1. segi banyak a. diagonal, sudut dalam, dan … sama kaki 1 2 × 1 = 2 tidak ada 2. segitiga sama...

229 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD

1. Segi Banyak

a. Diagonal, Sudut Dalam, dan Sudut Luar

Suatu segi banyak adalah bangun ilmu ukur yang dibentuk oleh tiga titik atau lebih yang

tidak segaris dan tiga ruas garis atau lebih yang menghubungkan ketiga titik atau lebih

titik itu.

Misalnya segi-4, segi-5, dan seterusnya dinamakan segi banyak atau disingkat segi-n

artinya n menunjukkan banyak sisi segi banyak yang bersangkutan. Untuk n = 4 artinya

segi banyak mempunyai 4 sisi, n = 5 artinya segi banyak mempunyai 5 sisi, dan

seterusnya.

Beberapa hal penting pada segi banyak atau segi-n adalah

1. Diagonal

Diagonal adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berdekatan.

Jumlah diagonal segi banyak atau segi-n = 2

)3( nn

Contoh:

Tentukan jumlah diagonal dari segi-6.

Solusi:

Jumlah diagonal segi-6 = 92

)36(6

2. Sudut Dalam

Jumlah sudut-sudut dalam segi banyak atau segi-n = 180)2(n

Contoh:

Tentukan jumlah sudut-sudut dalam segi-5.

Solusi:

Sudut-sudut dalam segi-5 ABCDE adalah A , B ,

C , D , dan E .

Sudut-sudut pusat segi-5 ABCDE adalah 1P , 2P , 3P , 4P , dan 5P .

36054321 PPPPP

Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o, maka

Jumlah sudut-sudut dalam semua segitiga adalah sudut 1ABP + sudut 1BCP +

sudut 1CDP + sudut 1DEP + sudut 1EAP 9001805

Jumlah sudut-sudut dalam segi-5 ABCDE = Sudut-sudut pusat Jumlah sudut-sudut

dalam semua segitiga

1 2

3 4

5

P

A B

C

D

E


A + B + C + D + E = 900o – 360

o = 540

o

Rumus: Jumlah sudut-sudut dalam segi banyak atau segi-n = 180)2(n

Jumlah sudut-sudut segi-5 ABCDE = 540180)25(

3. Sudut Luar

Jumlah sudut-sudut luar segi banyak atau segi-n = 360o

Contoh:

Carilah jumlah sudut-sudut segi-5 ABCDE.

Solusi:

Strategi 1:

Jumlah sudut-sudut luar segi-5 ABCDE = Jumlah sudut dalam dan sudut luar – jumlah

sudut-sudut dalam = 5 × 180o – (5 – 2) × 180

o = 900

o – 540

o = 360

o

Strategi 2:

12 180 AA

12 180 BB

12 180 CC

12 180 DD

12 180 EE

Jumlah semua persamaan itu adalah

)(900 1111122222 EDCBAEDCBA

180)25(180522222 EDCBA

360540900

Sesuai dengan rumus bahwa jumlah sudut-sudut luar segi banyak atau segi-n adalah 360o.

b. Segi Banyak Beraturan (Segi-n Beraturan)

Definisi:

Segi banyak beraturan atau segi-n beraturan adalah segi banyak yang sisi-sisinya semua

sama panjang dan sudut-sudutnya semua sama besar.

1. Besar tiap sudut pusat segi-n beraturan = n

360

2. Besar tiap sudut dalam segi-n beraturan =

180)2(

n

n

Beberapa segi banyak beraturan atau segi-n beraturan adalah

1 1

1

1

1

A B

C

D

E

2

2

2

2

2


1. Segi-3 Beraturan atau Segitiga Sama Sisi

Panjang sisi = 3R

Sudut pusat =

1203

360

Sudut dalam =

601803

)23(

Panjang sisi = 3R

Keliling = 33R

Luas = 34

3 2R

dengan R = jari-jari lingkaran luar dan

O = pusat lingkaran

2. Segi-4 Beraturan atau Persegi

Panjang sisi = 2R

Sudut pusat =

904

360

Sudut dalam =

901804

)24(

Keliling = 24R

Luas = 22R

3. Segi-6 Beraturan

Panjang sisi = R

Sudut pusat =

606

360

Sudut dalam =

1201806

)26(

Keliling = R6

Luas = 32

3 2R

Contoh:

Di dalam lingkaran yang berjari-jari 10 cm dan berpusat di O digambarkan sebuah

segitiga beraturan, sebuah segi empat beraturan, dan sebuah segi enam beraturan.

Hitunglah rasio keliling dan luas ke tiga segi banyak itu.

120o

R

3R

O

90o R

O

2R

R

R

R

60o

O


Solusi:

Keliling segitiga beraturan = 33R 3303103 cm

Luas segitiga beraturan = 3753104

33

4

3 22 R cm2

Keliling segi empat beraturan = 240310424 R cm

Luas segi empat beraturan = 2001022 22 R cm2

Keliling segi enam beraturan = 601066 R cm

Luas segi enam beraturan = 31503102

33

2

3 22 R cm2

Keliling segitiga beraturan : keliling segi empat beraturan : keliling segi enam beraturan

6:24:3360:240:330 .

Luas segitiga beraturan : luas segi empat beraturan : luas segi enam beraturan

36:28:333150:200:375 .

