1. geometri dimensi 2

8/16/2019 1. Geometri Dimensi 2

1/14

BAB 1. GEOMETRI DIMENSI DUA

A. Pengertian Sudut

Sudut adalah bangun yang dibentuk dari ruas garis yang bertemu pada suatu titik. Titik

pertemuannya disebut titik sudut. Kedua ruas garisnya disebut kaki sudut / sisi sudut.Perhatikan gambar berikut :

A

∠AOB = ∠θ = 65°

sudut releks AOB = !"5°

O 65° B

B. #a$am%ma$am Satuan Sudut

&. Satuan 'era(at )°*

&° =+6,

& keliling lingkaran sehingga & keliling lingkaran = +6,°.

&° = 6,′ )6, menit* dan &′ = 6,′′ )6, detik*

!. Satuan radian )rad*

& rad adalah besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang pan(ang busur dihadapan sudut itu

sama dengan pan(ang (ari%(arinya.

&-,° =π

rad sehingga & keliling limgkaran = !π

rad.+. Satuan entisimal / gne / grade )g*

&g =0,,

& keliling lingkaran sehingga & keliling lingkaran = 0,,g.

C. Mengkonversikan Satuan Sudut

Conto!

1yatakan : )i* +,° dalam satuan radian

)ii*π

+

!

radian dalam dera(at)iii* 523!&5° dalam dera(at3 menit dan detik

)i4* 65°5,′!5′′ dalam desimal dera(at

)4* 05° ke satuan grade

)4i* π 5

& radian ke satuan grade

aab:

)i* +,° = π &-,

+, rad = π

6

& rad

)ii* π

+

! rad =

+

!.&-,° = &!,°

)iii* 523!&5° = 52° 7&,,,

!&5.6,′

= 52° 7 &!3"′

= 52° 7 &!′ 7&,

".6,′′

= 52° 7 &!′ 7 50′′

= 52°&!′50′′

&,

"egiatan Be#a$ar 1 ! Sudut


2/14

)i4* 65°5,′!5′′ = 65° 7

6,

5,°

++6,,

!0°

= 65° 7 ,3-++ ° 7 ,3,,6 °

= 653-0°

)4* 05° = &-,

05

. !,,g

= 5,g

)4i* π 5

& rad =

5

&. !,,g = 0,g

D. %enis&$enis Sudut&. Sudut lan$ip : ,° 8 θ 8 ",°

!. Sudut siku%siku : θ = ",°

+. Sudut tumpul : ",° 8 θ 8 &-,°

0. Sudut pelurus : θ = &-,°

A. Ma'a(&(a'a( Bangun datar Beraturan

1. Segitiga

Berdasarkan sisinya segitiga dibedakan men(adi + ma$am3 yaitu :

a* Segitiga sembarang b* Segitiga sama kaki

$* Segitiga sama sisiBerdasarkan sudutnya segitiga dibedakan men(adi + ma$am3 yaitu :

a* Segitiga lan$ip

b* Segitiga tumpul

$* Segitiga siku%siku

b a

A $ B

L =!

& a . t

a = panjang

alas

t = tinggi

L =!

& a b Sin C

=!

& a c Sin B

=!

& b c Sin A

L = **)*)) c sb sa s s −−−

dengan s =!

&( a + b + c )

K = a + b + c

2. Persegi Panjang

l

p

L = p . l

&&

"egiatan Be#a$ar ) ! "e#i#ing dan *uas Bangun datar

t


3/14

K = 2 ( p + l ) + , +an$ang

# , #e-ar

3. Persegi

s

s

L = s2

K = 4s

s , sisi

4. Jajar Genjang

'

A Ba

L = a . t

K = 2 (AB + BC)

a , +an$ang a#as t , tinggi

5. Belah Ketuat

B

s

A

s

'

L =!

&d 1 . d 2

K = 4s

d1 , AC , diagona#+erta(a

d) , BD , diagona# kedua

s , sisi

!. La"ang#La"ang

B

B

A

d

'

L =!

