BAB III : PROBABILITAS

3.1 Konsep dasar Probabilitas3.2 Ruang sampel (Sample spaces) dan Kejadian (Events)3.3 Harapan/ekspektasi matematis3.4 Teori Bayes3.5 Distribusi Probabilitas

3.1 Konsep dasar probabilitas

Probabilitas ( Probability) = kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara keseluruhanperistiwa yang bisa terjadi.

P = lim ~( ), dimana

P = ProbabIlitas terjadinya, bernilai antara 0 sd 10=tidak mungkin terjadi (impossible), 1=pasti terjadi (certain)Jumlah probabilitas seluruh kejadian adalah 1

f = frekwensi terjadinya peristiwan = seluruh peristiwa

Q = 1 – P, dimana Q: Probabilitas tidak terjadinya peristiwa.

Probabilitas dari suatu kejadian E adalah:P(E) = jumlah hasil kejadian / total kemungkinan hasil kejadian dari ruang sampel

Contoh:a) P ( dadu keluar angka 5) = 1/6b) P( dua dadu keluar angka 5 dan 6) = 2/36

3.2 Ruang sampel (Sample spaces) dan Kejadian (Events)

Ruang sampel = himpunan semua kemungkinan kejadianContoh:a) Himpunan permukaan dari coin mata uang adalah 2 yaitu { Gambar, Angka }b) Himpunan permukaan dari sebuah dadu adalah 6 yaitu { 1,2,3,4,5,6 }c) Himpunan kartu Bridge adalah 52d) Himpunan permukaan dari dua dadu adalah 36 yaitu { (1,2), (1,3), (1,4), dst }e) Himpunan permukaan dari coin mata uang dan dadu adalah 12

P(A)

Kejadian / Event (E):

Ada tiga hal yang perlu dicermati dalam kejadian, yaitu kejadian sederhana, hubungan kejadian,susunan kejadiannya.

a) Kejadian sederhanaKejadian dari satu objek pada satu saat

P(A) ∈ [0,1]P(Ac) = 1 – P(A)

Contoh: Kejadian A: “Gambar dari Koin”, maka P(A) = 1/2 Kejadian B: “Angka 5 dari dadu”, maka P(B) = 1/6 Kejadian C: “Kartu hitam dari Kartu bridge” , maka P(C) = 13/52 = ¼ Kejadian D: “Bukan Kartu hitam dari Kartu bridge” , maka P(DC) = 1 - ¼ = 3/4

b) Hubungan KejadianKejadian dari beberapa objek pada satu saat,Ada 3 macam hubungan dari objek-objek tersebut, yaitu;1) Peristiwa “atau” ( “OR” )

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), peristiwa terjadi bersama-sama= P(A) + P(B) – P(A).P(B)

Simple (marginal), Joint Probability

Contoh:Kejadian : Koin dan dadu dilempar besamaP (Koin atau Dadu ) = 1/2 + 1/6 - 1/12 = 6/12 + 2/12 – 1/12 = 7/12

P( King atau Hitam ) = 4/52 + 26/ 52 - 4/52*26/52 = 28/52 =7/13

P(A atau B) = P(A) + P(B), mutual exclusive yaitu(peristiwa saling meniadakan/peristiwa tak terjadi bersama-sama)

Contoh:Kejadian : dadu dilempar dua kali- P( dadu 1 atau 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

Kejadian : Koin dan dadu dilempar sendiri-2- P( koin atau dadu) = 1/2 + 1/6 = 4/6-

P(B)

P(A) P(B)

P(A)

P(A)

2) Peristiwa “dan” ( “AND”)

P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) * P(B), independent yaitu(peristiwa tidak saling mempengaruhi/ peristiwa terjadi bersama-sama).Peristiwa A dan B independen jika probabilitas kejadian A tidak dipengaruhikejadian lain, P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) sehingga P(A dan B)= P(A ∩ B)

P(A dan B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A),syarat peristiwa terjadi bertahap ( karenakejadiannya dependent)

Contoh:P (Koin dan Dadu ) = 1/2 * 1/6 = 1/12P (Koin atau Dadu ) = 1/2 + 1/6 - 1/12 = 6/12 + 2/12 – 1/12 = 7/12

P( King dan Hitam ) = 4/52 * 26/ 52 = 1/13 * 1/2 = 1/26P( King atau Hitam ) = 4/52 + 26/ 52 - 1/26 = 28/52 =7/13

3) Peristiwa “bersyarat” (“GIVEN”)Peristiwa terjadi bertahap dan menjadi syarat pada peristiwa berikutnya.Probabilitas kejadian B setelah peristiwa A terjadi adalah P(B|A) :

P(B|A) = ( ∩ )( ) = ( | ). ( )( ) ??

