07a_kalkulus-turunan

7/25/2019 07a_kalkulus-turunan

1/6

DIFFERENSIAL

Differensial dari )(xfy= diberikan dalam beberapa notasi:

)(,)(

,),(' xfD

dx

xdf

dx

dyxf x

Rumus Baku Differensial)(xfy=

dx

dy

nx 1nnxxe xekxe kxkexa aax ln

xln

x

1

xalog

ax ln

1

xsin xcos

xcos xsinxtan x2secxcot x2cosecxsec xx tansecxcosec xx cotcosec-

xsinh xcosh

xcosh xsinh

Contoh:

entukandx

dydari

1! xy sinh=2! xy cosh=

Aturan Rantai

"ika ))(( xgfy=

dan f(u)#atau)( == xgu

maka :dx

du

du

dy

dx

dy=

Contoh:

entukandx

dydari:


2/6

1! )$%cos( = xy2! xey

sin=

&! )$%tan( = xy$! %)&$( = xy

'atihan:

entukandx

dydari:

1! )%$( = xy2!

xey = &

&! xy 2sin=

$! 2cos xy=

%! ( )xy cos$&ln =

eorema : "ika (konstan))( cxf = pada suatu inter*al, maka f(+) differensiabel padainter*al tersebut dengan )(' =xf

eorema : "ika f dan g differensiabel pada suatu inter*al, maka demikian uga f . g, f -

g, dan f ! g differensiabel pada inter*al itu, sedangkang

fpada inter*al

tersebut differensiabel han#a pada titik dimana )( xg , dan

1! )(')(')()'( xgxfxgf +=+2! )(')(')()'( xgxfxgf =&! )(')()()(')()'!( xgxfxgxfxgf +=

$!

[ ] )(/

)(

)(')()()(')(

2

'

=

xg

xg

xgxfxgxfx

g

f

Rumus dasar :1== rr arx

dx

dyaxy

Contoh

entukandx

dy dari:

1! xxy tan2=

2! ( )1&% += xey x

&! xxy 2cos=

$! xxy %sin&=%! xxy sinhln2=


3/6

!1

&sin

+=

x

xy

0! xe

xy

2

ln=

Differensial Logaritmik

Berguna untuk men#elesaikan differensial bentuk pangkat, akar, perkalian dan pembagian

fungsi!

emua didasarkan atas ken#ataan baha

xx

dx

d 1ln =

dan ika + diganti dengan sebuah fungsi 3, maka:

dx

dF

FF

dx

d 1ln =

inau sebuah kasus:

w

uvy= dengan u, *, adalah sebuah fungsi +!

4ertama-tama, ambil nilai ln kedua ruas, akan diperoleh:

=w

uvy lnln

atauwvuy lnlnlnln +=

5edua ruas didifferensialkan sehingga diperoleh:

dxdw

wdxdv

vdxdu

udxdy

y1111 +=

atau

+=

dx

dw

wdx

dv

vdx

du

uy

dx

dy 111

+=

dx

dw

wdx

dv

vdx

du

uw

uv

dx

dy 111

Contoh:

entukandxdy dari:

1!x

xxy

2cos

sin2=

2! xexy x tan&$=

&!xx

ey

x

2cosh&

$

=


4/6

Latihan

Differensialkan terhadap +

1! x$ln

2! ( )x&sinln

&! xe x $sin&

$!%2

2sin+xx

%!x

e

xx2

2cos)1&( +

! xxx $cos2sin%

Fungsi Implisit2$2 += xxy , # terdifinisi sepenuhn#a oleh +! ehingga # disebut sebagai fungsi

eksplisit dari +!

"ika kaitan + dan # sangat erat, sehingga sulit memisahkan antara *ariabel + dan #,misaln#a +# . sin # 6 2! Dalam hal ini # disebut fungsi implisit dari +!

Contoh:

1! entukandx

dydari 2%22 =+ yx

2! "ika %222 =++ yxyx , tentukandx

dydan

2

2

dx

yddi titik +6&, #62

&! entukandx

dydari $&2 22 =++ yxyx

$! entukan dx

dydari 7& 2&& =++ xyyx

Persamaan Parametrik

Dalam beberapa persoalan, seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi dengan

men#atakan + dan # dalam suatu *ariabel bebas ketiga secara terpisah, misaln#a sebagai

contoh # 6 cos 2t, + 6 sin t!

8ariabel #ang ketiga ini, misaln#a t, disebut parameter, dan kedua pern#ataan untuk + dan# itu disebut persamaan parametrik

Contoh:

1! # 6 cos 2t, + 6 sin t! entukandx

dydan

2

2

dx

yd

2! &sinsin& =y , &cos=x ! entukandx

dydan

2

2

dx

yd


5/6

&!t

tx

+

=1

&2,

t

ty

++=1

2&! entukan

dx

dydan

2

2

dx

yd

Latihan

1! Differensialkan fungsi-fungsi berikut terhadap +:a! x2tan

b! ( )

&% +xc! x2cosh

d! )1&(log 2

1 xxe! x&cosln

f! x$sin&

g! xe x &sin2

h!( ) 2

$

1+xx

i!xx

xe x

2cos

sin$

2! "ika 2&2222 =++ yxyx , tentukanlahdx

dydan

2

2

dx

yddi titik + 6 -2, # 6 &

&! entukanlah pern#ataan untukdx

dyika %$ 2&& =++ xyyx

$! "ika ( )cos1& =x dan ( ) sin& =y , tentukanlahdx

dydan

2

2

dx

yddalam bentuk

#ang paling sederhana

Latihan

1! Differensialkan terhadap +:

a!

+

xx

xx

sincos

sincosln

b! ( )xx tansecln +

c! xx &$ cossin

2! entukan dx

dy

ika

a!x

xxy

cos1

sin

+=

b!

+=

2

2

1

1ln

x

xy

&! "ika # adalah fungsi +, dan1+

=t

t

e

ex , tunukkan baha

dx

dyxx

dt

dy)1( =


6/6

$! entukandx

dyika 7&

2&& =+ xyyx

%! Differensiasikan:

a! xey %sin2

=

b!

+

=

1cosh

1coshln

x

xy

! entukandx

dydan

2

2

dx

ydika &cosax= , &sinay=

0! entukandx

dydan

2

2

dx

ydika &coscos& =x , &sinsin& =y

7! "ikax

xy

sinh&$

&sinh$sinh

+= , tunukkan baha

xdx

dy

sinh&$

%

+=

07a_kalkulus-turunan

Documents