K. Lingkaran

Definisi:

Lingkaran adalah sebuah garis lengkung yang bertemu kedua ujungnya, sedangkan semua

titik sama jauh letaknya dari sebuah titik tertentu.Titik ini dinamakan titik pusat dan garis

lengkung yang bertemu kedua ujungnya itu dinamakan keliling. Dengan perkataan lain.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu

(yang dinamakan titik pusat lingkaran).

a. Bagian-bagian Lingkaran

O adalah titik pusat lingkaran.

Jari-jari (radius) adalah sebuah garis yang

menghubungkan sebuah titik pada keliling dengan titik

pusat. Jari-jari diberi notasi r. Pada gambar, jari-jarinya

adalah OA = OB = OC = r.

Tali busur adalah garus penghubung dua buah titik pada kaliling lingkaran. Pada gambar

tali busurnya adalah BC dan AB.

Diameter (garis tengah) adalah tali busur yang melalui titik pusat lingkaran. Diameter

diberi notasi d. Pada gambar diameternya adalah AB .

Hubungan anatara jari-jari r dan diameter d pada suatu lingkaran ditentukan oleh rumus

sebagai berikut.

A B

C

O

A B

L

O

K

C

E

M


rd 2 dan dr2

1

Apotema adalah garis yang ditarik dari titik pusat suatu

lingkaran tegak lurus pada sebuah tali busur. Dengan

perkataan lain apotema adalah jarak antara titik pusat

dengan tali busur. Pada gambar apotemanya adalah OE.

Anak panah adalah kepanjangan apotema. Pada gambar apotemanya adalah ED.

Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur. Pada

gambar, bangun daerah yang diarsir AOC adalah juring.

Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur. Pada gambar bangun

daerah yang diarsir KLM adalah tembereng.

b. Sifat-sifat Tali Busur

1. Setiap tali busur yang tidak melalui titik pusat panjangnya kurang dari diameter.

Pada gambar BC < AB, KL < AB, dan PQ < AB.

2. Apotema membagi tali busur tegak lurus di pertengahan.

Pada gambar OE adalah apotema. PQOE dan PE = QE.

3. Tali-tali busur yang sama panjang mempunyai apotema yang sama panjang pula.

4. Jika dua buah tali busur dalam sebuah lingkaran mempunyai apotema yang sama

panjang, maka tali-tali busur itu sama panjang pula.

Contoh:

Diketahui lingkaran yang berpusat di O berdiameter 30 cm. Panjang tali busur AB = 18

cm. Hitunglah panjang apotema dan anak panah.

Solusi:

OC = apotema

CD = anak panah

Panjang jari-jari OA = 15302

1

2

1d cm

AC = BC = 9182

1

2

1AB

Menurut Teorema Pythagoras:

12144915 2222 ACOAOC cm

CD = OD – OC = 15 – 12 = 3 cm

Jadi, panjang apotema adalah 12 cm dan panjang anak panah adalah 3 cm.

9

O

A

D

B

C

9

15


c. Keliling dan Luas Lingkaran

1. Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran dinytakan dengan K dan dirumuskan sebagai:

rK π2 atau dK π

dengan:

dr2

1 atau rd 2 d = diameter lingkaran

r = jari-jari lingkaran 7

22π atau 14,3π

2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran atau luas daerah lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh suatu

lingkaran bagian dalam dengan satuan persegi.

Luas lingkaran dinyatakan dengan L dan dirumuskan sebagai:

2π rL atau 2π4

1dL

Contoh:

1. Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari yang panjangnya 14 cm. Hitunglah

keliling dan luas lingkaran itu.(7

22π )

Solusi:

Keliling lingkaran adalah 88147

222π2 rK cm

Luas lingkaran adalah 616147

22π 22 rL cm

2

2. Keliling sebuah lingkaran adalah 220 cm. Hitunglah diameter dan luas lingkaran

itu.(7

22π )

Solusi:

dK π π

Kd

7022

7220

7

22

220d cm

850.3707

22

4

1π

4

1 22 dL cm2

Jadi, diameternya adalah 70 cm dan luasnya adalah 3.850 cm2.


3. Luas sebuah lingkaran adalah 1.256 cm2. Hitunglah jari-jari dan keliling

lingkaran itu.( 14,3π )

Solusi:

2π rL π

Lr

2040014,3

256.1

π

Lr

6,1252014,32π2 rK cm

Jadi, jari-jarinya adalah 20 cm dan kelilingnya adalah 125,6 cm.

d. Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng Lingkaran

1. Panjang Busur Lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran = lingkarankeliling360

pusatsudut

Panjang busur AB = ra

π2360

Panjang busur CD = rb

π2360

2. Luas Juring Lingkaran

Luas juring lingkaran = lingkaranluas360

pusatsudut

Luas juring AOB = 2π360

ra

3. Luas Tembereng Lingkaran

Luas tembereng lingkaran = luas juring – luas segitiga

Luas tembereng CED = luas juring COD – luas segitiga COD

Luas tembereng CED = tinggialas2

1π2

360

r

b

Contoh:

Sebuah lingkaran berpudat di titik O mempunyai jari-jari 21 cm. Jika sudut pusat

AOB = 60o, Hitunglah panjang busur AB, luas juring AOB, luas AOB , luas

temberengnya. (7

22π )

A

D

E

O

B

C

ao

bo

r

A O

B

60o

28


Solusi:

Panjang busur AB = 22217

222

360

60

cm

Luas juring AOB = 231217

22

360

60 2

cm

2

Karena AOB = 60o dan OA = OB, maka AOB adalah segitiga sama sisi.

