v.1 statistik dan probabilitas - perpustakaan digital · pdf filemanufaktur yang mempunyai...

Bab V Analisa Reliabilitas

V.1 Statistik dan Probabilitas

VV..11..11 Pendahuluan

Teori probabilitas merupakan dasar dari peninjauan kemungkinan munculnya

peristiwa tidak tentu sehingga memberikan masukan dalam analisa resiko dan

pengambilan keputusan. Bila dasar yang konsisten telah ditentukan untuk

menangani ketidak pastian perihal kemungkinan kejadian yang menyebabkan

suatu konsekuensi tersebut muncul, maka dimungkinkan untuk menentukan resiko

yang berhubungan dengan aktivitas tersebut dan menetapkan dasar yang rasional

untuk pengambilan keputusan.

Tingkat ketidak pastian yang berhubungan dengan aktivitas atau fenomena

tertentu dapat dinyatakan dengan pernyataan kualitatif seperti ”peluangnya besar”

atau ”kecenderungannya kecil”. Dan juga dapat dinyatakan secara kuantitatif

dalam bentuk angka maupun persentase. Bagaimanapun, perbedaan kata-kata

pada dasarnya mempunyai makna probabilitas.

VV..11..22 Probability Density Function

Pada Gambar V.1 di bawah dideskripsikan sebuah proses acak yang

direpresentasikan oleh catatan riwayat waktu. Probabilitas bahwa ( )ty akan

berada pada interval y dan yy Δ+ adalah sebagai berikut

( ) ( )[ ]T

tyytyy i∑=Δ+≤≤Prob (V.1)

Meskipun 0→Δy dan ∑ → 0/Tti tetapi nilai dari ( )∑ ΔyTti / , yang

merepresentasikan sejumlah waktu tiap unit size dari interval, akan konvergen

pada suatu nilai hingga (finite) yang biasanya disebut sebagai probability density

( )yp terhadap y dan luas daerah di bawah grafiknya sama dengan satu karena

69

luas tersebut merepresentasikan total probabilitas dari semua hasil atau output

yang mungkin terjadi.

Gambar V. 1 Perhitungan PDF Riwayat waktu

(sumber : Dynamic of Fixed Marine Structures, N.D.P Barltrop dan A.J. Adams, 1991)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Δ= ∑

→Δ Tt

yyp i

y

1lim0

(V.2)

Adapun luas di bawah kurva fungsi kerapatan probabilitas diantara y dan yy Δ+

adalah

( ) ( )[ ] ( )∫Δ+

=Δ+≤≤yy

y

dyypyytyyProb (V.3)

dan luas totalnya,

( )[ ] ( ) 1Prob ==∞≤≤∞− ∫∞−

dyypty (V.4)

VV..11..33 Cumulative Distribution Function (CDF)

Cumulative Distribution Function atau fungsi distribusi kumulatif adalah fungsi

yang menyatakan probabilitas dalam selang kejadian ( )y,∞− sehingga fungsi ini

memberikan nilai probabilitas dari ( )ty pada kondisi lebih kecil atau sama dengan

satu nilai y tertentu. CDF diberi notasi ( )yP sehingga,

( ) ( )[ ]ytyyP ≤= Prob

70

CDF merupakan hasil integrasi dari PDF yaitu

( ) ( )∫∞

∞−

= dyypyP

CDF mengikuti sifat-sifat berikut,

• ( ) 0=∞−P

• ( ) 1=∞+P

• ( ) 10 ≤≤ yP (V.5)

• ( ) ( )21 yPyP ≤ bila 21 yy ≤

• ( ) ( ) [ ]2112 Prob yyyyPyP ≤≤=−

Gambar V. 2 Hubungan antara PDF dan CDF

(sumber : Dynamic of Fixed Marine Structures, N.D.P Barltrop dan A.J. Adams, 1991)

VV..11..44 Properties Statistik Measure of Location

Mean

Dalam tinjauan terhadap variabel acak kontinu X yang memiliki PDF ( )xf , mean

atau nilai rata–rata secara matematis didefinisikan sebagai momen pertama dari

suatu variabel acak X . Persamaan umum momen ke-k suatu variabel acak X

dengan fungsi kerapatan probabilitas ( )xf adalah

71

( )∫∞

∞−

= dxxfxm kk (V.6)

Dengan mengambil nilai k = 1, akan diperoleh nilai mean yaitu

( )∫∞

∞−

= dxxxfμ (V.7)

Median

Median atau nilai tengah adalah suatu nilai sampel ix dari peubah acak X

sedemikian rupa sehingga nilai probabilitas kumulatif ix sama dengan 0.5. Secara

matematis nilai tengah dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ( ) ( )∫∞−

===≤ix

ii dxxfxFxXP 5.0 (V.8)

Modus

Modus adalah nilai variabel acak yang paling sering muncul atau yang

mempunyai frekuensi terbesar, artinya variabel tersebut merupakan variabel acak

yang mempunyai nilai probabilitas yang paling besar sehingga modus

menentukan puncak fungsi distribusi probabilitas.

