Vektor satuan

Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjang atau besarnya sama dengan satu. Dalam suatu ruang dengan sumbu koordinat X, Y, dan Z digunakan vektor satuan i, j , dan k yang masing-masing mempunyai panjang atau besar satu tanpa satuan, serta berturut-turut menunjuk ke arah sumbu X, Y, dan Z. Misalkan sebuah vektor A terletak pada sebuah bidang dan mempunyai komponen Ax dan Ay, maka vektor A dapat dituliskan menjadi:

A = Axi + Ayj

Jika A merupakan vektor yang terletak pada sebuah ruang 3 dimensi, maka vektor tersebt mempunyai tiga komponen vektor, yaitu Ax, Ay, dan Az. Dengan demikian, vektor tersebut dapat dinyatakan sebagaiA = Ax i + Ay j + Az kBesar vektor 2 dimensi dinyatakan sebagai

A =

Sedangkan besar vektor 3 dimensi dinyatakan sebagaiA =

Analisis Contoh Soal1. Misalkan terdapat sebuah vektor perpindahan (kita sebut sebagai vektor A) sebesar 3 m yang membentuk sudut 45( terhadap horizontal. Nyatakan vektor ini dalam vektor-vektor satuannya. Tentukan pula besar vektor tersebut.Jawab:

Terlebih dahulu, gambarkan vektor dan komponen vektor tersebut dalam koordinat cartesius berikut. 1 cm panjang vektor mewakili besar vektor sebesar 1 N.

Komponen vektor dalam arah sumbu X adalah AX, yaitu

AX = 3 cos 450 = NKomponen vektor dalam arah sumbu Y adalah AY, yaitu

AY = 3 cos 450 = N

Dengan demikian, vektor A dapat dituliskan sebagai

A = (N)i + (N)jBesar vektor tersebut adalah

A =

2. Suatu kubus OABC.DEFG dengan panjang rusuk seperti pada gambar di bawah ini. Nyatakanlah vektor OB, OD, OF, dan OE dalam vektor satuan, dan hitunglah besar masing-masing vektor tersebut.

z

G

F

D E

` O

C

A

y

x B

Jawab:

Vektor OB = (4) i + (4) j = (4 i +4 j) cmVektor OD = (8) i + (3) k = (8 i +3 k) cmVektor OF = (4) i + (8) k = (4 i +8 k) cmVektor OE = (4) i + (4) j + (8) k= (4 i + 4 j + 8 k) cmPerkalian vektor Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian skalar a dengan vektor menghasilkan a. Besaran a adalah suatu vektor baru yang mempunyai nilai/besarnya a kali vektor dengan arah sama dengan arah vektor . Untuk a negatif arah vektor a berlawanan dari semula. Perkalian titik ( dot product )

Jika dua vektor A dan B terpisah oleh sudut sebesar (, maka dot product dari kedua vektor tersebut didefinisikan sebagai AB= AB cos

dengan A = besar vektor A dan B = besar vektor BBerdasarkan definisi tersebut, perkalian titik antara vektor satuan i, j, dan k adalah: ii = i ( i ( cos 00 = 1jj = j ( j ( cos 00 = 1kk = k ( k ( cos 00 = 1ij = i ( j ( cos 900 = 0ji = j ( i ( cos 900 = 0ik = i ( k ( cos 900 = 0ki = k ( i ( cos 900 = 0jk = j ( k ( cos 900 = 0kj = k ( j ( cos 900 = 0Atau dapat dituliskan

ii= jj= kk= 1

ij= ji= ik = ki= jk= kj= 0Perkalian silang ( cross product )

Jika dua vektor A dan B terpisah oleh sudut (, maka cross product dua vektor tersebut didefenisikan sebagai:

C = A ( B = AB sin dengan C = hasil perkalian silang A dengan B. Perkalian silang bersifat antikomutatif, sehingga B ( A = A ( BArah dari suatu perkalian vektor dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan. Perhatikanlah gambar berikut ini. c

c

b

a x b = c

Untuk perkalian silang vektor satuan i, j, dan k, berlaku aturan lingkaran i-j-k seperti gambar berikut. Untuk perkalian vektor satuan terdekat bernilai positif jika arah putaran searah putaran jarum jam

i k j

i ( j = k j ( k = i

k ( i = jj ( i = k k ( j = i

i ( k = ji ( i = j ( j = k ( k = 1

Analisis Contoh Soal

1. Terdapat dua buah vektor, yaitu A = 2i + 3j + 3 k dan B = 4i + 2j 2k. Hitunglah nilai perkalian titik ke dua vektor tersebut

Jawab:Karena nilai ij= ji= ik = ki= jk= kj = 1, maka perkalian yang perlu diperhatikan adalah antara vektor satuan yang sama saja.AB = [2i + 3j + 3k ][ 4i + 2j 2k ] = (2i)(4i) + (3j)(2j) + (3k)(-2k)

= 8 + 6 + (-6) = 82. Dua buah vektor A = 2i + 3j + 3k dan B = 4i + 2j 2k , carilah nilai perkalian silang ke dua vektor tersebut

Jawab:

Karena nilai i ( i = j ( j = k ( k = 1, maka perkalian yang perlu diperhatikan adalah perkalian antara vektor satuan yang berbeda.

