wordpress.com · web viewinovasi pembelajaran matematika pembelajaran matematika realistik dosen...
TRANSCRIPT
INOVASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA
PEMBELAJARAN MATEMATIKA REALISTIK
Dosen Pengampu : Aryo Andri Nugroho, S.Si, M.Pd
Disusun oleh:
1. Ary Wibowo (11310319)
2. Rizki Novita (11310330)
3. Anggun Octora Yuniar (11310347)
4. Ida Safitri (11310350)
Kelas 3H
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PGRI
SEMARANG
2012
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam pembelajaran matematika selama ini, dunia nyata hanya dijadikan tempat
mengaplikasikan konsep. Siswa mengalami kesulitan matematika di kelas. Akibatnya,
siswa kurang menghayati atau memahami konsep-konsep matematika, dan siswa
mengalami kesulitan untuk mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Salah satu karakteristik matematika adalah mempunyai objek yang bersifat abstrak. Sifat
abstrak ini menyebabkan banyak siswa mengalami kesulitan dalam matematika. Untuk
itu kita sebagai calon guru harus mengupayakan bagaimana caranya supaya terjadi
perubahan pandangan oleh peserta didik yang asalnya menganggap bahwa matematika
itu sulit menjadi beranggapan bahwa matematika ternyata menyenangkan dan mudah
untuk dipelajari. Hal tersebut tentunya tidak akan pernah terjadi jika kita menggunakan
model pembelajaran matematika yang kurang tepat. Jenning dan Dunne (dalam
Zainurie,2007) mengatakan bahwa, kebanyakan siswa mengalami kesulitan dalam
mengaplikasikan matematika ke dalam situasi kehidupan real. Sedangkan menurut
Soedjadi dkk (dalam Zainurie, 2007) hal lain yang menyebabkan sulitnya matematika
bagi siswa adalah karena pembelajaran matematika kurang bermakna. Guru dalam
pembelajarannya di kelas tidak mengaitkan dengan skema yang telah dimiliki oleh siswa
dan siswa kurang diberikan kesempatan untuk menemukan kembali dan mengkonstruksi
sendiri ide-ide matematika. Mengaitkan pengalaman kehidupan nyata anak dengan ide-
ide matematika dalam pembelajaran di kelas penting dilakukan agar pembelajaran
bermakna.
Salah satu pembelajaran matematika yang berorientasi pada matematisasi
pengalaman sehari-hari (mathematize of everyday experience) dan menerapkan
matematika dalam kehidupan sehari-hari adalah pembelajaran Matematika Realistik
(Zainuri,2007).
Soedjadi dalam Sudarsiah (2005:2) mengemukakan bahwa, di negeri Belanda
telah dikembangkan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR). Dalam pendekatan
PMR, pembelajaran matematika lebih memusatkan kegiatan belajar pada siswa dan
lingkungan serta bahan ajar yang disusun sedemikian sehingga siswa lebih aktif
mengkonstruksi atau membangun sendiri pengetahuan yang akan diperolehnya.
Oleh karena itu pada pembahasan kali ini kami mencoba mengulas tentang
Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) yang kami anggap sebagai salah satu solusi
yang dapat mengatasi kesulitan peserta didik dalam belajar matematika.
B. Rumusan Masalah
Dari pernyataan dalam latar belakang di atas, maka akan timbul berbagai pertanyaan
yang dapat dijadikan acuan untuk rumusan masalah, diantaranya sebagai brerikut :
1. Tujuan dari adanya Inovasi Pembelajaran Matematika?
2. Apakah pengertian Pembelajaran Matematika Realistik?
3. Apa tujuan Pembelajaran Matematika Realistik?
4. Bagaimanakah karakteristik Pembelajaran Matematika Realistik?
5. Apa sajakah langkah-langkah yang ditempuh dalam pembelajaran realistik?
6. Apa sajakah kelebihan dan kelemahan pembelajaran realistik?
7. Mengapa perlu diterapkan pendekatan pembelajaran realistik pada pokok bahasan
sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ?
C. Pemecahan Masalah
1. Makalah ini menjelaskan Tujuan dari adanya Inovasi Pembelajaran Matematika.
2. Makalah ini menjelaskan tentang pengertian Pembelajaran Matematika Realistik.
3. Makalah ini menjelaskan tujuan Pembelajaran Matematika Realistik
4. Makalah ini menjelaskan karakteristik Pembelajaran Matematika Realistik.
5. Makalah ini menjelaskan langkah-langkah yang ditempuh dalam pembelajaran
realistik.
