 0 -
5
1
5
24
0 0 5
2
-1
5
1
5
2 1 -
5
1
5
14
0 1 5
1 0
5
2 -
5
1 0
5
2
5
22
0 0 5
2-2M -M
5
6-M
5
27M- 0
56-6M
5
13614M
.
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
1 0 0 -2
3
2
1 0
2
3 -
2`
1 9
0 0 1 2
5
2
1 -1
2
5 -
2`
1 7
0 1 5
1 0
5
2 -
5
1 0
5
2 3
0 0 0 -1 -1 -M -M+1 -M+1 30
1 0 -5
3 0
5
1
5
3 0 -
5
1
5
24
0 0 1 2
5
2
1 -1
2
5 -
2`
1
5
14
0 1 5
1 0
5
2 -
5
1 0
5
2
5
22
0 0 5
2-2M -M
5
6-M
5
27M- 0
5
66M-
5
13614M
79
Dengan semua indikator negatif, suatu penyelesaian optimal yang mungkin telah
dicapai.dengan memishkan matriks identitas, dan memperhatikan bahwa vector satuan untuk x2
dan s1 berbalikan, penyelesaian dasar optimal yang memungkinkan tersebut dapat dibaca secara
langsung dari tabel keempat 91x , 32x , 71s , 02s , dan 03s . nilai fungsi obyektif
ditunjkan oleh elemen terakhir dari baris terakhir, dimana 30c
Beberapa hal penting untuk diperhatikan :
1. Dengan 032 ss , kebutuhan kedua dn ketiga dipenuhi secara tepat . tidak terdapat
surplus. Dengan 71s kebutuhan pertama dipenuhi secara berlebih sebesar 7 unit.
2. Nilai absolut dari indicator untuk variabel – variabel surplus memberikan nilai marginal
atau harga bayangan dari kendala. Dengan indicator untuk s1 sama dengan nol,
pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi pertama tidak akan mengurangi biaya. Akan
tetapi, pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi kedua dan ketiga akan mengurangi
biaya sebesar Rp 1,-, karena nilai absolut indikator untuk s2 dan s3 adalah 1. sebagaimana
halnya nilai marginal, biaya total akan sama dengan jumlah dari berbagai kebutuhan
dikalikan harga bayangan masing – masing.
3. indikator darivariabel – variabel buatan semuanya negatif dalam tabel terakhir. Ini harus
selalu cocok untuk suatu penyelesaian optimal.
4. elemen – elemen koefisien dari dari variabel surplus(s1,s2,s3) selalu sama dengan negatif
dari elemen – elemen koefisien untuk variabel – variabel buatanya yang berkaitan (A1, A2,
A3). Ini harus cocok dalam setiap yang berurutan dapat membantu dalam menemukan
kesalahnmatematis.
5. suatu variabel buatan tidak akan pernah tampak dalam basis tabel terakhir jika suatu
penyelesaian dasar optimal yang mungkin telah dicapai. Untuk penyelesaian dual soal
pada soal yang sama, lihat contoh 4 dan 5 dalam bab 15.
CONTOH 4. Jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik
dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala, dan (2) mengevaluasi jumlah
biaya marginal sumberdaya.misalkan A,B,C melambangkan konstan - konstan dalam kendala
1,2,3.
1. c = 2x1 + 4x2 x1 + x2 – s2 = 12
= 2(9) + 4(3) = 30 9 + 3 – 0 =12
2x1 + x2 – s1 = 14 x1 + 3x2 – s3 = 18
2(9) + 3 – 7 = 14 9 + 3(3) – 0 = 18
2. c = MCA(A) + MCB(B) + MCC(C) = 0(14) + 1(12) + 1(18) = 30
80
SOAL DAN JAWABAN
MAKSIMISASI
1. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan
berikut. Tentukan harga bayangan dari input (atau kebutuhan) untuk kendalanya.
Maksimumkan Π = 3y1 + 4y2
Yang terikat pada 2.5y1 + y2 ≤ 20 y1 + 2y2 ≤ 16
3y1 + 3y2 ≤ 30 y1,y2 ≥ 0
1. Buatkan tabel simpleks awal
i. Tambahkan variabel slack pada kendala untuk membuatnya jada persamaan .
2.5y1 + y2 + s1= 20 3y1 + 3y2 + s2 = 30 y1 + 2y2 + s3= 16
ii. Nyatakan persamaan – persamaan tersebut dalam nentuk matriks
16
30
20
1 0 0 2 1
0 1 0 3 3
0 0 1 1 2.5
3
2
1
2
1
s
s
s
y
y
iii. Bentuklah tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien persamaan
kendala dan vector kolom konstan yang diletakan diatas baris indikator yang
negatif dari koefisien – koefisien fungsi obyektif dengan koefisien nol untuk
variabel awal :
Tabel awal :
Dengan menetapkan y1 = y2 = 0, penyelesaian mendasar pertama yang mungkin adalah
s1 = 20, s2 = 30, dan s3 = 16. pada penyelesaian mendasar pertama yang mungkin
tersebut, Π = 0.
2. Merubah basis. Indikator negatif dengan nilai absolute terbesar (anak panah)
menentukan kolom pivot. Rasio pemindahan terkecil yang diperoleh dari pembagian
elemen kolom konstanta dengan elemen kolom pivot menentukan baris pivot. Jadi,
menjadi elemen pivot, elemen pada perpotongan baris pivot dan kolom pivot.
