A S I I I K

XII

KATA PENGANTAR

Puji syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyusun buku ajar sebagai tugas kelompok yang berjudul “ Matris Asik “ ini dengan lancar. Penyusunan buku ajar ini bertujuan untuk memenuhi Tugas Kelompok Mata Kuliah Program Komputer, pada Semester I, Program Studi Pendidikan Keguruan dan Ilmu Matematika tahun 2014.Terima kasih penulis sampaikan pada semua pihak yang telah membantu dalam menyusun buku ajar ini.Kami menyadari bahwa buku ajar ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu saran dan kritik para pembaca untuk menyempurnakan buku ajar ini dengan senang hati penulis terima. Semoga buku ajar yang sederhana ini dapat memberikan manfaat bagi kami khususnya dan bagi pembaca.Aamin

Cirebon, 16 Oktober 2014

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

i

DAFTAR ISI iiMOTIVASI iiiTUJUAN PEMBELAJARAN ivMATRIK 1

A.Pengertian Matriks 1B.Oprasi Aljabar Matriks 9C.Determian Dan Invers 13

APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI 23SOAL LATIHAN 25DAFTAR PUSTAKABIODATA KELOMPOKDESKRIPSI KERJA KELOMPOK

KATA – KATA MOTIVASI

Orang yang pandai bukanlah orang yang mengerti dalam segala hal, tetapi orang yang pandai akan berguna dalam berbagai hal.

ii

Lebih baik menjadi orang yang bodoh diantara golongan orang yang pintar, dari pada menjadi pintar diantara orang-orang yang bodoh

Belajarlah selagi yang lain tidur.Bekerjalah selagi yang lain bermalas – malasanBersiap – siaplah selagi yang lain sedang bermain Dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap –Wiliam Arthur W.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Tujuan pembelajaran Konsep Matriks ini siswa diharapkan dapat :1. Membuat susunan bilangan dalam bentuk matriks2. Menyebutkan ordo suatu matriks3. Menuliskan bentuk umum suatu matriks dalam ordo tertentu4. Mengidentifikasi jnis-jenis matriks5. Menyelesaikan kesamaan matriks6. Menjumlahkan atau mengurangkan dua matriks atau lebih

iii

7. Mengalikan skalar dengan matriks8. Mengalikan dua matriks9. Mencari invers dan determinan suatu matriks ordo tiga10. Mengaplikasikan penggunaan matriks dalam kehidupan

sehari-hari

MATRIKS

PENGERTIAN & JENIS-JENIS MATRIKS

OPERASI ALJABAR

PADA MATRIKS

DETERMINAN & INVERS MATRIKS

iv

A. Pengertian dan Jenis-jenis Matriks 1. Pengertia MatriksDalam kehidupan sehari–hari kita, sering menjumpai informasi yang disajikan dalam bentuk tabel atau daftar yang berisi angka–angka dan disusun menurut baris dan kolom. Sebagai contohnya adalah data nilai ujian 2 mata pelajaran dari 2 siswa kelas XII IPA 1 seperti berikut :

NAMANILAI UJIAN

MATEMATIKA

BIOLOGI

ADI 8 7ANDRI

7 9

Jika informasi tersebut hanya kita tuliskan bilangan saja, maka akan diperoleh kelompok bilangan seperti berikut :

APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

8 77 9

Kelompok bilangan tersebut disusun dalam bentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom. Agar berbatas, maka bagian tepi dari kelompok bilangan itu diberi tanda kurung, dapat berupa kurung biasa atau kurung siku, sehingga diperoleh :

(8 77 9↓ ↓)→baris ke−1

→baris ke−2

Kolom ke-1 kolom ke-2Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa :

Pada matriks diatas, 8 adalah elemen atau unsur matriks pada baris pertama dan kolom pertama. Ditulis a1.1=8 elemen-elemen yang lain ditulis a1.2=7 , a2.1=7dana2.2=9. Sehingga diperoleh bentuk umum matriks yang mempunyai dua baris dan dua kolom, yaitu : A=(8 7