Luas AOB adalah

3)sisi(panjang4

1 2L 34

4413)21(

4

1 2 cm2

Luas tembereng AOB = luas juring AOB – luas segitiga AOB

3

4

441231 cm

2

L. Simetri

1. Simetri Lipat

Sebuah bangun datar mempunyai simetri lipat (yang dinamakan pula simetri sumbu

(simetri garis), simetri cermin, dan simetri balik), bila bangun itu dapat dibagi menjadi

dua bagian yang kongruen (sama dan sebangun) oleh sebuah garis lurus.

Suatu bangun datar yang mempunyai simetri lipat dapat dibalik menurut garis tertentu

sehingga menempati bingkainya kembali.

Jika suatu bangun datar mempunyai n sumbu simetri, maka bangun itu dapat menempati

bingkainya sebanyak 2n cara.

Contoh:

Tentukan banyak sumbu simetri dan banyak cara menempati bingkainya dari suatu

persegi.

Solusi:

Persegi mempunyai 4 sumbu simetri dan banyak cara

menempati bingkainya = 2 × 4 = 8 cara.

2. Simetri Putar

Jika suatu bangun datar setelah diputar kurang dari 360o pada pusatnya dapat menempati

pada bingkainya dengan n cara, dengan n > 1, maka bangun itu mempunyai simetri putar


tingkat n. Tetapi jika bangun datar yang diputar kurang dari 360o hanya dapat menempati

bingkainya satu kali, maka dikatakan bahwa bangun itu tidak mempunyai simetri putar.

Pada tabel berikut ini disajikan simetri lipat dan simetri putar suatu bangun datar.

No. Nama bangun datar Banyak sumbu

simetri

(n)

Banyaknya cara

menempati bingkai

(2n)

Simetri putar

tingkat

1. Segitiga sama kaki 1 2 × 1 = 2 Tidak ada

2. Segitiga sama sisi 3 2 × 3 = 6 3

3. Persegi panjang 2 2 × 2 = 4 2

4. Persegi 4 2 × 4 = 8 4

5. Belah ketupat 2 2 × 2 = 4 2

6. Trapesium sama kaki 1 2 × 1 = 1 Tidak ada

7. Layang-layang 1 2 × 1 = 1 Tidak ada

8. Jajargenjang Tidak ada Tidak ada Tidak ada

9. Segitiga-n beraturan n 2n n

a. Segi-5 beraturan 5 2 × 5 = 10 5

b. Segi-6 beraturan 6 2 × 6 = 12 6

c. Segi-7 beraturan 7 2 × 7 = 14 7

d. Segi-8 beraturan 8 2 × 8 = 16 8

10. Lingkaran Tak terhingga Tak terhingga Tak terhingga

M. Pencerminan

Pencerminan atau refleksi terhadap garis s adalah transformasi

sehingga setiap titik A dipetakan atau diubah menjadi titik A

sehingga garis s tegak lurus garis AA dan melalui titik tengah

AA atau titik C. Dengan lain perkataan, garis s bertindak

sebagai cermin untuk benda A dan bayangan A.

Sifat yang lain dari pencerminan dapat dijabarkan sebagai

berikut.

s

A A C

s

A A C

B


Jika B adalah sebarang titik pada garis s, maka ABC

kongruen (sama dan sebangun) ABC dan BCAABC ' .

Contoh:

Gambarkan bayangan hasil pencerminan dari setiap bangun berikut ini.

Solusi:

2. BANGUN RUANG SISI DATAR

A. Kubus

Definisi:

s B

A

C

(a)

s D

E

F

G

(b)

K

s

L

M

(c)

P Q

R

S

T

s

(d)

s B

A

C

(a)

B

A

C

s D

E

F

G

(b)

D

F

E

G

K

s

L

M

(c)

M

K L P Q

R

S

T

s

(d)

P Q

R

S

T


Kubus atau heksaeder adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang

kongruen (sama dan sebangun) .

a. Bagian-bagian Kubus

1) Sisi Kubus

Daerah-daerah persegi pada kubus dinamakan

bidang batas (bidang sisi/sisi) kubus. Sisi-sisi pada

kubus sepasang-sepasang dinamakan berhadapan.

Salah satu sisi dinamakan bidang alas (alas/dasar),

yaitu sisi ABCD. Sisi yang berhadapan dengan alas

dinamakan bidang atas (sisi atas/tutup), yaitu sisi

EFGH. Sisi yang lainnya dinamakan sisi tegak

(dinding).

2) Rusuk Kubus

Pertemuan dua sisi berupa ruas garis dinamakan rusuk. Contohnya pertemuan sisi

ABCD dan sisi ABFE adalah rusuk AB. Kubus mempunyai 12 rusuk yang

sepasang-sepasang berhadapan. Contohnya rusuk AE dan CG berhadapan. Sisi-

sisi pada bidang atas dinamakan rusuk-rusuk atas dan yang lainnya dinamakan

rusuk-rusuk tegak.

Panjang seluruh rusuk = 12 × panjang rusuk

3) Titik Sudut Kubus

Pertemuan tiga rusuk dinamakan titik sudut atau pojok kubus. Ada 8 titik sudut

yang sepasang-sepasang berhadapan. Contohnya A berhadapan dengan G dalam

kubus. Titik sudut kubus juga merupakan pertemuan tiga bidang sisi. Contohnya

A merupakan pertemuan bidang sisi ABCD, ABFE, dan ADHE.

4) Diagonal Sisi

Diagonal suatu sisi kubus dinamakan diagonal sisi. Contohnya AC dan BD adalah

diagonal-diagonal sisi ABCD.

Panjang diagonal sisi kubus = panjang rusuk × 2

5) Diagonal Ruang

Garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam kubus

dinamakan diagonal ruang. Contohnya diagonal ruang AG.