3. Pivot.
i. Ubahlah elemen pivot menjdin1 dengan mengalikan baris3 dengan ½ .
ii. Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan baris3 dari baris1 , 3 kali baris3
dari baris2 , dan tambahkan 4 kali baris3 ke baris4
y1 y2 s1 s2 s3 konstanta
2
5 1 1 0 0 20
3 3 0 1 0 30
1 0 0 1 16
-3 -4 0 0 0 0
2
5 1 1 0 0 20
3 3 0 1 0 30
2
1 1 0 0
2
1 8
-3 -4 0 0 0 0
81
Tabel kedua :
4. Ubahlah basis pada pivotnya sekali lagi. Kolom1 adalah kolom pivot, baris2 baris pivot,
dan 2
3adalah elemen pivot.
i. Kalikan baris2 dengan 2
3
ii. Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan 2 kali baris2 dari baris1 , ½ kali
baris2 dari baris3, dan tambahkan barsi2 ke baris4.
Tabel final :
Karena tidak terdapat indikator negatif yang tertinggal, tbel fina dapat diperoleh.
Dengan mengoreksi fakta bahwa vektor – vektor satuan dari matriks identitas tidak
beraturan (out of order), 41y , 62y , 41s , 02s , 03s , dan Π = 36. lihat
contoh 1 dalam bab 13 dimana x digunakan sebagai pengganti y. Harga bayangan
dari input berturut – turut adalah 0, 3
2dan 1.
MINIMISASI
2. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan
yang diberikan di bawah ini. Tentukan harga bayangan dari masing – masing persyaratan
kendalanya.
Miniumkan c = 60 x1 + 80 x2
Yang terikat pada 2 x1 + 3 x2 ≥ 36 8 x1 + 2 x2 ≥ 32
2 x1 + 2 x2 ≥ 28 x1,x2 ≥ 0
1. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel – variabel
surplus, dan nyatakan dalam bentuk matriks.
2 x1 + 3 x2 - s1= 36 2 x1 + 2 x2 - s2 = 28 8 x1 + 2 x2 - s3= 32
y1 y2 s1 s2 s3 konstanta
2 0 1 0 -2
1 12
2
3 0 0 1
-
2
3 6
2
1 1 0 0
2
1 8
-1 0 0 0 2 32
2 0 1 0 -2
1 12
1 0 0 3
2
-1 4
2
1 1 0 0
2
1 8
-1 0 0 0 2 32
y1 y2 s1 s2 s3 konstanta
0 0 1 -3
4
2
3 4
1 0 0 3
2
-1 4
0 1 0 -3
1
2
1 6
0 0 0 3
2 1 36
82
16
30
20
1- 0 0 2 8
0 1- 0 2 2
0 0 1- 3 2
3
2
1
2
1
s
s
s
x
x
Karena penyelesaian dasar pertamanya tidak akan mungkin, tambahkan variabel –
variabel buatan
18
12
14
1 0 0 1- 0 0 3 1
0 1 0 0 1 - 0 1 1
0 0 1 0 0 1- 1 2
3
2
1
3
2
1
2
1
A
A
A
s
s
s
x
x
2. Buatlah tabel awal dengan melengtakan matriks koefisien dan vektor kolom dari
konstanta di atas negatif darikoefisien – koefisien fungsi obyektif yang mempunyai
koefisien nol untuk variabel – variabel surplus, dan koefisien yang secara semu (M)
untuk variabel – variabel buatan.
Rampungkan kolom – kolom variabel buatan M dengan menambahkan M dikalikan
(baris1 + baris2 + baris3) ke baris4 untuk mendapatkan tabel awal.
Tabel awal
3. Pilihlah elemen pivotnya dan pivotkan. Karena 12M -60 merupakan indikator positif
terbesar dan 8
32 adalah rasio pemindahan terkecil, 8 adalah elemen pivotnya.
i. Kalikan baris3 dengan 8
1
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
2 3 -1 0 0 1 0 0 36
2 2 0
-1 0 0 1 0 28
8 2 0 0 -1 0 0 1 32
-60 -80 0 0 0 -M -M -M 30
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
2 3 -1 0 0 1 0 0 36
2 2 0
-1 0 0 1 0 28
2 0 0 -1 0 0 1 32
12M-60 7M-80 0 0 0 -M -M -M 30
2 3 -1 0 0 1 0 0 36
2 2 0
-1 0 0 1 0 28
1 4
1 0 0 -8
1 0 0 8
1 4
12M-60 7M-80 -M -M -M 0 0 0 96M
83
ii. Kurangkan 2 kali baris3 dari baris1, 2 kali baris3 dari baris2, dan (12M-60) kali baris3
dari baris4
Tabel kedua :
4. Pivotkan lagi
i. Kalikan baris1 dengan 5
2
ii. Kurangkan 2
3 baris1 dari baris2, 4
1 baris1 dari baris3, dan (4M – 65) baris1 dari baris4
5. Pivotkan untuk ketiga kali. Dengan engingat bahwa eleen negatif tidak dapat digunakan
dalam penyebut dari rasio pemindahan,5
3 merupakan eleen pivot yang baru.
i. Kalikan baris2 dengan 3
5
ii. Tambahkan 10
1 kali baris2 ke baris1 dan kurangkan
5
2 kali baris2 dari baris3 dan
[(3M/5)- 26]kali baris2 dari baris4
iii.