7 9)

Notasi MatriksSuatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar (kapital), seperti A,B,C dan sebagainya. Contoh 1.1:1. Dengan menandai kurung biasa

Matriks adalah suatu bilangan yang berbentuk jajaran persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom

1

A=(8 54 6) dan B=(2 4 7

9 6 85 1 3)

2. Dengan menandai kurung siku

A=[8 54 6 ] dan B=[2 4 7

9 6 85 1 3]

B. Pengertian Baris, Kolom, dan Elemen MatriksKita telah mengetahui bahwa sebuah matriks terdiri dari

sekelompok bilangan yang disusun dalam bentuk baris-baris da kolom-kolom. Bilangan–bilangan yang terdapat dalam matriks dinamakan unsur atau elemen. Contoh 1.2

C = (2 6 38 4 9)

Susunan mendatar dari bilangan–bilangan pada matriks dinamakan baris matriks.

2 6 3→Baris pertama8 4 9→Baris kedua

Susunan bilangan–bilangan yang tegak pada matriks dinamakan kolom matriks.

2 6 3 8 4 9 ↓ ↓ ↓

Kolom pertama Kolm kedua Kolom ketigaSehingga : adalah elemen matriks baris pertama dan kolom pertama6 adalah elemen matriks baris pertama dan kolom kedua3 adalah elemen matriks baris pertama dan kolom ketiga

2

8 adalah elemen matriks baris kedua dan kolom pertama

4 adalah elemen makriks baris kedua dan kolom kedua9 adalah elemen matriks baris kedua dan kolom ketiga

C. Pengertian Ordo MatriksSuatu matriks A, yang terdiri dari m baris dan n kolom,

dikatakan berorde m×n dan ditulis dengan lambang Am×n. Sedangkan banyaknya elemen (unsur) matriks A sama dengan m×nbuah. Dengan demikian, matriks A yang berorde m×ndapat disajikan sebagai berikut :

Am×n [2 3 45 9 61 4 5

3 11 28 7]

←baris ke−1←baris ke−2←baris ke−m

↑ ↑ kolomke−1kolomke−n

Contoh 1.3 A2× 2= (3 4

6 5 ) →merupakan matriks berordo 2×2 yang berarti

mempunyai dua baris dan dua kolomB3×2= (2 4 8

1 9 7) →merupakan matriks berorde 2×3 yang berarti

mempunyai dua baris dan tiga kolom.

2. Jenis-jenis matriks

3

4

Ditinjau dari banyaknya baris dan banyaknya kolom serta jenis elemen–elemennya, maka matriks dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu:

Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo1×ndengann>1

Contoh 1.4A1×2=¿ (2 7 )

B1×3=¿ (3¿5¿9) Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo m×1denganm>1

Contoh 1.5

A1×3=[123] dan B1×5=[23456]

Matriks Persegi atau Matriks KuadratMatriks persegi atau matriks kuadrat adalah matriks yang

banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Matriks Am×n

disebut matriks persegi jika m=n , sehingga sering ditulis Am×n=¿A n¿.

Pada matriks persegi, elemen–elemen a11, a22, a33, ..., ann disebut elemen–elemen diagonal utama. am1, ..., a1n disebut elemen–elemen diagonal kedua. Hasil penjumlahan dari elemen–elemen pada diagonal utama matriks persegi disebut trace A.Trace A = a11 + a22 +... + ann

Contoh 1.6

5

A3× 3 ¿ A3=[4 9 26 8 57 3 1]

Elemen diagonal utamanya adalah 4, 8, dan 1.Elemen diagonal kedua adalah 7, 8, dan 2.Trace A = 4 + 8 + 1 = 13

Matriks diagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang semua

elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama. Contoh 1.7

A2=¿ (1 00 4 )

Matriks Segitiga atasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen–

elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. Contoh 1.8 A2=(2 3

0 7)

Matriks Segitiga bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen–

elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. Contoh 1.9A2=(2 0

3 7)Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemen pada diagonal utamanya sama dengan positif satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas disebut juga matriks satuan yang dilambangkan dengan ”I”.