Panjang diagonal ruang = panjang rusuk × 3

6) Bidang Diagonal

A B

C D

E F

G H

Kubus ABCD.EFGH


Jika ABCD.EFGH adalah kubus, maka bidang BDHF dinamakan bidang

diagonal. Bidang diagonal kubus berbentuk persegi panjang.

Contoh:

1. Perhatikan kubus ABCD.EFGH.

a. Tulislah sisi-sisi kubus dan tentukan banyaknya.

b. Tulislah rusuk-rusuk kubus dan tentukan banyaknya.

c. Tulislah titik-titik sudut kubus dan tentukan banyaknya.

d. Tulislah diagonal kubus dan tentukan banyaknya.

e. Tulislah diagonal ruang kubus dan tentukan banyaknya.

f. Tulislah bidang diagonal kubus dan tentukan banyaknya.

Solusi:

a. Sisi-sisi kubus itu adalah sisi ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.

Banyak sisinya adalah 6 buah.

b. Rusuk-rusuk kubus itu adalah AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH,

dan EH. Banyak rusuknya adalah 12 buah.

c. Titik-titik sudut kubus itu adalah A, B, C, D, E, F, G, dan H. Banyak titik

sudutnya adalah 8 buah.

d. Diagonal sisi kubus itu adalah AC, BD, AF, BE, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG,

dan FH. Banyak diagonal sisinya adalah 2 × 6 = 12 buah.

e. Diagonal ruang kubus itu adalah AG, CE, HB, dan DF. Banyak diagonal

ruangnya adalah 4 buah.

f. Bidang diagonal kubus itu adalah ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, BCHE, dan

ADGF. Banyak bidang diagonalnya adalah 6 buah.

2. Kawat sepanjang 72 cm dibuat menjadi sebuah kerangka kubus. Tentukan panjang

rusuk kubus itu.

Solusi:

Panjang rusuk kubus = Panjang seluruh rusuk kubus : 12= 72 : 12 = 6 cm

3. Panjang rusuk kubus adalah 5 cm. Hitunglah panjang seluruh rusuknya.

Solusi:

Panjang seluruh rusuk kubus = 12 × 5 cm = 60 cm.

4. Panjang seluruh rusuk suatu kubus adalah 96 cm. Hitunglah panjang rusuk, panjang

diagonal sisi, dan panjang diagonal ruangnya.

Solusi:

Panjang rusuk = Panjang seluruh rusuk : 12 = 96 : 12 = 8 cm


Panjang diagonal sisi = panjang rusuk × 2 = 28 cm

Panjang diagonal ruang = panjang rusuk × 3 = 38 cm

b. Jaring-jaring Kubus

Bangun datar yang memuat semua bidang sisi suatu benda dalam bentuk dan besar

sebenarnya, sehingga tampak jelas hubungan antara sisi-sisinya dinamakan jarring-jaring

benda.

Berikut ini disajikan jaring-jaring kubus.

Coba kalian temukan jaring-jaring kubus yang lainnya!

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

(10) (11)


c. Luas Selimut, Luas Permukaan, dan Volume Kubus

1. Luas Selimut dan Luas Permukaan

1. Luas selimut/dinding kubus = 4 × (panjang rusuk)2

2. Luas permukaan kubus = 6 × (panjang rusuk)2

2. Volume Kubus

Volume kubus = (panjang rusuk)3

Contoh:

Diketahui panjang seluruh kubus adalah 120 dm. Hitunglah panjang rusuk, panjang

diagonal sisi, panjang diagonal ruang, luas bidang alas, luas bidang diagonal ACGE,

luas dinding, luas permukaan, dan volume kubus

Solusi:

Panjang rusuk = Panjang seluruh rusuk : 12 = 120 : 12 = 10 dm

Panjang diagonal sisi = panjang rusuk × 2 = 212 dm

Panjang diagonal ruang = panjang rusuk × 3 = 312 dm

Luas bidang alas = (panjang rusuk)2 = (12)

2 = 144 dm

2

Luas bidang diagonal ACGE = AE × AC = 214421212 dm2

Luas dinding = 4 × (panjang rusuk)2 = 4 × (12)

2 = 4 × 144 = 576 dm

2

Luas permukaan = 6 × (panjang rusuk)2 = 6 × (12)

2 = 6 × 144 = 864 dm

2

Volume kubus = (panjang rusuk)3 = (12)

3 = 1.728 dm

3 = 1.728 liter

B. Balok

Definisi:

Balok adalah sebuah benda ruang yang dibatasi oleh enam

daerah persegi panjang yang masing-masing dinamakan

bidang sisi. Seperti pada kubus, sisi-sisi balok dapat diberi

nama alas, tutup, dan dinding.

a. Bagian-bagian Balok

Balok mempunayi 12 rusuk yang dapat dibagi menjadi tiga kelompok. Setiap kelompok

terdiri dari empat rusuk yang sejajar dan sama panjang. Ukuran balok ditentukan oleh

tiga rusuk yang masing-masing mewakili kelompok-kelompok rusuk itu. Ukuran rusuk-

rusuk balok itu dinamakan panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t). Seperti halnya pada

kubus, dalam balok pun dikenal istilah-istilah sisi, rusuk, titik sudut, diagonal sisi, dan

diagonal ruang balok.