6. Makalah ini menjelaskan kelebihan serta kelemahan pembelajaran realistik.
7. Makalah ini menjelaskan penerapan pendekatan pembelajaran realistik pada pokok
bahasan sistem persamaan linear dua variabel.
BAB II
PEMBAHASAN
A. LANDASAN TEORI
1. Tujuan Inovasi Pembelajaran Matematika
Secara umum, inovasi berarti suatu ide, produk, informasi teknologi, kelembagaan,
perilaku, nilai-nilai, dan praktik-praktik baru yang belum banyak diketahui, diterima, dan
digunakan/diterapkan oleh sebagian besar warga masyarakat dalam suatu lokalitas
tertentu, yang dapat digunakan atau mendorong terjadinya perubahan-perubahan di
segala aspek kehidupan masyarakat demi terwujudnya perbaikan mutu setiap individu
dan seluruh warga masyarakat yang bersangkutan.
Menurut Romberg dalam (Suherman, 2003), dalam pendidikan khususnya
pendidikan matematika , individu atau kelompok dapat membuat suatu produk baru
untuk memperbaiki suatu pembelajaran,produk ini mungkin berupa produk materi
pembelajaran baru,teknik pembelajaran baru, ataupun program pembelajaran baru.
Pengembangan produk baru ini melibatkan proses engineering dengan cara menemukan
bagian bagian tertentu dan meletakkannya kembali untuk membuat suatu bentuk baru.
Ada empat tahap utama dalam pengembangan tersebut yaitu ;desain hasil , kreasi
hasil, Implementasi hasil, dan penggunaan hasil .Bentuk inovasi tersebut dimakhsudkan
untuk mengoptimalkan hasil proses belajar mengajar yang ditandai dengan
meningkatnya kemampuan siswa dalam menyerap konsep konsep, prosedur , dan
algoritma matematika
Pengembangan pembelajaran matematika model pembelajaran matematika realistik
merupakan salah satu usaha menciptakan inovasi pembelajaran guna meningkatkan
kemampuan siswa memahami matematika. .Usaha usaha ini dilakukan sehubungan
dengan adanya perbedaan antara ‘materi’ yang di cita citakan oleh kurikulum tertulis
(intended currriculum) dengan ‘materi yang di ajarkan’ (implemented curriculum) , serta
perbedaan antara ‘materi yang diajarkan’ dengan materi yang ‘ dipelajari siswa’(realized
curriculum).
2. Pengertian Pembelajaran Matematik Realistik
Menurut zainurie dalam (Soviawati, 2011) matematika realistik adalah
matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman
siswa sebagai titik awal pembelajaran. Masalah-masalah realistik digunakan sebagai
sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal.
Pembelajaran matematika realistik di kelas berorientasi pada karakteristik-
karakteristik Realistic Mathematics Education (RME), sehingga siswa mempunyai
kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika atau pengetahuan
matematika formal. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan mengaplikasikan konsep-
konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari atau masalah dalam
bidang lain.
Realistic Mathematics Education (RME) merupakan teori belajar mengajar
dalam pendidikan matematika. Teori RME pertama kali diperkenalkan dan
dikembangkan di Belanda pada tahun 1970 oleh Institut Freudenthal. Teori ini
mengatakan bahwa matematika harus dikaitkan dengan realita dan matematika
merupakan aktivitas manusia. Ini berarti matematika harus dekat dengan anak dan
relevan dengan kehidupan nyata sehari-hari. Pembelajaran matematika realistik pada
dasarnya adalah pemanfaatan realitas dan lingkungan yang dipahami peserta didik
untuk memperlancar proses pembelajaran matematika, sehingga mencapai tujuan
pendidikan matematika secara lebih baik dari pada yang lalu. Yang dimaksud dengan
realita yaitu hal-hal yang nyata atau kongret yang dapat diamati atau dipahami peserta
didik lewat membayangkan, sedangkan yang dimaksud dengan lingkungan adalah
lingkungan tempat peserta didik berada baik lingkungan sekolah, keluarga maupun
masyarakat yang dapat dipahami peserta didik. Lingkungan dalam hal ini disebut juga
kehidupan sehari-hari (Soviawati, 2011).