6

Contoh 1.10

I 2× 2 ¿(1 00 1) dan I 3× 3=[1 0 0

0 1 00 0 1]

Matriks NolMatriks 1.11

O2×2 ¿(0 00 0) dan O3×3 ¿(0 0 0

0 0 00 0 0)

Lawan Suatu MatriksLawan suatu matriks adalah matriks yang elemen–

elemennya merupakan lawan dari elemen–elemen matriks tersebut. Lawan matriks A dinotasikan dengan –A.

Contoh 1.12Lawan matriks A ¿(−3 4

−8 7) adalah – A=¿ (3 −48 −7 )

1. Kesamaan Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A =

B apabila keduanya berordo sama dan semua unsur–unsur yang terkandung di dalamnya bernilai sama.Contoh 1.13

A=[8 93 6] B=[ 162 32

3 − (−6 )]Jadi, A=B

2. Transformasi MatriksTranspose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh

dengan cara mengubah setiap elemen baris matriks A

7

menjadi elemen kolom matriks transposenya, atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan At

atau A'. Penggunaan transpose sebuah matriks mempermudah berbagai analisis matriks.

Contoh 1.14A=(1 2

3 4 ), maka At atauA '=(1 32 4)

B. Operasi Aljabar Matriks Pada pembahasan di depan, kita telah mempelajari

pengertian matriks, notasi, ordo matriks, jenis–jenis matriks, kesamaan matriks, dan transpose matriks. Selanjutnya, kita akan membahas operasi (pengerjaan) antarmatriks, di antaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks dengan bilangan real (skalar), dan perkalian matriks dengan matriks.1. Penjumlahan Matriks

Untuk memahami penjumlahan matiks, perhatikan tabel 2.1 berikut :

Nama

Bulan 1 Bulan 2 JumlahAyam

Bebek

Ayam

Bebek

Ayam

Bebek

Doni 20 25 15 10 35 35Dion 30 15 10 15 40 30

8

Tabel 2.1 menunjukkan data jumlah telor yang dihasilkan oleh ayam dan bebek milik Doni dan Dion selama 2 bulan berturut–turut. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

A+B=C

[20 2530 15 ]+¿ [15 10

10 15]=¿ [35 3540 30]

Perhatikan bahwa matriks A dan B adalah matriks yang berordo sama. Elemen–elemen matriks dari A dan B yang dijumlahkan adalah yang seletak. Sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, maka hasil penjumlahan matriks A dengan matriks B adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen–elemen matriks A dengan elemen–elemen matriks B yang seletak.

jadi, jika diketahui: A2× 2 ¿ [a1 a2a3 a4] dan B2×2=[b1 b2

b3 b4]maka: ¿ [a1+b1 a2+b2

a3+b3 a4+b4 ]Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat–sifat penjumlahan matriks adalah:1. Sifat komutatif: A + B = B + A2. Sifat asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C adalah matriks berordo sama.

2. Pengurangan Matriks

9

Pengurangan matriks dapat dinyatakan dalam penjumlahan matriks berdasarkan pada pemahaman tentang lawan suatu matriks. Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan B dapat dinyatakan sebagai berikut:

A – B = A + (–B).

jadi, jika diketahui: A2× 2 ¿ [a1 a2a3 a4] dan B2×2=[b1 b2

b3 b4]maka: ¿ [a1−b1 a2−b2

a3−b3 a4−b4]3. Perkalian Matriks dengan Bilangan

Jika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen–elemen matriks A.

Misalnya:

A=[1 23 45 6 ] maka 2 A=[2 (1 ) 2 (2 )

2 (3 ) 2 (4 )2 (5 ) 2 (6 ) ] ¿ [ 2 4

6 810 12]

Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut skalar. Sehingga operasi perkalian bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian skalar. Perkalian matriks dengan skalar k berarti melakukan penjumlahan matriks sejenis sebanyak k kali.

