Volume Benda Pejal : Lempengan , Cakram, Cincin

Integral merupakan salah satu cara yang diciptakan untuk menentukan suatu luas dibawah suatu kurfa funsi f (x). Tetapi penggunaan integral berlanjut lebih jauh di luar penerapan untuk menentukan luas itu. Hamper setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan (pemotongan) sesuatu menjadi potongan-potongan yang lebih kecil, menghampiri tiap bagian, melakukan penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri dan integrasikan dapat digunakan untuk menentukan volume benda pejal asalkan volume dari setiap potogan mudah dhampiri.

Sebelum berlanjut lebih lanjut mari kita sedikit mebahas mengeai apa itu volume. Dimulai dengan benda sederhana yang disebut tabung lingkaran tegak diantaranya seperti Gambar II.1. Dalam tiap kasus volue diperoleh dari menggerakan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah alas tersebut. Dan pada tiap kasusu volume benda didevinisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h yakni,

V=A .h

Gambar II.1

Kemudian perhatikan sebuah benda pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus terhadap suatu garis tertentu memiliki luas yang diketahui. Khususnya jika garis tersebut adalah sumbu x dan andaikan bahwa luas penampang di x adalah A(x ) dengan a ≤ x≤ b (Gambar II.2).

Gambar II.2

Buatlah partisi selamg [a,b] dengan menisipkan titik-titk a=x0<x1<x2<…< xn=b dan benda menjadi lempengan –lempengan tipis (slabs) (Gambae II.3). volume ∆ V i suatu lempengan kira-kira seharusnya sama seperti volume tabung, yakni

∆ V i ≈ A(x i)∆ x i

Gambar II.3

(ingatlah bahwa x i disebut titik contoh, adalah sembarangan bilangan pada selang

[x i−1 , x i]). Dan “volume” benda pejal, V, seharusnya dapat dihampiri dengan jumlah Rieman.

V=∑i=1

n

A (x i)∆ x i

Bilamana norma partisi mendekati nol, kita memperoleh suatu integral tentu ; integral ini kita definisikan sebagai volume benda.

V=∫a

b

A ( x ) dx

Benda Putar : Metode Caktam

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada suatu sisi dari sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan

membentuk sebuah benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar.

Sebagai ilustrasi pergatikan gambar berikut.

Gambar II.4

Contoh 1 Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh R yang dibatasi oleh kurva y=√x, sumbu x, dan garis x=4 apabila R diputar mengelilingi sumbu x.

Penyelesaian Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diperagakan pada bagian kiri gambar. Bila diputar mengelilingi sumbu x, daerah ini akan membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah cakram, benda tipis yang berbentuk seperti mata uang.

Gambar II.5

Dengan mengingat volume suatu tabung lingkaran tegak adalah π r2h, kita

hampiri volume cakram ini ∆ V yaitu ∆ V =π (√ x)2∆ x, dan kemudian integralkan.

V=π∫0

4

x dx=π [ x2

2 ]0

4

=π42

2=8π=25,13

Contoh 2 Tentukan volume benda yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3, sumbu y, dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y (Gmabar 6)

Gambar II.6

Penyelesaian Di sini kita mengiris secara mendatar, yang membuat y pilihan

yang cocok sebagai peubah integrasi. Perhatikan bahwa y=x3 serta x=3√ y dan

∆ V =π ( 3√ y)2∆ y.

V=π∫0

3

y2 /3 dx=π [ 35

y5 /3]0

3

=π9. 91/3

5=11,76

Metode Cincin

Ada kalanya pengisian suatu benda putar menghasilkan cakram-cakram dengan libang di tengahnya. Daerah yang demikian kita sebut cincin. Lihat diagram rumus volume yang menyertainya, yang diperlihatkan dalam gambar 7

Gambar II.7

Contoh 3 Tentukan volume benda putar yang dibentuk dengan memutar mengelilingi sumbu x, daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola y=x2 dan

y2=8 x.

Penyelesaian

Gambar II.8

Maka volume adalah:

V=π∫0

2

(8 x−x4)dx=π [ 8 x2

2−

x5

5 ]0

2

=π485

=30,16

Contoh 4 Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh x=√4− y2 dan jari

jari dalam adalah 1. Gambar 9 memperagakan penyelesaian. Integral tersebut dapat disederhanakan.

Gambar II.9

Bagian yang terletak diatas sumbu x mempunyai volume sama seperti bagian di bawahnya(yang dinyatakan dalam suatu integral genap). Jadi, kita mengintegrasikan dari 0 sampai 2 dan kemudian hasilnya dikaliakan dua. Juga integran menyederhanakannya menjadi

V=π∫−2

2

[(1+√4− y2)2−12 ]dy

¿2 π∫0

2

[2√4− y2¿+4− y2 ]dy

¿2 π+16/3

Benda lain yang penampangnya diketahui Sedemikian jauh benda kita memiliki penampang lingkaran. Namun, metode kita tetap bekerja dengan baik untuk benda-benda yang penampangnya berupa bujursangkar atau segitiga. Sesungguhnya yang kita perlukan ialah bahwa kita dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut, karena dalam kasusini kita juga dapat menghitung volume irisaan sebuah lempengan dengan penampang ini. Volume selanjutnya ditentukan dengan cara integrasi.

Contoh 5 Andaikan alas sebuah benda pejal berupa daerah rata pada kuadran pertama yang dibatasi oleh y=1−x2/4, sumbu x dan y. anggaplah penampang yang tegak lurus pada sumbu x berbentuk bujur sangkar. Tentukan volume benda ini.

Penyelesaian Apabila kita iris benda ini secara tegak lurus terhadap sumbu x, kita memperoleh kotak-kotak bujur sangkar tipis (Gambar10).

Gambar II.10

Contoh 6 alas sebuah benda berupa daerah diantara sebuah busur y= sin x dan sumbu x. tapi penampangnya tegak lurus terhadap sumbu x berupa segitiga sama sisi yang berdiri pada alas ini. Carilah volume benda ini.

Penyelesaian kirta misalkan sebuah segitiga sama sisi memiliki sisi u maka luas dari segitiga tersebut adalah √3u2/4 (Gambar 11).

Gambar II.11

Kita lanjutakn seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 12

Gambar II.12

Untuk melakuakan integrasi yang ditunjukan, kita menggunakan rumus setengah

sudut sin2 x=(1−cos2 x)/2.