GEOMETRI TIGA DIMENSI

ByYand

raStephen

Wisnu

Yusron

Siti Sundari

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

A.1. Kedudukan Titik pada Garis dalam Bidang Perhatikan gambar 7.1 Titik P dan T terletak pada garis PQ. Ini menunjukkan bahwa melalui dua titik

dapat dibuat sebuah garis Titik S terletak diluar garis PQ. Titik-titik S, P, dan Q berada pada bidang ABCD. Ini

menunjukkan bahwa melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang.

Perhatikan kembali titik-titik S, P, dan Q. Titik-titik ini tidak segaris. Sebagai

akibat kaidah sebelumnya, kita dapat mengatakan bahwa melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang.

Gambar 7.1

T

A.2. Kedudukan Titik pada Bidang dalam Ruang

Perhatikan letak titik-titik pada gambar 7.2 Titik-titik A, D, H dan E terletak pada bidang ADHE. Titik-titik B, C, G, dan F terletak di luar bidang ADHE. Titik B di luar bidang ADHE dan titik B berada pada bidang BCGF. Bidang ADHE sejajar dengan bidang BCGF. Ini menunjukkan bahwa melalui sebuah bidang dan sebuah titik di luar bidang tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang yang sejajar dengan bidang tersebut.

Gambar 7.2

A BCD

HE F

G

A.3. Kedudukan Dua Garis dalam Ruamg a. Dua garis sejajar Pada gambar 7.3 tampak EF//HG. Kedua garis ini terletak pada bidang EFGH, sehingga dapat dikatakan melalui garis EF dan HG yang sejajar dapat dibuat

bidang EFGH. Secara umum dapat dikatakan, melalui dua garis yang sejajar dapat dibuat tepat satu bidang.

b. Dua garis berpotongan Pada gambar 7.3 tampak garis AC berpotongan dengan garis BD di titik T.

Kedua garis ini terletak pada bidang ABCD sehingga dapat berpotongan. Jadi, kita dapat

mengatakan bahwa melalui dua garis yang berpotongan dapat dibuat tepat satu bidang.

C. Dua garis bersilang Pada gambar 7.3 tampak garis AC dan BH bersilang dan tidak sebidang. Kita

dapat mengatakan bahwa melalui dua garis yang bersilang seperti AC dan BH ini tidak

dapat dibuat sebidang. Jadi secara umum, melalui dua garis yang bersilang tidak dapat

dibuat sebuah

bidang.

A BCD

HE F

G

A.4. Kedudukan Garis terhadap Bidang dalam Ruang a. Garis terletak pada bidang Pada gambar 7.4 tampak garis g terletak pada bidang ABCD. Semua titik pada

garis g terletak pada bidang ABCD, Sehingga kita dapat mengatakan sebuah garis

terletak pada sebuah bidang jika semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang itu.

b. Garis sejajar dengan bidang Pada gambar 7.5 garis g terletak pada bidang ABCD. Garis g ini sejajar

dengan garis l yang terletak di luar bidang ABCD. Akibatnya, garis l sejajar dengan bidang ABCD. Jadi,

dapat dikatakan bahwa sebuah garis sejajar dengan salah satu garis pada bidang itu.

C. Garis menembus bidang Pada gambar 7.6 garis TE menembus bidang ABCD di titik E. Titik E terletak

pada garis g sedangkan garis g pada bidang ABCD. Oleh karena itu, titik E merupakan titik

potong antara garis TE dan bidang ABCD. Garis TE ini disebut menembus bidang ABCD. Jadi,

sebuah garis menembus sebuah bidang jika terdapat tepat satu titik persekutuan (titik

potong) antara garis dan bidang tersebut.

D C

l

D C

A B Gambar 7.4

A Gambar 7.5 B

g

g

A.5. Kedudukan Dua Bidang dalam Ruang a. Dua bidang sejajar Pada gambar 7.7 tampak garis AH//BG. Bidang ABGH merupakan persegi

panjang. AH pada bidang ADHE, sedangkan BG pada bidang BCFG. Dikatakan bahwa bidang

ADHE sejajar bidang BCGF.

B. Dua bidang berpotongan Pada gambar 7.8 garis g merupakan garis potong antara bidang α dan

bidang β sehingga dikatakan bidang α berpotongan dengan bidang β. Garis potong ini disebut

garis tumpuan . Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa dua bidang berpotongan jika memiliki

tepat satu garis persekutuan atau garis berpotongan.

