1. ilustrasi - gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/... · • prosedur...
TRANSCRIPT
Start
2
1. Ilustrasi
• Inferensia Statistika :
Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan
kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan
pengambilan sampel (sampling)
• Estimasi / Pendugaan Parameter
– Yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan
nilai dari statistik sampel.
– Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai
suatu parameter populasi disebut ‘estimator’
• Prosedur Pendugaan Parameter:
1. Menentukan sebuah sampel
2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel
3. Menghitung nilai statistik sampel
4. Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter
populasi
• Suatu nilai x, hasil hitung dari contoh yang berukuran n,
merupakan nilai dugaan (estimator) bagi parameter populasi µ
3
Parameter Populasi Estimator
Rata-rata, µ x
Beda Rata-rata 2 populasi, µ1 - µ2 x1 - x2
Simpangan baku, s
• Penduga Tak Berbias : bila statistik x memiliki nilai yang sama
dengan nilai parameter populasi, µx
µx = E(x)
• Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku
terkecil
1 < 2 x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibanding x2 untuk nilai µ
• Margin Kesalahan :
Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu
dihitung ‘Margin of Error’
Margin of Error = ± 1.96 . x atau ± 1.96 . sx
dimana, sx = nilai penduga bagi x sx = s/√n dan x = /√n
4
2. Selang Pendugaan
• Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x
x1 < x < x2 x1 dan x2 tergantung nilai statistiknya dan
juga pada sebaran penarikan sampel
Jika simpangan baku x besar, maka selang pendugaan
juga harus besar
• Selang pendugaan yang didasarkan pada tingkat
kepercayaan disebut ‘selang kepercayaan’
p (x1 < x < x2 ) = (1 - ) . 100% untuk 0 < < 1
dimana, (1 - ) = koefesien/derajat kepercayaan
= significance level
• Makin besar selang kepercayaan (%) makin yakin
bahwa selang tersebut mencakup nilai parameter
populasi tersebut.
5
3. Selang Pendugaan Rata-Rata µ : Sampel Besar
• Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30,
digunakan distribusi normal baku z untuk menghitung selang
kepercayaan µ Teori Batas Pusat
• x = atau sx =
Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ
nσ
μ-x
n
σ
n
σ
p(-z /2 < z < z /2) = 1 - dimana
p(-z /2 < < z /2) = 1 -
p( x-z /2 . < µ < x +z /2 . ) = 1 -
nσ
μ-x =z
n
s
n
σ
Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :
– x ± z /2 . Jika diketahui
– x ± z /2 . Jika tidak diketahui
µ
0 z
x
- z /2
/2 /2
z /2
n
σ
n
s
6
• Contoh:
Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku
‘Pengantar Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran.
Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah
diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50.
a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang
beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga
tersebut?
b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang kepercayaan
90%.
Penyelesaian:
n = 36, x = $48.40, dan = $4.50
Maka,
x = = = $ 0.75
a. µ = x = $48.40
Margin of error titik µ = ± 1.96 . x = ± 1.96 * 0.75
= ± $ 1.47
n
σ
36
4.50
b. p ( x-z /2 . < µ < x+ z /2
. ) = 1 - = 0.9 n
σ
n
σ
7
n
σ
1 - = 0.9 = 1 - 0.9 = 0.1 /2 = 0.05 Nilai Z /2 dimana luas daerah di bawah kurva sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z) Maka, harga buku rata-rata dengan selang kepercayaan 90%, adalah:
µ = x ± z /2 .
= 48.40 ± (1.65 * 0.75)
= 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64
Atau
$ 47.16 < µ < $ 49.64
Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64
µ
0 z
x
/2 = 0.05
0.05 0.95
8
4. Galat & Ukuran Sampel Dalam Pendugaan µ
• Bila x digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat kepercayaan
(1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:
e = z /2 . atau e = z /2 .
n
s
n
σ
• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus
diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e.
Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:
z /2 .
E
2
n =
adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai
estimatornya.
