word
TRANSCRIPT
MODUL TIPE B
KALKULUS “ATURAN RANTAI”
Disusun untuk memenuhi tugas Kalkulus Lanjut semester 3
Dosen Pengampu: Ibu Rizky Esti
Disusun Oleh
Fella Elsa Rahmasari 13310201
Kelas 3F
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PGRI SEMARANG
2014
Aturan Rantai
Fungsi-fungsi yang rumit merupakan fungsi komposisi dari fungsi-fungsi
pembangun. Untuk mempermudah menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi
digunakan suatu rumus yang disebut aturan rantai.
TEOREMA A Aturan Rantai
Misalkan x=x (t) dan y= y (t) terdiferensiasikan di t dan misalkan z=f (x , y )
terdiferensiasikan di ( x ( t ) , y (t ) ) . Maka, z=f (x (t ) , y ( t )) dapat dideferensiasikan
di t dan
dzdt
=dzdx
dxdt
+ dzdy
dydt
CONTOH 1
Diketahui u=x2+ y2
misal x=ℜ5 dan y=ℜ−5Tentukanlah:
a.ux
b.uy
c.dxdr
d.dydr
e.dudr
PENYELESAIAN:
a.dudx
=2 x
b.dudy
=2 y
c.dxdr
=e5
d.dydr
=e−5
e.dyds
=−ℜ−5
f.dudr
=ux
dxdr
+ uy
dydr
¿ (2 x ) (e5 )+(2 y ) (e−5 )
¿2 xe5+2 ye−5
misal x=dv5 dan y=dv−5Tentukanlah:
a .ux
b .uy
c .dxdv
d .dydv
e .dudv
PENYELESAIAN:
a.ux=2 x
b.dudy
=2 y
c.dxdv
=v5
d.dydv
=v−5
e.dudv
=ux
dxdv
+ uy
dydv
¿ (2 x ) ( v5 )+(2 y ) ( v−5 )
¿2 xv5+2 yv−5
CONTOH 2
Diketahui z = x2 y , x= cos dan y= sin carilah dzd
!
Jika =π2
dzd
= zx
dxd
+ zy
dyd
¿ (2 xy ) (−sin )+(x2)(cos)
¿ (2. cos . sin ) (−sin )+(cos2)(cos❑)
¿−2cossin2+cos3
¿−2¿
¿−2 (0 ) (1 ) (1 )+(0)(0)(0)
¿0
Jika =32
π
dzd
= zx
dxd
+ zy
dyd
¿ (2 xy ) (−sin )+(x2)(cos)
¿ (2. cos . sin ) (−sin )+(cos2)(cos❑)
¿−2cossin2+cos3
¿−2¿
¿−2 (0 ) (−1 ) (−1 )+(0)(0)(0)
¿0
Diketahui z = x2 y , =π2
Jika x= ctg dan y= tan
dzd
= zx
dxd
+ zy
dyd
¿ (2 xy ) (−cosec2 )+( x2)(sec 2)
¿ (2.ctg . tan ) (−cosec2 )+(ctg2)(sec2)
¿2 (ctg ) ( tan ) (−cosec ) (cosec )+(ctg)(ctg)(sec)(sec)
¿2 (0 ) (0 ) (−1 )(1)+(0)(0)(0)(0)
¿0
TEOREMA B Aruran Rantai
Misalkan x=x (s , t) dan y= y (s ,t ) mempunyai turunan-turunan parsialpertama
di (s, t ) dan misalkan z=f (x , y ) terdiferensiasi di (x (s ,t ) , y ( s , t )). Maka
z=f (x (s , t ) , y (s , t )) mempunyai turunan-turunan parsial pertamayang diberikan
oleh:
1.zs= z
xxs+ z
yys
2.zt= z
xxt+ z
yyt
CONTOH 3
Diketahui a=4 x2+ y2 dan x=3 s+6 t ;y=4 st , carilah at
!dan nyatakan dalam
bentuk s dan t!
PENYELESAIAN
CARA 1
at=a
xxt+ a
yyt
¿ (8 x ) (6 )+(2 y )(4 s)
¿48 (3 s+6 t )+(8 st ) (4 st )
¿144 s+288 t +32 s2t
CARA 2
at=❑
t(4 x2+ y2)
¿ ❑t
¿
¿ ❑t
[ 4 (9 s2+36 t 2+36 st )+16 s2 t2 ]
¿ ❑t
[ (36 s2+144 t2+144 st )+16 s2t 2 ]
¿288 t+144 s+32 s2t
CONTOH 4
Jika diketahui z=(xy)2 dengan x=2 t+s dan y=3 st carilah at
dan nyatakan
dalam bentuk s dan t!
PENYELESAIAN
CARA 1
zt= z
xxt+ z
yyt
¿ (2 x ) (2 )+(2 y )(3 s)
¿4 (2t +s )+(6 st ) (3 s)
¿8 t+4 s+18 s2 t
CARA 2
at=❑
t(xy)2
¿ ❑t
¿
¿ ❑t
[ ( 4 t 2+s2)+9 s2t 2 ]
¿8 t+4 s+18 s2 t
Fungsi Implisit yaitu fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variable yakni
variable bebas dan variable tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa
dipisahkan pada ruas yang berbeda.
Fx
dxdx
+ Fy
dydx
=0
Mencari dydx
, yaitu
dydx
=− F
xFy
CONTOH 5
Carilah dydx
jika x2+ x3 y+4 y3!
PENYELESAIAN
CARA 1(diferensiasi implisit)
Misalkan F(x,y)=x2+ x3 y+4 y3, maka
dydx
=− F
xFy
¿− 2 x+3 xy
x3+12 y2
CARA 2 (aturan rantai)
dydx
=2 x+x3 dydx
+3 xy+12 y2 dydx
=0
CONTOH 2
Diketahui x2+ y2=0 tentukanlah dydx
!
PENYELESAIAN
CARA 1(diferensiasi implisit)
Misalkan F(x,y)=x2+ y2=0 , maka
dydx
=− F
xFy
¿−2 x2 y
CARA 2 (aturan rantai)
dydx
=2 xdydx
+2 ydydx
=0
LATIHAN SOAL
1. Jika diketahui z=6 x2+ y2 dengan x=2 t+s dan y=2 st carilah at
dan
nyatakan dalam bentuk s dan t!
PENYELESAIAN
CARA 1
zt= z
xxt+ z
yyt
¿ (12 x ) (2 )+(2 y )(2 s )
¿24 (2 t+s )+(4 st ) (2 s)
¿48 t +24 s+16 s2 t
CARA 2
at=❑
t6 x2+ y2
¿ ❑t
¿
¿ ❑t
[6 ( 4 t 2+s2+4 st )+4 s2t 2 ]
¿2 4 t 2 4+6 s2+24 st+4 s2t 2
¿48 t +24 s+16 s2 t
2. Carilah dydx
jika x3+2 x2 y+ y3=0menggunakan diferensiasi implisit!
PENYELESAIAN
Misalkan F(x,y)=x3+2 x3 y+ y3=0, maka
dydx
=− F
xFy
¿−3 x+6 x2
x3+3 y