A B

C D

E F

G H

Balok ABCD.EFGH

p l

t


1. Panjang seluruh rusuk balok = 4 × (panjang + lebar + tinggi) = )(4 tlp

2. Panjang diagonal sisi balok ditentukan oleh rumus:

a. 221 lpd b. 22

2 tpd c. 223 tld

3. Panjang diagonal ruang balok ditentukan oleh rumus:

222 tlpd

Contoh:

Diketahui sebuah balok dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 24 cm. Hitunglah

panjang seluruh rusuk, panjang diagonal-diagonal sisi, dan panjang diagonal ruangnya.

Solusi:

Panjang seluruh rusuk = )(4 tlp = )2468(4 cm = 152 cm.

Panjang diagonal-diagonal sisinya:

1010068 22221 lpd cm

108640248 22222 tpd cm

176612246 22223 tld cm

Panjang diagonal ruangnya adalah

266762468 222222 tlpd cm

b. Jaring-jaring Balok



benda.

Contoh:

Suatu balok balok ABCD.EFGH terbuat dari kertas karton, dengan AB = 5 cm, BC = 3

cm, dan AE = 4 cm. Gambarlah jarring-jaring balok itu, jika diiris atau digunting

sepanjang rusuk-rusuk DA, AB, BC, HE, EF, FG, dan AE. Kemudian direbahkan terhadap

bidang DCGH.

Solusi:

A B

C D

E F

G H

p l

t

A

B

E

F E

5 cm

A

B C D

G H

A

E F

4 cm

3 cm


c. Luas Selimut, Luas Permukaan, dan Volume Balok

1. Luas Selimut dan Luas Permukaan Balok

1. Luas selimut/dinding balok = keliling alas × tinggi

tlpLs )(2

2. Luas permukaan balok = 2 × (2 × luas alas + luas sisi tegak)

= 2 × (2 × luas atas + luas sisi)

)(2 ltptplL

2. Volume Balok

Volume balok = panjang × lebar × tinggi

plttlpV

Contoh:

Diketahui sebuah balok dengan panjang rusuk adalah 96 cm. Perbandingan panjang,

lebar, dan tingginya adalah 5 : 4 : 3. Carilah ukuran balok, luas selimut, luas permukaan,

dan volume balok.

Solusi:

Karena p : l : t = 5 : 4 : 3, maka kp 5 , kl 4 , dan kt 3

Panjang seluruh rusuk = )(4 tlp

)345(496 kkk

k4896

248

96k

10255 kp cm

8244 kl cm

6233 kt cm

Ukuran balok adalah panjang 10 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 6 cm.

tlpLs )(2 2166)810(2 cm2

Luas selimut/dinding balok adalah 216 cm2.

)(2 ltptplL 376)68610810(2 cm2

Luas permukaan balok itu adalah 376 cm2.

4806810 tlpV cm2.

Volume balok adalah 480 cm2.


C. Prisma Tegak

Definisi:

Prisma adalah benda yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar

dan beberapa bidang lain yang potong memotong menurut garis-

garis yang sejajar.

a. Bagian-bagian Prisma Tegak

Pada gambar diperlihatkan prisma segi-4 ABCD.EFGH.

Bidang-bidang yang sejajar adalah bidang ABCD dan EFGH

dinamakan bidang alas dan bidang atas. Bidang-bidang

lainnya ABFE, BCGF, CDHG, dan ADHE dinamakan

bidang-bidang sisi tegak. AB, BC, CD, dan DA dinamakan

rusuk-rusuk bidang alas sedangkan EF, FG, GH, dan EH

adalah rusuk-rusuk bidang atas.

Jika suatu prisma beralaskan suatu segi-n, maka prisma itu dinamakan prisma segi-n.

Dalam prisma segi-n, maka ke-n buah sisi tegaknya membentuk selubung dan dinamakan

selubung (selimut) prisma.

Suatu prisma dinamakan prisma tegak, jika rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas.

Jika tidak demikian maka prisma itu dinamakan prisma miring atau prisma condong.

Suatu prisma dinamakan beraturan, jika memenuhi dua syarat, yaitu:

1. prisma itu tegak

2. bidang alasnya segi banyak beraturan.

Dalam suatu prisma dapat diketahui bahwa

1. Banyak bidang diagonal prisma segi-n 32

1 nn buah.

Pada prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH, banyak bidang diagonalnya

23442

1 buah, yaitu bidang ACGE dan BDHF.

2. Banyak diagonal ruang prisma segi-n 3 nn buah.

Pada prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH, banyak bidang diagonal ruangnya

4344 buah, yaitu bidang AG, CE, BH, dan DF.

3. Banyak sisi prisma segi-n = (n + 2) buah.

Pada prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH, banyak sisinya 624 buah, yaitu

bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.

A B

C

D

H

E

F

G


b. Jaring-jaring Prisma Tegak



benda.

Contoh:

Diketahui prisma segi-3 tegak ABC.DEF yang terbuat dari kertas karton, dengan AB = 5

cm, BC = 4 cm, AC = 3 cm, dan AD = 3 cm. Gambarlah jaring-jaring prisma itu, jika

diiris atau digunting melalui rusuk-rusuk AC, AB, AD, DE, dan DF kemudian direbahkan

pada sisi BCFE.

