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Esta respuesta se denomina criacuteticamente amortiguada y se muestra e la figura 311 La respuesta se aproxima a su valor uacuteltimo maacute s
rapidamente que en el caso sobreamortiguado
10
75
Q
~ ~O
middotx
ZS
FIGURA 311 TIGUADA DE ESCALON
fJ bull 10
(--------- -- shy -- shy
--shy shyI ~JJ bull 20
I
~jh 15 I
I I 11
2 4 6
tlT
RESPUESTA CRITICAHKNTK AMORTIGUADA Y SOBREAHORshy
UN SISTEMA DE SEGUNOO ORDEN PERTURBADO EN FORMA
Si ~ es menor que uno pero mayor que ceroel teacutermino dentro del
radical es negativo dando lugar a raices complejas
d = -~jT plusmn (ijT)(l-~a )~~2
La solucioacuten general de la ecuacioacuten diferencial es
Xmiddot = Kp [l- 1 e-Bt Tsen(wt +~)] (325) f ( 1-132
)
Donde w = ((l-13a )jT
Esta solucioacuten contiene teacuterminos senoidales siendo por tanto de ~
caracter oscilatorioA medida que el tiempo transcurreel teacutermino
exponencial es cada vez menorhaciendoacute que la amplitud de las
oscilaciones decaiga progresivamente como se muestra en la figura
312A sistemas con este tipo de respuesta se les denomina
subamortiguados
~t f~
_~ ~ TrltlinO bullbullnoidal
-- -- ~__ I I --r-shy
I 1
FIGURA 312 SOLUCION COMPLEHENTARIA DE LA KCUACION (325)
En la figura 313 se grafica X-Kp contra tT para varios valores
de ~ De eacutesta fisura puede observarse que la respuesta subamorshy
tiguada es inic ialmente maacutes raacutepida que la sobreamortiguada y
criacuteticamente amortisuadaademaacutes mientras menor sea el coeficiente
de amortiguamiento maacutes oscilatoria es la respuesta
Para especificar las caracteriacutesticas de una respuesta
subamortiguada se definen los siguientes teacuterminos
Sobreimpulso maacuteximo Es la razoacuten entre la maacutexima desviacioacuten de
la respuesta y su valor uacuteltimo (AB en la figura 314)
~ 5 J SM = exp [- n~ ]
(1-~Z)12
En la figura 315 se presenta un graacutefico del sobre impulso maacuteximo
contra el coeficiente de amortiguamiento
- Razoacuten de decaimiento Es la razoacuten entre las desviaciones de dos
picos sucesivos del valor uacuteltimo de la respuesta (eA en la
figura 314)
RD = exp ~ 2np ] = (SH)2 (1-~2 ) 12
Esta relacioacuten se representa en la figura 315 iquest bull
- Tiempo de crecimiento Se emplea para especificar la rapidez a
la cual responde el sistema Bubamortiguado Se define como el
FIGURA 313 RKSPUKSTA DE SISTEHAS DE SEGUNDO ORDEN A PERURBACION ESCALON
SebreIacutelnlullo
02
o Q2 04 06 Q8 P10
FIGURA 314 SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIHIFrnITO
FIGURA 315 RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIMIENTO
Tiempo de establecimiento Es el tiempo en el cual la
respuesta alcanza plusmn5 de su valor final Para 0lt O lt09 este
tiempo es aproximadamente igual ~ ~0 6 30wn
- Perioacutedo de oscilacioacuten La frecuencia en radianes se expresa
por
W = (1-02 )l2
T
Pero w=2Ttf donde f es la frecuencia ciacuteclica Ademaacutes f=lPO Enshy
tonces el perioacutedo de oscilacioacuten es
PO = 2TtT (1-132 ) 12
Si ~ es igual a cerolas ralces son imaginarias
d = plusmn(lT)i
La solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial es
X- = Kp [1-sen(Tt2 - tT)] (326)
En este caso los teacuterminos senoidales no decaen con el tiempo y
por tanto la respuesta oscila indefinidamente con una amplitud
constanteconsiderandose no amortiguada
Seguacuten la ecuacioacuten (326) la frecuencia natural de oscilac ioacuten de
un sistema de segundo ordeacuten es
Wn = liT
y el correspondiente perioacutedo c1clico es
Pn = 2TtT
Para lograr que un sistema de segundo ordeacutenresponda de una forma
eapeciacuteficaes necesario ajustar el valor del coeficiente de
amortiguamiento para tal finAslcuando se requiere que la
respuesta alcance un valor final con la ausencia de
oscilacionesel coeficiente debe ser mayor o igual a lmientra s
maacutes se aproxime a unomenos lenta es la respuestaSi se necesita
una respuesta raacutepiday hay tolerancia de oscilaciones de la
misma el coeficiente debe ser menor que uno En este uacuteltimo
casoel valor del coeficiente debe fijarse de forma tal que no
sobrepase el sobreimpulso maacuteximo de s e a do
68
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
~t f~
_~ ~ TrltlinO bullbullnoidal
-- -- ~__ I I --r-shy
I 1
FIGURA 312 SOLUCION COMPLEHENTARIA DE LA KCUACION (325)
En la figura 313 se grafica X-Kp contra tT para varios valores
de ~ De eacutesta fisura puede observarse que la respuesta subamorshy
tiguada es inic ialmente maacutes raacutepida que la sobreamortiguada y
criacuteticamente amortisuadaademaacutes mientras menor sea el coeficiente
de amortiguamiento maacutes oscilatoria es la respuesta
Para especificar las caracteriacutesticas de una respuesta
subamortiguada se definen los siguientes teacuterminos
Sobreimpulso maacuteximo Es la razoacuten entre la maacutexima desviacioacuten de
la respuesta y su valor uacuteltimo (AB en la figura 314)
~ 5 J SM = exp [- n~ ]
(1-~Z)12
En la figura 315 se presenta un graacutefico del sobre impulso maacuteximo
contra el coeficiente de amortiguamiento
- Razoacuten de decaimiento Es la razoacuten entre las desviaciones de dos
picos sucesivos del valor uacuteltimo de la respuesta (eA en la
figura 314)
RD = exp ~ 2np ] = (SH)2 (1-~2 ) 12
Esta relacioacuten se representa en la figura 315 iquest bull
- Tiempo de crecimiento Se emplea para especificar la rapidez a
la cual responde el sistema Bubamortiguado Se define como el
FIGURA 313 RKSPUKSTA DE SISTEHAS DE SEGUNDO ORDEN A PERURBACION ESCALON
SebreIacutelnlullo
02
o Q2 04 06 Q8 P10
FIGURA 314 SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIHIFrnITO
FIGURA 315 RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIMIENTO
Tiempo de establecimiento Es el tiempo en el cual la
respuesta alcanza plusmn5 de su valor final Para 0lt O lt09 este
tiempo es aproximadamente igual ~ ~0 6 30wn
- Perioacutedo de oscilacioacuten La frecuencia en radianes se expresa
por
W = (1-02 )l2
T
