web viewsuatu bakteri. berkembang biak setiap 5 menit, jumlahnya berubah menjadi 10 kali. pada pukul...

BENTUK PANGKAT DAN AKAR

Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar 1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma 1.2 Melakukan manipulasi aljabar

dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar dan logaritma

Agustina Dian I, S.Pd 1 Modul Matematika 1/ Bentuk Pangkat, dan Akar

BENTUK PANGKAT dan AKAR

Pretest :Suatu bakteri

berkembang biak setiap 5

menit,

jumlahnya berubah

menjadi 10 kali.

Pada pukul 06.00 terdapat

100 bakteri, berapakah

jumlah bakteri pada pukul

09.00?

Tahukah kamu, untuk mendapatkan jawabannya melibatkan operasi bilangan

berpangkat?

Kegiatan Belajar 1

Tujuan :

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan Anda dapat: menentukan bentuk pangkat dari: bilangan berpangkat bulat positif,

bilangan berpangkat bulat negatif dan nol, bilangan berpangkat pecahan

menentukan bentuk akar

A. BILANGAN PANGKAT

2 Modul Matematika 1/ Bentuk Pangkat, dan Akar

1. Bilangan berpangkat Bulat Positif

Bentuk umum: ap = a x a x… x a⏟p faktor

a p( dibaca : a pangkat p) ialah perkalian berganda yang mempunyai p faktor dan tiap-tiap faktornya adalah a

a disebut bilangan pokok ( basis)p disebut eksponen ( pangkat ) yang menunjukkan banyaknya faktor

Contoh

Sederhanakan !

1. 23 x25=(2 x2 x 2)⏟3 faktor

x (2 x2 x2 x2 x2)⏟5 faktor

=28

2. a x a4=a x ax a x a x a=a5

Dari contoh 1 dan 2 diperoleh sifat 1 :

SIFAT PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT am x an = a m+n

Berlaku Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif

Bukti:

(a x a x… x a)⏟m faktor

x (a xa x … xa )⏟n faktor

=axax … xaxaxax …xa⏟ =sebanyak m+n faktor

am+ n(terbukti)

3. 37 :34=3 x 3 x 3 x3 x3 x3 x 3 x 33 x3 x3 x3

=33

4. x5 : x2= x . x . x . x . xx . x

=x3

Dari contoh 3 dan 4 diperoleh sifat 2

SIFAT PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT

am

an = am−n,


Catatan : membagi dengan 0 tidak terdefinisi, a ∈R dan m,n bilangan bulat positif dan m > n

Bukti :

axaxaxaxaxa ...xaaxaxaxaxaxa …xa⏞

sebanyak m faktor

⏟sebanyak n faktor

=axaxaaxaxa… xa⏟sebanyak m−n faktor

=am−n(terbukti)5. (ab)3=(a b ) (ab ) (ab )=a3b3

6. (3 x )4= (3 x ) (3x ) (3 x ) (3 x )=34 x4

7. (−3 a)3 = (–3a) × (–3a) × (–3a) = – 27a3

Dari contoh 5, 6 dan 7 diperoleh sifat 3

SIFAT PANGKAT DARI PERKALIAN BILANGAN

( a . b )m = am . bm

Catatan : membagi dengan 0 tidak terdefinisiBerlaku Untuk a,b ∈ R dan m bilangan bulat positifBukti :

(a . b)m =abxabxab … xab⏟mfaktor

=

(axaxa …xa )⏟mfaktor

(bxxbx …xb¿¿mfaktor)=am bm( terbukti)¿

8. (3¿¿6)3 ¿=(3¿¿6)(3¿¿6)(3¿¿6)¿¿¿ = 318

9. (2 x¿¿3)2 ¿= (2 x¿¿3)❑(2 x¿¿3)❑¿¿ = 4 x6

Dari contoh 8 dan 9 diperoleh sifat 4

SIFAT PANGKAT DARI BILANGAN BERPANGKAT

(am)n = am x n

Berlaku Untuk a,b ∈ R dan m bilangan bulat positifBukti :