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
0 2
5 -1 0 4
1 1 0 0 28
0 2
3 0
-1 4
1 0 1 0 20
1 4
1 0 0 -8
1 0 0 1 4
0 4M-65 -M -M 2
15M 0 0
2
153M 48M + 240
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
0 1 -5
2 0 10
1
3
2 0 -10
1
5
56
0 0 5
3
-1
10
1 -
5
3 1 -
10
1
5
16
1 0 10
1 0 -
20
3 -
10
1 0
20
3 4
0 0 265
3M -M 1
10
M 26
58M 0 1
10
11M 48M + 240
0 1 -3
2 0 10
1
3
2 0 -10
1
5
56
0 2
3 0
-1 4
1 0 1 -4
1 20
1 4
1 0 0 -8
1 0 0 8
1 4
0 4M–65 -M -M 2
15M 0 0 2
153M 48M+ 240
=+
+
+
0 1 -5
2 0 10
1
3
2 0 -10
1
5
56
0 0 1
-3
5 6
1 -1
3
5 -6
1
3
16
1 0 10
1 0 -
20
3 -
10
1 0
20
3
3
6
0 0 265
3M -M 1
10
M 26
5
8M 0 1
1011M
9685
16M
=+
+
+
84
Tabel keempat :
6. Pivotkan keempat kali
i. Kalikan baris2 dengan 6.
ii. Kurangkan 6
1 kali baris2 dari baris1, tambahkan
6
1 kali baris2 ke baris3, dan kurangkan
3
10 kali baris2 dsari baris4
Tabel final :
Dengan memperhatikan urutan dari vektor – vektor unit, 61x , 82x , 021 ss ,
dan 323s . dan 1000c . Harga bayangan dari persyaratan yang erupakan kendala masing –
masing adalah 20,10, dan 0.
PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA
3. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesikan persamaan dan pertidaksamaan –
pertidaksamaan berikut
Minimukan c = 4x1 + 2x2
Yang terikat pada 4x1 + x2 ≥ 20 x1 + 6x2 ≥ 18
2x1 + x2 ≥ 14 x1,x2 ≥ 0
1. Buatlah tabel awal
Tabel awal ;
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
0 1 0 -3
2 6
1 0
3
2 -6
1
3
40
0 0 1 - 3
5 6
1 -1
3
5 -6
1
3
16
1 0 0 6
1 -
6
1 0 -
6
1
6
1
3
2
0 0 0 -3
130
3
10 -M
3
130M
3
10M
3
3320
0 1 0 -3
2 6
1 0
3
2 -6
1
3
40
0 0 6
10 1 -6 10 -1 32
1 0 0 6
1 -
6
1 0 -
6
1
6
1
3
2
0 0 0 -3
130
3
10 -M
3
130M
3
10M
3
3320
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
0 1 -1 1 0 1 -1 -0 8
0 0 6 -10 1 -6 10 -1 32
1 0 1 -2
3 0 -1
2
3 0 6
0 0 -20 -10 0 -M+20 -M +10 -M 1000
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
4 1 -1 0 0 1 0 0 20
2 1 0
-1 0 0 1 0 14
1 0 0 -1 0 0 1 18
7M-4 8M-2 -M -M -M 0 0 0 52M
85
2. Pivotkan. Kalikan baris3 dengan 6
1 setelah menurunkan elemen pivot menjadi 1,
kurangkan baris3 dari baris1 dan dan dari baris2 dan (8M – 2) kali baris3 dari baris4
menghasilkan tabel kedua
Tabel kedua ;
3. Pivot sekali lagi. Kalikan baris1 dengan 23
6 . Kemudian kurangkan 6
11 kali baris1 dari
baris3, dan [(17 – 11)3] kali baris1 dari baris4
Tabel ketiga ;
4. Pivot ketiga kali. Kalikan baris2 dengan 11
23 . Kemudian tambahkan 23
6 kali baris2 ke
baris1, kurangkan 23
1 kali baris2 dari baris3, dan [(11M – 22/23)] kali baris2 dari baris4
Tabel final ;
Dari tabel final 61x , 22x , 61s , 02s , 03s . Dan 28c . Akan tetapi, 3s , yang
tidak terdapat basis terakhir, mempunyai indikator nol. Ini berarti bahwa variabel s3
dapat dimasukan ke basis tanpa mempengaruhi nilai fungsi obyektif. Karena fungsi
obyektif telah berada pada optimum, maka pasti terdapat lebih dari satu penyelesaian
optimal. Bilamana suatu variabel yang tidak berada dalam basis mempunyai indikator
nol, fungsi obyektif pasti mempunyai penyelesaian optimal berganda.