&d 1 . d 2

K = 2 (AB + AD)

d1 , AC , diagona#+erta(a

d) , BD , diagona# kedua

$. %raesiu&

Trapesium dibedakan men(adi + ma$am3 yaitu :

a* Trapesium sembarang

b* Trapesium sama kaki

$* Trapesium siku%siku

' A B

L =!

&(AB + CD) . t

K = AB + BC + CD +DA

&!

t

d!

d &

d&

t


4/14

'. Ling(aran

A B

9

'

L = π r 2 =0

π

d 2

K = 2 π r = π d

r , $ari&$ari

d , dia(eter

juringBPC

juringAPC

L

L

BC

AC

BPC

APC =

∩∩

=∠∠

L juringAPC =°+6,

α

π r 2

∩ AC =°+6,

α

2 π r

Ltebereng = L juring ! L segitiga

). Segi#n Beraturan

ika r adalah (ari%(ari lingkaran pada segi%n beraturan3 maka :

segi%n =!

n r ! Sin

n

°+6,

ika sisinya s dan sudut kelilingnya ada n3 maka :

segi%n =

°−

°−

n

n"in

n

n"in sn

&-,*.!).!

!

&-,*.!).. !!

B. Taksiran *uas daera -idang Tak -eraturanAda tiga aturan yang dipergunakan untuk men$ari luas daerah bidang tak beraturan .

1. Aturan %raes*i+a

Bangun daerah bidang tak beraturan dibagi men(adi beberapa bagian yang lebarnya sama.

#asing%masing bagian disebut pias / partisi.

Perhatikan gambar berikut :

A& A! A+

A0 An

y& y! y+ y0

yn d d d

B& B! B+ B0 Bn

&+

;

P


5/14

Satu bidang pias A&B&B!A!3 luasnya mendekati trape ?

aab:9nam pias 4erti$al dengan rdinat : ,3 53 -3 &,3 -3 53 ,

L ≈ d ( )

+++++

+650+!

2&

! # # # # #

# #

≈ & ( )

+++++

+5-&,-5

!

,,

≈ +6 satuan luas.

2. Aturan ,i+ -r+inat Perhatikan gambar berikut :

?

A 9 d

y& y! y+

B '

> @

y&3 y!3 y+3 menun(ukkan rdinat%rdinat di tengah%tengah rdinat terdahulu.

uas pias AB' ≈ y& d

uas pias '9> ≈ y! d

'an seterusnya.

&0

d=&


6/14

adi y& =!

CD AB +3 y! =

!

'( CD +3 y+ =

!

)* '( +3 dan seterusnya.

uas ttal = (umlah luas masing%masing pias.

L ≈ y&.d 7 y!.d 7 y+.d 7

≈ d )y& 7 y! 7 y+ 7 *

L ≈ d ( jula& $rdinat tenga& )

Conto!

Tentukan luas bangun pada gambar di baah ini dengan aturan mid rdinat

&5 !! +! +" 0, +" +5 !!

-

aab: ≈ d ) (umlah rdinat tengah *

≈ - ) &5 7 !! 7 +! 7 +" 7 0, 7 +" 7 +5 7 !! *

≈ - )!00*

≈ &"5! satuan luas

3. Aturan Si&s*n

Perhatikan gambar berikut

C !

& +

0n7&

y = )*

y& y! y+ y0 yn7& D

a b

Entuk men$ari luas daerah di baah kur4a y = )* dengan sumbu D di antara = a dan = b3 sebagai berikut :

Bagilah gambar tersebut men(adi n buah trape


7/14


8/14

% Pen$erminan )Ieleksi*

% Perputaran )Itasi*

% Perkalian )'ilatasi*

Transrmasi ismetri adalah suatu transrmasi yang menghasilkaan bayangan yang kngruen

dengan bangun aslinya. #isal : translasi3 releksi3 dan rtasi.Catatan! arak dan arah suatu pergeseran dapat ditentukan dengan : ruas garis berarah3 misal ," atau

sebuah pasangan bilangan3 misal

b

a.