C. Dua bidang berimpit Dua bidang dikatakan saling berimpit apabila setiap titik pada bidang

yang satu juga terletak pada bidang lain. Pada gambar 7.9, bidang α berimpit dengan

bidang β.

B. Garis Tegak Lurus pada Bidang

Suatu garis g tegak lurus pada suatu bidang α apabila garis g tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang membentuk bidang α.

Perhatikan gambar 7.10. Jika garis g tegak lurus pada garis h dan l maka garis g tegak lurus bidang α.

Sifat-Sifat Garis Tegak Lurus Bidang

a. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang maka garis tersebut tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang itu. Perhikan gambar 7.11.

b. Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang berpotongan, garis tersebut tegak lurus pada sebuah bidang yang melalui kedua garis yang berpotongan itu. Perhatikan gambar 7.12.

c. Jika dari sebuah titik pada sebuah garis dibuat garis-garis yang tegak lurus pada garis itu, garis-garis tersebut terletak pada sebuah bidang datar yang tegak lurus pada garis itu. Perhatikan gambar 7.13

d. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus pada sebuah bidang, garis yang kedua juga tegak lurus pada bidang tersebut. Perhatikan gambar 7.14

e. Jika dua garis tegak lurus pada suatu bidang, kedua garis tersebut saling sejajar. Pada gambar 7.15, garis g bi dang α. Jika garis l b idang α maka garis g//l.

f. Memulai sebuah titik di luar sebuah garis hanya dapat di buat sebuah bidang yang tegak lurus garis tersebut. Perhatikan gambar 7.16.

g. Melalui sebuah titik pada sebuah bidang hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus bidang tersebut. Perhatikan gambar 7.17.

16

C. Proyeksi Pada Bidanga. Proyeksi Titik pada Bidang

Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g H. Garis g menembus bidang H

di titik P’.Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H

H

P

P’

g

17

b. Proyeksi Garis pada Bidang Proyeksi sebuah garis ke

sebuah bidang dapat diperoleh dengan

memproyek-sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke

bidang. Jadi proyeksi garis g pada bidang

H adalah g’

H

A

A’

gB

B’g’

Sifat-SIFAT Proyeksi Garis pada Bidang

1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h maka proyeksi garis h pada bidang berupa

titik. 3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada

dan sejajar garis g

19

D. Jarak dalam Dimensi Tiga

a. Jarak antara dua titik

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Pada gambar di samping, menunjukan jarak titik

A ke B, adalah panjang ruas garis yang menghubungkantitik A ke B

A

B

Jara

k du

a

titik

20

b. Jarak antara titik dan garis

Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis.

Pada gambar dibawah ini, menunjukan jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas

garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g

A

g

Jara

k ti

tik

dan

gar

is

21

c. Jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus yang

menghubungkan titik tersebut dengan bidang.

Menunjukan jarak antara titik A ke bidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus titik A ke bidang V

A

V

22

d. Jarak antara garis dan garis Jarak antara garis dan garis adalah panjang ruas garis yang tegak lurus

terhadap kedua garis tersebut.

Menunjukan jarak antara garis g ke garis h adalah

panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut

P

Q

g

h

23

e. Jarak antara garis dan bidang Jarak antara garis dan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus

terhadap garis dan tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Pada gambar disamping, menunjukan Jarak antara garis g ke bidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkan

tegak lurus garis dan bidang

V

g

24

f. Jarak antara bidang dan bidang Jarak antara bidang dan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak

lurus terhadap terhadap kedua bidang tersebut.

Pada gambar disamping, menunjukan jarak antara bidang Wdengan bidang V adalah panjang ruas garis yang tegak lurusbidang W dan tegak lurus bidang V

V

WW

Jara

k D

ua B

idan

g

25

E. Sudut dalam Dimensi Tiga

a. Sudut antara Dua Garis Yang dimaksud dengan besar sudut antara

dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut

k

m

26

b. Sudut antara Garis dan Bidang Sudut antara

garis a dan bidang dilambangkan (a,)adalah sudut antaragaris a dan proyeksinya pada .

Sudut antara garis PQ dengan V

= sudut antara PQ dengan P’Q

= PQP’

P

QV P’

27

c. Sudut antara Bidang dan Bidang Sudut antara bidang dan bidang adalah sudut antara garis g dan

h, dimana g (,) dan h (,). (,) garis potong bidang dan

(,)

g

h