(am)n = (am x am x am x… x am)⏟n fak tor

= (a x a xa x …x a ) x ( a x a x ax … x a ) x … x (a x a xa x … xa )⏟mx n faktor

= am x n ( Terbukti ) Untuk a ∈R dan m , n bilangan bulat positif


10. ( 23 )

3

=( 23 ) x ( 2

3 )x ( 23 )=23

33 =8

27

Dari contoh 10 , diperoleh sifat 5

SIFAT PANGKAT DARI PEMBAGIAN BILANGAN

( ab )

n

=an

bn

Bukti:

( ab )

m

=ab

x ab

x ab

x… x ab= a x a x ax ...x a

b x b xb x … xb⏞

mfaktor

⏟mfaktor

=am

bm ( Terbukti )

Untuk a, b ∈R , b ≠ 0 dan m bilangan bulat positif

Latihan 11. Sederhanakan !

a.93 x 97=¿b.(−x )2 .(−x )11=¿c.3 a2 b x2a5 b4 x 3ab5=¿

d. 73

75 =¿

e. 5 x3: x2=¿f. 12 a9 b6 :3a3 b=¿g. ¿h. ¿i. ¿j. 8 (−32 .−l3 ¿5=¿❑

2. Tentukan nilai x!a. x3=1331b. 3x=243c. 13 x2=637d. 12.(4¿¿ x)3=28x ¿

2. Pangkat Nol dan Bulat Negatif

a. Bilangan Berpangkat Nol

a0=1Untuk a ∈R dan a ≠ 0


Bukti : a0=am−m

= am

am = axaxaxaxaxa ... xaaxaxaxaxaxa …xa⏞

sebanyak m faktor

⏟sebanyak mfaktor

= 1

Contoh1. 60=12. (3 x)0=30 . x0=1

b. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

a−m= 1am

Untuk a ∈R , a ≠ 0 dan m bilangan bulat positif

Definisi diatas berasal dari

am: am+ n=am – (m+n)=a−n

am: am+ n= am

am an =1an

Contoh

1. 3−2= 132=

19

2. 2−3

42 = 123 . 42=

18 x16

= 1128

Latihan 2

1. Ubahlah ke dalam pangkat bulat positif !a. 4 x−5=¿

b. a−5 b3

7 =

c. x− y−6=¿d. 5 m−7−3n−5=

e. ( 10−5

53 )−2

=

2. Sederhanakan

a. ( x−5

52 )−2

x( x−2

5❑ )−2

=

b. 14

a3 x 23

a−5 x3a−2=¿

c. 4 x−3 y−5

16 x−2 y4 ¿❑

d. k−2−l−2

k−2 l−kl−2 =


3. Bilangan Berpangkat Pecahan

- Pangkat rasional berbentuk a1n

Jika a adalah bilangan real dan n bilangan asli dengan n≥ 2

Berlaku a1n=n√a

Bukti:Menurut definisi akar( n√a)n=a

Menurut definisi pangkat

a1n . a

1n . a

1n …a

1n⏟

n faktor

= (a1n )n=a

nn=a1=a

Jadi, a1n=n√a

- Pangkat rasional berbentuk amn

Jika a bilangan real, m bilangan bulat, n bilangan asli dengan n≥ 2, n√a bilangan real, dan n√a≠ 0, maka a

mn =

n√am

Bukti:

amn =a

mx 1n=(am )

1n

Dengan menggunakan sifat akar

(am )1n = n√am

amn =n√am

amn =( n√a )m

Latihan 3

Hitunglah nilai-nilai berikut!

1. 34313

2. 2.18717

3. 25678

4. 1.02435

Modul Matematika 1/Bentuk Pangkat dan Akar / 7

Kegiatan Belajar 2

Tujuan :

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan Anda dapat menentukan bentuk akar melakukan operasi aljabar pada bentuk akar merasionalkan bentuk akar

B. BENTUK AKAR

1. Pengertian

Bilangan Rasional ( lambang Q ) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p

q , dengan p,q ∈ B, q≠ 0. Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk pq , dengan p,q ∈ B, q≠ 0.

Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

Contoh √16 bukan bentuk akar , karena √16 = 4 ( bilangan rasional )√17 bentuk akar, karena √17 = 4,123… ( bilangan irrasional )

2. Bilangan Berpangkat Pecahan

- Pangkat rasional berbentuk a1n

Jika a adalah bilangan real dan n bilangan asli dengan n≥ 2

Berlaku a1n=n√a

Bukti:Menurut definisi akar( n√a)n=a

Menurut definisi pangkat

a1n . a

1n . a

1n …a

1n⏟

n faktor

= (a1n )n=a

nn=a1=a


Jadi, a1n=n√a

- Pangkat rasional berbentuk amn

Jika a bilangan real, m bilangan bulat, n bilangan asli dengan n≥ 2, n√a bilangan real, dan n√a≠ 0, maka a

mn =

n√am

Bukti:

amn =a

mx 1n=(am )

1n

Dengan menggunakan sifat akar

(am )1n = n√am

amn =

n√am

amn =( n√a )m

Latihan 1

Hitunglah nilai-nilai berikut!

1. 34313

2. 2.18717

3. 25678

4. 1.02435

3. Sifat-sifat Bentuk Akar

o n√a . b = n√a . n√b

Contoh

3√7.b = 3√7 . 3√b

o n√a :b = n√a :n√b

Contoh

3√7 :b = 3√7 :3√b

o n√am = amn

Contoh


3√a9 = a93=a3

o n√am = n : m√a

Contoh

6√a2 = 6 : 2√a=3√a

o m√ n√a =nm√a

Contoh

3√ 5√a =3 x 5√a =15√a

o (m√a )n= m√an

Contoh

( 3√a )7= 3√a7

o m√an = km√akn

Contoh

7√a9 = 2 x 7 m√a2x 9 = 14√a18

o m√an =m : k√an : k

Contoh

6√a2 =6 : 2√a2: 2= 3√6

4. Operasi aljabar pada bentuk akar

Penjumlahan dan pengurangan

Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan bentuk akar yang lain jika bentuk-bentuk akar itu adalah bentuk akar yang sejenis.

Untuk setiap a,b, dan c bilangan rasional positif berlaku

b√a+c√a=(b+c)√ab√a−c √a=(b−c)√a

Contoh


5√a+7√a=(5+7 ) √a=12√a6√a−4 √a=(6−4 ) √a=2√a

Perkalian

b√a x c√d=bc √ad

Contoh

3√2 x 5√7=3 x5√2x 7=15√14

Menarik Akar Kuadrat

√ (a+b )+2√ab=√¿¿¿

√ (a+b )−2√ab=√¿¿¿

Contoh

√7+2√12=√4+3+2√4 x3=√4+√3=2+√3

√10−2√21=√ (7+3 )−2√7 x 3=√7−√3

Merasionalkan Bentuk Akar

1. a√b

= a√b

. √b√b

=ab √b

2. aa+√b

= aa+√b

. a−√ba−√b

=c (a−√b)

a2−b

3. aa−√b

= aa−√b

. a+√ba+√b

=c(a+√b)

a2−b

4. a√a+√b

= a√a+√b

. √a−√b√a−√b

=c (√a−√b)

a−b

5. a√a−√b

= a√a−√b

. √a+√b√a+√b

=c (√a+√b)

a−b


Evaluasi

I. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini sebagai bentuk akar atau bukan bentuk akar!

1. √162. √23. 2√9

4.√ 8√ 4

II. Sederhanakan

1. √2+√12−√8+4 √3=¿ 2. ¿+√2) (√3−√2¿=¿3. (√7−√5¿¿2=¿4. Diketahui x = 3−√5 dan y=3+√5. Tentukan 2x – 2y dan 4 xy!5. √18−2√32=¿6. √3√3 3√3=¿

III. Rasionalkan

1.5√5

2. 2−√33√5

3. √5−√2√5+√2

4.1

√9−√80


web viewsuatu bakteri. berkembang biak setiap 5 menit, jumlahnya berubah menjadi 10 kali. pada pukul...

Documents