Pero w=2Ttf donde f es la frecuencia ciacuteclica Ademaacutes f=lPO Enshy
tonces el perioacutedo de oscilacioacuten es
PO = 2TtT (1-132 ) 12
Si ~ es igual a cerolas ralces son imaginarias
d = plusmn(lT)i
La solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial es
X- = Kp [1-sen(Tt2 - tT)] (326)
En este caso los teacuterminos senoidales no decaen con el tiempo y
por tanto la respuesta oscila indefinidamente con una amplitud
constanteconsiderandose no amortiguada
Seguacuten la ecuacioacuten (326) la frecuencia natural de oscilac ioacuten de
un sistema de segundo ordeacuten es
Wn = liT
y el correspondiente perioacutedo c1clico es
Pn = 2TtT
Para lograr que un sistema de segundo ordeacutenresponda de una forma
eapeciacuteficaes necesario ajustar el valor del coeficiente de
amortiguamiento para tal finAslcuando se requiere que la
respuesta alcance un valor final con la ausencia de
oscilacionesel coeficiente debe ser mayor o igual a lmientra s
maacutes se aproxime a unomenos lenta es la respuestaSi se necesita
una respuesta raacutepiday hay tolerancia de oscilaciones de la
misma el coeficiente debe ser menor que uno En este uacuteltimo
casoel valor del coeficiente debe fijarse de forma tal que no
sobrepase el sobreimpulso maacuteximo de s e a do
68
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
FIGURA 313 RKSPUKSTA DE SISTEHAS DE SEGUNDO ORDEN A PERURBACION ESCALON
SebreIacutelnlullo
02
o Q2 04 06 Q8 P10
FIGURA 314 SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIHIFrnITO
FIGURA 315 RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIMIENTO
Tiempo de establecimiento Es el tiempo en el cual la
respuesta alcanza plusmn5 de su valor final Para 0lt O lt09 este
tiempo es aproximadamente igual ~ ~0 6 30wn
- Perioacutedo de oscilacioacuten La frecuencia en radianes se expresa
por
W = (1-02 )l2
T
Pero w=2Ttf donde f es la frecuencia ciacuteclica Ademaacutes f=lPO Enshy
tonces el perioacutedo de oscilacioacuten es
PO = 2TtT (1-132 ) 12
Si ~ es igual a cerolas ralces son imaginarias
d = plusmn(lT)i
La solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial es
X- = Kp [1-sen(Tt2 - tT)] (326)
En este caso los teacuterminos senoidales no decaen con el tiempo y
por tanto la respuesta oscila indefinidamente con una amplitud
constanteconsiderandose no amortiguada
Seguacuten la ecuacioacuten (326) la frecuencia natural de oscilac ioacuten de
un sistema de segundo ordeacuten es
Wn = liT
y el correspondiente perioacutedo c1clico es
Pn = 2TtT
Para lograr que un sistema de segundo ordeacutenresponda de una forma
eapeciacuteficaes necesario ajustar el valor del coeficiente de
amortiguamiento para tal finAslcuando se requiere que la
respuesta alcance un valor final con la ausencia de
oscilacionesel coeficiente debe ser mayor o igual a lmientra s
maacutes se aproxime a unomenos lenta es la respuestaSi se necesita
una respuesta raacutepiday hay tolerancia de oscilaciones de la
misma el coeficiente debe ser menor que uno En este uacuteltimo
casoel valor del coeficiente debe fijarse de forma tal que no
sobrepase el sobreimpulso maacuteximo de s e a do
68
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
SebreIacutelnlullo
02
o Q2 04 06 Q8 P10
FIGURA 314 SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIHIFrnITO
FIGURA 315 RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO SOBRKIHPULSO HAXIHO y RAZON DE DECAIMIENTO
Tiempo de establecimiento Es el tiempo en el cual la
respuesta alcanza plusmn5 de su valor final Para 0lt O lt09 este
tiempo es aproximadamente igual ~ ~0 6 30wn
- Perioacutedo de oscilacioacuten La frecuencia en radianes se expresa
por
W = (1-02 )l2
T
Pero w=2Ttf donde f es la frecuencia ciacuteclica Ademaacutes f=lPO Enshy
tonces el perioacutedo de oscilacioacuten es
PO = 2TtT (1-132 ) 12
Si ~ es igual a cerolas ralces son imaginarias
d = plusmn(lT)i
La solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial es
X- = Kp [1-sen(Tt2 - tT)] (326)
En este caso los teacuterminos senoidales no decaen con el tiempo y
por tanto la respuesta oscila indefinidamente con una amplitud
constanteconsiderandose no amortiguada
Seguacuten la ecuacioacuten (326) la frecuencia natural de oscilac ioacuten de
un sistema de segundo ordeacuten es
Wn = liT
y el correspondiente perioacutedo c1clico es
Pn = 2TtT
Para lograr que un sistema de segundo ordeacutenresponda de una forma
eapeciacuteficaes necesario ajustar el valor del coeficiente de
amortiguamiento para tal finAslcuando se requiere que la
respuesta alcance un valor final con la ausencia de
oscilacionesel coeficiente debe ser mayor o igual a lmientra s
maacutes se aproxime a unomenos lenta es la respuestaSi se necesita
una respuesta raacutepiday hay tolerancia de oscilaciones de la
misma el coeficiente debe ser menor que uno En este uacuteltimo
casoel valor del coeficiente debe fijarse de forma tal que no
sobrepase el sobreimpulso maacuteximo de s e a do
68
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Pero w=2Ttf donde f es la frecuencia ciacuteclica Ademaacutes f=lPO Enshy
tonces el perioacutedo de oscilacioacuten es
PO = 2TtT (1-132 ) 12
Si ~ es igual a cerolas ralces son imaginarias
d = plusmn(lT)i
La solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial es
X- = Kp [1-sen(Tt2 - tT)] (326)
En este caso los teacuterminos senoidales no decaen con el tiempo y
por tanto la respuesta oscila indefinidamente con una amplitud
constanteconsiderandose no amortiguada
Seguacuten la ecuacioacuten (326) la frecuencia natural de oscilac ioacuten de
un sistema de segundo ordeacuten es
Wn = liT
y el correspondiente perioacutedo c1clico es
Pn = 2TtT
Para lograr que un sistema de segundo ordeacutenresponda de una forma
eapeciacuteficaes necesario ajustar el valor del coeficiente de
amortiguamiento para tal finAslcuando se requiere que la
respuesta alcance un valor final con la ausencia de
oscilacionesel coeficiente debe ser mayor o igual a lmientra s