10

11

Sifat perkalian matriks dengan skalar:Jika matriks A dan B berordo sama dan K , I ∈R (bilangan real), maka:a . (K+ I ) A=KA+ IA

b . K (A+B )=KA+KB

c .K ( IA )=(KI ) A

d .1× A=A×1=A

e . (−1 )× A=A× (−1 )=−A

4. Perkalian Martiks dengan Matriks Perhatikan tabel 2.2 berikut! Tabel 2.2 (a) berisi data

mengenai banyaknya baju dan celana yang dibeli Indra dan Irfan. Sedangkan tabel 2.2 (b) berisi data mengenai harga baju dan celana per potongnya.

Penyelesaian : A=(2 2

3 1) dan B=(50.00040.000) , AB=(2×50.000 2×40.0003×50.000 1×40.000)=(180.000190.000)

Operasi di atas dinamakan perkalian matriks, yaitu dengan mengalikan tiap elemen pada baris matriks pertama dengan elemen pada kolom matriks kedua, kemudian hasilnya dijumlahkan. Perhatikan bahwa banyak baris matriks pertama sama dengan banyak kolom matriks kedua. Jadi, diperoleh:

12

Nama

BajuCelan

a Dina 2 2

Dini 3 1

BarangHarga per

potongBaju Rp.50.000,00Celana Rp.40.000,00

Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks Am×ndengan Bn×padalah sebuah matriks baru Cm×p

Am×n×Bn× p=Cm×p

C.Determian dan Invers MatriksPada pembahasan berikut ini, kita akan mempelajari cara

menentukan determinan dan invers matriks, khususnya matriks berordo 2 ×2, dan penggunaannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.1. Determian Matriks

Jika diketahui matriks A=[4 12 3 ] maka hasil kali antara 4 dan 3

dikurangi hasil kali 2 dan 1, yaitu 12 – 2 = 10 dinamakan determinan. Determinan sebuah matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen–elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu.Penulisan determian adalah dengan garis lurus.

A.Memahami determinan matriks ordo 2×2Khusus untuk matriks ordo 2×2, nilai determinannya

merupakan hasil kali elemen–elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali elemen–elemen pada diagonal samping

A=[a bc d ] maka determian matriks A adalah : det A=|A|=[a b

c d ]ad−bc

B.Memahami determinan matriks ordo 3×3Untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3, yaitu

dengan meletakkan lagi elemen–elemen kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga.

13

Jika A=[a b cd e fg h i ]maka determian matriks A adalah :

det A=|A|=[a b cd e fg h i ]

a bd eg h

¿a .e . i+b . f . g+c .d .h−c .d .g−a . f . h−b .d . i

¿

1. Invers Matriks Dalam perkalian bilangan real, a×1=1×a=a ,a∈R . Dalam hal ini,

1 adalah elemen identitas. Selain itu juga diketahui bahwa ab× b

a=1dengana ,b∈ Rdan b

a dikatakan saling invers.

A. Dua Matriks Saling InversInvers suatu matriks dapat digunakan untuk

memecahkan

sistem persamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A danB merupakan matriks persegi berordo sama dan berlakuAB=BA=I, maka B adalah invers A (B=A−1 )atau Aadalah invers B (A=B−1 )Berarti A dan B saling invers.

Contoh 2.27

Jika diketahui A=(3 42 3 ) dan B=( 3 −4

−2 3 )Apakah A dan B saling invers?

Jawab : AB=(3 42 3)( 3 −4

−2 3 )=(9−8 −12+126−6 −8+9 )=(1 0

0 1)=I

BA=( 3 −4−2 3 )(3 4

2 3)=( 9−8 12−12−6+6 −8+9 )=(1 0

0 1)=I

∴ AB=I , sehinnga Amerupakan invers BatauBmerupakaninversdari

A ( AdanB saling invers )

B.Menentukan invers persegi ordo2×2

14

Misalkan matriks persegi berordo 2 yang akan kita cari invernya adalah:

A=(a bc d)dan inversnya A−1=( p q

r s) ,maka :