Dasar – Dasar Aljabar Matriks atau Linear
1.1 PERANAN ALJABAR MATRIKS
Alajabar matriks (1) memungkinkan untuk menyatakan suatu system persamaan yang
rumit dalam suatu cara yang ringkas dan sederhana. (2) memberikan cara yang cepat untuk
menentukan apakah suatu pemakaian terdapat pemecahan sebelum di coba, dan (3) memberikan
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
6
23 0 -1 0
6
1 1 0
6
1 17
6
11 0 0
-1
6
1 0 1
6
1 11
6
1 1 0 0 -
6
1 0 0
6
1 3
3
1117M 0 -M -M
3
1M 0 0 3
14 28M + 6
+ 6
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
1 0 -23
6 0
23
1
23
6 0 -
23
1
23
102
0 0 23
11
-1
23
2 -
23
11 1 -
23
2
23
66
0 1 23
1 0 -
23
4 -
23
1 0
23
4
23
52
0 0 23
2211M -M
23
42M
23
2234M 0
23
425M
23
51266M
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta
1 0 0 -11
6 11
1 0 11
6 -11
1 6
0 0 1 -11
23 11
2 -1 11
23 -11
2 6
0 1 0 11
1 -11
2 0 -11
1 11
2 2
0 0 0 -2 0 -M -M+2 -M 28
86
sarana penyelesain system persamaan. Akan tetapi, aljabar matriks hanya dapat diterapkan
pada system persamaan linear. Karena banyak hubungan ekonomi dapat di dekati dengan
persamaan linear dan yang lain dapat dikonversikan menjadi hubungan linear, pembatasan ini
umumnya tidak memberikan persoalan yang serius.
Contoh 1. untuk sebuah perusahaan dengan beberapa saluran distribusi yang menjual beberapa produk
yang berbeda, matriks memberikan cara yang ringkas untuk mengendalikan persediaan.
140 180 170 140
80 160 190 175
110 210 180 180
150 90 110 120
4
3
2
1
skipakaian temali- aliongkat tluncur tpapan saluran
Dengan membaca menyusun baris matriks, perusahaan deapat menentukan tingkat persediaan
dalam setiap saluran distribusinya. Dengan mambaca menurun suatu kolom matriks, perusahaan dapat
menentukan persediaan setiap jenis produksinya.
Contoh 2. suatu fungsi non linear, seperti fungsi produksi Cobb-Douglas yang umum
Q = A K α L β
Dapat dengan mudah dikonversikan menjadi fungsi linear dangan mencari logaritma masing – masing
ruas,sebagai berikut :
Log Q = log A + α log K +β log L
Dengan cara serupa, fungsi eksponensial dan fungsi pangkat yang lain dapat dengan mudah
dikonversikan menjadi fungsi linear, dan kemudian di selesaikan dengan aljabar matriks.
1.2. DEVINISI DAN ISTILAH
Matriks adalah deretan bilangan, parameter atau variabel yang disusun segi empat, yang
masing – masing mempunyai tempat yang ditata secara cermat dalam matriks. Bilangan –
bilangan ( parameter atau variabel) disebut sebagai elemen matriks. Bilangan pada deretan
vertkal disebut kolom. Banyaknya baris (m) dan kolom (n) menentukan dimensi matriks ( m x n
), yang di baca m kali n. bilangan baris selalu mendahului bilangan kolom. Dalam matriks bujur
sangkar square matrix), jumlah baris sama dengan jumlah kolom ( yaitu m = n ). Jika matriks
terdiri dari satu kolom tunggal sedemikian rupa sehingga dimensinya m x 1, matiks tersebut
adalah vekor kolom. Jika matriks terdiri dari stu baris, dengan dimensi 1 x n, maka matriks
tersebut adlah vector baris. Matriks yang mengkonversikan baris A menjadi kolm dan kolom A
menjadi baris disebut transpose A dan diberi tanda A' (atau AT).
Contoh 3. diketahui
a a a
a a a
a a a
(3x3)333231
23 2221
131211
A 7 2 4
8 9 3
(2x3)
B
5
4
7
(3x1)
C 1 0 3 (1x3)D
A adalah matriks umum terdiri dari 3 x 3 = 9 elemen, yang di susun dalam 3 baris dan 3
kolom. Jadi matriks tersebut adlah matriks bujur sangkar. Perhatikan bahwa tidak ada tanda
baca yang memisahkan elemen – elemen suatu matrik. Elemen – elemen tersebut semuanya
mempunyai subscript ganda; yang pertama menunjukan baris dimana elemen tersebut berada
dan yang kedua menunjukan kolomnya. Penempatanya adalah tepat dalam matriks. Jadi α23
adalah elemen yang berada pada baris kedua, kolom ketiga; α32 adalah elemen yan berada pada
baris ketiga, kolom kedua. Karena baris selalu mendahului kolom dalam notasi matriks,
mungkin untuk membantu mengingat subscript tersebut dengan istilah BK atau beberapa cara
yang lain untuk nmembantu mengingat.
87
B adalah matriks 2 x 3. elemen b12 -nya adlah 9, elemen b21 -nya adlah 4. C adalah
vector kolom dengan dimensi (3 x 1). D adalah vector baris dengan dimensi (1 x 3).
Transpose A adalah
a a a
a a a
a a a
'
332313
32 2212
312111
A
Dan transpose C adalah 5 4 7'C
1.3. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Penjumlahan (dan pengurangan) dua matriks A + B (atau A – B) mengharuskan matriks
– matriks tersebut berdimensi sama. Setiap elemen matriks yang satu kemudian ditambahkan ke
(dikurangkan dari) b11 dalam B;α12 ke b12, dan seterusnya.