Pen$erminan ditentukan dengan suatu garis yang dianggap sebagai sumbu pen$erminannya.

Perputaran ditentukan dengan :

% pusat putaran.% besar dan arah sudut putar3 misalnya searah atau berlaanan arah (arum (am.

Perkalian ditentukan dengan pusat dan a$tr skalanya. #isal FP3kG merupakan dilatasi

berpusat di P dan a$tr skala k.

A. Trans#asi 0Pergeseran

Suatu translasi yang memindahkan setiap titik J a satuan ke kanan dan b satuan ke

atas dinyatakan dengan suatu pasngan bilangan bentuk klm

b

a.

Translasi T:

b

a memetakan setiap titik )3y* ke titik )′3y′* sehingga ′ = 7 a

dan y′ = y 7 b.'itulis T: )3y* → )′3y′* = ) 7 a 3 y 7 b*

'alam bentuk matriks klm3 ditulis :

+

=

+

+=

b

a

#

-

b #

a -

#

-

L

L

Conto!

Tentukan bayangan segi empat OAB dengan O),3,*3 A)53,*3 B),36* dan )536* sebagai hasil

translasi

+

&

aab:

+

&

O),3,* → O′)&3+*

A)53,* → A′)63+*

B),36* → B′)&3"*

)536* → ′)63"*

adi bayangannya O′A′B′′ dengan O′)&3+*3 A′)63+*3 B′)&3"*3 dan ′)63"*.

ara lain :

O A B O′ A′ B′ ′

=

+

""++

6&6&

++++

&&&&

66,,

5,5,

adi bayangannya O′A′B′′ dengan O′)&3+*3 A′)63+*3 B′)&3"*3 dan ′)63"*.

&2


9/14

B. Re/#eksi 0Pen'er(inan

Pencer&inan %erha+a su&bu /, 0

C

)3y*

O D )3%y*

# memetakan setiap titik )3y* ke titik )′3y′* sehingga ′ = dan y′ = %y.

'itulis # : )3y* → )′3y′* = )3%y*ika ′ dan y′ dinyatakan dengan dan y3 didapat :

′ = = &. 7 ,.y

y′ = %y = ,. 7 &.y

yang dapat disa(ikan dengan matriks :

=

++

=

#

-

# -

# -

#

-

&,

,&

.&.,

.,.&

L

L

#atriks # =

&,

,& disebut matriks peratr pen$erminan terhadap sumbu D.

ara lain:

C

%B),3&*

3 D

A)&3,*

?unakan titik A)&3,* dan B),3&* sebagai pembentuk matriks aal3 yaitu :

−

=

&,

,&

B A

B A

# #

- -

Pen$erminan terhadap sumbu D

A)&3,* → A′)&3,* matriknya :

−

=

&,

,&

LL

LL

B A

B A

# #

- -

B),3&* → B′),3%&*

Silah(an +ic*ba sen+iri untu(

Pen$erminan terhadap sumbu C

Pen$erminan terhadap garis y =

Pen$erminan terhadap garis y = %

Pen$erminan terhadap titik asal O

Pen$erminan terhadap garis = a

Pen$erminan terhadap garis y = b

Conto!


releksi terhadap sumbu D

&-


10/14

aab:

# = −&,,&

O A B O′ A′ B′ ′

Sehingga :

−&,,&

66,,

5,5, =

−− 66,,5,5,

adi bayangannya O′A′B′′ dengan O′),3,*3 A′)53,*3 B′),3%6*3 dan ′)53%6*.

C. Rotasi 0Per+utaran

C A′)r3 α7θ*

A )r3 α*

θ

α

O D

A )r3 α* → = r s α y = r Sin α

A′)r3 α7θ* → ′ = r s )α7θ*

y′ = r Sin )α7θ*

′ = r s )α7θ*

= r s α s θ % r Sin α Sin θ

= s θ % y Sin θ

y′ = r Sin )α7θ*

= r Sin α s θ 7 r s α Sin θ

= y s θ 7 Sin θ

= Sin θ 7 y s θ

Se$ara matriks dapat ditulis :

−=

+−

=

#

-

C$s"in

"inC$s

#C$s -"in

#"in -C$s

#

-

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

L

L

Sudut rtasi psiti (ika berlaanan dengan arah perputaran (arum (am3 dan negati4e (ika

sesuai dengan arah perputaran (arum (am.