maacutes se aproxime a unomenos lenta es la respuestaSi se necesita
una respuesta raacutepiday hay tolerancia de oscilaciones de la
misma el coeficiente debe ser menor que uno En este uacuteltimo
casoel valor del coeficiente debe fijarse de forma tal que no
sobrepase el sobreimpulso maacuteximo de s e a do
68
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que cerola
solucioacuten de la ecuacioacuten diferencial (322) es de la misma f o r ma
que aquella de los sistemas subamortiguados o sobreamorti shy
guadospero en este caso el teacutermino exponencial crece sin liacutemite
a medida que el tiempo transcurreEste comportamientode acuerdo
con la definicioacuten de estabilidadcorresponde a una respuesta
inestable y permite formular el s iguiente criterio de estabilidad 1(1
para un sistema de segundo ordeacutenUn sistema es estable si la I
parte real de las raiacuteces (-~r) es un nuacutemero negativo en caso
contrario el sistema es inestable
317 SISTEMAS LINEALES DE N-SIMa ORDEN Estos sistemas se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
n~ simo ordeacuten con coeficientes constantes La solucioacuten de estas
ecuaciones ) tiene caract~~ticas similares a aquella de las
ecuaciones de segundo orr en (Dependiendo de las ralces de la
ecuacioacuten caracteriacutesticala- solucioacuten complementaria esta constitushy
ida por una combinacioacuten de teacuterminos exponenciales senoidales y
polinomiales) Por tanto la estabilidad de estos sistemas puede
determinarse mediante la aplicacioacuten del criterio que acaba de
deducirse para los de segundo o ururnUn sistema de n-simo ot~n es i
estable si la parte real de todas las raices de la ecuacioacuten
caracteriacutestica es negativapueacutes en este caso los teacuterminos
exponenciales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre
32 DINAHICA EN EL DOMINIO DE LAPLACE
En esta seccioacutencomo en la anteriorse estudiaraacute el comportamishy
ento dinaacutemico de algunos sistemas simples En esta ocasioacuten sin
embargo se emplearaacute como herramienta matemaacutetica la transfqrmada
de LaplaceEl empleo de eacutesta herramienta posibilita el anal isis
de situaciones que en la seccioacuten anterior no fueacute posible
abordardebido a que las teacutecnicas matemaacuteticas all iacute empleadas
conducen a un procedimiento relativamente laborioso
69
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Ji
1
321 FUNCION DE TRANSFERENCIA Se conoce con el nombre de
funcioacuten de transferenciaa la relacioacuten de las variables de
deeviacioacuten de salida y entrada de un sistema en el dominio de
LaplaceUn sistema de n-simo ordeacuten se puede representar dinaacutemicashy
mente por una ecuacioacuten diferencial ordinaria lineal del mismo
ordeacuten
an dnY+an-1 dn - 1Y+ +a1 dY+ao Y-=bX- (327) dtn dtn - 1 dt
Y-(t)Variable de salida o respuesta X-(t)Variable de entrada
Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionarioal
tomar la transformada de Laplace de la ecuacioacuten (327) se
obtiene
y-es) = b =G(S) (328) X(S) anSn+an~1Sn-1+ +a1S+ao
G(S) representa la funcioacuten de transferencia del sistema y tiene
la ventaja de relacionar directamente las variables de salida y
entrada del mismo Esta funcioacuten qaacute una idea del comportamiento
dinaacutemico del procesoindependientemente de la forma particular de
variacioacuten de la variable de entrada X - (t) (Obs eacute r vese que en la
ecuacioacuten (328) no se indica la forma de variacioacuten de X con el
tiempo)La ecuacioacuten (328) se representa graacuteficamente mediante el
siguiente diaacutegrama de bloques
X (S)
Este diagrama establece que la func ioacuten de transferencia G(S) en
el bloque opera sobre la variable de entrada X - (S) dando como
resultado la variable de salida Y(S)
En el caso de un sistema con dos e ntradas y una salidala
ecuacioacuten (327) tiene la forma
70
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
an dnY-+an-1 dn - 1Y-+ +a1 dY-+aoY-=b1X-1+bzX-z (329) dtn dtn - 1 dt
Tomando la transformada de Laplace s e obtiene
El diagrama de bloques correspondiente a esta ecuacioacuten se
presenta en la figura 316
1
FIGURA 316 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA ECUACION 329
G1(S) y Gz(S) son las funciones de transferencia que relacionan
la variable de salida con cada una de las entradasEste resultado
permite obtener la respuesta del sistemacomo la suma de las
respuestas parciales(la debida a cada variable de entrada
actuando aisladamente)
La dinaacutemica de un sistema con dos entradas y dos salidas se puede
representar mediante las ecuaciones diferencial~s
Jdy 1 = a11Y-1 + a12Y-2 + b11X-1 + b12X-2 dt
dY-2 = a21Y-1 + a22Y-2 + b21X-1 + b22X-2 dt
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones y
resolviendo para Y-1(S) y Y-2(S) se obtiene
71
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Estas dos ecuaciones se pueden escribir en forma matricial de la
siguiente manera
G11(S)= b~~S+(d~2b2~-a22b~~) G1Z(S)= b1zS+(a1zbzz-azzb1z) peS) peS)
GZ1(S)= bZ1S+(az1b11-a11bz1) Gzz(S)= bzzS+(az1b1z-a11bzz) peS) peS)
En los procesos con multiples variables de entrada y salidaestas
variables se relacionan mediante una matrtiz de transferencia
322 FUNCIOacuteN DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN De acuerdo con la ecuacioacuten (36)cualquier sistema
de primer 0 t deacuten se representa dinlmicamente por la ecuacioacuten
diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos se obtiene
G(S) =y-eS) = Kp (330) X-eS) TS + 1
Para una variacioacuten tipo escaloacuten en la variable de entrada la
respuesta en el dominio de Laplace es
y-eS) = Xo ~ S TS + 1
Donde Xo es la magnitud del cambio Expandiendo en fracciones
parciales y tomando la transformada inversa se llega a
7 2
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Que es la respuesta caracteriacutestica de todo sistema de primer
or~ r-
)
Los sistemas de segundo orgeacuten se representan dinampmicamente por -
ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
T 2 d2 y + 20T dY + Y = KpX dt2 dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuacioacuten y agrupando
teacuterminos
(331)
Que es la funcioacuten de transferencia de todo sistema de segundo
ordeacuten C
La dinaacutemica de un sistema puede ser inherentemente de segundo
onaacute~ como es el caso del manoacutemetro de tubo en Uo puede resultar ~I
de este ord~h como consecuencia del acople de dos sistemas de
primer ordeacuteh en serie Desde el punto de vista dinaacutemico este
acople puede ser de dos tiposinteractuante y no interactuante
3221 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES Para ilustrar el procedimiento de obtencioacuten de la funcioacuten de
transferencia de este tipo de sistemasse consideraraacute el sistema
de nivel de liacutequido mostrado en la figura 317La relacioacuten entre
la variable de salida (Z2) y aquella de entrada al sistema
(Fo)se obtendraacute ~sumienltiP que el aacuterea seccional de los tanques
es uniforme y el flujo de salida de eacutestos es turbulento
Del ancilisis dinaacutemico de cada uno de l o s tanques se llega a la
conclusioacuten que la dinaacutemica del primer tanq u e es completamente
independiente de la del s e gundoLo contrario sin embargono es
73
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
--
I 1
validoEsta forma de relacioacuten dinaacutemica es la caracteriacutestica
fundamental de todos los sistemas no interactuantes
Fo
FIGURA 317 SISTEMA DE DOS TANQUES NO INTERACTUANTES
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 1
Fo - F1 A1 dZ1 F1 Kf1(Z1= = dt
Ecuaciones que representan la dinaacutemica del tanque 2
F1 - F2 = A2 dZ2 F2 = Kf2(Z2 dt
Reemplazando en los balances de materialFi y F2 por s u s
middot respectivaa--expresioneslinealizando las ecuaciones resultantes y
tomando la tr~nsformada de Laplace se llega a
Z-2(S) - Kp2 F-1(S) T2S+1
Del producto de estas dos expresiones se obtiene la funcioacuten de
transferencia del sistema
Z-2(S) = 1 Kp2 (332) F-o(S) T1S+1 Tz S+1
74
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
bull I 11
Esta expresioacuten corresponde ala funcioacuten de transferencia de un
sistema de segundo ordeacuten Si la constante de tiempo del primer
tanque difiere de la del segundolas ralces del deDominador del
lado derecho de la ecuacioacuten (332)son reales y diferentesSi las
constantes de tiempo son iguales las ra f ces son reales e
iguales Esto quiere dec ir que la respuesta de los sistemas no
interactuantes es siempre sobre o crticamente amortiguada
El resultado obtenido para dos sistemas de primer ordeacuten no inteshy
ractuantespuede generalizarse a n sistemas la funcioacuten de
transferencia para cada sistema es
Ymiddotn(S) =~Y-leS) = Kl Ymiddot2(S) = X-o(S) T1S+1 Y-leS) Y-n-1(S) TnS+1
La funcioacuten de transferencia del sistema total y su respec tivo
diaacuteftrama de bloques son
n
Y~n(S) = 11 Kj (333) Xo(S) j =1 TjS+1
~ Kl I I ~ --~I Kn ~Y- n( S)K2 X - o ( S ) LI_T_1_S_+_1-11 y - 1 ( S) 1_T_2_S_+_1--l1 y - n-1 (S) LI_T_nS_+_l-11
FIGURA 318 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA N SISTEMAS DE PRIMER ORDEN NO INTERACTUANTES EN SERIE
3222 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN INTERACTUANTESLa funcioacuten de transferencia de este tipo de sistemas se obtendraacute con
base en el sistema de nivel de liacutequido mostrado en la figura 319
En este caso a diferencia del anterior la disposicioacuten de los
tanques es tal que la respuesta del primero (F1 o Z1) depende de
la del segundo (F2 o Z2) y vic e s aEs decirel efecto dinaacutemico
entre los dos sistemas es mu tuo
75
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Fo
Ii
L 1
FIGURA 3 _ 19 SISTEMA DE DOS TANQUES INTERACTUANTES
Para cada tanque existe una ecuacioacuten de balance de material y una
relacioacuten flujo a nivel de liacutequidoLas ecuaciones de balance son
las mismas de los tanques no interactuantes la relacioacuten fluj o shy
nivel para el primer tanque es
Linealizando
Kp1 = 2(Z1e-Z2e)1 2
Kf1
Para el segundo tan9ue la relacioacuten es
Substituyendo F-1 y F-2 en las ecuaciones de balance de
materialtomando la transformada de Laplacey resolviendo simulshy
taneamente las ecuaciones resultantespara eliminar Z-1(S)se
llega a
ZI 2 (S) = Kp2 F-o(S) T1T2sz + (T1+T2+A1Kp2)S+1
Esta es una funcioacuten de transferencia de segundo ordeacuten y se
diferencia de aquella de los sistemas no interactuantes en el
teacutermino A1Kp2 del coeficiente de SEl grado de interaccioacuten entre
los sistemas es proporcional a la razoacuten de la menor a la mayor
capacidadSi esta razoacuten es menor que Olse puede a sumi r que l os
sistemas son no interactuantes
76
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
J l JI I
J
Para apreciar de una manera cuantitativael efecto de la
interaccioacuten sobre la respuesta de un sistema puede considerarse
la situacioacuten particular en la cual los dos tanques tienen la
misma constante de tiempo (T l - T2 = T) Y aacuterea de seccioacuten
transversal (Al = A2 = A)
La funcioacuten de transferencia que relaciona los flujos de salida y
entrada en el sistema no interactuante es
F2(S) = 1 F-o(S) (TS+l)2
Para el sistema interactuante la funcioacuten es
F2(S) = 1 F-o(S)
Factorizando el denominador de eacutesta ecuacioacuten
F2(S) = 1 F-o(S) (O38TS+l)(262TS+l)
Seguacuten esta relacioacutenla funciOacuten de transferencia de los dos
sistemas interactuantes es equivalente a la de los mismos dos
sistemas si no fuesen interactuantes pero con sus constantes de
tiempo efectivas modificadas (la constante de tiempo para cada
tanque aislado es T)El efecto de la interac cioacuten es cambiar las
constantes de tiempo de cada tanque
La variacioacuten del flujo de salidacomo respuesta a un cambio escashy
loacuten unitario en el flujo de entrada es
TF-2 = l-(l+tT)e- t
Para los sistemas no interactuantesy
F-2 - 1 + O17e- t o 3BT - 117e-t2B2T
77
I
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
-shy
Para los sistemas interactuantes Las dos uacuteltimas ecuaciones se
grafican en la figura 320Como puede versela respuesta del
sistema interactuante es maacutes lenta que la del no interac-I tuanteEste resultado puede interpretarse f 1Slcamente de la
siguiente manera Cuando los dos sistemas se perturban con una
funcioacuten escaloacuten de la misma magnitudel flujo de salida del
primer tanque se incrementa en ambos Sin embargoeste flujo 8sen
todo momentomayor en el sistema no interactuante que en el
interactuante debido a la resistencia ofrecid por el nivel de
liquido del segundo tanque en el uacuteltimo de l os sistemasPor esta
razoacuten este nivel ascenderaacute maacutes lentamente en el sistema
interactuante
10
08
-o 1L
-N 1L
06 Nd~n1eraCluanle4
DA
02
l 2 3
t r
FIGURA 320 EFECTO DE LA INTERACCION SOBRE LA RESPUESTA DE DOS TANQUES CON PERTURBACION ESCALON
323 RESPUESTA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La dinaacutemica de un
sistema de n-sima ~eacutell se representa mediante la ecuacioacuten
diferencial ordinaria lineal
an dnY-+an-l dn-1Y-+ +a1 dY-+aoY- - bm dmX-+ +boXshydt n dt n - 1 dt dtm
a~b~ Coeficientes constantes
Y- Variable de salida o respuesta X- Variable de entrada
C C 78
1 shy
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacioacuten y
resolviendo para la razoacuten de la variable de salida a la de
entrada se obtiene
( Y-(S)=G(S)= bmSm+bm-1Sm-1+ +b1S+bo (334) X-(S) anSn+an-1Sn - 1+ +a1S+ao
( - -L T 1 ~ 1) lt ) (r 1 t q
El polinomio del denominador del lado derecho de la ecuacioacuten y
aquel que representa la ecuacioacuten caracteristica de la ecuacioacuten
diferencial son identicos por tanto sus ralces deben ser las
mismas Las raiacuteces del denominador (valores de S para los cuales
G( S) es infinito) se denominan polos de la funcioacuten de transfeshy
renciaen tanto que las del numerador (valores de S para los
cuales G(S) es cero) son los ceros de esta funcioacuten
Factorizando numerador y denominador de la ecuacioacuten (334) - I iexclts ll )
G(S) - bm (S-21)(S-22) (S-2m) an (S-P1)(S-P2) ( S-Pn)
v ( iacute bull
2i Ceros de la funcioacuten de transferenciaPi Polos de la funcioacuten
de transfrenciaLa respuesta del sistemaen el dominio de
Laplacepara una perturbacioacuten escaloacuten unitaria es
- = BS-Z1)(S-Z2) (S-Zm) (335)
S(S-P1)(S-P2) (S-Pn) I
B=bman
Teniendo en cuenta que en general el denominador de la ecuacioacuten
(335) esta constituido por factores con polos reales y polos
complejos conjugadosal expandir en fracciones parciales y tomar
la transformada inversa se llega a (
1 I I
k r
Y-(t)=Co + iquest Cjexp(pjt) + 2 iquest djexp(ajt)sen(ejt+~j) j=1 j=1
k+2r=n
El comportamiento de los teacuter minos exponenciale s y exponencialshy
senoidales depende exclusivamente de l a parte real de los po los
79
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
1 I
de la funcioacuten de transferencia la magnitud de los coeficientes
(CoCjdj) depende tanto de los ceros como de los polosCon base
en esto se deduce que
- La forma de la curva de respuesta y la estabilidad dependen
unicamente de los polos de la funcioacuten de transferenciaPara
que un sistema sea estable es necesario que la parte real de
todos los polos sea negativa
- La curva efectiva o especiacutefica de la respuesta depende tanto de
los ceros como de los polos
La ganancia de estado estacionario de un sistema de n-sima ordeacuten
puede calcularse de una manera raacutepida a partir de la funcioacuten de
transferencia del mismo Expresando la funcioacuten dada por la
ecuacioacuten (334) en teacuterminos de constantes de tiempo
r G(S) = Kp(TZ1S+1)(TZ2S+1) (TzmS+l) (TP1S+1)(TP2S+1) (TPnS+l)
Tomando el liacutemite de esta expresioacuten cuando S ~ o r
Lim G(S) = Kp S~ O
Aplicando eacuteste resultado a la ecuacioacuten (334)
Kp = Lim bmSm+bm-iexclSm-l+ +bo =ba S~O anSn+an-1Sn - 1+ ao ao
324 ATRASO POR TRANSPORTE En los sistemas hasta aqulI
analizados se ha asumido que cualquier cambio en una variable de
entrada afecta inmediatamente las variables de salida sin
embargo eacutesta no es la situacioacuten maacutes fre cuente en los proces os
quiacutemicosEn los sistemas de flujonormalmentese presenta un
atraso de la respuestacomo consecuencia del transporte de
material En el sistema mostrado en la fisura 3 21a un liquido I
fluye atraveacutes de una tuberla aislada termicamente con un aacutere a de
seccioacuten transversal uniforme Ao y longitud La un caudal
constante F Se puede as umk que la capa c idad caloriacutefica de las t (
80
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
paredes del tubo es despreciable y que el flujo es tipo pistoacutenLa
densidad y capacidad caloriacutefica del liacutequido tambieacuten son
constantes
( T01-ToT 1
F-iexcl ~-~ F To ~--~~~ ~ T ~ ~~~
L---shy
a-
O Tm
b-
t
FIGURA 321 1
SISTEMA CON ATRASO POR TRANSPORTE
Bajo condiciones de estado estacionario la temperatura de salida
debe ser igual a la de entrada~~ea que
T - TOe
Si en un momento determinado la temperatura de entrada cambia
repentinamente de TOe a T01en ese mismo instante la temperatura
de salida auacuten conserva el valor de Toey permaneceraacute en eacuteste el
tiempo que requiere un elemento de fluido para ir de la entrada a
la salida (Tm) Una vez transcurrido este tiempo cambia
instantaneamente a T01En la figura 321b se representa I
graficamente la dinaacutemica de este sistema
Al tiempo Tm se le denomina tiempo muerto o tiempo d e atraso por
transporte
Tm = Volumen de tuberiacutea = L Flujo volumeacutetrico v
v velocidad linealLa relacioacuten matemaacutetica e n tre T y To es
Tomando la transformada de Laplace
traslacioacuten de una funcioacuten se lle g a
transferencia
y
a
aplicando e l
la siguiente
t eorema
funcioacuten
de
de
8 1
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
G(S) =T(S) = exp(-TmS) ( 336) To (S)
Para incluir el efecto del atraso por t ransporte en la dinaacutemica
de un proceso basta con tener e n cuenta que este tipo de atraso
es no interactuante con el respectivo atraso capaci~ ivo A8la
funcioacuten de transferencia de un sistema de primer or n c on atraso ~
por transporte es
G(S) - 1 exp(-TmS) 1TS+l
33 APLICACIONES
331 En la fi~ra 322 se muestra un tanque en el cual se
precalienta un liacutequido mediante la circulacioacuten de vapor por una
chaqueta Considerando la masa de liacutequido en el tanque como
sistema obtener las funciones de transfe rencia que relacionan las
variables de salida y entrada
Fo To
I
t +
VAPOR
CONDENSADO
FT
FIGURA 322 TANQUE PARA CALENTAMIENTO DE UN LIQUIDO
Variables de salida o respuestaFZT
Variables de entradordfToTv (temperatura del vapor en la chaque shy
ta) Fo
Para plantear las ecuaciones que c onducen a las func iones de
transferencia requeridasse haraacuten l as siguientes s uposic iones
s implifican t e s
82
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
- La masa de la pared del tanque es despreciable
- La temperatura del vapor en la chaqueta es uniforme
La Densidad capacidad caloriacutefica y coeficiente de transfe shy
rencia de calor son constantes - Cambios en el aacuterea de transferencia de calor y p~rdidas de
dalor a los alrededores son despreciable s
- La evaporacioacuten del liacutequidO es despreciable
Balance de energiacutea~
oFoCpTo - oFCpT + UA(Tv - T) = oAoCp dZT 1 shy dt
En esta ecuacioacuten se tienen tres variables de salida (F T Y
Z)requiriendose por tanto plantear dos ecuaciones adic t ona shy
les Para el caso de flujo laminar el balance de material y la
ecuacioacuten de energa para flujo son 1
Fo - KfZ = Ao dZ dt
Linealizando los teacuterminos no lineales de la primera ecuacioacuten
(FoTo FT y ZT) tomando la transformeacuteiacuteda de Laplace de todas las
ecuacionesy combinando adecuadamente las expresiones resultantes
se llega a
Kl T-o(S)+ Kz T-v(S) + K3 F-o(S) (337) TlS+l TlS+l ( TlS+1)
Z - (S) = K1 Fo(S) (338) TzS+l
Kl = QCEEOa Kz = lA Ks - OCp(Toijl-Te ) oCpFo+UA oCpFOe+UA oCpFOe+UA
K4 = lKf Tl = oCpV T2 = Ao Kf o CpFoe+UA
Las ecuaciones (337) y (338) se pue den expresar me d i a nte la
matriz de transferencia de la siguiente manera
83
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
T-o(S)
T-v(S) F-o(S)
332 En el sistema de la figura 322 se introduce un termoacutemetro
con el fin de medir la temperatura del liacutequido que se encuentra
en el tanqueObtener la funcioacuten de transferencia que relaciona la
lectura del termoacutemetro a los cambios en la temperatura de la
corriente de entrada y del vapor
Una variacioacuten de la temperaturabieacuten sea de la corriente de
entrada o del vaporafecta la temperatura de la masa liacutequida e n
el tanque y eacutesta a su vez afecta la respuesta del termoacutemeshy
troDesde el punto de vista del balance ene r gtt ico del liacutequidola
transferencia de calor de eacuteste hacia el termoacutemetro puede
considerarse despreciablecomparada con los demas teacuterminosEl
sistema puede entonceacutes considerarse constituido por dos sistemas
de primer ordeacuten no interactuantes (se desprecia la interaccioacuten )
Respuesta de la masa liacutequida en el tanque a variaciones en To o
Tv
T~S+l
Respuesta
permanece
del termoacutemetro
constante)
a cambios en To (se asume que Tv
TS = mCphoAt
T~t(S) = K~ 1 T-o(S) T~S+l TsS+l
Respuesta del
constante)
termoacutemetro a cambios en Tv (se asume que To es
84
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Respuesta cuando las dos variables de entrada varan simul tashy
neamente
T-o(S)+ K2 1 T-v(S) T~S+l TsS+1
333 En la figura 323 se esquematiza una seccioacuten de una
columna de platos La columna es empleada para remover un gas
soluble de una corriente de aireLa operacioacuten se lleva a cabo con
agua que fluye en contracorriente al aire
LXn+2 -l---------1 V Y n+ ~
LXn+~ ~------~VYn
LXn VYn-~
LFlujo molar liacutequido VFlujo molar gaseoso
XY Concentracioacuten en fraccioacuten mol
FIGURA 323 SECCION DE UNA COLUMNA DE PLATOS
Para saber en que forma vara la concentracioacuten de las corrientes
liacutequida y gaseosacomo consecuencia de cambios en la
concentracioacuten del gas soluble a la entradase haraacuten las
siguientes simplificaciones
- La concentracioacuten de gas soluble en el aire de entrada es
bajapor tanto las variaciones del flujo molar liacutequido y
gaseosoa lo largo de la torrese pueden despreciar
- La temperatura y presioacuten total son constantes y uniformes a lo
largo de la columna
- Los platos operan idealmenteEs dec iren cada plato el
liacutequido retenido estaacute en equilibrio con el vaporo lo que es
equivalente la eficiencia de pla to e s de 100
85
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
IE analisis dinaacutemico que se presenta a continuacioacuten cubre
Jnicamente tres platos de la columna Con el fin de tener una
situacioacuten anaacuteloga a la de la columna entera en cuanto a sus
variables de entrada y salidase determinaraacute en que forma
responde Yn+2 a cambios en Yn-1permaneciendo constante Xn+3
Teniendo en cuenta que las moles de gas (aire-soluto) retenidas
en un plato son despreciables comparadas con aquellas del
liquidoel balance de material para el soluto en el plato n es
LXn+1+VYn-1-LXn-VYn = M dXn (3 39) dt
M Moles de liacutequido retenido en el plato
Para los platos n+l y n+2 se pueden obtener expresiones
similares Estas tres ecuaciones contienen s eis incognitassiendo
por tanto necesario plantear tres ecuacione s adiciona les Estas
ecuaciones corresponden a las relaciones que expresan el
equilibrio de fases en cada platoPara facilitar el tratamiento
matemaacutetico del modelose asumiraacute que estas relaciones son de la
forma
Yn = KXn
K es funcioacuten de la presioacuten y la temperatura Reemplazando Yn de
esta uacuteltima ecuacioacuten en la ecuac ioacuten (339) y expresando en
variables de desviacioacuten
X-n(S) = ~X-n+1(S) + ~Y-n-1( S ) ( 3 40 ) TS+l TS+l