Solusi:

c. Luas Selubung, Luas Permukaan, dan Volume Prisma Tegak

1. Luas Selubung dan Luas Permukaan Prisma Tegak

1. Luas selubung prisma tegak = keliling bidang alas × panjang rusuk tegak (atau

tinggi)

Luas selubung prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH = AEADCDBCAB )(

2. Luas permukaan prisma tegak = luas selubung + luas bidang alas + luas bidang

atas

= luas selubung + 2 × luas bidang alas

= luas selubung + 2 × luas bidang atas

Luas permukaan prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH

= AEADCDBCAB )( + 2 × luas alas ABCD

2. Volume Prisma Tegak

Volume prisma tegak = luas bidang alas × panjang rusuk tegak (atau tinggi)

Volume prisma segi-4 tegak ABCD.EFGH = luas alas ABCD × AE

Contoh:

C

A

B

F

D

E

A

D

A

D

A

D

C B

E F

5 cm 3 cm

4 cm 3 cm


Diketahui prisma segi-3 tegak ABC.DEF, alasnya ABC siku-siku di A, dengan AB = 8

cm, AC = 15 cm. Tinggi prisma itu adalah 10 cm. Hitunglah luas selubung, luas

permukaan, dan volume prisma itu.

Solusi:


17289158 2222 ACABBC cm

Luas selubung = Keliling ABC × CF

CFACBCAB )(

10)15178(

= 400 cm2

Luas ABC 601582

1

2

1 BCAB cm

2

Luas permukaannya = Luas selubung + 2 × luas ABC

= 400 + 2 × 60

= 520 cm2

Volumenya = luas ABC × CF = 60 × 10 = 600 cm3

D. Limas

Definisi:

Limas adalah suatu bangun ruang yang dinatasi oleh segi-n dan beberapa segitiga yang

melalui sebuah titik di luar segi-n itu. Titik ini dinamakan titik puncak, bidang-bidang

segitiga dinamakan sisi tegak, dan segi-n dinamakan alas limas itu.

Suatu limas dinamakan limas sisi-3, limas sisi-4, limas sisi-5, dan sebagainya, jika segi

banyak itu berupa segi-3, segi-4, segi-5, dan sebagainya.

a. Bagian-bagian Limas

Limas dibedakan menjadi 2 macam, yaitu limas sebarang dan limas beraturan.

1. Limas sebarang adalah limas yang alasnya berbentuk segi-n sebarang dan titik

puncaknya sebarang.

2. Limas beraturan adalah limas yang berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi titik

puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang alas.

Perhatikan gambar limas segi-4 beraturan T.ABCD.

Titik T dinamakan puncak limas.

Bidang ABCD dinamakan bidang alas.

C

A

B

F

D

E

8 cm 15 cm

10 cm


Bidang TAB, TBC, TCD, dan TAD dinamakan sisi

tegak.

Bidang ABCD, TAB, TBC, TCD, dan TAD

dinamakan bidang batas.

AB, BC, CD, dan AD dinamakan rusuk-rusuk alas.

TA, TB, TC, dan TD dinamakan rusuk-rusuk tegak.

Bidang-bidang TAC dan TBD dinamakan bidang-

bidang diagonal.

TQ dinamakan tinggi limas, dengan TQ tegak

lurus pada bidang alas ABCD.

TP dinamakan apotema, dengan TP tegak lurus

pada rusuk alas (TP adalah garis tinggi sisi tegak).

b. Jaring-jaring Limas


sebenarnya, sehingga tampak jelas hubungan antara sisi-sisinya dinamakan jaring-jaring

benda.

Contoh:

Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD yang terbuat dari kertas karton, dengan AB = 3

cm dan TA = 4 cm. Gambarlah jaring-jaring limas itu, jika diiris atau digunting melalui

rusuk-rusuk TA, TB, TC, dan TD kemudian direbahkan pada bidang alas ABCD.

Solusi:

c. Luas Selimut, Luas Permukaan, dan Volume Limas

1. Luas Selimut dan Luas Permukaan Limas

1. Luas Selimut/sisi tegak = jumlah luas semua sisi tegak

A

T

B

C D

P Q

A

T

B

C D

4 cm A

T

T T

D C

B

T

3 cm


2. Luas permukaan limas = jumlah luas semua sisi tegak + luas bidang alas

2. Volume Limas

tinggialasbidangluas3

1limasVolume

Contoh:

Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD, dengan AB = 10 cm dan panjang apotema

(garis tinggi sisi tegak) TP = 13 cm. Hitunglah luas selimut, luas permukaan, dan

volume limas itu.

Solusi:

5102

1PQ cm


12144513 2222 PQTPTQ cm

Luas selimut limas = jumlah luas sisi tegak

= 4 × luas TBC

TPBC 2

14

13102

14

= 260 cm2

Luas permukaan limas = jumlah luas sisi tegak + luas bidang alas

= 4 × luas TBC + AB × BC

TPBC 2

14 + AB × BC

13102

14 + 10 × 10

= 260 + 100

= 360 cm2

4001210103

1

3

1limasVolume TQBCAB cm

3

A

T

B

C D

P Q

13 cm

10 cm


3. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

A. Tabung

Definisi:

Tabung atau silinder adalah bangun ruang yang

dibatasi oleh bidang lengkung dan dua bidang

parallel. Bidang lengkung ini dinamakan selimut

tabung. Kedua bidang parallel menjadi bidang alas

(bidang dasar) dan bidang atas (tutup) tabung.

a. Bagian-bagian Tabung

Bidang alas dan bidang atas tabung berbentuk lingkaran, dengan jari-jari r atau

diameter d.

rd 2 atau dr2

1

Tinggi tabung (t) adalah jarak dari bidang alas ke bidang atas.

Rusuk tabung adalah lingkaran alas dan lingkaran atas.

b. Jaring-jaring Tabung


sebenarnya, sehingga tampak jelas hubungan antara sisi-sisinya dinamakan jaring-

jaring benda.