A . A−1=I

(a bc d )(p q

r s )=(1 00 1)

(ap+br aq+bscp+dr cq+ds)=(1 0

0 1)

Diperoleh sistem persamaan linier dua variabel sebagai berikut :

ap+br=1cp+dr=0 diperoleh p= d

ad−bc dan r= −cad−bc

aq+bs=0cq+ds=1 diperoleh q= −b

ad−bc dan s= aad−bc

Sehingga :A−1=( p q

r s )

¿(d

ad−bc−b

ad−bc−c

ad−bca

ad−bc)= 1

ad−bc ( d −b−c a )

Dengan demikian diperoleh :jika A=(a b

c d) ,maka A−1= 1ad−bc ( d −b

−c a )= 1det A ( d −b

−c a )

C.Menentukan matriks ordo 3Sebelum mempelajari invers ordo 3, Anda harus paham

terlebih dulu mengenai minor, kofaktor, dan adjoin.1. Pengertian Minor

15

Misalkan matriks A=(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33)

Jika elemen–elemen pada baris ke–i, kolom ke–j dari matriks A dihapus, maka akan diperoleh matriks persegi berordo 2.

Determinan dari matriks persegi ordo 2 itu merupakan minor matriks Adan ditulis dengan lambang |M ij|disebut minor a ij.

Matriks ordo 3 memiliki minor sebanyak 9 buah. Jika baris pertama dan kolom pertama dihapus, maka:

(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33) diperoleh (a22 a23

a32 a33)

Sehingga minor a11adalah|M 11|=|a22 a23a32 a33|

Jika baris pertama kolom kedua dihapus, maka :

(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33) diperoleh (a21 a23

a31 a33)

Sehingga minor a12adalah|M 12|=|a21 a23a31 a33|

Jika baris pertama kolom ketiga dihapus, maka :

(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33) diperoleh (a22 a22

a32 a32)

Sehingga minor a13adala h|M 13|=|a21 a22a31 a32|

Demikian seterusnya sampai minor ke-9 atau |M 33|

2. Pengertian Kofaktor

16

Jika |M ij| adalah minor a ij dari matriks A, maka bentuk (−1 )i+ j|M ij| disebut Kofaktor dari a ij, sehingga :

Kofaktor a11adalah c11= (−1 )1+1|M 11|=¿ +M 11

Kofaktor a12adalah c12= (−1 )1+2|M 12|=¿ −M 12

Kofaktor a13adalah c13= (−1 )1+3|M 13|=¿ +M 13

Kofaktor a21adalah c21= (−1 )2+1|M 21|=¿ −M 21

Kofaktor a22adalah c22= (−1 )2+ 2|M 22|=¿ +M 22

Kofaktor a23adalah c23= (−1 )2+3|M 23|=¿ −M 23

Kofaktor a31 adalahc31= (−1 )3+1|M 31|=¿ +M 31

Kofaktor a32adalah c32= (−1 )3+2|M 32|=¿ −M 32

Kofaktor a33adalah c33= (−1 )3+ 3|M 33|=¿ +M 33

3. Pengertian AdjoinJika a ij adalah kofaktor dari a ij pada matriks A, maka

adjoin matriks A (disingkat adj A) ditentukan oleh:

Adj A=(C11 C21 C31

C12 C22 C32

C13 C23 C33) atau

Adj A=(+|a22 a23a32 a33| −|a21 a23

a31 a33| +|a21 a22a31 a32|

−|a12 a13a32 a33| +|a11 a13

a31 a33| −|a11 a12a31 a32|

+|a12 a13a22 a23| −|a11 a13

a21 a23| +|a11 a12a21 a22|)

18

Contoh soal :Tentukan Minor, Kofaktor, dan adjoin dari matriks

A=(2 3 10 −3 −25 −1 4 )