9
4. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan µ Pada
Sampel kecil • Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30; simpangan
baku tidak diketahui; dan distribusi mendekati normal untuk
menghitung selang kepercayaan µ digunakan ditribusi sampel t
ns
μ-x
n
s
ns
μ-x =T
µ
0 T
x
- T /2
/2 /2
T /2
n
s
• Selang kepercayaan (1 - )100% bagi µ :
p(-T /2 < T < T /2) = 1 -
P(-T /2 < < T /2) = 1 -
p( x-T /2 . < µ < x +T /2
. ) = 1 - T /2 adalah nilai T dengan derajat bebas df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas /2
10
• Contoh:
Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua
orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa
sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel
tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan
tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut
terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-
rata populasi µ.
Penyelesaian:
n = 25, x = 186, dan s = 12
df = n -1 = 25 -1= 24 Tabel distribusi T
df = 24; /2 = 0.025
T = 2.064
Selang kepercayaan bagi µ adalah:
= p( x-T /2 . < µ < x +T /2
. )
= 186 – 2.064 . < µ < 186 + 2.064 . = 181.05 < µ < 190.95
Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95
µ
0 T
x
-2.064
0.025 0.025
2.064
0.4750 0.4750
25
12n
sn
s
25
12
11
6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Rata-Rata
2 Populasi
A. Bila 2 buah sampel berukuran n1 dan n2 diambil dari 2 populasi yang
besar, dgn µ1 dan µ2, maka beda kedua nilai rata-rata sampel akan
mendekati sebaran normal.
µx1 – x2 = µ 1 - µ 2 dan x1 – x2 =
Sehingga:
)n/(σ + )n/(σ
)μ -(μ - )x-(x=z
2211
2121
2
2
1
1
n
σ+
n
σ
• Contoh soal:
Tanaman A dengan umur panen rata-rata µ = 6.5 tahun dan simpangan baku 0.9 tahun. Sedangkan tanaman B, dengan µ = 6 tahun dan = 0.273 tahun. Berapa peluang bahwa sebuah sampel acak yg terdiri 36 tanaman A memiliki umur panen 1 tahun lebih lama daripada rata-rata sampel dengan 49 tanaman B?
12
Populasi A
µ1 = 6.5
1 = 0.9
n1 = 36
• Penyelesaian:
Distribusi sampling xA-xB :
µxA – xB = 6.5 – 6.0 = 0.5
xA – xB = (0.9/√36) + (0.64/√49) = 0.189
Yang ditanyakan adalah P(xA-xB ≥ 1.0)……?
P(xA-xB ≥ 1.0) = P(Z ≥ 2.65)
= 1 – P(Z < 2.65) Lihat Tabel Z
= 1 – 0.9960
= 0.004
Populasi B
µ1 = 6.0
1 = 0.8
n1 = 49
)n/(σ + )n/(σ
)μ -(μ - )x-(x=z
2211
2121
2.65 =0.189
0.5 - 1.0=z
µ = 0.5
0 Z
xA-xB
0.0040
2.65
0.9960
13
• Selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
)n
σ+
n
σ( z± )x-(x
2
2
1
1
2α21
• Latihan soal (Tugas):
Berdasarkan laporan Biro Statistik USA, pada tahun 1993 pekerja
bagian konstruksi gaji rata-rata mingguan $551, sedangkan pekerja
bagian manufaktur sebesar $487. Rata-rata gaji mingguan tersebut
dihitung dari sampel acak yang masing-masing terdiri dari 500 dan
700 pekerja. Jika diasumsikan simpangan baku populasi masing-
masing adalah $66 dan $60, maka:
a. Hitunglah nilai penduga bagi (µ1 - µ
2)
b. Dengan selang kepercayaan 95%, tentukan beda nilai rata-rata
gaji mingguan untuk dua populasi di atas !