Diberikan tabung yang terbuat dari karton, dengan tinggi t dan jari-jarinya r. Jika

diiris atau digunting menurut sebuah garis pelukisnya dan keliling lingkarannya,

kemudian bidang lengkung dan lingkaran-lingkaran itu direbahkan atau dibentangkan

pada sebuah bidang datar, maka diperoleh sebuah jaring-jaring tabung yang berupa

sebuah persegi panjang dan dua buah lingkaran.

t

r

Bidang sisi

lengkung

Bidang alas

Bidang atas

t

r A

B

2r

t

r A

B B

A


Dari gambar jaring-jaring itu terlihat bahwa selimut tabung berupa persegi panjang,

dengan ukurannya AB = t dan AA = 2r (keliling lingkaran)

c. Luas Selimut, Luas Permukaan, dan Volume Tabung

1. Luas Selimut dan Luas Permukaan Tabung

1. Luas alas atau bidang atas = luas (daerah) lingkaran

22

4

ππ drLL ba

dengan: Lb = luas bidang alas/bawah tabung dan La = luas bidang atas tabung

2. Luas selimut tabung = keliling lingkaran × tinggi

Jika diketahui jari-jari tabung r, maka luas selimut tabung adalah rtLs π2 .

Jika diketahui diameter tabung d, maka luas selimut tabung adalah dtLs π .

3. Luas permukaan tabung (lengkap) = luas alas + luas bidang atas + luas selimut

= 2 × luas alas + luas selimut

= 2 × luas bidang atas + luas selimut

Jika diketahui jari-jari tabung r dan tinggi t, maka luas permukaan tabung

adalah )(π2 trrL .

Jika diketahui diameter tabung d dan tinggi t, maka luas permukaan tabung

adalah )2(2

πtddL .

2. Volume Tabung

Volume tabung = luas alas × tinggi

Jika diketahui jari-jari tabung r dan tinggi t, maka volume tabung adalah

trV 2π .

Jika diketahui diameter tabung d dan tinggi t, maka volume tabung adalah

tdV 2

4

π .

Contoh:

1. Sebuah tabung mempunyai jari-jari 14 cm dan tingginya 10 cm. Hitunglah luas

selimut, luas permukaan, dan volume tabung itu. (7

22π )

Solusi:

Luas selimut tabung adalah


88010147

222π2 rtLs cm

2

Luas permukaan tabung adalah

112.2)1014(147

222)(π2 trrL cm

3

Volume tabung adalah

160.610147

22π 22 trV cm

3

2. Luas selimut sebuah tabung tanpa tutup adalah 157 dm2 dan tingginya adalah dua

kali diameternya. Hitunglah diameter, tinggi, luas permukaan, dan volume

tabung itu. ( 14,3π )

Solusi:

dt 2

dtLs π

dd 214,3157

228,6157 d

2528,6:1572 d

525 d dm

Diameter tabung adalah 5 dm.

Tinggi tabung = 2d = 2 × 5 = 10 dm

2

55

2

1

2

1 dr dm

Luas permukaan tabung tanpa tutup = luas alas + luas selimut

rtrL π2π 2

625,176157625,19102

514,32

2

514,3

2

L = 196,25 dm

2

Volume tabung adalah 25,1961054

14,3

4

π 22 tdV cm3

3. Volume sebuah tabung adalah 2.156 liter dan tingginya sama dengan

diameternya. Carilah jari-jari, tinggi, luas selimut, dan luas permukaannya.

(7

22π )

Solusi:


dt

tdV 2

4

π

dd

2

74

22156.2

274422

28156.23

d

1427443 d dm

Jari-jari tabung adalah 7142

1

2

1 dr dm

Tinggi tabung adalah t = d = 14 cm

Luas selimut tabung adalah

61614147

22π dtLs dm

2

Luas permukaan tabung adalah

16,923)14214(142

14,3)2(

2

π tddL cm

2

B. Bola

Definisi:

Titik O dinamakan pusat bola. Jarak antara sebuah pusat dan

sebuah titik pada bidang bola dinamakan jari-jari (R). Ruas

garis yang menghubungkan dua buah titik pada bidang bola

dinamakan tali busur. Tali busur yang melalui pusat

dinamakan diameter (AB = D)

a. Hubungan anatara Jari-jari dan Diameter Bola

RD 2 atau DR2

1

dengan: R = jari-jari bola dan D = diameter bola

b. Luas Permukaan dan Volume Bola

1. Luas Permukaan Bola

1. Jika diketahui jari-jari bola R, maka luas permukaan bola 2π4 RL

2. Jika diketahui diameter bola D, maka luas permukaan bola 2πDL

2. Volume Bola

R

A

B

O


1. Jika diketahui jari-jari bola R, maka volume bola adalah 3

3

π4RV

2. Jika diketahui diameter bola D, maka volume bola adalah 3

6

πDV

Contoh:

1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 21 cm. Hitung luas permukaan dan volume bola itu.

(7

22π )

Solusi:

Luas permukaan bola adalah 544.5217

224π4 22 RL cm

2

Volume bola adalah 808.382173

224

3

π4 33

RV cm

3

2. Volume sebuah bola adalah 113,04 liter. Hitung diameter dan luas permukaan bola

itu. ( 14,3π )

Solusi:

3

6

πDV

3

6

3,1404,113 D

21614,3

604,1133

D

62163 D dm

Diameter bola itu adalah 6 dm.

Luas permukaan bola adalah 04,113614,3π 22 DL dm2.