Contoh:Kejadian : Kartu Hitam setelah kartu KingP(Hitam | King) = P(Hitam dan King ) / P(King ) = (26/52 * 4/52) / (4/52) =

= (1/2*1/13) / (1/13) = 1 / 2

Kejadian : Kartu King setelah kartu HitamP(King | Hitam) = P(King dan Hitam) / P(Hitam) = (4/52*26/52) / (26/52) =

= (1/13*1/2) / (1/2) = 1/13

Kemungkinan calon mhs diterima di Jurusan Informatika adalah 30%, apabila mhstersebut diterima kemungkinan lulus 70%. Berapa probabilitas calon mhs akanlulus menjadi sarjana?

A: Peristiwa calon mhs diterima, P(A) =0,3B : Peristiwa setelah diterima & lulus sarjana , P(B|A)=0,7

P(B|A) = ( ∩ )( ) ,

0,7 = P( A dan B) / 0,3 sehingga P(A dan B) =0,7 * 0,3 = 0,21

P(B)

P(B)

c) Susunan KejadianSusunan objek dalam suatu kejadian dapat diatur secara permutasi atau kombinasi.Permutasi (memperhatikan tata susunan), kombinasi (tidak memperhatikan tata susunan).

o PermutasiPermutasi adalah banyaknya susunan dari objek sejumlah n, tiap kali diambil sejumlah rdalam tata urutan teratur.P(n,r) = n! / ( n-r)! , n: objek r:cara

Contoh:1) Pedagang A,B,C akan disusun teratur menempati lokasi perdagangan, berapa cara

penysusunnnya?

P(3,3) = 3! / (3-3)! = 3!/0! = 6/1 = 6

Cara penyusunan dg digaram pohon:AB C : ABC

C B : ACBB A C : BAC

C A : BCAC A B : CAB

B A : CBA

2) Pedagang A,B,C akan disusun teratur menempati lokasi perdagangan dengan duasusunan, berapa cara penysusunnnya?

P(3,2) = 3! / (3-2)! = 3!/1! = 6/1 = 6

Cara penyusunan dg digaram pohon:AB : AB

C : ACB A : BA

C : BCC A : CA

B : CB

o KombinasiKombinasi adalah banyaknya susunan dari objek sejumlah n, tiap kali diambil sejumlah rtanpa memperhatikan tata urutan .C(n,r) = n! / r! ( n-r)! , n: objek r:cara

Contoh:3) Pedagang A,B,C akan disusun sembarang menempati lokasi perdagangan, berapa

cara penysusunnnya?

C(3,2) = 3! /(2!* (3-2)!) = 3!/(2!*1! ) = 6/(2*1) = 3

Cara penyusunan dg digaram pohon:AB : AB

C : ACB A : BA (dihapus krn double dg AB)

C : BCC A : CA (dihapus krn double dg AC)

B : CB (dihapus krn double dg BC)

3.3 Ekspektasi/Harapan MatematisHarapan matematis adalah total nilai yang diharapkan dari sejumlah kejadian denganprobabilitasnya, sehingga dapat digunakan untuk memilih alternatif paling menguntungkan.

E(Xi) = ∑ . ( ), Xi : nilai yang diharapkan dari probabilitas P(Xi)

Contoh:1. Pada permainan dadu, pemain akan mendapatkan hadiah Rp.15.000,- jika dadu yang keluar

diatas 4. Berapa nilai yang diharapkan pemain? ( berapa yang harus dibayar agar imbang ?)E(X) = X5.P(X5) + X6.P(X6)

= 15.000 * 1/6 + 15.000 * 1/6 = 5.000

2. Seorang pedagang ikan untung Rp.1000.000 per hari jika cuaca cerah, tetapi akan rugiRp.200.000 jika cuaca hujan. Berapa nilai yang diharapkan jika kemungkinan hujan 40%?E(X) = X1. P(X1) + X2.P(X2)

= 1.000.000 * 0,6 - 200.000 * 0,4= 600.000 – 80.000 = 520.000

3.4 TEORI BAYES

Teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiranBayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubahsecara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskanrepresentasi invers probabilitas dua kejadian.

Kaidah Bayes merupakan pengembangan dari probabilitas bersyarat.