K1 = Liexcl(L+KV) K2 = Viexcl(L+KV) T - Miexcl(L+KV)
Las ecuaciones para los platos n+l y n+2 s on X-n+1(S) =~X-n+2(S) + ~X- n( S) (341)
TS+l TS+ l
K3 = KViexcl(L+KV)
86
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
- - -- -----
X-n+2(S) =~X-n+~(S) (342) TS+1
Desde el punto de vista dinaacutemico los platos interactuan I
mutuamente entre siResolviendo simultaneamente las ecuaciones
(340)(341) y (342)
X-n+2(S) = K2K3a Y-n-~(S)
(TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
Reemplazando X-n+2(S) = Y- n+2(S)Ken la uacuteltima ecuacioacuten se llega
a
Y-n+2(S) = KK2K3a Y-n-~(S) (TS+1)(Tasa+2TS+1-2K~K3)
334 La temperatura de un bantildeo liacutequido se mide mediante el
empleo de un termopar con pozoObtener la funcioacuten de
transferencia que relaciona la respuesta del termopar a la
temperatura del liacutequido
PELlCULA ~ T
o o
I shy
INTERNA concklctonl FL U 100 T I
t---~) ~ ~ ~i Itlia
par e d de I p e I i e u La r
ter mamppozo PaIC termoposhy
PELlClLA E)laquo TER NA
a b
FIGURA 324 SISTEMA DE TKRHOPOZO y su RESPECTIVA DISTRIBUCION DE TEHP~ampTURA
En la figura 324b se presenta la distribucioacuten de temperaturas en ji YL
el termopozo a _ -endo que la res istenc ia a la transferenc ia de
calor en la pared del pozo es despreciable (material de alta
conduc t iv idad)
R7
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
Balance de energfa en la pared del pozo
hoAo(T-Tp)-h1A1(Tp -Tt) = mpCpp dTp dt
El subiacutendice p se refiere a la pared del pozoBalance de energiacutea
en el termopar
mtCpt dTt = h1A1(Tp -Tt ) dt
Tomando la transformada de Laplace de esta s ecuac iones se
obtiene
Tp(S) = Kp1 Tt(S) + Kp2 T(S) (343 ) T~S+l T1S+1
IteS) = 1 (344) Tp(S) n~S+l
T~ = mpCpp Tz = mtCpt Kp1 = h1A1 hoAo+h1A 1 h1A1 hoAo+h 1A1
Kp2 = hoAQ
h oAo+h 1A1
Despejando Tp(S) de la ecuacioacuten (344) y substituyendo en la
ecuacioacuten (343)
Tt(S) = 1 [T~T2(1-Kp1)JSz + [(T~+Tz)(l- Kp~)]S + 1
Los paraacutemetros dinaacutemicos de esta uacuteltima ecuacioacuten s on
T = (mtCp tmp Cpp )12 ~ = 1 ( IDpCpp+mt Cpt)h1A1+IDtCpthoAo (h1A1hoAo)~z 2 (mpCppmtCPth1A1hoAo)~2
Las expresiones que definen la constante de tiempo y el
coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de un
termopozoindican que la forma de eacutestadepende de las propiedades
y especificaciones bull del termopar y la pared delgeometricas pOzoaSl como de las propiedades de l o s fluidos localizados
dentro de eacuteste Cuando las propie dades de l f l u ido que va en el
88
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
interior del pozo hacen que la correspondiente resistenc ia sea
despreciableel termopozo se comporta como un sistema de primer
ordeacuten
335 A un tanque agitado entra una corriente liacutequida a una
temperatura To Con el fin de reducir la temperatura de esta
corriente por la chaqueta del tanque se introduce agua a una
temperatura TeoSi los flujos se mantienen constantesdeterminar
como varia la temperatura de la corriente efluente a cambios en
las variables de entrada
Variables de entrada ToTeo RespuestaT
Suposiciones simplificantes
- El agua que circula por la chaqueta estaacute perfectamente
mezclada
- La capacidad caloriacutefica de la pa red interior de la chaqueta es
despreciable
- Perdidas de calor a los alrededores son despreciable s
coeficiente de transferencia de calor densidades y capacidashy
des calorif icas constantes
i ) ( I bull J
1 W (masajt) To f iacutemiddot
--shyTe-McL - r
We(masajt) LTeo I T
FIGURA 325 SISTEMA PARA LA APLICACION 335
Bajo las anteriores suposiciones la dinaacutemica del proceso se puede
representar por las siguientes e c u aciones
WCp(To-T)-UA(T-Te) = MCp dT (3 45 ) dt
89
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
WeCpe(Teo-Te)+UA(T-Te) - MoCpo dTo ( 3 46) dt
M Masa de liquido en el tanque U Coeficiente global de
transferencia de calor A Area de transferencia de calorEl
subindice c se refiere al agua en la chaqueta
Las ecuac iones (345) Y (346) representan la dinaacutemica de dos
sistemas de primer ordeacutenla relacioacuten entre estos sistema s es tal
que la temperatura de uno de ellos depende de la del otro y
viceversa Se trata por consiguiente de dos sistemas
interactuantesPara el caso de perturbaciones en la temperatura
del liacutequido que entra al tanque (cambios en To unicamente)las
dos uacuteltimas ecuacionesen teacuterminos de variables de desviacioacuten y
en el dominio de Laplacese convierten en
T-(S) K~ T-o(S) + K2 T-e(S) (347) T~S+l T~S+l
T-o(S) K~ T - (S) (348) T2S+1
T~ MCpD~ K~ WCpD~ K2 UAD~
K3 UAD2 D~ WCp+UA
Reemplazando la ecuacioacuten (348) en la (347) se obtiene
T(S) KJ(T2S+1l T-o(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
Para perturbaciones en la temperatura middot del agua que entra a la
chaqueta (cambios en Teo unicamente)de las ecuaciones ( 347) y
(346) se obtiene
T - (S) K2 ( 3 49) T~S+l
(350)
90
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
middot iexcl bull
Reemplazando la ecuacioacuten (350) en la (349) se obtiene
T-(S) = K2K4 T -co(S) (T~S+1)(T2S+1)-K2K3
336 Para el sistema que se muestra en la figura 326
obteneren el dominio de Laplacela r e s puesta de la temperatura
de la corriente efluente (T) a cambios en la temperatura del
vapor (Tv) y el flujo F~Las prdidas de calor a los alrededores
pueden considerarse despreciables Los tanques tienen la misma
aacuterea de seccioacuten transversal (Ao) y el flujo es laminar
To To Fo 1r----F~
VAPOR 2
CONDTv
3 FT
FIGURA 326 SISTEMA PARA LA APLICACION 336
La temperatura de la corriente que sale del tanque tres es
afectada por la temperatura y flujos de las corrientes que salen
de los tanques uno y dosDe la aplicacioacuten de un balance de
energiacutea en el tanque uno se obtiene T J ~ ( S) = K~_ T middotv( S) T~S+l
K~ = UA(oFoCp+UA)
91
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
De un balance de material en el tanque dos s e obtiene la r e lacioacuten
entre los flujos de entrada y salida en eacuteste tanque