3. Luas permukaan sebuah bola adalah 3.850 dm2 . Berapa liter volume bola itu.

(7

22π )

Solusi:

2πDL

2

7

22850.3 D

225.122

73.8502

D


35225.1 D dm

3

1458.2235

76

22

6

π 33

DV liter

Jadi, volume bola itu adalah 3

1458.22 liter.

C. Kerucut

Definisi:

Kerucut adalah benda yang dibatasi oleh bidang lengkung kerucut dan bidang garis arahnya

(bidang dasar kerucut). Jika garis arah itu merupakan lingkaran, maka kerucut itu dinamakan

kerucut lingkaran.

Kerucut dapat diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku pada salah satu sisi siku-sikunya

sebagai sumbu putar. Kerucut yang dihasilkan dinamakan kerucut putaran.

Catatan:

Kerucut putaran adalah benda yang dibatasi oleh bidang kerucut putaran dan sebuah

bidang parallel.

Kerucut lingkaran yang proyeksi titik puncaknya pada bidang alas (dasar) berimpit

dengan titik pusat lingkaran alas dinamakan kerucut lingkaran tegak.

Kerucut putaran dan kerucut lingkaran tegak adalah sama dan seterusnya disingkat

kerucut.

a. Bagian-bagian Kerucut

Jarak titik puncak k eke bidang alas dinamakan tinggi

kerucut. TT1 = t =tinggi kerucut.

Jarak titik puncak ke tiap-tiap titik lingkaran alas

dinamakan apotema kerucut (garis pelukis kerucut). TA

= p = apotema kerucut (garis pelukis kerucut).

Sudut antara apotema dan sumbu kerucut dinamakan

setengah sudut puncak kerucut. = setengah sudut

puncak kerucut.

Garis lengkung yang merupakan lingkaran alas kerucut dinamakan rusuk kerucut.

Alas kerucut adalah bidang parallel yang berbentuk lingkaran, dengan jari-jari r atau

diameter d.

Hubungan antara jari-jari r dan diameter d adalah sebagai berikut.

rd 2 atau dr2

1

r

t p

T

A T1


Hubungan antara apotema p, tinggi t, dan jari-jari r atau diameter d adalah sebagai

berikut.

222 rtp atau

2

22

2

dtp

b. Jaring-jaring Kerucut


sebenarnya, sehingga tampak jelas hubungan antara sisi-sisinya dinamakan jaring-jaring

benda.

Diberikan kerucut yang terbuat dari karton, panjang garis pelukis p, jari-jari r. Jika diiris

atau digunting pada sebuah garis pelukis dan keliling lingkarannya, kemudian direbahkan

atau dibentangkan pada sebuah bidang datar, maka diperoleh sebuah jaring-jaring kerucut

yang berupa juring dan lingkaran.

360p

r ( = sudut pusat rebahan)

c. Luas Selimut, Luas Permukaan, dan Volume Kerucut

1. Luas Selimut dan Luas Permukaan Kerucut

1. Luas alas kerucut adalah 22

4

ππ drLb

2. p

r

π2

π2

lingkaranKeliling

busurPanjang

lingkaranLuas

juringLuas

prpp

r

p

rππlingkaranLuasjuringLuas 2

Luas selimut/bidang lengkung kerucut = luas juring

Jika jari-jari r dan apotema p diketahui, maka luas selimut/bidang lengkung

kerucut adalah rpLs π .

r

T A

A

2r

p p

r

t

p

T

A T1


Jika jari-jari d dan apotema p diketahui, maka luas selimut/bidang lengkung

kerucut adalah dpLs2

π .

3. Luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas

Jika jari-jari r dan apotema p diketahui, maka luas permukaan kerucut adalah

)(π prrL .

Jika jari-jari d dan apotema p diketahui, maka luas permukaan kerucut

adalah )2(4

πpddL .

2. Volume Kerucut

Volume kerucut = 3

1× luas alas × tinggi

a. Jika jari-jari r dan tinggi t diketahui, maka volume kerucut adalah trV 2

3

π .

b. Jika jari-jari d dan tinggi t diketahui, maka volume kerucut adalah

tdV 2

12

π .

Contoh:

1. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari 10 dm dan tinggi 24 dm. Hitunglah panjang

apotema, luas selimut, luas permukaan, dan volume kerucut itu. ( 14,3π )

Solusi:

6761024 22222 rtp

26676 p dm

Panjang apotema adalah 26 dm.

4,816261014,3π rpLs dm2

Luas selimut/bidang lengkung kerucut adalah 816,4 dm2.

4,130.1)2610(1014,3)(π prrL dm2

Luas permukaan kerucut adalah 1.130,4 dm2.

512.224103

14,3

3

π 22 trV liter

Volume kerucut adalah 2.512 liter.

T

B T1

10

24


2. Sebuah kerucut mempunyai volume 5.280 liter dan tingginya 35 dm. Hitunglah

diameter, panjang apotema, luas selimut, dan luas permukaan kerucut itu. (7

22π )

Solusi:

tdV 2

12

π

35712

22280.5 2

d

5763522

712280.52

d

24576 d dm

Diamter kerucut adalah 24 dm.

369.12

2435

2

2

2

2

22

dtp

37369.1 p dm

7

3395.13724

72

22

2

π

dpLs dm

2

Luas selimut/bidang lengkung kerucut adalah 7

3395.1 dm

2.

848.1)37224(2474

22)2(

4

π

pddL dm

2

Luas permukaan kerucut adalah 1.848 dm2.

1. segi banyak a. diagonal, sudut dalam, dan … sama kaki 1 2 × 1 = 2 tidak ada 2. segitiga sama...

Documents