P (B|A ) = P(A dan B ) / P(A),

P (A dan B ) = P(A) x P(B|A) (1)

P (A dan B ) = P(B) x P(A|B) (2)

P(B) x P(A|B ) = P(A) x P(B|A)

P(A|B ) = ( P(A) x P(B|A) ) / P(B) Teorema Bayes

P(A|B) : Peluang kejadian A jika B terjadi

Jika Aj ( j=1,2,3 ..n) merupakan sekatan-sekatan dari sebuah sampel S dan setiap peristiwa Ajbersifat mutual eksklusif (saling meniadakan) serta probabilitasnya tak sama dg nol ( P(Aj) #0 ),maka probabilitas terjadinya persitiwa A adalah:

P(A) = P(A1) x P(A/A1) + P(A2)xP(A/A2) + P(A3)xP(A/A3) + ...... + P(An)*P(A/An )

= ∑ ( | ) dalil Bayes I

Kemudian jika ada peristiwa lain Ak yang merupakan sekatan tertentu dari Aj (dimana :1≤ ≤ ) dan P(Ak)≠ 0, maka probabilitas peristiwa A dari sekatan Ak adalah;

P(A| ) = ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | ) …… ( ) ( | )= ( ) ( | )∑ ( | ) dalil Bayes II

Contoh 1:Tiga mesin menghasilkan output masing 50%, 30%, 20%, output yang rusak dari masing -2mesin adalah 3%, 4%, 5%.a) Berapa probabilitas output yg rusak dalam 1 kali sampel secara random?b) Berapa probabilitas produk yg rusak berasal dari mesin pertama ?

Jwb:Produk rusak = A, Mesin A1, A2, A3

a) P(A) = P(A1) x P(A/A1) + P(A2)xP(A/A2) + P(A3)xP(A/A3)= 0,5 x 0,03 + 0,3 x 0,04 + 0,2 x 0,05 = 0,037 (3,7% Rusak)

b) P(A| ) = ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )= % %% % % % % %) = 3,7%

Contoh 2;Cowok anda lagi bicara dengan seseorang berambut panjang. Berapa probabilitas lawanbicaranya adalah wanita? Jika probabilitas wanita berambut panjang 0,75 sedangkan priaberambut panjang 0,3.

W: kejadian bicara dengan Wanita, P(W)=0,5L : kejadian bicara dengan Laki-laki, P(L) =0,5J : kejadian bicara dengan berambut panjang, P(J|W)=0,75, P(J|L)=0,3

P(W|J) = ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | ))= , ,, , , , = 0,714

3.5 Distribusi Probabilitas

Distribusi Probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan yangdisertai dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut. Distribusi Probabilitas bisadinyatakan dalam daftar distribusi atau grafik histogram.

Contoh-1: Tiga koin logam dilempar keudara, tentukan distribusi probabilitas muncul “Gambar”dari percobaan tersebut?

Jawab:

Probabilitas ketiga koin yaitu P(K1 dan K2 dan K3 )= 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Jumlah percobaan = 8

Percobaan ke K1 K2 K3 Probabilitas “Gambar”1 A A A 0,125 02 A A G 0,125 13 A G A 0,125 14 A G G 0,125 25 G A A 0,125 16 G A G 0,125 27 G A G 0,125 28 G G G 0,125 3

Total Probabilitas 1

a.Tabel Distribusi“Gambar” Probabilitas

0 0,1251 0,3752 0,3753 0,125

Total 1

b). Distribusi Probabilitas

Probabilitas

0,375

0,125

0 1 2 3 Muncul “Gambar”

Contoh-2 : Dua dadu dilempar keudara, tentukan distribusi probabilitas dari percobaantersebut?

Permukaan dadu ada 6:

Jika dua buah dadu dilempar keudara, maka kemungkinan yang akan terjadi adalah

Percobaan Dadu 1 Dadu 2 Jml angka Percobaan Dadu 1 Dadu 2 Jml angka1 1 1 2 19 4 1 52 1 2 3 20 4 2 63 1 3 4 21 4 3 74 1 4 5 22 4 4 85 1 5 6 23 4 5 96 1 6 7 24 4 6 107 2 1 3 25 5 1 68 2 2 4 26 5 2 79 2 3 5 27 5 3 8

10 2 4 6 28 5 4 911 2 5 7 29 5 5 1012 2 6 8 30 5 6 1113 3 1 4 31 6 1 714 3 2 5 32 6 2 815 3 3 6 33 6 3 916 3 4 7 34 6 4 1017 3 5 8 35 6 5 1118 3 6 9 36 6 6 12

Tabel Distribusi

Jml Angka frekuensi probabilitas2 1 1/363 2 2/36 = 1/184 3 3/36 = 1/125 4 4/36 = 1/96 5 5/367 6 6/36 = 1/68 5 5/369 4 4/36 = 1/9

10 3 3/36 = 1/1211 2 2/36 = 1/1812 1 1/36

36

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubunganlogika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek.