- victormatangela.files.wordpress.com · jika terdapat kekeliruan pada pembahasaan ini, mohon tidak...

www.m4th-lab.net

http://www.m4th-lab.net/

Pembahasan :

8−359

54

81−1864

15

=8−

359

54

(82)15(92)−

18

=8−

359

54

8259−

14

= 8−35

−259

54

−(−14

)

= 8−559

64

= 8−1(32)32

=33

8

=27

8

Denih Handayani

www.m4th-lab.net

Ingat!

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

(√3 + √7)(√3 − √7)

2√5 − 4√2=

3 − 7

2√5 − 4√2

=−4

2√5 − 4√2×

2√5 + 4√2

2√5 + 4√2

=−4

20 − 32(2√5 + 4√2)

=−4

−12(2√5 + 4√2)

=1

3(2√5 + 4√2)

=2

3(√5 + 2√2)

log 5√3 . log 3√325 − log 164

log 543 − log 23 =2 ×

12

× log 3323 − 2

log542

3

=

32

− 2

log 273

=

32 − 2

3×

2

2

=3 − 4

6

= −1

6

Denih Handayani | www.m4th-lab.net


5−2𝑥+2 + 74.5−𝑥 − 3 ≥ 0

⇒ 52(5−𝑥)2 + 74(5−𝑥) − 3 ≥ 0

⇒ 25(5−𝑥)2 + 74(5−𝑥) − 3 ≥ 0

⇒ (5−𝑥 + 3)(25.5−𝑥 − 1) ≥ 0

5−𝑥 ≤ −3 atau 5−𝑥 ≥1

25= 5−2

5−𝑥 ≤ −3 Tidak memenuhi

5−𝑥 ≥1

25= 5−2

−𝑥 ≥ −2

𝑥 ≤ 2

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32

𝑓(𝑔(𝑥)) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32

𝑓(−𝑥 + 3) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32

perhatikan

−𝑥 + 3 = 1 ⇒ 𝑥 = 3 − 1 = 2

𝑓(1) = 4(2)2 − 26(2) + 32

= 4(4) − 52 + 32

= 16 − 52 + 32

= −4

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

= 3 (2𝑥 + 3

𝑥 − 5) + 1

=6𝑥 + 9

𝑥 − 5+

𝑥 − 5

𝑥 − 5

=7𝑥 + 4

𝑥 − 5, 𝑥 ≠ 5

Ingat!

𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑⇒ 𝑓−1(𝑥) =

−𝑑𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 − 𝑎

(𝑔 ∘ 𝑓)−1(𝑥) =5𝑥 + 4

𝑥 − 7, 𝑥 ≠ 7

𝛼 + 𝛽 = −𝑘

𝛼. 𝛽 = −(2𝑘 + 4)

𝛼2 + 𝛽2 = (𝛼 + 𝛽)2 − 2𝛼𝛽

53 = (−𝑘)2 − 2(−2𝑘 − 4)

53 = 𝑘2 + 4𝑘 + 8

0 = 𝑘2 + 4𝑥 − 45

0 = (𝑘 + 9)(𝑘 − 5)

𝑘 = −9 atau 𝑘 = 5

𝑥1 + 𝑥2 =1

3

𝑥1. 𝑥2 = −4

3

Misal 3𝑥1 − 1 = 𝛼 dan 3𝑥2 − 1 = 𝛽

𝛼 + 𝛽 = 3(𝑥1 + 𝑥2) − 2 = 3 (1

3) − 2 = 1 − 2 = −1

𝛼. 𝛽 = 9𝑥1𝑥2 − 3(𝑥1 + 𝑥2) + 1 = 9 (−4

3) − 3 (

1

3) + 1 = −12

PK : 𝑥2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼. 𝛽 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0



Memiliki akar-akar tidak real ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

(𝑝 + 1)2 − 4(1)(2 − 𝑝) < 0

𝑝2 + 2𝑝 + 1 − 8 + 4𝑝 < 0

𝑝2 + 6𝑝 − 7 < 0 (𝑝 + 7)(𝑝 − 1) < 0

−7 < 𝑝 < 1

Menyinggung sumbu 𝑥 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

(𝑚 − 2)2 − 4(3)(3) = 0 (𝑚 − 2)2 = 36

𝑚 − 2 = ±6

𝑚 = 2 ± 6

𝑚 = −4 atau 𝑚 = 8

(−2 3𝑥 + 2𝑦 − 1

−2𝑥 + 𝑦 − 1 −4) = (−2 20

−8 −4)

3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 20 ⇒ 3𝑥 + 2𝑦 = 21

−2𝑥 + 𝑦 − 1 = −8 ⇒ −2𝑥 + 𝑦 = −7

3𝑥 + 2𝑦 = 21 × 1 3𝑥 + 2𝑦 = 21

−2𝑥 + 𝑦 = −7 × 2 −4𝑥 + 2𝑦 = 14

7𝑥 = 7

𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 7 = −5

2𝑥 − 𝑦 = 2(1) − (−5) = 7

𝑌 + 2𝑇 = 𝐻 + 150 …….. (1)

𝐻 + 𝑇 = 1.450 …………. (2)

𝐻 + 𝑌 + 𝑇 = 2.000 ……. (3)

Sub (2) ke (3)

1.450 + 𝑌 = 2.000

𝑌 = 2.000 − 1.450 = 550 …. (4)

Sub (4) ke (1)

550 + 2𝑇 = 𝐻 + 150

𝐻 − 2𝑇 = 400 ……… (5)

Eliminasi (2) dan (5)

𝐻 + 𝑇 = 1.450

𝐻 − 2𝑇 = 400

3𝑇 = 1.050 ⇒ 𝑇 = 350

Maka:

𝑌 + 𝑇 = 550 + 350

= 900

(Dalam ribu)


Model Matematika:

Banyak jenis 𝐴 = 𝑥

Banyak jenis 𝐵 = 𝑦

𝑥 + 2,5𝑦 ≤ 70 ⇒ 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 140

2𝑥 + 1,5𝑦 ≤ 84 ⇒ 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 168

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 + 60.000𝑦

(30,16) merupakan titik potong kedua garis, diperoleh dengan

cara mengeliminasi persamaan kedua garis

Perhatikan grafik:

Diperoleh titik pojok daerah himpunan

penyelesaian (42,0), (0, 28), dan (30,16)

Tanpa menguji fungsi objektif, jelas

jawaban yang sesuai hanya E


Substiusi 𝑛 = 1, cari yang hasilnya 16 karena 𝑆1 = 𝑈1 = 16

Yang memenuhi hanya opsi C

32 − 25−1 = 32 − 24 = 32 − 16 = 16

𝑎 = 80

𝑏 = 5

𝑆12 = 6(2(80) + 11(5))

= 6(160 + 55)

= 6(215)

= 1290 (dalam ribu)

06.00 08.00 10.00 12.00 14.00

𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝑈4 𝑈5

1.600 ??

𝑈5 = 𝑈1. 𝑟4 = 1600 (1

2)

4

= 1600 (1

16) = 100

𝐾𝐴 = 𝐵

(𝑘 𝑙𝑚 𝑛

) (20

) = (8

−2)

( 2𝑘2𝑚

) = ( 8−2

)

𝑘 = 4

𝑚 = −1

𝐾𝐶 = 𝐷

( 4 𝑙−1 𝑛

) (11

) = (62

)

( 4 + 𝑙−1 + 𝑛

) = (62

)

4 + 𝑙 = 6 ⇒ 𝑙 = 2

−1 + 𝑛 = 2 ⇒ 𝑛 = 3

𝐾 (−21

) = ( 4 2−1 3

) (−21

)

= (−8 + 22 + 3

)

= (−65

)



Ingat!

lim𝑥→∞

(√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) =𝑏 − 𝑝

2√𝑎 lim

𝑥→∞(2𝑥 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3)

lim𝑥→∞

(√(2𝑥)2 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3)

lim𝑥→∞

(√4𝑥2 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3) =0 − 1

2√4= −

1

4

Titik potong:

2𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 4𝑥 + 1

2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0

(𝑥 − 2)(2𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 4(2) + 1 = 9 titik potong (2, 9)

𝑥 =3

2⇒ 𝑦 = 4 (

3

2) + 1 = 7 titik potong (

3

2, 7)

𝑚 = 𝑦′ = 4𝑥 − 3

Persamaan garis singgung pada titik (2, 9)

𝑚 = 4(2) − 3 = 5

Persamaan garis singgung:

𝑦 − 9 = 5(𝑥 − 2)

𝑦 = 5𝑥 − 1

Persamaan garis singgung pada titik (3

2, 7)

𝑚 = 4 (3

2) − 3 = 3


𝑦 − 7 = 3 (𝑥 −3

2)

𝑦 − 7 = 3𝑥 −9

2

2𝑦 − 14 = 6𝑥 − 9

2𝑦 = 6𝑥 + 5

𝑦 = 3𝑥 +5

2

Jika di substitusi diperoleh 0

0, lanjut Dalil L’Hopital

lim𝑥→4

2𝑥

−1

2√𝑥 − 3

= lim𝑥→4

−4𝑥√𝑥 − 3 = −16

Ingat!

𝑓(𝑥) = √𝑢 ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑢′

2√𝑢

Model matematika:

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 100

𝑥 + 𝑦 ≤ 40

40

40

50

100

3

Titik potong:

Dengan mengeliminasi

kedua persamaan garis

diperoleh (20,20)

Fungsi Keuntungan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 40% × 20.000𝑥 + 30% × 30.000𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 8000𝑥 + 9000𝑦

Besar keuntungan:

(40,0) ⇒ 8000(40) + 9000(0) = 320.000

(20,20) ⇒ 8000(20) + 9000(20) = 340.000

(maks)

(0,100

3) tidak mungkin banyak produksi

100

3

Persentase

keuntungan: 340.000

1.000.000× 100%

= 34%



sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

sin5𝜋

6=

1

3+ cos 𝛼 sin 𝛽

1

2=

1

3+ cos 𝛼 sin 𝛽

cos 𝛼 sin 𝛽 =1

2−

1

3=

3 − 2

6=

1

6

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽

=1

3−

1

6

=2

6−

1

6

=1

6

Misal

𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 𝑝

(2𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝

(𝑥 + 2)𝑑𝑥 =1

2𝑑𝑝

∫𝑥 + 2

√𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑑𝑥

= ∫(𝑥 + 2)(𝑥2 + 4𝑥 − 3)−12 𝑑𝑥

=1

2∫ 𝑝−

12 𝑑𝑝

=1

2× 2 𝑝

1

2 + 𝐶

= √𝑝 + 𝐶

= √𝑥2 + 4𝑥 − 3 + 𝐶

∫ (6𝑥2 − 6𝑥 − 1)𝑑𝑥4

2

= 2𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 ] 42

= (2(4)3 − 3(42) − 4) − (2(2)3 − 3(2)2 − 2)

= (128 − 48 − 4) − (16 − 12 − 2)

= 76 − 2

= 74

𝑥 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦 𝑦 𝑦

Perhatikan gambar!

3𝑥 + 4𝑦 = 80

⇒ 3𝑥 = 80 − 4𝑦

Luas:

𝐿 = 3𝑥 × 𝑦

𝐿 = (80 − 4𝑦) × 𝑦

𝐿 = 80𝑦 − 4𝑦2

Luas maksimum

𝐿′ = 0

80 − 8𝑦 = 0

𝑦 = 10

3𝑥 = 80 − 4(10)

3𝑥 = 40

Luas maksimum

Dicapai ketika 3𝑥 = 40, dan

𝑦 = 10

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑀𝑎𝑥 = 3𝑥 × 𝑦

= 40 × 10

= 400



sin 40° − sin 20°

cos 40° − cos 20°=

2 cos (40 + 20

2) ° sin (

40 − 202

) °

−2 sin (40 + 20

2) ° 2 sin (

40 − 202

) °

= −cos 30° sin 10°

sin 30° sin 10°

= −

12 √3

12

= −√3

4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2 cos2 𝑥

4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2(1 − sin2 𝑥)

4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2 − 2 sin2 𝑥

6 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 4 = 0

(3 sin 𝑥 − 4)(2 sin 𝑥 + 1) = 0

sin 𝑥 =4

3 (tidak memenuhi) atau sin 𝑥 = −

1

2

sin 𝑥 < 0, artinya 𝑥 ada di kuadran 3 atau 4

{7

6𝜋,

11

6𝜋}

Dengan aturan cosinus:

𝐴𝐶2 = 402 + 802 − 2 × 40 × 80 × cos 60

𝐴𝐶2 = 4800 ⇒ 𝐴𝐶 = 40√3

Perhatikan segitiga 𝐴𝐵𝑇

Jarak 𝐴 ke 𝑇𝐵 = 𝐴𝐴′

𝐴𝐴′ = √42 − 22

= √16 − 4

= √12

= 2√3



Misal pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) = (2, −3)

Jari-jari (𝑟) = 5 − 2 = 3

Persamaan lingkaran:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝐴 = −2𝑎 = −2(2) = −4

𝐵 = −2𝑏 = −2(−3) = 6

𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 4 + 9 − 9 = 4

Jadi persamaan lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0

Diagonal bidang = rusuk √2

Maka:

𝐴𝐶 = 12√2

𝑂𝐶 =1

2𝐴𝐶 =

1

2. 12√2 = 6√2

Perhatikan segitiga 𝑂𝐶𝐺:

𝑂𝐺 = √𝑂𝐶2 + 𝐶𝐺2

= √(6√2)2

+ 122

= √72 + 144

= √216

= 6√6

𝛼 = ∠𝐶𝑂𝐺

sin 𝛼 =𝐶𝐺

𝑂𝐺

=12

6√6

=2

√6×

√6

√6

=2

6√6

=1

3√6

Diagonal bidang = rusuk √2

Maka:

𝐾𝑀 = 6√2

𝑂𝑀 =1

2𝐾𝑀 =

1

2. 6√2 = 3√2

𝑂𝑄 = √(3√2)2

+ 62

= √54 = 3√6

Misal jarak 𝑀 ke 𝑂𝑄 adalah 𝑥

Perhatikan segitiga 𝑂𝑀𝑄 1

2𝑂𝑀. 𝑀𝑄 =

1

2. 𝑂𝑄. 𝑥

3√2. 6 = 3√6𝑥

6√2 = 𝑥√6

𝑥 = √12

𝑥 = 2√3

Alas merupakan segi

enam beraturan. Segienam beraturan

terdiri dari 6 buah

segitiga sama sisi,

dengan demikian kita

tahu bahwa panjang sisi

𝑂𝐵 = 6

𝑇𝐵 = √𝑂𝐵2 + 𝑇𝑂2

= √62 + (6√3)2

= √36 + 108

= √144

= 12

sin ∠𝑇𝐵𝑂 =𝑂𝑇

𝑇𝐵=

6√3

12=

1

2√3



Pusat 𝑝(𝑎, 𝑏)

𝑎 = −1

2(−6) = 3

𝑏 = −1

2(−4) = 2

𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶

= √9 + 4 − 3 = √10

𝑚 = 3


𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√𝑚2 + 1

⇒ 𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 3) ± √10 × √32 + 1

⇒ 𝑦 − 2 = 3𝑥 − 9 ± 10

⇒ 3𝑥 − 𝑦 − 7 ± 10 = 0

PGS 1: 3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, PGS2: 3𝑥 − 𝑦 − 17 = 0

𝑇1 ∘ 𝑇2 = (0 −11 0

) (1 20 1

) = (0 −11 2

)

(𝑥′𝑦′

) = (0 −11 2

) (𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′

) = (−𝑦

𝑥 + 2𝑦)

𝑥′ = −𝑦 ⇒ 𝑦 = −𝑥′

𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦′ − 2𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦′ + 2𝑥′ Bayangan garis:

−𝑥 = 3(𝑦 + 2𝑥) + 2

−𝑥 = 3𝑦 + 6𝑥 + 2

3𝑦 = −7𝑥 − 2

𝑦 = −7

3𝑥 −

2

3

Tepi bawah kelas modus

𝑇𝑏 =38 + 43

2=

81

2= 40,5

𝑑1 = 2

𝑑2 = 4

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝑑1

𝑑1 + 𝑑2

) 𝑝

= 40,5 + (2

2 + 4) 5

= 40,5 + (5

3)

= 40,5 + 1,67

= 42,17

Panjang kelas (𝑝) = 5



Dari 10 soal, 4 soal wajib dikerjakan, artinya

hanya 6 soal yang bisa dipilih.

Dari 8 soal yg akan dikerjakan, 4 diantaranya

sudah ditentukan. Artinya, hanya 4 soal yang boleh

kita pilih dari yang tersedia.

Maka banyak cara adalah sama dengan memilih 4

dari 6 pilihan.

𝐶46 =

6!

(6 − 4)! 4!

=6.5.4!

2!. 4!

= 3.5

= 15

∑𝑓 = 20

1

4× 20 = 5

Kelas 𝑄1 pada kelas ke-2

Tepi bawah kelas ke 2 = 49,5

Panjang kelas = 5

Jml frequensi sebelum kelas 𝑄1 = 2

Frequensi kelas 𝑄1 = 3

𝑄1 = 49,5 + (5 − 2

3) 5

= 49,5 + 5

= 54,5

Kelipatan lima, satuan yang mungkin 0 dan 5

Satuan 0

6 × 5 × 1 = 30

Satuan 5 tanpa memuat 0

5 × 4 × 1 = 20 Puluhan 0 dan satuan 5

5 × 1 × 1 = 5

Banyak bilangan

kelipatan 5:

30 + 20 + 5 = 55

𝐶45 × 𝐶6

7 = 5 × 7 = 35



Jika terdapat kekeliruan pada pembahasaan ini, mohon tidak berkeberatan untuk menyampaikan

koreksi dan menghubungi saya via email [email protected] insya Alloh nanti saya

perbaiki.

Silakan kunjungi web saya, www.m4th-lab.net , tersedia ribuan soal matematika meliputi soal-

soal seleksi perguruan tinggi, soal-soal Ujian Nasional, dan soal-soal lainnya.

Alamat website : www.m4th-lab.net

Fans Page Facebook : https://web.facebook.com/mathlabsite/

Channel Telegram : @banksoalmatematika

http://t.me/banksoalmatematika

Semoga Bermanfaat

mailto:[email protected]



https://web.facebook.com/mathlabsite/

http://t.me/banksoalmatematika

- victormatangela.files.wordpress.com · jika terdapat kekeliruan pada pembahasaan ini, mohon tidak...

Documents