Z /2 adalah variabel normal baku yang luas daerah disebelah kanan
sebesar /2
)n
s+
n
s( z± )x-(x
2
2
1
1
2α21atau
14
• Penyelesaian:
Diasumsikan: populasi 1 = bagian konstruksi; populasi 2 = bagian manufaktur
– n1 = 500, x1 = $551, 1 = $66
– n2 = 700, x2 = $487, 2 = $60
a. Nilai penduga bagi (µ 1 - µ 2) = x1 – x2
= $551 – $487 = $64
b. Tingkat kepercayaan (1- ) = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025
Z /2 = 1.96
maka,
)700
60+
500
66( 1.96± 487)-(551 )
n
σ+
n
σ( z± )x-(x
2
2
1
1
2α21
=
$71.30 sampai $56.70 = 7.30± 64=
Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa beda rata-rata gaji mingguan untuk semua pekerja bagian konstruksi dan manufaktur adalah antara $56.70 dan $71.30
15
B. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi
yang terdistribusi (mendekati) normal, dan 21 = 22 tidak diketahui
nilainya, maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
dimana,
)
21
p2
α21n
1+
n
1( .s T± )x-(x
2-n+n
1)s-(n+1)s-(n =s
21
2
22
2
11
p
Sp = nilai dugaan gabungan simpangan baku dua populasi
s1 dan s2 adalah simpangan baku dari dua sampel
T /2 = nilai T dengan df = n1+ n2 – 2, yang luas daerah di sebelah kanan
sebesar /2
) n
1 +
n
1(S
)μ -(μ - )x-(x=T
21
p
2121
)n
1 +
n
1( s =s
21
px2 - x1
16
• Contoh:
Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:
– n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram
– n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram
Jika kedua populasi menyebar normal, dengan simpangan baku populasi
adalah sama, tentukan selisih rata-rata antara dua populasi dengan tingkat kepercayaan 95%!
Pertama, hitung simpangan baku x1 - x2 :
Penyelesaian:
Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:
– n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram
– n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram
2-n+n
1)s-(n+1)s-(n =s
21
2
22
2
11
p5.4626 =
2-12+15
1)6-(12+1)5-(15=
22
2.1157 = )12
1 +
15
1( 5.4626 =s
x2 - x1
17
Kedua, tentukan nilai T /2 dari tabel distribusi T :
1- = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025
df = n1 + n2 – 2 = 15 + 12 – 2 = 25
Nilai T dengan df = 25 dan 0.025 luas daerah kanan dibawah kurva distribusi T = 2.060.
Sehingga :
x2-x1
2α21
s T± )x-(x 57)2.060(2.11± 77)-(80=
7.36 sampai 1.36- =
4.36± 3=
18
C. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi
yang terdistribusi (mendekati) normal, 21 dan 22 diketahui, maka
selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
)
2
2
1
1
2α21
n
s+
n
s( T± )x-(x
dimana T /2 = nilai T yang luas daerah di sebelah kanan sebesar /2 dan derajat bebas (df):
x2 - x1
2121
S
)μ -(μ - )x-(x=T
)n
s +
n
s( =s
2
2
1
1
x2 - x1
2
2
2
1
2
1
n
s+
n
s2
1
2
1
n
s2
1-n1
2
2
2
n
s2
1-n2
+
df = dan
19
7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Proporsi • Proporsi populasi, dinotasikan sebagai p menunjukkan rasio
jumlah elemen suatu populasi yang memiliki karakteristik tertentu
dengan jumlah total elemen populasi tersebut
N
x = p
x = jumlah elemen populasi dengan karakteristik
tertentu
N = jumlah total elemen populasi
• Proporsi sampel, dinotasikan sebagai p menunjukkan ratio
jumlah elemen suatu sampel yang memiliki karakteristik tertentu
dengan jumlah total elemen sampel tersebut
n
x = p
x = jumlah elemen sampel dengan karakteristik
tertentu
n = jumlah total elemen sampel
• Contoh :
Misal terdapat 789654 keluarga di kota Depok, dan 563282 dari
keluarga tersebut sudah memiliki rumah sendiri ………
20
• Seperti rata-rata x, proporsi sampel p juga merupakan variabel acak
yang memiliki distribusi peluang yang disebut distribusi sampling
0.71 =789654
563282 =
N
x = p
N = ukuran populasi = 789654 x = keluarga yg sudah memiliki rumah sendiri = 563282
Sehingga : Proporsi semua keluarga di Depok yang sudah memiliki rumah sendiri :
Kemudian, jika diambil sampel acak sebanyak 240 keluarga, dan ternyata ada 158 keluarga yang sudah memiliki rumah, maka :
n = ukuran sampel = 240 x = keluarga dari sampel yg sudah memiliki rumah = 158 0.66 =
240
158 =
n
x = p
Contoh : Sebuah konsultan memiliki 5 staf. Tabel berikut adalah
daftar 5 staf & pengetahuannya ttg Statistika.