FJzS) - 1 F ~ ( S) TZS+ 1
TZ AoKfZ
La aplicacioacuten de un balance de energiacutea en el tanque tres conduce
a una ecuacioacuten que contiene las variables de salida FT y ZEsto
implica que es necesario plantear dos ecuaciones adicionales para
completar el modelo Estas ecuaciones son
(351) F-(S) - 1 (352) F Z ( S ) T3 S+ 1
T3 = AoKf
Despueacutes de linealizar los teacuterminos FT y ZT de la ecuacioacuten de
balance de energia del tanque tresy resolver eacutesta simultaneamenshy
te con las ecuaciones (351) y (352) se obtiene
T-~(S) + K3 T4S+1
K3 = (To-Te)FaT4 = VaFa
T(S) = Kz Kl Tv(S) + K3 1 T4S+1 T~S+l T4S+1 TzS+l
337 El anaacutelisis dinaacutemico de procesos que involucran el f luj o y
almacenamiento de gasesse facilita grandemente si el mismo se
efectua en teacuterminos de volumen estaacutendarantes que en teacuterminos de
masa o moles
En el sistema de la figura 327un compresor suministra gas a una
presioacuten Ps a un tanque de volumen VEl gas es descargadoa traveacutes
de una vaacutelvulaa una presioacuten pzvariable con el tiempoEn este
92
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
1---010-
v JI
FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
caBO el volumen estaacutendar ee puede definir como el volumen a la
temperatura del gas en el recipiente y preE3ioacuten atmosferica
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FIGURA 327 AUACHNAHIENTO DE GAS EN UN TANQUE
Si A proceso de acumulacioacuten del gas en el tanque es
iSdt~~ico el volumen estaacutendar de gas en el mismo en cualquier
momento es (VPo)(dPdt)Po es la presioacuten atmosfericaLa ecuacioacuten
de balance de material es
F1 - F2 = (VPo)(dPdt) (353)
F1 y F2 son los flujos de gas que entra y sale en volumen
estaacutendar por unidad de tiempoSi la caiacuteda de presioacuten a traveacutes de
la vaacutelvula de entrada no es muy grande
Linealizando F1
F1 = Ps - P = pOs Pshy2PF1 R
de presioacuten a traveacutes de la vaacutelvula enR ResistenciaPe
estado estacionario
El fl~jo de salida estaacute dado por la expresioacuten
F-2 = P- - P-2 = P- - P-2 2P2F2 R1
Escribiendo la ecuacioacuten (353) en variables de desviacioacuten y
substituyendo F-1 y F-2 se obtiene
93
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)
bull (VPo) (dP~dt) + P = R~ pOs +
R~+R
Tomando la transformada de Laplace de esta uacuteltima ecuacioacuten se
llega a las funciones de transferencia que relacionan la variable
de salida (P) a las variables de entrada (PSP2)
P(S) = R~(R+R~) p OseS) + R(R+R~) P~2(S) TS+l TS+l
T - VPo (R+R~) RR~
En general los flujos de entrada y salida son func ioacuten de la
presioacuten en e 1 tanque y las presiones de suministro y salida
Aprox imando el flujo de salida a los teacute rminos lineales de una
expansioacuten en serie de Taylor s e tiene
P~ + aF21 P2~ ( 3 54) ap21p2Q
Las derivadas parciales se pueden evaluar de un graacutefico de F2
contra P a P2 constante y un graacutefico de F2 contra P2 a P
constante Los valores de las derivadas son la pendiente de la
linea tangente a la respectiva curva en el punto de estado
estacionario Estos graacuteficos se construyen a pa rtir de datos
experimentales
Para gases que fluyen en el r eacuteg imen soacutenico el flujo e s f unc i oacuten I
unicamente de la presioacuten aguas arriba Por tantosi la r azoacuten P~P
es menor que la relacioacuten de presiones criticasla segunda
derivada parcial de la ecuacioacuten(354) es ceroEn la fi gura 3 28
se presenta una curva tlpica de variac ioacuten de F2 (en vo lume n
estaacutendar por unidad de tiempo)con Pla pe ndiente de la t angente a
esta c u rvaen la regioacuten de flujo s oacutenico e s constante y pasa a
traveacutes del oruumlieacute n l uego ( aF2 ap ) = PF2
9 4
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
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(357)
(358)
(359)
(360)
~- r
~ EeO DE1amp
~~----------~~
LU~ SO leo
P2 p PRESION EN EL TANQUE P
FIGURA 328 CURVA TIPICA DE VARIACION DE F2 CON P A P2 CONSTANTR
El analisis anterior tambieacuten se puede aplicar al flujo de
entrada
Si la acumulacioacuten del gas en el recipiente se ajusta a un proceso
adiaacutebaticola ecuacioacuten de balance de material debe combinarse con
la siguiente relacioacuten para una expansioacuten o compresioacuten adiaacutebatica
reversible
pon = B = cte
n Relacioacuten entre la capacidad calorifica a presioacuten constante a
aquella a volumen constante
oV = Vp1nB1n (355)
Balance de material
F2 - F1 =d (OV) (356) dt
oacute Densidaden volumen estaacutendar por unidad de volumen del tanque
Reemplazando la ecuacioacuten (355) en la (356)
F2 - F1 = (5VnP) (dPdt)
95
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
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(357)
(358)
(359)
(360)
para comportamiento de gas ideal
o = PIPo
338 En la aplicacioacuten 228 obtener la funcioacuten de transferencia
que relaciona la concentracioacuten de salida del liacutequido a las
variables de entradapara el caso en el cual el proceso opera de
una forma tal que la presioacuten de suministro P~de descarga (PD)en
el tanque y el separador son constantes Puede asumi rse que los
cambios en la presioacuten de suministro del compuesto puro (PA)son
tales que no afectan en forma significativa el flujo de entrada
de este compuesto Tambieacuten puede asumirse que el flujo molar del
gas y el liacutequido no se afectan significativamente por el gas
disuelto
Con las condiciones arriba establecidasel modelo desarrollado en
la aplicacioacuten 228 se simplificaquedando el proceso descrito
por las siguientes ecuaciones
Substituyendo NJ A en las ecuaciones (358) y (359) y tomando la
transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes y de la
(357) se obtiene
C-A~(S) = F1F2 CJAO(S) + Fo(RTF2) P-A(S) (361) T1S+1 T~S+l
CJA(S) = F2(F+AKA) CJA1(S) + AKA(F+AKA ) C-AL( S ) ( 3 62 ) T2S + 1 T2S+1
C-AL(S) =AKA(AKA+FL ) CJ A(S ) (3 63 ) TsS+l
T~ - VF2 T2 - VoF+AKA )
96
(357)
(358)
(359)
(360)