Contoh 4. penjumlahan A + B di hitung dibawah ini, dengan mengetahui matriks A dan
matriks B.
(3x3)10 5 4
2 6 3
7 9 8
A
(3x3)2 9 7
4 2 5
6 3 1
B
)33((3x3)21 41 11
6 8 8
31 21 9
210 95 74
42 26 53
67 39 18
x
BA
Selisih C – D, apabila diketahui matiks – matriks C dan D,diperoleh sebagai berikut ;
(2x2)6 2
9 4C
(2x2)4 5
7 1D
(2x2)(2x2)2 3-
2 3
4-6 5-2
7-9 1- 4DC
Contoh 5. misalkan pengiriman D dilakukan ke saluran – saluran distribusi perusahaan dalam contoh
1.berapa tingkat persediaan yang baru?.
50 10 40 60
70 40 0 15
60 10 30 25
10 50 20 40
D
Untuk mendapatkan tingkat persediaan yang baru, misalkan matriks mula – mula S dan selesaikan S +
D. dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian dari masing – masing matriks tersebut,
901 901 102 200
501 002 190 190
071 202 102 225
601 401 031 160
50140 10180 40170 60140
7080 40160 0 190 15175
60110 10210 30180 25200
10150 5090 20110 40120
DS
1.4. PERKALIAN SKALAR
Dalam aljabar matriks, bilangan sederhana seperti 12,-2,0,07 disebut skalar. Perkalian
matriks dengan bilangan atau scalar meliputi perkalian setiap elemen dari matriks tersebut
dengan bilangan itu. Prosesnya disebut perkalian skalar (scalar multiplication)karena menaikan
atau menurunkan matriks tersebut menurut besarnya skalar.
Contoh 6. hasil perkalian skalar k A, apabila diketahui k = 8 dan
88
(3x2)4 8
7 2
9 6
A
Diperlihatkan dibawah ini,
(3x2)(3x2)32 64
56 16
72 48
8(4) 8(8)
8(7) 8(2)
8(9) 8(6)
kA
1.5. PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor baris (A) dengan vektor kolom (B) mensyaratkan masing – masing
vektor mempunyai jumlah elemen yang persis sama. Kemudian, hasilkalinya didapatkan
dengan mengalikan elemen – elemen individual dari vektor baris dengan elemen – elemen yang
beresesuaian dengan vektor kolom, dan menjumlahkan hasilnya :
AB = (a11 x b11) + (a12 x b21) + (a13 x b31) dan seterusnya.
Jadi hasil perkalian baris – kolom akan merupakan suatu bilangan tunggal atau scalar. Perkalian
vektor baris kolom adlah penting sekali. Ini dipakai sebagai dasar untuk semua perkalian
matriks.
Contoh 7. hasilkali AB dari vektor baris A dan vektor kolom B, apabila diketahui
(1x4)9 2 7 4A
(4x1)6
5
1
12
A
di hitung sebagai berikut.
AB = 4(12) + 7(1) + 2(5) + 9(6) = 48 + 7 + 10 + 54 = 119
Hasilkali vektor – vektor berikut :
(1x3)8 6 3A
(3x1)5
4
2
A
adalah
CD = (3 x 2) + (6 x 4) + (8 x 5) = 6 + 24 + 40 = 70
Perhatikan bahwa karena masing – masing pasangan vektor diatas mempunyai jumlah elemen
yang sama, perkalian adalah mungkin.
Pembalikan susunan perkalian dalam salah satu vektor di atas dan dengan diperolehnya
perkalian vektor kolom – baris (BA atau DC) akan menghasilkan jawaban yang sama sekali
berbeda.
1.6. PERKALIAN MATRIKS
Perkalian dua matriks berdimensi (m x n)1 dan (m x n)2, mensyaratkan bahwa kedua
matriks tersebut bersesuaian yaitu bahwa n1 = m2, atau jumlah kolom pada 1, matriks awal
(lead matriks) saa dengan jumlah di bahbaris pada 2, matriks akhir (lag matriks). Setiap vektor
baris pada matriks awal kemudian dikalikan dengan setiap vektor kolom dari matriks akhir,
menurut kaidah untuk perkalian vektor baris dan vektor kolom yang di bahas dalam butir 1.5.
hasilkali baris – kolom kemudian di pakai sebagai elemen dalam formasi dari matriks hasilkali
sedemikian rupa, sehinga setiap elemen cij dari atriks hasilkali C adlah suatu skalar yang berasal
dari perkalian baris ke i dari matriks awal dan kolom ke j dari matriks akhir. Hasilkali baris –
kolom tersebut disebut hasilkali dalam (inner product).