21
Nama Mengerti Statistika
Ali Ya
John Tidak
Susan Tidak
Lee Ya
Tom Ya
Dari populasi ini, proporsi staff yang
mengerti statistika :
p = 3/5 = 0.60
Jika diambil sampel berukuran 3 dari
populasi tersebut, maka akan dihasilkan
10 kemungkinan kombinasi sampel.
∑ Sampel =
( ) 5
3
10
! 3)-(5 ! 3
! 5
Sampel Proporsi yang Mengerti
Statistika ( p )
Ali, John, Susan 1/3 = 0.33
Ali, John, Lee 2/3 = 0.67
Ali, John, Tom 2/3 = 0.67
Ali, Susan, Lee 2/3 = 0.67
Ali, Susan, Tom 2/3 = 0.67
Ali, Lee, Tom 3/3 = 1.00
John, Susan, Lee 1/3 = 0.33
John, Susan, Tom 1/3 = 0.33
John, Lee, Tom 2/3 = 0.67
Susan, Lee, Tom 2/3 = 0.67
p f
0.33 3
0.67 6
1.00 1
∑f = 10
p P( p)
0.33 3/10 = 0.30
0.67 6/10 = 0.60
1.00 1/10 = 0.10
∑P( p ) = 1
22
• Untuk n yang besar (n ≥ 30) sebaran bagi p terdistribusi mendekati
normal dengan rata-rata dan simpangan baku :
P (p1 < p < p2 ) = P (z /2 < z < z /2 ) = (1 - )
n
p.q = σ dan p = μ pp
pσ
p - p = Z
q = 1 – p ;
dimana
Selang kepercayaan bagi p :
σ . z p p σ . z- p p2
p2
αα +<<
• Contoh :
Berdasarkan laporan Biro Sensus USA, 86% dari seluruh keluarga di New York, memiliki kendaraan roda 4. Jika p adalah proporsi suatu sampel acak berukuran 120 keluarga yang memiliki kendaraan roda 4, tentukan peluang bahwa nilai p adalah antara 0.88 dan 0.92.
n
p.q =s dengan diduga bisa σ pp →
23
µp = 0.86
• Penyelesaian :
Diketahui : p = 0.86 dan q = 1 – 0.86 = 0.14
p adalah proporsi seluruh keluarga yang memiliki kendaraan roda 4
Ditanyakan : P(0.88 < p < 0.92)…?
0.0317 =
120
4)(0.86)(0.1 =
n
p.q = σ dan 0.86 p = μ pp =
0 z
p
p= 0.0317
1.89
0.2349
0.92 0.88
0.63
0.63 = 0.0317
0.86 - 0.88 =
σ
p - p = z 0.88 = pUntuk
p
→
1.89 = 0.0317
0.86 - 0.92 =
σ
p - p = z 0.92 = pUntuk
p
→
Sehingga, peluang bahwa p antara 0.88 dan 0.92 ditunjukkan dengan luas daerah dibawah kurva normal baku antara z = 0.63 dan z = 1.89
P(0.88 < p < 0.92) = P(0.63 < z < 1.89)
= P(0 < z < 1.89) - P(0 < z < 0.63)
= 0.4706 – 0.2357
= 0.2349
24
• Contoh :
Berdasarkan hasil pooling terhadap 500 wanita, diperoleh informasi bahwa sebanyak 79% dari mereka suka dengan tanaman hias. Buatlah selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang menyukai tanaman hias dengan tingkat kepercayanan 98% !