Conto!

Tentukan bayangan segi empat OAB dengan O),3,*3 A)53,*3 B),36* dan )536* sebagai hasilrtasi di O se(auh +,° berlaanan dengan arah (arum (am

aab:

I O3+,° =

−=

°°

°−°

+

+

+,+,

+,+,

!&

!&

!

&

!

&

C$s"in

"inC$s

O A B O′ A′ B′ ′

&"


11/14

−+

+

!

&

!

&

!&

!&

66,,

5,5,=

+

−−

++++,

++++,

!

5

!

5

!

5

!

5

adi bayangannya O′A′B′′ dengan O′),3,*3 A′)!

5

!

5 3+ *3 B′) ++3+− *3 dan ′)

++3++!

5

!

5

+− * *tasi +engan Pusat P/ab

′ = M)%a* s θ % )y%b* Sin θN % a

y′ = M)%a* Sin θ 7 )y%b* s θN b

atau

−−

−=

−−

b #

a -

C$s"in

"inC$s

b #

a -

θ θ

θ θ

L

L

Conto!

'iketahui titik A)035*3 tentukan bayangannya akibat rtasi ",° dengan titik pusat P)&.&*

aab:

−−

°°°−°

=

−−

&5

&0

",",

",",

&L

&L

C$s"in

"inC$s

#

-

=

−0

+

,&

&, =

−+

0

⇔

−=

++−

=

0

+

&+

&0

L

L

#

-

adi3 bayangan titik A)035* akibat rtasi ",° dengan titik pusat P)&.&* adalah A′)%+30*.

D. Di#atasi 0Perka#ian

Suatu dilatasi dengan pusat O dan a$tr skala k dinyatakan dengan FO3kG.

'ilatasi FO3kG memetakan setiap titik )3y* ke titik )′3y′* sehingga ′ = k dan y′ = ky.

'itulis FO3kG : )3y* → )′3y′* = )k3ky*

C A′)k3ky*

OA′ = k OA

A)3y*

O D

ika ′ dan y′ dinyatakan dengan dan y3 didapat :′ = k = k. 7 ,.y

y′ = ky = ,. 7 k.y

yang dapat disa(ikan dengan matriks :

=

++

=

#

-

%

%

#% -

# -%

#

-

,

,

..,

.,.

L

L

#atriks FO3kG =

%

%

,

, disebut matriks peratr dilatasi dengan pusat O dan a$tr skala k.

atatan: ika k, maka bangun asal dan bayangan letaknya sepihak terhadap pusat dilatasi.

ika k8, maka bangun asal dan bayangan letaknya berlainan pihak terhadap pusatdilatasi.

ika ,8k8& maka dilatasi merupakan penge$ilan.

ika k8%& atau k& dilatasi merupakan pembesaran.

ika k = %& maka dilatasi itu sama dengan pen$erminan terhadap O dan sama dengan

rtasi &-,° dengan pusat O.

Conto!

!,


12/14


dilatasi FO3+G

aabH

FO3+G =

+,

,+

O A B O′ A′ B′ ′

+,

,+

66,,

5,5,=

&-&-,,

&5,&5,

adi bayangannya O′A′B′′ dengan O′),3,*3 A′)&53,*3 B′),3&-*3 dan ′)&53&-*.

ilatasi +engan Pusat P/ab

A)3y* → G*33)F % ba P A′ )k)%a* 7 a3 k)y%b* 7 b*atau

−−=

−−

=

−−

b #

a -%

b #

a -

%

%

b #

a -

,

,

L

L

+−

+−=

bb #%

aa -%

#

-

*)

*)

L

L

Conto!