3. Tujuan pembelajaran matematika realistik
Menurut Suherman( 2003 :143), dalam pembelajaran sistem RME memiliki
beberapa tujuan yang hendak di capai,antara lain:
a. Menciptakan matematika agar lebih menarik, lebih relevan dan bermakna
terhadap kehidupan, tidak terlalu formal dan tidak terlalu abstrak.
b. Mencapai keberhasilan pembelajaran dengan mempertimbangkan tingkat
kemampuan siswa
c. Menciptakan belajar matematika yang berdasar pada” learning by doing”
d. Memunculkan inovasi dalam penyelesaian masalah matematika dengan tanpa
menggunakan penyelesaian (algoritma) yang baku
e. Menciptakan pembelajaran dengan konteks sebagai titik awal pembelajaran
tersebut.
4. Karakteristik Pembelajaran Matematika Realistik
Karena matematika realistik menggunakan masalah realistik sebagai pangkal tolak
pembelajaran maka situasi masalah perlu diusahakan benar-benar riil atau sesuai
dengan pengalaman siswa, sehingga siswa dapat memecahkan masalah dengan cara-
cara informal. Menurut Marpaung dalam (Budi, 2008) mengungkapkan beberapa ciri
pendidikan matematika realistik antara lain:
1) pembelajaran berpusat pada siswa
2) Siswa dilatih untuk aktif berfikir dan berbuat
3) pembelajaran dimulai dari masalah-masalah yang nyata
4) siswa diberi kesempatan mengembangkan strategi belajarnya dengan berinteraksi
dan bernegosiasi dengan kawan atau gurunya dan guru membantunya
5) Siswa dibimbing pada pembentukan konsep penyelesaian permasalahan
6) menekankan proses reinvensi atau rekonstruk
7) guru hanya berperan sebagai fasilitator atau manejer kelas.
5. Langkah-langkah Pembelajaran Realistik.
Menurut Supinah dan Agus D.W (2008), langkah-langkah pembelajaran
matematika realistik adalah sebagai berikut :
1. Memulai pembelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang real bagi siswa
sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera
terlibat dalam pembelajaran secara bermakna.
2. Permasalahan yang diberikan harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin
dicapai dalam pembelajaran tersebut.
3. Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal
terhadap persoalan/permasalahan yang diajukan.
4. Pembelajaran berlangsung secara interaktif, siswa menjelaskan dan memberikan
alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa
lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari
alternatif penyelesaian yang lain, dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah
yang ditempuh atau terhadap hasil pembelajaran
Sedangkan menurut Nyimas Aisyah, dkk (2007: 7.27), langkah-langkah
pembelajaran matematika realistik yaitu :
1) Persiapan
a. Menentukan masalah kontekstual yang sesuai dengan pokok bahasan yang
akan diajarkan.
b. Mempersiapkan model atau alat peraga yang dibutuhkan.
2) Pembukaan
a. Memperkenalkan masalah kontekstual kepada siswa.
b. Meminta siswa menyelesaikan masalah dengan cara mereka sendiri.
3) Proses Pembelajaran
a. Memperhatikan kegiatan siswa baik secara individu ataupun kelompok.
b. Memberi bantuan jika diperlukan.
c. Memberi kesempatan kepada siswa untuk menyajikan hasil kerja mereka
dan mengomentari hasil kerja temannya.
d. Mengarahkan siswa untuk mendapatkan strategi terbaik untuk
menyelesaikan masalah.
e. Mengarahkan siswa untuk menentukan aturan atau prinsip yang bersifat
umum.
4) Penutup
a. Mengajak siswa menarik kesimpulan tentang apa yang telah mereka
lakukan dan pelajari.
b. Memberi evaluasi berupa soal matematika dan pekerjaan rumah.
6. Kelebihan dan Kelemahan Pembelajaran Realistik
Kelebihan pembelajaran realistik diantaranya :
1. Peserta didik dapat membangun sendiri pengetahuannya.
2. Suasana pembelajaran lebih menyenangkan karena menggunakan realitas
kehidupan sehingga membuat peserta didik tidak bosan
3. Melatih mental atau keberanian peserta didik untuk mengemukakan jawaban
atau pendapatnya.