Contoh 8. Diketahui
89
(2x3)11 9 12
7 6 3A
(3x2)2 13
10 5
12 6
B
(2x3)3 4 2
8 7 1A
Suatu pengujian ringkas (cepat) untuk melihat adanya persesuaian (conformability),
yang akan di terapkan sebelum melakukan setiap perkalian mmatriks, adlah dengan menata dua
pasang dimensi tersebut dalam mana matriks – matriks tersebut akan dikalikan, kemudian
dalam hati lingkarilah bilangan terakhir dari pasang pertama dan dan bilangan pertama dari
pasang kedua. Jika mereka sama, dua matriks tersebut akan sesuai untuk perkalian dalam
susunan yang diberikan, dan bilangan – bilangan di luar lingkaran akan menunjukan, dalam
susunan yang benar, dimensi dari matriks hasil kali. Jadi untuk AB,
(2 x 3) = (3 x 2)
(2x 2)
matriks – matriks tersebut memenuhi syarat persesuaian dan dimensi dari
matriks hasil kali AB adalah (2 x 2). Apabila dua matriks seperti AB adalah bersesuaian, AB
dikatakan telah di tetapkan (defined)
untuk BC,
(3 x 2) = (2 x 3)
(3 x 3)
matriks – matriks tersebut adalah bersesuaian dan dimensi dari matriks hasil kali BC merupakan
(3 x 3).
Untuk BC
(2 x 3) ≠ (2 x 3)
A dan C tidak bersesuaian untuk perkalian. Jadi AC tidak di tetapkan.
Contoh 9. setelah menentukan persesuaian AB dalam contoh 8, hasil kali dari dua matriks itu
dapat di cari. Pertama, kalikan baris pertama matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir
untuk mecari elemen pertama d11 matriks hasil kali D. kemudian kalikan baris pertama matriks
awal dengan kolom kedua matriks akhiruntuk mendapatkan d12. karena tidak ada lagi kolom
yang tersisa dalam matriks akhir, bergeraklah ke baris kedua matriks awal. Kalikan baris kedua
matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir untuk mendapatkan d12. akhirnya, kalikan
baris kedua matriks awal dengan kolom kedua matriks akhir untuk mendapatkan d22. jadi,
(2x2)(2x2)
256 260
110 139
11(2)9(10)12(12) 11(13)9(5)12(6)
(2) 7 6(10) 3(12) (13) 7 6(5) 3(6)DAB
Hasil kali BC dihitung dibawah ini, dengan menggunakan metode yang sama :
(3x3)(3x3)110 99 17
70 75 25
84 90 03
2(3)13(8) 2(4)13(7) 2(2)13(2)
10(3)5(8) 10(4)5(7) 10(2)5(1)
12(3) 6(8) 12(4) 6(7) 12(2) 6(1)
EBC
Contoh 10. Dengan mengacu ke contoh 1, misalkan bahwa harga papan luncur adlah Rp 200,-,
tongkat Rp 50,- , tali Rp 100,- dan pakaian ski Rp 150,-. Untuk mencari nilai persediaan (V)
pada berbagai saluran distribusi, nyatakan harga tersebut sebagai sebuah vector kolom (P), dan
kalikan S dengan P :
)14()44(150
100
50
200
140 180 170 140
80 160 190 175
110 210 180 200
150 90 110 120
xx
SPV
Matriks – matriks tersebut bersesuaian dan matriks hasil kalinya merupakan 4 x 1,karena
(4 x 4) = (4 x 1)
90
(4 x 1)
Jadi,
)14()14(500.75
500.72
500.86
000.61
140(150) 180(100)170(50)140(200)
80(150) 160(100)190(50)175(200)
110(150)210(100) 180(50) 200(200)
150(150)90(100) 110(50)120(200)
xx
V
1.7. HUKUM KOMUTATIF, ASOSIATIF DAN DISTRIBUTIF DALAM ALJABAR
MATRIKS
Penjumlahan matriks adalah komutatif (yaitu A + B = B + A), karena penjumlahan
matriks hanya melibatkan penjumlahan elemen – elemen yang bersesuaian dari dua matriks,
dan susunan penjumlahan tidak dipentingkan. Untuk alas an yang sama,penjumlahan matriks
juga asosiatif, (A + B) + C = A + (B + C). hal yang sama berlaku untuk pengurangan matriks.
Karena pengurangan matriksA – B dapat dirubah mebjadi penjumlahan matriks A + (-B), maka
pengurangan matriks juga komutatif dan asosiatif.
Perkalian matriksm, dengan beberapa perkecualian, adalah tidak komutatif (yaitu AB ≠ BA). Akan tetapi, perkalian scalar adalah komutatif (yaitu kA = Ak). Jika terdapat tiga atau lebih
matriks yang bersesuaian, yaitu X(a x b), Y(c x d),Z(e x f) dimana b = c dan d = e, hukum
asosiatif akan berlaku selama matriks – matriks tersebut dikalikan dalam urutan persesuaian
(conformability). Jadi, (XY)Z = X(YZ). Tunduk pada sarat yang sama ini, perkalian matriks juga
distributive A(B + C) = AB + AC.
