1. teori pendukung
DESCRIPTION
1. TEORI PENDUKUNG. 1.1 Pendahuluan 1.2 Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat. 1.1 Pendahuluan. Definisi 1: Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1. TEORI PENDUKUNG
•1.1 Pendahuluan•1.2 Variabel acak •1.3 Distribusi variabel acak diskrit•1.4 Distribusi variabel acak kontinu•1.5 Distribusi multivariat
1
Definisi 1: Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Notasi : S
2
Definisi 2: Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Sifat : Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika
A B
Prostok-1-firda
1.1 Pendahuluan
3
Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A, ditulis dengan sifat:
( ) atau { }P A P A
( )0 ( ) 1i P A ( ) ( ) 1 dan ( ) 0.ii P S P
( ) Untuk setiap kejadian A, ( ') 1 ( ).iii P A P A
• Jika
,maka ( ) ( ).A B P A P B
• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku • Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB
( ) ( ) ( ).P AB P A P BProstok-1-firda
4
• Jika A dan B dua kejadian , dengan
( )
( )
P A BP B A
P A
( ) 0,P A
peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:
Jika kejadian-kejadian adalah partisi dari ruang sampel S maka untuk kejadian B sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0 berlaku:
1 2, ,..., kA A A
Teorema Bayes :
1
( ). ( )( )( )
( ) ( ). ( )
i ii
i k
i ii
P B A P AP A BP A B
P B P B A P A
Definisi 3:Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real. (R)
Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x, dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama dengan x dinyakan dengan
Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.
5
1.2 Variabel Acak
( ).P X x
Klasifikasi Variabel Acak:
1. Variabel Acak Diskrit
2. Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X dikatakan variabel acak diskritjika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .
Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).
6
7
Definisi 4: Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut
fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :
( ) ( )p x P X x
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).
( ) ( )b
a
P a X b f x dx
8
( ) ( ),F x P X x x
( ) ( ) ( )t x
F x P X x p t
( ) ( ) ( )x
F x P X x f t dt
Definisi 5: Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel acak X adalah:
• Untuk variabel acak diskrit :
• Untuk variabel acak kontinu :
9
Definisi 6:
(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )x
E X xp x (ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )E X x f x dx
Prostok-1-firda
10
22( ) ( ) ( )Var X E X E X
Definisi 7: Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:
Definisi 8: Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X
merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu
( ) tXXM t E e
( ) ,txe f x dx
( ),tx
x
e p x
X variabel acak kontinu
X variabel acak diskrit
1.3 Distribusi variabel acak diskrit
11
a. Distribusi Bernoulli
1( ) , 0,1x xp x p q x
( ) E X p
( ) (1 ) Var X p p pq
• pmf:
• mean:
• variansi:
12
b. Distribusi Binomial
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,...,x n xnp x p q x n
x
( )E X np
( )Var X npq
Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan binomial
13
c. Distribusi Geometri
• pmf:
• mean:
• varians:
1( ) , 1, 2,3,...xp x pq x
1( )E X
p
2( )
qVar X
p
Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama kali
14
d. Distribusi Poisson
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,2,...!
xep x x
x
( )E X
( )Var X
Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan poison
1.4 Distribusi variabel acak kontinu
15
a. Distribusi Uniform
• pdf:
• mean:
• varians:
1( ) ,f x a x b
b a
( )2
a bE X
2( )Var ( )
12
b aX
16
b. Distribusi Eksponensial
• pdf:
• mean:
• varians:
( ) , 0xf x e x
1( )E X
2
1( )Var X
17
c. Distribusi Normal
• pdf:
• mean:
• varians:
2( )1
212
( ) ,x
f x xe
( )E X
2Var( ) X
18
Fungsi peluang (Pmf) Mean Variansi Mgf
Distribusi Peluang Diskrit
1( ) , 0,1x xp x p q x p pq tq pe
( ) ,
0,1,...,
x n xnp x p q
x
x n
np npq (ntq pe
1( ) ,
1, 2,3,...
xp x pq
x
1
p 2
q
p (1 )
t
t
pe
qe
( ) ,!
0,1,2,...
xep x
x
x
(1 )tee
( , )X B n p
( )X Bernoulli p
( )X GEO p
( )X POI
19
Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf
1( ) ,f x a x b
b a
2( )1
212
( ) ,x
f x
x
e
2 2 21
2t t
e
1
( ) , 0( )
k k xx ef x x
k
k
2
k
k
t
( ) , 0xf x e x 1
2
1
t
2
a b 2( )
12
b a
( )
bt ate e
t b a
( , )X U a b
( )X EXP
( , )X GAM k
2( , )X N
Distribusi Peluang Kontinu
20
1.5 Distribusi multivariata. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka
(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pmf marjinal dari X :
(iv) Pmf marjinal dari Y :
( , ) ( , )XYp x y P X x Y y
( , ) ( , )XY XYa x b y
F x y p a b
( ) ( , )X XYy
p x p x y
( ) ( , )Y XYx
p y p x y
21
(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )( | ) , ( ) 0
( )XY
X Y YY
p x yp x y p y
p y
|
( , )( | ) , ( ) 0
( )XY
X Y Ya x Y
p a yF x y p y
p y
[ | ] . ( )XYx
E X Y y x p x y Prostok-1-firda
22
b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka
(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pdf marjinal dari X :
(iv) Pdf marjinal dari Y :
2 ( , )( , )XY
F x yf x y
y x
( , ) ( , )y x
XY XYF x y f s t ds dt
( ) ( , )X XY
y
f x f x y dy
( ) ( , )Y XY
x
f y f x y dx
23
(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )( | ) , ( ) 0
( )XY
X YY
f x yf x y f y
f y
|
( , )( )
( )
xXY
X YY
f t yF x y dt
f y
| ( | )X YE X Y y xf x y dx
24
[ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y
Kovariansi dari X dan Y:
( , ) [ ] [ ] [ ]Cov X Y E XY E X E Y
Koefisien korelasi dari X dan Y:
( , )( , )
( ). ( )
Cov X YX Y
Var X Var Y
Soal
1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masing- masing berdistribusi Poisson dengan mean Tunjukkan bahwa variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan mean
25
1 2dan .
1 2 .
2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi Asumsikan , tunjukkan bahwa ( ).F x
0
. ( ) (1 ( ))a E X F x dx
1
0
. ( ) (1 ( ))n nb E X nx F x dx
(0) 0,F
Prostok-1-firda