4. siswa juga lebih aktif dan kreatif dalam menyampaikan idenya, dapat
menggali potensi dirinya dalam mengerjakan soal, sementara itu pengetahuan
baru yang dibangun siswa berasal dari seperangkat ragam pengalaman sehari
hari akan lebih lama di ingat dari pada secara menyeluruh didapat dari guru.
Kelemahan pembelajaran realistik diantaranya :
1. Membutuhkan waktu yang lama.
2. Siswa yang pandai kadang tidak sabar menanti jawabannya terhadap teman
yang belum selesai.
3. Membutuhkan alat peraga yang sesuai dengan situasi pembelajaran saat itu.
7. Penggunaan Pendekatan Realistik dalam Pokok Bahasan Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
Dewasa ini terdapat beberapa masalah ataupun kesulitan dalam pemahaman
sistem persamaan linear dua variabel. Diantara letak kesulitannya adalah
menentukan nilai dari variabel-variabel yang ada dalam persamaan SPLDV.
Selain itu peserta didik juga kesulitan dalam menyelsaikan soal cerita dalam
SPLDV, karena siswa harus mengkontruksi soal ke dalam model matematika
yaitu persamaan linear dua variabel.
Untuk mengatasi kesulitan dalam materi tersebut, maka penulis mencoba
menggunakan pendekatan realistik dengan harapan peserta didik mampu
menentukan nilai variabel dengan pengalaman sehari-hari.
BAB III
PENUTUP
Keimpulan
Dari pembahasan tentang pandekatan RME tersebut dapat diambil kesimpulan
bahwa salah satu karakteristik matematika adalah mempunyai objek yang bersifat abstrak.
sehingga menyebabkan banyak peserta didik mengalami kesulitan dalam belajar
matematika.Untuk itu diperlukan semacam upaya inovasi pembelajaran sehingga
pembelajaran matematika dapat berlangsung semenarik mungkin dan menjadikan siswa
memahami materi yang diajarkan seutuhnya.Salah satu pembelajaran yang dapat digunakan
adalah model pembelajaran realistik / RME dimana guru mengajak peserta didik untuk
berhadapan dengan hal hal yang bersifat real atau nyata dalam menyelesaikan persoalan
persoalan yang ada pada matematika dan melatih siswa menyusun sendiri matematika
formalnya.
DAFTAR PUSTAKA
Jacobsen, David A, dkk.2009. Methods or te1aching(terjemahan khoirul anam
dkk).Yogyakarta : Pustaka Pelajar
Jurnal pendidikan matematika, volume 3, nomer 1, jauari 2009
Poerwadarminta.W.J.S. 2005. Kamus Umum BahasaIndonesia (edisi ketiga). Jakarta : Balai
Pustaka
Riyanto, Yatim. 2008. Paradigma Baru Pembelajaran. Surabaya : Kencana Prenada Media
Group
Student’s responses to the realistic mathematics teaching approach in junior secondary school
in indonesia (jurnal internasional)
Suharso dan Ana Retnoningsih.2005. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Semarang : Widya
Karya)
Suherman,Erman dkk.2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.Bandung :
Universitas Pendidikan Indonesia
Suprijono, Agus. 2010. Cooperatif Learning Teori dan Aplikasi PAIKEM. Yogyakarta :
Pustaka Pelajar
Aplikasi Pembelajaran Menggunakan RME
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan Pendidikan : Sekolah Menengah Pertama
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : VII/1
Materi : Sistem Persamaan Linier dua variabel
Alokasi Waktu : 2 x 40 menit
A. Standar kompetensi
Memahami system persamaan linier dua variable dan menggunakannya dalam
pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
1. Menyelesaikan system persamaan linier dua variable
2. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan system
persamaan linier dua variable
3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan system
persamaan linier dua variable dan penafsirannya
C. Indikator
1. Menyebutkan perbedaan PLDV dan SPLDV
2. Menyatakan variable dengan variable lain suatu PLSV
3. Mengenali SPLDV dalam berbagai bentuk dan variable
4. Mengenal variable dan koefisien SPLDV
5. Membedakan akar dan bukan akar SPL dan SPLDV
6. Menentukan penyelesaian SPLDV dengan substitusi, eliminasi dan grafik
7. Membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang melibatkan SPLDV
D. Tujuan pembelajaran
dapat menyebutkan perbedaan persamaan linear dua variabel dan system
persamaan linear dua variabel;
dapat mengenal sistem persamaan linear dua variabel dalam berbagai bentuk
dan variabel;
dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
substitusi dan eliminasi.
dapat membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua variable
dapat menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya.