Contoh 11. Diketahui,
6 17
11 4A
2 6
7 3B
Untuk membuktikan bahwa penjumlahan dan pengurangan matriks adalah komutatif, buktikan
bahwa (1) A + B = B + A dan (2) A – B = –B + A. Perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah
ini
(1). 8 23
18 7
6 2 176
117 43
8 23
18 7
2 6 617
711 3 4ABBA
(2). 4 11
4 1
6 2- 176-
117- 43-
4 11
4 1
2 6 617
711 3 4ABBA
Contoh 12. Diketahui,
)32(11 9 12
7 6 3
x
A
)23(2 13
10 5
12 6
x
B
Dapat di buktikan bahwa perkalian atriks tidak komutatif dengan membuktikan AB ≠ BA,
sebagai berikut :
AB adalah sesuai, (2 x 3) = (3 x 2), AB akan menjadi 2 x 2
(2x2)(2x2)256 260
110 139
11(2)9(10)12(12) 11(13)9(5)12(6)
(2) 7 6(10) 3(12) (13) 7 6(5) 3(6)AB
BA adalah bersesuaian (3 x 2) = (2 x 3), BA akan menjadi 3 x 2
(3x3)(3x3)113 96 63
145 120 135
174 144 162
)11(213(7) )9(213(6) )12( 213(3)
(11)015(7) (9)015(6) (12)01 5(3)
12(11) 6(7) 12(9) 6(6) 12(12) 6(3)
AB
karena itu AB ≠ BA.seringkali matriks – matriks tidak bersesuaian dalam dua arah.
Contoh 13. Diketahui,
91
)23(6 8
3 1
5 7
x
A
)32(5 6 2
10 9 4
x
B
)13(7
6
2
x
B
Untuk membuktikan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif, yaitu (AB)C = A(BC), perhitunganya
adalah sebagai berikut :
)33()33(110 108 44
25 27 10
95 93 38
6(5)8(10) 6(6)8(9) 6(2)8(4)
(5) 3 1(10) (6) 3 1(9) (2) 3 1(4)
5(5)7(10) 5(6)7(9) 5(2)7(4)
xx
A
)13()13()13()33(1506
357
1299
110(7)108(6)44(2)
25(7) (6) 27 10(2)
95(7) 93(6) 38(2)
7
6
2
110 108 44
25 27 10
95 93 38
)(
xxxx
CAB
)12()12(75
132
5(7) 6(6)2(2)
10(7) 9(6)4(2)
xx
BC
)13()13(
)2(
)23(1506
357
1299
6(75) 8(132)
3(75)1(132)
5(75)7(132)
75
132
6 8
3 1
5 7
)(
xx
x
x
BCA terbukti
1.8. MATRIKS IDENTITAS DAN MATRIKS NULL
Matriks identitas I adalah suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai 1 untuk setiap elemen
pada diagonal utama dari kiri ke kanan dan nol di setiap tempat yang lain. Lihat contoh 14. apabila
subscript digunakan, seperti pada In,n menunjukan dimensi matriks (m x n). matriks identitas serupa
dengan bilangan 1 dalam aljabar karea perkalian suatu matriks dengan matriks identitas tidak membawa
perubahan terhadap matriks asal (yaitu AI = IA = A). perkalian suatu matriks identitas dengan dirinya
sendiri meninggalkan matriks identitas tidak berubah : I x I = I2= I. setiap matriks utuk mana A = A' adalah matriks simetris (symmetric matrix). Matriks simetris untuk mana A x A = A,adalah matriks
idempotent (idempotent matrix). Matriks identitas adalah simetri dan idempotent.
Matriks null terdiridari semuanya nol dan dapat berdimensi sembarang ; tidak perlu bujur sangkar.
Penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak membawa perubahan terhadap matriks asalnya,
perkalian dengan matriks null menghasilkan matriks null.
Contoh 14. apabila diketahui,
7 3 1
6 2 9
14 10 7
A 4 20
12 5B
0 0
0 0N
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Dapat dibuktikan bahwa : (1) perkalian dengan suatu matriks identitas tidak menimbulkan tambahan
terhadap matriks asalnya, yaitu AI = A, (2) perkalian dengan suatu matriks null menghasilkan matriks
null, yaitu BN = N dan (3) penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak mengakibatkan matriks
asalnya berubah, yaitu B + N = B. perhitungan – perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah ini
(1).
(1) 7 3(0) 1(0) (0) 7 3(1) 1(0) (0) 7 3(0) 1(1)
(1) 6 2(0) 9(0) (0) 6 2(1) 9(0) (0) 6 2(0) 9(1)
14(1)10(0)7(0) 14(0)10(1)7(0) 14(0)10(0)7(1)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
7 3 1
6 2 9
14 10 7
AI
7 3 1
6 2 9
14 10 7
AI terbukti
(2). 0 0
0 0
4(0)20(0) 4(0)20(0)
12(0) 5(0) 12(0) 5(0)BN terbukti
(3). 4 20
12 5
0 4 020
012 0 5NB terbukti
1.9. PERNYATAAN MATRIKS DARI SERANGKAIAN PERSAMAAN LINEAR
92
Aljabar matriks memungkinkan pengungkapan secara ringkas suatu sistem persamaan
linear. Sebagai ilustrasai sederhana, perhatikan bahwa sistem persamaan linear
7x1 + 3x2 = 45
4x1 + 5x2 = 29
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
AX = B
Dimana 5 4
3 7A
2
1
x
xX dan
29
45B
A adalah matriks koefisien (coefisien matrix),X adalah vektor penyelesaian (solution vector),
dan B adalah vektor unsur konstanta (vector of constan terms). X dan B akan selalu berupa
vektor kolom.