Penyelesaian :
Diketahui : n = 500, p = 0.79 maka q = 1 – 0.79 = 0.21
p adalah proporsi sampel wanita yang menyukai tanaman hias
Ditanyakan :
Maka:
σ . z p p σ . z- p p2
p2
αα +<<
0.0182 500
1)(0.79)(0.2
n
p.q =s dengan diduga bisa σ pp = = →
Untuk tingkat kepercayaan 98% 1 - = 0.98 = 0.02 /2 = 0.01
Nilai Z dengan /2 = 0.01 adalah 2.33
Sehingga, selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang tanaman hias dengan tingkat kepercayanan 98% :
0.832 s/d 0.748 (0.0182) 2.33 0.79 s . z p p s . z- p p2
p2
=±=+<< αα
25
8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan p
• Bila p digunakan untuk menduga p, maka dengan tingkat kepercayaan
(1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:
e = z /2 .
n
p.q
• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus
diambil, agar galat pendugaan p tidak melebihi suatu nilai e. Dalam
hal ini jumlah sampel n, adalah:
• Contoh :
Dari 500 orang sampel acak, sebanyak 160 orang menyukai makanan sea food. Jika kita ingin percaya 95%, bahwa nilai dugaan proporsi orang yg menyukai sea food yang dihasilkan berada dalam 0.02 dari nilai proporsi yg sebenarnya, tentukan jumlah ukuran sampel yg diperlukan !
2
2
E
q . p z=n 2
α
26
Penyelesaian :
2
2
E
q . p z=n 2
α diketahui n = 500, 0.32=
500
160=
n
x=p q = 1 – 0.32 = 0.68
Untuk tingkat kepercayaan 95% 1 - = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025
Nilai Z dengan /2 = 0.025 adalah 1.96 Maka:
2090 =(0.02)
(0.68) (0.32)(1.96)
E
q . p z=n 2
2
2
2
2α
=
27
9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Selisih 2
Proporsi
• Bila p1 dan p2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam
sampel acak yang berukuran n1 dan n2 serta q1 = 1 - p1 dan q2 = 1 – p2,
maka selang kepercayaan (1- ).100% bagi selisih antara p1 - p2 :
21 p-p
2121
σ
)p -(p - )p-(p=z
• Contoh soal:
Suatu polling dilakukan terhadap penduduk kota A dan penduduk di sekitar kota tersebut, untuk mengetahui kemungkinan diajukannya suatu rencana pembangunan TPA sampah. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk sekitar setuju dengan rencana tsb, tentukan selisih proporsi sebenarnya yang setuju dengan tingkat kepercayaan 90% !
2
22
1
11
2
22
1
11
nqp
nqp
ppppnqp
nqp
pp..
22121
..
221 . z ) - ( - . z- ) - ( ++<<+ αα
28
Penyelesaian :
p1 - p2 = selisih proporsi
0.60=2000
1200=
n
x=p ; 0.48=
5000
2400=
n
x=p
2
22
1
11
Untuk tingkat kepercayaan 90% 1 - = 0.90 = 0.10 /2 = 0.05
Nilai Z dengan /2 = 0.05 adalah 1.65
Maka selisih p1 - p2 dengan tingkat kepercayaan 90% :
2
22
1
11
2
22
1
11
nqp
nqp
ppppnqp
nqp
pp..
22121
..
221 . z ) - ( - . z- ) - ( ++<<+ αα
2000
(0.40) (0.60)
5000
(0.52) (0.48) 1.65 0.60) - (0.48 +±
0.0986 - 0.1414- pp - 21 <<
29
30
31
0 z
µ
1.89 0.63
0.88 0.92