A ( B = (2i + 3j + 3k) ( (4i + 2j 2k) = (2i ( 2j) + (2i ( (-2)k) + (3j ( 4i) + (3j ( (-2)k) + (3k ( 4i) + (3k ( 2j)

= 4k + 4j + (-12)k + (-6)i + 12j +(-6)i = -12 i + 16 j 8 k

Penerapan Konsep

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!

1.Gambarkan pada sistem sumbu X, Y, dan Z, dua buah vektor, yaitu U = 5i + 3j + k dan V = 2i 2j k. Hitunglah pula sudut antara kedua vektor tersebut.

y

Besar sudut antara U dan V adalah:

x

z2.Perhatikan vektor P seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Panjang vektor P adalah 26 cm jika sudut = 22,56 dan = 53. Nyatakanlah vektor P dalam P = PX i + PY j + PZ k.

y

P

O

x

z

- Komponen Y = P cos 22,560 = 26 cm cos 22,560 = 26 cm x (0,92) = 23,92 cm- Komponen X = P sin 22,560 sin 530 = 26 cm x 0,4 x 0,8 = 8,32 cm- Kompenen Z = P sin 22,560 cos 530 = 26 cm x 0,4 x 0,6 = 6,24 cm P = (8,32 i + 23,92 j + 6,24 k ) cm3.Jika diketahui A = 6i + 12j 10k , dan B = 4i 10j 2k. Tentukanlah :

a.AB

AB = 24 120 + 20 = - 76

b. A ( BA x B = - 60 k + 12 j 48 k 24 i + 40 j 100 iA x B = -124 i + 52 j 108 k4. A=10N

180 R

60

C B= 5 N

Dari ketiga gambar vektor tersebut di atas, tentukanlah besar vektor C jika besar vektor C sama dengan vektor R.

A+B = (102 + 52 + 2 x 10 x 5 cos 600)1/2 = (175)1/2 = 13,23 NKarena C berlawanan arah dengan R maka:C = - R = -13,23 N5. Diketahui vektor A, B dan C yang besarnya 5 m, 8 m dan 6 m seperti pada gambar berikut. Tentukanlah besar komponen-komponen vektor tersebut terhadap sumbu X dan sumbu Y ?.

Y(+)

A B

30

50

25 X(+)

C

Y(-)

A ( AX = 5 x sin (-300) = - 2,5 m dan AY = 5 x cos 300 = 4,33 mB ( BX = 8 x sin 500 = 8 x 0,76 = 6,08 m dan BY = 8 x cos 500 = 8 x 0,64 = 5,12 mC ( CX = 6 x cos 250 = - 5,46 m dan CY = 6 x sin 250 = - 2,52 m

RX = - 1,88 m dan RY = 6,93 m6. Bujur sangkar ABCD dengan sisi 20 cm ,de ngan arah panah menunjukkan arah vektor tertentu.

a.Buat sistem koordinat sumbu X dan Y, tentukan komponen-komponen dari vektor-vektor tersebut?

b.Dengan cara analitis tentukan resultan vektor-vektor tersebut,dan arah resultan terhadap sumbu X?

7. Seekor serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah selatan, 3,0 cm ke arah barat, dan 4,0 cm ke arah utara, selanjutnya bergerak 52 cm ke barat daya.(a) Berapa jauhkah dalam arah utara dan timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik awal geraknya ?

Dalam arah utara serangga tersebut bergerak sejauh = 1 cm Dalam arah timur serangga tersebut bergerak sejauh = - 1 cm (ke arah barat)

(b) Tentukan vektor perpindahan serangga secara garfis maupun secara analitis

8. z G F

3 cm

D E

8 cm

O

C y

A 4cm B

x

Suatu kubus OABC.DEFG dengan panjang rusuk seperti gambar di atas. Nyatakanlah vektor OB, OD, OF, dan OE dalam vektor satuan dan besar masing-masing vektor tersebut.

Vektor OB = (4) i + (4) j = (4 i +4 j) cmVektor OD = (8) i + (3) k = (8 i +3 k) cmVektor OF = (4) i + (8) k = (4 i +8 k) cmVektor OE = (4) i + (4) j + (8) k= (4 i + 4 j + 8 k) cm

b. Resultan seluruh vektor

A ( AX = 0 AY = 20

B ( BX = 20 BY = 20

C ( CX = 20 CY = 0

D ( DX = 0DY = 0

E ( EX = 10EY = 20

F ( FX = 20FY = 10

Resultan, RX = 70 cm dan RY = 70 cm

R = (RX2 + RY2 )1/2 = 70 cm

a. Koordinat

A = (0, 20)E = (10, 20)

B = (20, 20)F = (20, 10)

C = (20, 0)

D = (0, 0)

A E B

a b

F

D e C

b c

d

450

F

D

E

C

A

B

3 m

_1254642786.unknown

_1276410336.unknown

_1276410475.unknown

_1276410526.unknown

_1276410455.unknown

_1276410286.unknown

_1254652299.unknown

_1254638264.unknown

_1254638269.unknown

_1254637811.unknown