Contoh 15. untuk membuktikan bahwa AX = B dengan tepat menggambarkan sistem
persamaanyang diberikan dalam seksi 1.9, dapatkan hasil kali AX. Perkalian adalah mungkin
karena AX adalah bersesuaian, dan matriks hasil kali menjadi 2 x 1
(2 x 2) = (2 x 1)
(2 x 1)
jadi,
)12(21
21
2
1
5x 4x
3x 7x
5 4
3 7
xx
xAX
dan 29
45
5x 4x
3x 7x:
21
21BAX terbukti
dari sini, meskipun penampilanya seperti itu, AX adalah vektor kolom (2 x 1) karena setiap baris
terdiri dari suatu elemen tunggal yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut melalui
penjumlahan.
Contoh 16. diketahui
8w +12x – 7y +2z = 139
3w +13x + 4y +9z = 242
untuk menyatakan sistem persamaan ini dalam notasi matrik,dalam hati balikan susunan
perkalian matriks:
)12(
)14(
)42(242
139
9 4 13- 3
2 7- 12 8
x
x
x
z
y
x
w
kemudian, dengan mengandaikan A = matriks koefisien, W = vektor kolom variabel, dan B =
vektor kolom konstanta, sistem persamaan yang diketahui tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk matriks
A(2x4)W(4x1) =B(2x1)
1.10. OPERASI BARIS
Operasi baris (row operation) berarti penerapan operasi aljabar yang sederhana pada baris- baris
suatu matriks. Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear, tiga operasi barisdasar memungkinkan (1)
setiap dua baris suatu matriks saling tukar, (2) setiap baris atau baris – baris dakalikan dengan suatu
konstanta, asalkan konstanta tersebut tidak sama dengan nol, dan (3) setiap kelipatan suatu baris
ditambahkan ke atau dikurangkan dari baris yang lain.
Contoh 17. operasi baris, yang tentunya sudah tidak asing lagi dari aljabar, diilustrasikan di bawah
ini,dengan mengetahui
5x + 2y = 16
8x + 4y = 2n8
Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear,kita dapat
1. Saling menukar dua baris tersebut :
8x + 4y = 28
5x + 2y = 16
2. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta, di sini 8x + 4y = 28 dengan 1/4, yang menghasilkan
93
2x + y = 7
5x + 2y = 16
3. Mengurangkan kelipatan satu baris dari yang lain, di sini 2(2x + y = 7) dari 5x + 2y = 16, yang
menghasilkan
5x + 2y = 16
-4x – 2y = -14
x = 2
1.11. MATRIKS PERBESARAN (AUGMENTED)
Diketahui suatu system persamaan dalam bentuk matriks AX = B matriks perbesaran A/B
adalah matriks koefisien A dengan vector kolom konstanta B, diletakan disampingnya, yang dipisahkan
dengan suatu garis atau kisi. Jadi, untuk sistem persamaan dalam butir1.9,
29
45
5 4
3 7BA
Matriks perbesaran digunakan sebagai sarana penyelesaian system persamaan linear.
Contoh 18. matriks perbesaran A/B untuk
4x1 + 5x2 + 7x3 = 42
2x1 + 3x2 + 8x3 = 40
6x1 + 4x2 + x3 = 18
Adalah
18
40
42
1 4 6
8 3 2
7 5 4
BA
1.12. METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR
Penggunaan metode eliminasi gauss dalam menyelesaikan persamaan linear semata – mata
dengan menyatakan system persamaan tersebut sebagai suatu matriks perbesaran dan menerapkan
operasi baris berulang – ulang pada matriks perbesaran sampai matriks koefisien A di sederhanakan
menjadi suatu matriks identitas. Penyelesaian atas system persamaan kemudian dapat di baca dari
elemen – elemen yang tinggal dalam vektor kolom B (lihat contoh 19). Untuk mengubsh matriks
koefisien kedalam uatu matriks identitas, bergeraklah sepanjang sumbu utama. Pertam,a dapatkan 1 pada
posisi a11 dari matriks koefisien, kemudian gunakan operasi baris untuk mendapatkan nol disetiap
tempat yang lain pada kolom pertama. Berikutnya dapatkan 1 pada 0posisi a22 dan gunakan operasi baris
untuk mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom mendapatkan nol disetiap tempat yang lain
pada kolom tersebut. Teruskan memperoleh 1 sepanjang diagonal utama dan kemudian rampungkan
kolomnyasampai matriks identitas tersebut sempurna.
Contoh 19. metode eliminasi gauss di gunakan dibawah ini untuk mencari x1 dan x2 dalam sistem
persamaan
2x1 + 12x2 = 40
8x1 + 4x2 = 28
pertama nyatakan persamaan tersebut dalam suatu matriks perbesaran
28
40
4 8
12 2BA
kemudian,
1a. Kalikan baris pertaa dengan2
1 untuk endapatkan 1 pada posisi a11
28
20
4 8
6 1
1b. Kurangkan 8 kali baris kedua untuk merampungkan kolom pertama
132
20
44- 0
6 1
2a. Kalikan baris kedua dengan 44
1untuk mendapatkan1 pada a22
3
20
1 0
6 1
94
2b. Kurangkan 6 kali baris kedua dari baris pertama untuk merampungkan kolom kedua
3
2
1 0
0 1
hasilnya adalah x1 = 2, x2 = 3 karena
3
2
x
x
1 0
0 1
2
1
x1 + 0 = 2
0 + x2 = 3
95