'iketahui titik A)53"*3 tentukan hasil bayangannya karena dilatasi FP3+G dengan titik pusatP)!3&*

aab:

'ilatasi FP3+G

=

++

=

−−

=

−−

!5

&&

&-.+

!!.+

&"

!5.+

&L

!L

#

-

adi3 titik bayangan hasil dilatasi adalah: A′)&&3!5*.

E. Trans/or(asi *inear

Transrmasi linear adalah transrmasi yang memetakan setiap titik )3y* ke titik )′3y′*

sedemikian sehingga :

=

+=

+=

#

-

d c

ba

#

-atau

d#c- #

b#a- -

L

L

L

L

Conto!

'iketahui dua buah titik dipetakan sebagai berikut :

)!3&* → )53&*

),3&* → )&3+*

Tentukan matriks transrmasinya

)!3&* →

d c

ba

)53&*

),3&* )&3+*

⇔

=

&

5

&

!

d c

ba

!a 7 b =5 !$ 7 d = &

⇔

=

+

&

&

,

d c

ba b = & H d = +

Sehingga : a = ! H $ = %&

adi matriks transrmasinya

− +&

&!

!&


13/14

%abel ,atri(s %rans6*r&asi

/ 0,A"/,A" P''0AA A0,K"

& Qdentitas )3y* → )3y*

&,,&

! Translasi )3y* → )′3y′* = ) 7 a 3 y 7 b*

+

=

b

a

#

-

#

-

L

L

+ # )3y* → )3%y*

−&,,&

0 #y )3y* → )%3y*

−&,

,&

5 #y= )3y* → )y3*

,&

&,

6 #y=% )3y* → )%y3%*

−−

&,

,&

2 # )3y* → )%3%y*

−

−

&,

,&

- I )O3θ* )3y* → )sθ % ySinθ3 Sinθ 7 ysθ*

−θ θ

θ θ

C$s"in

"inC$s

2 'FO3kG )3y* → )k3ky*

%

%

,

,

atatan:Entuk memperleh matriks transrmai tunggal dari beberapa matriks transrmasi3 dapat

dilakukan dengan mengalikan matriks%matriks transrmasi tersebut.

Conto!

ika T& =

,

+dan T! =

!

& menyatakan matriks translasi3 maka tentukan bayangan titik A)%

+3&* leh T!T& aab:

T!T& = T& 7 T!

=

,

+ 7

!

& =

!

0

Sehingga :

−&

+ 7

!

0 =

+

&

adi3 bayangan A)%+3&* leh T& 7 T! adalah A′)&3+*

Conto!

Tentukan bayangan A)!35* leh pen$erminan terhadap sumbu C dilan(utkan terhadap sumbuD

aab:

# #y =

−&,

,&

−&,

,& =

−

−

&,

,&

−

−

&,

,&

−−

=

5

!

5

!

adi3 bayangan A)!35* leh #y dilan(utkan # adalah A′)%!3%5*.

*atian

&. 1yatakan ke dalam satuan radian

!!


14/14

a. 6,° b. &!,g

!. 1yatakan ke dalam satuan dera(at &

a. π +

! rad b. !5g

+. 1yatakan ke dalam satuan grade/gn

a.+,° b. π 6& rad

0. 1yatakan dera(at berikut ke dalam dera(at3 menit3 dan detik &

a. 0535° b. 6,325°

5. @itunglah daerah bangun datar gambar di baah ini

.

0, $m

&, $m

5, $m

6. Sebuah ruang dengan &5 m !, m akan dipasang keramik yang berukuran !, $m !, $m.

Berapa (umlah keramik yang diperlukan R

2. 'iketahui segitiga AB dengan titik%titik A)&3&*3 B)+35* dan )53!*. Tentukanlah bayangan

segitiga tersebut setelah digeser leh T

&

!

-. 'engan menggunakan matriks peratr3 tentukan bayangan segitiga P;I dengan titik sudut

P)!3+*3 ;)%&35* dan I)!3!* akibat pen$erminan berikut:a. terhadap sumbu D

b. terhadap sumbu C

$. terhadap garis y = d. terhadap garis y = %

e. terhadap titik asal

!+

1. geometri dimensi 2

Documents