Matematika IIIMatematika IIIDTEDTE

Matematika IIIMatematika IIIDTEDTE

Nur SulistyawatiNur SulistyawatiDiploma Teknik ElektroDiploma Teknik Elektro

UGMUGM

Silabus Materi:

1 .Integral Kompleks : Kontur terbuka, kontur tertutup, Rumus Cauchy, deret pangkat dan residu serta pemanfaatannya.

2 .Fourier : ilustrasi isyarat periodis tersusun atas isyarat sinusoidal, deret Fourier, Transformasi Fourier sifat-sifat dan maknanya.

3 .Transformasi Laplace : cara menemukan, sifat-sifat dan penggunaannya pada fungsi rumit, inverse Laplace

4 .Persamaan diferensial dan penyelesaiannya dengan Transformasi Laplace.

ReferensiBuku Acuan:

1 .Churchil, R., 1974, Complex Variable and Its Application, McGraw Hill

2 .Spiegel, Muray R., 1985, Transformasi Laplace, Penerbit Erlangga

3 .Spiegel, Muray R., 1991, Peubah Kompleks, Penerbit Erlangga

4 .Jordan and Smith, Mathematical Techniques, D.W. Jordan and P. Smith, Oxford

Bilangan Kompleks

A. PengantarBilangan kompleks : memuat akar bilangan negatif

*Akar bilangan negatif berupa bilangan imaginer/khayal

*Diperkenalkan notasi i2 = -1 → i = √ -1

Variabel kompleks : variabel yg dapat mempunyai nilai berupa bilangan kompleks

Sistem bilangan kompleks

Bentuk → z = x+iy , i2= -1x bagian riil dari z ,Re(z), dan y bagian khayal dari z, Im(z)

Kompleks sekawan dari z adalah z* atau z disebut z konjugat

z = x + iy → z* = x - iy

Nilai mutlak atau modulus bilangan kompleks , |z|

|z| = √(x + iy) . (x – iy) = √x2 + y2

Fungsi kompleks

Fungsi kompleks : fungsi atas var. kompleks dan/atau fungsi yang dapat bernilai kompleks

di TE konsep tsb dpt diimplementasikan, dan notasi i diganti j

Contoh:

1 .V1 = 20 volt

V2 = j20 volt

2 .Suatu tapis mempunyai hubungan masukan, keluaran

→ Benar-benar dapat dibuat

jVi

Vo

1

1

V1

V2

t

Representasi bilangan kompleks

*Bilangan real → dalam garis bilangan (1D)

*Bilangan kompleks → dalam bidang (2D)

*Cara penulisan bilangan kompleks 1 .Rectangular/ : z = x + iy

Kartesian : z (x,y)2 .Polar : z = m cos α + i m sin α

z = m cis α z = m α

3 .Eksponensial : eiα = cos α + i sin α : rumus EULER

z = m eiα = m exp(iα)

Im

x Re

y z = x + iy

m

α

B. Representasi bilangan kompleks

Hubungan

Catatan: 1 Jika z = 0 →z = 0 + i0 → m = 0, α = tan-1 tak terdefinisi

2.

3 .

x

yyxm

1

22

tan

iyxz

sin

cos

my

mxmz

0

0

212121222

111 & yyxxzziyxz

iyxz

iyxzziyxz

C. Aljabar bilangan kompleks

1 .Rectangular

,

Penjumlahan (x1+iy1) + (x2+iy2 ) = (x1+x2) + i(y1+y2 )

Pengurangan (x1+iy1) - (x2 +iy2 ) = (x1 -x2) + i(y1 -y2 )

Perkalian (x1+iy1) . (x2+iy2 ) = (x1.x2 -y1 y2) + i(x1y2 +x2y1)

Pembagian

111 iyxz 222 iyxz

22

11

2

1

iyx

iyx

z

z

22

22

211222

22

2121

22

22

22

11

yx

yxyxi

yx

yyxx

iyx

iyx

iyx

iyx

C. Aljabar bilangan kompleks2 .Polar

,

Penjumlahan &Pengurangan

Perkalian

Pembagian

111 mz222 mz

212

1

2

1 m

m

z

z

33321 mzzz

)cos(2 212122

213 mmmmm

2211

221113 coscos

sinsintan

mm

mm

212121 . mmzz

D. Variabel Kompleksz = x + iy ; x , y Є R

= r eiθ

θ = α + 2kπ ; -π < α ≤ π , k = 0, ±1, ±2. . . ,

argumen z nilai utama (principle value) argumen z : Arg z

Perhatian!

Arg (z1 . z2) = arg z1 + arg z2, belum tentu benar jika yang dipilih adalah argumen utama .

Bandingkan!

21 2121

2

1

zzArgizzz

iz

x

z = x + iy

r

α

y

2

3221

2

1

zArgzArg

zArg

zArg

E. Pangkat dan Akar z = r eiθ → zn = rneinθ

zn = z0

z0 = r0 ei(α0

+ 2kπ) z = z01/n

ada n buah nilai berbeda

k = 0 → z0

k = 1 → z1

k = 0 → z2

. . . k = n-1 → zn-1

n

ki

ner 2

1

0

0

n0

z1

z0

Zn-1

F. Tempat Kedudukan (locus)

Contoh:

1 .

2 .

2z

2

2y

x

23

; irez

r

ry

F. Tempat Kedudukan (locus)

Contoh:

3 .

4 . 1

1)Im(

y

z

yx

zz

)Im()Re(

y1

G. NeighborhoodNeighborhood, ε, (ε real positif mendekati nol) atas z adalah tempat kedudukan z sehingga

, sering dinotasikan N*(ε,z0)

Deleted neighborhood :

notasi : N*(ε,z0)

0zz

00 zz

ε

z0

ε

z0

N*(ε,z0)N(ε,z0)

Contoh Soal1 .Jika berapakah nilai

Pembahasan:

cara 1 : analitis

Cara 2 : dari gambar (grafis)

2Z 33 ZZ ?

2Z

3Z3Z

3-3222 ZatauZZ

415332 ZZZ

451332 ZZZ

033330 ZZZ

45133 ZZ

05533 ZZ Jadi 0 ≤ ││z-3│-│z+3││≤ 4

01133 ZZ

41533 ZZ

Contoh soal2 .Tunjukkan rumus De’Moivre

Pembahasan:

nini n sincossincos

nini

ee

nine

ie

ie

n

inni

in

nni

i

sincossincos

sincos

sincos

sincos

Soal untuk tugasTunjukkan bahwa

a.

b.

c. Arg (z1/z2) = arg z1– arg z2

2cos

ii ee

i

ee ii

2sin

Soal untuk tugasc. Jika berapakah

d. Jika z pada lingkaran berjari-jari 4

berpusat di berapakah

e. Tentukan semua z sehingga z6 = -64

2Z

1Z ?3

2

Z

Z

?2

Z

Z