E. Materi
Persamaan linear dua variable (PLDV) adalah persamaan yang memuat dua variable dan masing – masing variable berpangkat satu.Bentuk umum dari PLDV yaitu ax+by+c = 0 atau ax+by=c
Sistem persamaan linier dua variable(SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier
dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan
hanya memiliki satu penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV:
Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Menggunakan :
A. Metode Grafik
B. Metode Subtitusi
C. Metode Eliminasi
D. Metode Campuran
F. MODEL PEMBELAJARAN
1. Setting Pembelajaran : Secara berkelompok
2. Model Pembelajaran : Matematika Realistik
3. Materi Prasyarat : Persamaan linier satu variable
4. Media : Lembar Kerja Siswa (LKS)
G. Langkah-langkah Pembelajaran :
1. Pendahuluan
a. Guru melakukan apersepsi dari pelajaran sebelumnya tentang
persamaan linier satu variabel.
b. Guru menginformasikan tentang materi pelajaran apa yang akan
dibahas dan model pembelajaran yang akan diterapkan, penggunaan
lembaran kerja siswa (LKS) beserta aktivitas yang akan dikerjakan
siswa dalam pembelajaran.
c. Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok dengan jumlah maksimum
5-6 orang dalam satu kelompok
d. Sebagai motivasi dilakukan dengan demonstrasi tentang realistik
berhubungan dengan sistem persamaan linier dua variabel.
Misalnya : Dengan cara memperagakan ketika membeli alat tulis di
sebuah koperasi,kemudian mengubah barang tersebut menjadi sebuah
persamaan yang kemudian akan diselesaikan dengan sistem persamaan
linier dua variabel.
2. Kegiatan Inti
Kegiatan Guru dan Kegiatan Siswa
a. Menyajikan masalah realistik yang berhubungan dengan sistem
persamaan linier dua variabel. (LKS) seperti soal No. 1 dan No. 2.
b. Guru dengan peran sebagai fasilitator memberi bantuan pada siswa
untuk memahami masalah realistik/ sehari –hari yang nyata dipahami
oleh siswa.
c. Guru sebagai fasilitator memandu siswa dan berkeliling dari kelompok
yang satu ke kelompok yang lain serta mengawasi dan memberi
motivasi bagi siswa agar dapat menemukan sendiri model matematika
yang sesuai untuk menyelesaikan masalah.
d. Meminta salah seorang siswa untuk menyajikan model matematika
dari permasalahan dan cara penyelesaian soal nomor 1 di depan kelas.
e. Memberi kesempatan pada beberapa orang siswa yang lain untuk
menyajikan model matematika dari permasalahan dengan memakai
variabel lain yang berbeda.
f. Memberi kesempatan pada siswa untuk menanggapi dan memilih
model matematika yang sesuai dan benar.
g. Guru melakukan refleksi dan evaluasi membimbing siswa hingga
sampai memahami konsep matematika formal.
h. Guru melakukan hal yang sama pada soal nomor 2.
i. Berdasarkan pengalaman siswa dan dengan menggunakan pemodelan
dari soal nomor 1 guru meminta siswa untuk menyelesaikan soal
nomor 2.
j. Berdasarkan soal nomor 1, Guru membimbing siswa untuk
menemukan bentuk model matematika yang sesuai .
k. Secara berkelompok siswa menyelesaikan masalah realistik (LKS) soal
nomor 1dan nomor 2 dengan tahapan kegiatan yang dilakukan siswa
sebagai berikut :
Membaca dan memahami permasalahan sehingga diharapkan
siswa dapat menuliskan apa yang diketahui, apa yang
ditanyakan, pemodelan dan cara penyelesaiananya.
Merumuskan model dan memilih metode yang tepat untuk
menyelesaikan dari masalah realistik yang dilanjutkan dengan
menyajikannya di depan kelas.
3. Kegiatan Penutup
Guru memberikan Tugas Rumah
Siswa dianjurkan untuk membaca dan memahami materi pelajaran
pertemuan berikutnya
4. Alat Peraga
Buku,
Pensil,
Jangka, dan
Lain – lain.