Jawab :1. Minor

minor a11=|M 11|=|−3 −2−1 4 |=(−3 )4−(−2 ) (−1 )=−12−2=−14

minor a12=|M 12|=|0 −25 4 |=0−(−2 )5=0−(−10 )=10

minor a13=|M 13|=|0 −35 −1|=0−(−3 )5=0−(−15 )=15

minor a21=|M 21|=|−3 1−1 4|= (−3 )4−1 (−1 )=−12−(−1 )=13

minor a22=|M 22|=|2 15 4|=8−5=3

minor a23=|M 23|=|2 35 −1|=2 (−1 )−15=−2−15=−17

minor a31=|M 31|=| 3 1−3 −2|=−6−1 (−3 )=−6−(−3 )=−3

minor a32=|M 32|=|2 10 −2|=2 (−2 )−0=−4

minor a33=|M 33|=|2 30 −3|=2 (−3 )−0=−6

2. Kofaktorc11= (−1 )1+1|M 11|=¿ −14c12= (−1 )1+2|M 12|=−10 c13= (−1 )1+3|M 13|=¿ 15c21= (−1 )2+1|M 21|=¿ −13

19

20

c22= (−1 )2+ 2|M 22|=¿ 3c23= (−1 )2+3|M 23|=¿ 17c31= (−1 )3+ 1|M 31|=¿ −3c32= (−1 )3+ 2|M 32|=¿ 4c33= (−1 )3+ 3|M 33|=¿ −6

3. Adjoin

Adj A=(C11 C21 C31

C12 C22 C32

C13 C23 C33)=(−14 −13 −3

−10 3 415 17 −6)

4. Invers Matriks Ordo 3 x 3

Jika A=(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33) dan det A≠o ,maka invers A adalah :

A−1= 1det A

∙ adj A

Contoh :

Carilah invers matriks A=(2 3 10 −3 −25 −1 4 )

Jawab :

det A=|2 3 10 −3 −25 −1 4 |2 3

0 −35 −1

¿ (2 ) (−3 ) (4 )+ (3 ) (−2 ) (5 )+ (1 ) (0 ) (−1 )− (1 ) (−3 ) (5 )−(2 ) (−2 ) (−1 )−(3 ) (0 ) (4 )

¿−24−30+0+15−4−0

¿−43

A−1= 1det A

∙adj A

21

¿ 1−43 (−14 −13 −3

−10 3 415 17 −6)

¿(1443

1343

343

1043

−343

−443

−1543

−1743

643

)

D. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-hariMatriks memudahkan membuat analisis mengenai suatu

masalah ekonomi yang mengandung bermacam-macam peubah. Matriks juga digunakan dalam menyelesaikan beberapa masalah operasi penyelidikan atau penelitian. Misalnya penyelidikan sumber minyak, kependudukan, dan lain-lain. Dalam program linier, analisis input-output baik dalam bidang ekonomi, statistika, maupun bidang pendidikan manajemen kimia, dan bidang teknologi lainnya.

Contoh :Yudi dan Galih membeli alat-alat tulis dikoperasi sekolahnya.

Yudi membeli 5 buah buah buku tulis dan 2 buah pensil. Galih membeli 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil. Harga sebuah buku tulis adalah RP.2.000,00 dan harga sebuah pensil adalah RP.1.000,00. Berapakah mereka harus membayar ?

Jawab :

A=(5 24 3)B=(20001000)

22

AB=(5×2000 2×10004×2000 3×1000)

¿(12.00011.000)

Rangkuman:

1. jika A=(a bc d)maka transpose matriks Aadalah A t=(a c

b d )∙2. Dua buah matriks dikatakan sama jika ordo kedua

matriks sama dan elemen–elemen yang seletak bernilai sama.

3. Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut sama. Cara menjumlahkan adalah dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak.

4. Perkalian matriks dengan bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan elemen–elemen matriks.

5. Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Misalnya: (a b

c d )(p qr s )=(ap+br aq+bs

cp+dr cq+ds)6. Determinan ordo 2 : det A=|A|=|a b

c d|=ad−bc

23

7. Invers matriks ordo 2: A−1= 1ad−bc ( d −b

−c a ) ∙

Latihan soal !

1. Jika ( 6 1622 12)=(2 −1

4 p )(4 3q2 −4) maka tentukan nilai 3 p+2q !