5. Metode dan Model Pembelajaran Model pembelajaran yang digunakan: pembelajaran matematika
realistik dengan pendekatan realistik Metode pembelajaran yang digunakan: menggunakan demonstrasi dan
ceramah
6. Evaluasi
Aspek yang dinilai
a. Aspek Kognitif : Dapat menyebutkan pengertian persamaan linier 2
variabel dan serta mampu menyelesaikan soal-soal masalah sehari –
hari yang berkaitan dengan persamaan linier 2 variabel melalui
pemodelan matematika
b. Aspek Afektif
Keaktifan dalam diskusi kelas, memperhatikan secara seksama
jalannya diskusi, dan keikutsertaan dalam menyimpulkan hasil diskusi
dan aktif menyelesaikan tugas rumah.
Jenis Tagihan :
LKS
Uang Anisa Rp 150.000,- lebihnya dari uang Budi. Jika tiga kali uang Aprita
ditambah dua kali uangnya Budi jumlahnya adalah Rp 950.000,-. Tentukan
besar masing-masing uang Anisa Budi!
Semarang, November 2012
Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Kelas
(........................) (.........................)
NIP................... NIP.................
LEMBAR KERJA SISWA
(LKS)
Sistem Persamaan linier dua Variabel
SOAL !!!
1. Suatu hari Ria membeli 2 jangka dan 2 buku tulis dengan harga Rp 14.000,-, sedangkan Ika membeli 1 jangka dan 3 buku tulis dengan harga Rp 17.000,-. Berapa harga 2 jangka dan 1 buku?
2. Harga 8 buku tulis dan 6 pulpen Rp 14.400,00 dan harga 6 buku tulis dan 5 pulpen Rp
11.800,00. Berapa jumlah harga 5 buku tulis dan 8 buah pulpen?
3. Harga 2 penggaris dan 3 jangka Rp 32.000,00 sedangkan 3 penggaris dan 2 jangka Rp
33.000,00. Berapa harga 1 penggaris dan 5 jangka?
4. Amri membeli 1 pulpen dan 1 buku Rp 2000,00 di toko yang sama Munza membeli 5
pulpen dan 2 buku seharga Rp 7000,00. Berapa harga 1 buah pulpen?
5. Harga 1 penggaris dan 1 pensil Rp 3.000,00 sedangkan 2 penggaris dan 3 pensil Rp
7.000,00 maka harga 4 penggaris dan 5 pensil?
6. Risty membeli 5 pulpen dan 3 buku Rp 12.000,00 ditoko yang sama Yohanes
membeli 5 pulpen dan 2 buku Rp 10.000,00. Berapa harga 1 pulpen dan 1 buku?
LAMPIRAN
MATERI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Tentunya anda masih ingat tentang persamaan linier satu variable (PLSV) , yaitu
persamaan yang memuat satu variable, dan pangkat dari variabelnya adalah satu.
Nah, sekarang perhatikan persamaan x + 4y = 8, memiliki dua variable yaitu x
dan y, serta masing – masing variable berpangkat satu. x + 4y = 8 merupakan
PLDV
Pengertian :
Sistem persamaan linier dua variable(SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier
dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan
hanya memiliki satu penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV:
a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real
Berikut ini ada beberapa contoh SPLDV :
Kesimpulan :
Persamaan linear dua variable (PLDV) adalah persamaan yang memuat dua variable dan masing – masing variable berpangkat satu.
Bentuk umum dari PLDV yaitu ax+by+c = 0 atau ax+by=c
1. x + y= 3 dan 2x – 3y = 1
2. 5x + 2y = 5 dan x= 4y – 12
3. 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x – 2y = 4
Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Menggunakan :
E. Metode Grafik
Dalam metode grafik, untuk menentukan akaar – akar SPLDV dapat dilakukan
melalui langkah – langkah berikut ini :
Contoh :
Selesaikan system persamaan di bawah ini dengan metode grafik :
2x + 3 y = 12
4x - 3y - 6 = 0
Penyelesaian :
2x + 3y = 12 * 4x-3y-6 = 0 4x-3y = 6
Titik potong dengan sumbu x, y = 0 Titik potong dengan sumbu x, y = 0
2x + 3.0 = 12 4x – 3.0 = 6
2x = 12 4x = 6
x = 6, diperoleh titik (6, 0) x = 1 , diperoleh titik ( 1 ,0)
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 * Titik potong dengan sumbu y, x = 0
I.0 + 3y = 12 4.0 – 3y = 6
3y = 12 - 3y = 6
1. Siapkanlah system koordinat kartesius lengkap dengan skalanya
2. Lukislah masing – masing PLDV pada system koordinat kartesius, dengan
memperhatikan titik – titik potongnya dengan sumbu x dan sumbu y
Suatu garis memotong sumbu x, jika y = 0
Suatu garis memotong sumbu y, jika x = 0
3. Berdasarkan grafik perhatikan titik potong antara kedua garis lurus.Titik
potong dari kedua garis itu merupakan HP dari SPLDV tersebut
y= 4, diperoleh titik (0, 4) y = -2, diperoleh titik (0, -2)
Grafik:
y
4
(3,2)
0 1,5 6 x
-2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (3,2) titik potong kedua garis.
F. Metode Substitusi
Substitusi berarti mengganti,
Langkah – langkah metode substitusi sebagai berikut :
1. Menyatakan variable dalam variable lain,missal menyatakan x dalam y atau sebaliknya
2. Mensubstitusikan persamaan yang telah kita ubah dengan persamaan yang lain
3. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variable x atau y ke salah satu persamaan
Contoh :
1. Tentukan HP dari persamaan x+2y = 4 dan 3x+ 2y = 12
Penyelesaian :
x + 2y = 4, kita nyatakan x dalam y, diperoleh: x = 4 – 2y
Substitusikan x = 4 – 2y ke dalam persamaan 3x + 2y = 12
3x + 2y = 12
3( 4 – 2y ) + 2y = 12
12 – 6y + 2y =12
-4y = 0
y=0
Substitusikan y=0 ke persamaan x=4 – 2y
X = 4 – 2. 0
X = 4
Jadi HPnya adalah {(4,0)}
2. Selesaikanlah system persamaaan di bawah ini dengan metode substitusi.
2x – y = 8
3x + 4y = 10
Jawab:
Mula – mula satu dari dua persamaan di atas diubah sebagai berikut:
2x – y = 8
- y = 8 - 2x
y = -8 + 2x …………………………………………(*)
Substitusikan nilai y = -8 + 2x ke persamaan lainnya.
3x + 4y = 10
3x + 4(-8 + 2x ) = 10
3x -32 +8x = 10 (uraikan yang ada di dalam kurung )
3x + 8x =10 + 32 ( kedua ruas ditambah 32 )
11x = 42
X =
Untuk mencari nilai y, kita substitusikan nilai x = ke persamaan (*), diperoleh:
Y= -8 +2x = -8 + 2( )=
Jadi, HPnya adalah ( , )
G. METODE ELIMINASI
Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variable. Pada cara eliminasi , koefisien
dari variable harus sama atau dibuat menjadi sama.
R aakakn ansesuai
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut ini.
3x – 2y = 8
4x + y = 7
Jawab:
a. Mengeliminasi variable x, diperoleh:
3x + 2y = 8 x 4 12x – 8y = 32
Langkah – langkah :
1. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c2. Samakan koefisien dari variable yang akan dihilangkan, melalui cara
mengalikan dengan mengalikan bilangan yang sesuai (tanpa memperhatikan tanda)
3. Jika koefisien dari variable bertanda sama ( sama positif atau sama negative), maka kurangkan kedua persamaan.Jika koefisien dari variable yang dihilangkan tandanya berbeda (positif dan negative) maka jumlahkan kedua persamaan.
4x + y = 7 x 3 12x + 3y = 21
-11y = 11
y = -1
b. Mengeliminsai variable y, diperoleh :
3x – 2y = 8 x 1 3x – 2y = 8
4x + y = 7 x 2 8x + 2y = 14
11x = 22
x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2,-1)
H. METODE GABUNGAN
Merupakan gabungan antara metode substitusi dan eliminasi.
Contoh soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x – 3y = 17 dan 3x + y = 9
Pembahasan :
mengeliminasi x
Karena koefisien x belum sama, maka kita buat sama
2x – 3y = 17 x 3 6x – 9y = 51
3x + y = 9 x 2 6x + 2y = 18
-11y = 33
y=-3
Substitusikan y = -3 ke persamaan 3x + y =9
3x + (-3) = 9
3x = 12
x = 4
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah { (4, -3 ) }