2. Jika (3 75 1)(2 0

4 3 a)=6(5 62 1)+(4 6

2 0), tentukan nilai 2 p!

3. Diketahui matriks A=( 5 22 x 3) ,B=(1 4

2 −2) , danC=(13 68 −14) .

Jika A×Bt=C tentukan nilai 3 x !

4. Diketahui matriks A=(−1 2−3 1) ,B=(1 0

0 3) , danC=(−4 62 −3) .

Tentukan : a. 2 A '+BC

b. 3C'− (AB ) '

5. Jika diketahui (2 00 2) ∙ x=(2 4

6 8)maka tentukan matriks x !

6. Diketuhi matriks C=(4 11 5) . Tentukan matriks D yang memenuhi

DC=I !

7. Jika A=(2 34 5)dan B=(2 5

4 3)maka tentukan A' ∙B adalah

8. Tentukan invers dari matriks P=( 3 1 3−4 2 −1−3 3 4 )!

9. Diketahui matriks A=(6 57 6)Nilai 2 A−1adalah

24

10.Diketahui matriks A=(2 43 5 )dan B=(1 3

5 7) Tentukan hasil dari ( AB−1 ) !

DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri, 2009. “Matematika 3 Program bahasa”. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Anwar, Cecep. 2008. “ Matematika 3 Program Ilmu Pengetahuan Alam “. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Yuliatmoko, Pangarso. 2008. “Matematika program bahasa”. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Retnaningsih, sri. 2009. “Matematika XII”. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

http://www.google.com/katamotivasi/williamarthurw

25

BIODATA KELOMPOK

Nama : Ade MulyatoTempat, : Cirebon, 05 September 1995Tanggal LahirAlamat : Ds. Sudikampiran Rt. 02 Rw. 01

Kec. Sliyeg Kab. Indramayu

E- mail : Ademul26@yahoo.co.id Moto : Pengetahuan adalah kekuatan.

Nama : Allycia Amanda SumaliTempat, : Cirebon, 02 Maret 1996Tanggal LahirAlamat : Ds. Patapan Blok Kliwon

RT. 04 RW. 08, Beber – Cirebon

E – Mail : Sachi.chan78@gmail.com Moto : Semua berawal dari impian

Nama : HayatunnisaTempat, : Cirebon, 17 Agustus 1996Tanggal LahirAlamat : Jl. Ponpes Syekh Bayanillah

Blok Grewal RT. 06 RW. 03Cirebon

E – Mail : ichachaya@yahoo.co.idMoto : Always living with thankful heart

DESKRIPSI KERJA KELOMPOK

Kami kelompok 5 yang beranggotakan Ade Mulyanto, Allycia Amanda Sumali, dan Hayatunnisa mengambil materi tentang

matriks. Dalam pembuatan buku ajar ini kami membagi tugas kepada setiap anggota agar tidak memakan waktu yang lama. Namun pada saat pelaksaan kami mengalami beberapa kendala, antara lain:

1. Kami belum terlalu mahir mengoprasikan komputer khususnya program MS.Word sehingga kami sedikit mengalami kesulitan.

2. Kami sulit membagi waktu dengan tugas dari mata kuliah yang lain.

3. Sarana dan prasarana yang kami miliki kurang memadai

Namun disamping itu, Alhamdulillah kami dapat menyelesaikan tugas proyek ini dengan baik dan tepat waktu. Serta kami mendapatkan pembelajaran yang baru dan insyaAllah berguna bagi kami untuk kedepannya. Kami mendapat sumber materi buku ini dari buku ajar kelas XII “Matematika 3 program bahasa”, “Matematika program studi Ilmu Pengetahuan Alam”.Tak lupa kami panjatkan puji dan syukur kepada Allah SWT dan mengucapkan banyak terimakasih kepada dosen pembimbing Bapak Dede Trie Kurniawan,S.si,M.pd.

A S I I I K

Ade, Allycia & IchaFKIP Matematika UNSWAGATI