VV..11..55 Properties Statistik Measure of Spread

Standar deviasi

Standar deviasi dan varians menentukan seberapa besar sebaran atau simpangan

nilai variabel acak terhadap nilai mean-nya. Semakin besar nilai varians, akan

menyebabkan fungsi kerapatan probabilitasnya semakin tersebar, begitu pula

sebaliknya.

Secara matematis varians dari peubah acak X tidak lain adalah momen ke-2 dari

variabel acak X terhadap nilai mean, yang dinyatakan sebagai berikut :

[ ] ( )[ ]22 var μσ −== xEx

72

[ ] ( ) ( )∫∞

∞−

−== dxxfxx 22 var μσ (V.9)

Skewness

Skewness atau asimetri digunakan untuk menentukan kecondongan fungsi

distribusi probabilitas dari suatu variabel acak X terhadap mean-nya. Skewness

disajikan dalam bentuk bilangan tak berdimensi, yaitu coefficient of skewness

γ1 sebagai berikut :

33

1 σμ

γ = (V.10)

Kurtosis

Parameter kurtosis menunjukkan bentuk fungsi kerapatan yang lancip atau

tumpul. Kurtosis disajikan dalam bentuk bilangan tak berdimensi, melalui

coefficient of kurtosis, γ2, sebagai berikut :

44

2 σμ

γ = (V.11)

Suatu fungsi kerapatan dinyatakan sebagai fungsi kerapatan yang tumpul bila γ2 <

3 disebut juga sebagai Platy-Kurtic, sedangkan bila γ2 > 3 fungsi kerapatan

dinyatakan sebagai fungsi kerapatan yang lancip disebut juga Lepto-Kurtic.

VV..11..66 Momen Variabel Acak

Berbagai properties statistik dari suatu variabel acak dapat diperoleh melalui

pengevaluasian momen dari suatu distribusi probabilitas. Momen tidak hanya

memberikan informasi mengenai properties dari suatu variavel acak tetapi juga

memainkan peranan yang cukup signifikan pada proses penentuan distribusi

probabilitas suatu parameter dari satu proses acak/stokastik tertentu.

Tinjau satu variabel acak X dengan PDF ( )xf . Maka nilai ekspektasi dari sebuah

fungsi ( )xu didefinisikan sebagai berikut,

73

( )[ ] ( ) ( )dxxfxuxuES∫= (V.12)

Selanjutnya nilai ekspektasi suatu fungsi ( ) kxxu = , disebut sebagai momen ke k

dari variabel acak X . Pada kasus khusus dimana nilai dari k = 1 maka [ ]xE

disebut sebagai mean atau nilai rata-rata dari variabel acak X dan biasanya diberi

notasi dengan huruf μ atau [ ]xE

Nilai ekspektasi dari suatu fungsi ( ) ( )kxxu μ−= , dimana μ adalah nilai rata-

rata, maka hal itu disebut momen sentral ke k dari variabel acak X . Secara

khusus untuk k sama dengan dua, ( )2μ−xE disebut dengan istilah varians dari

variabel acak X dan biasanya diberi notasi 2σ atau [ ]xVar . Adapun hubungan

antara momen ke k ( km ) dan momen sentral ke k ( kμ ) dari variabel acak X

adalah sebagai berikut,

Momen

[ ] μ=== mean1 xEm

[ ] 22

22 μμ +== xEm

[ ] 323

33 3 μμμμ ++== xEm (V.13)

[ ] 42

234

44 64 μμμμμμ +++== xEm

Momen Sentral

( )[ ] 01 =−= μμ xE

( )[ ] 212

22 varians mmxE −==−= μμ

( )[ ] 31213

33 23 mmmmxE +−=−= μμ (V.14)

( )[ ] 412

21314

44 364 mmmmmmxE −+−=−= μμ

74

VV..11..77 Model Distribusi Variabel Acak

A. Distribusi Normal

Sebuah variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-

rata μ dan varians 2σ apabila fungsi kerapatan probabilitasnya berbentuk

( ) ∞<<∞−= −− xexf x 22 2/)(

21 σμ

πσ (V.15)

Distribusi normal biasa disebut juga distribusi gaussian yang diberi notasi

( )2, σμN . Distribusi normal dengan nilai μ = 0 dan 2σ = 1 disebut dengan

istilah distribusi normal standar yang diberi notasi ( )1,0N . Apabila Z adalah

variabel acak yang mengikuti distribusi normal standar maka fungsi kerapatan

probabilitasnya berbentuk,

( ) ∞<<∞−= − zezf z 22 2/

21 σ

πσ (V.16)

Fungsi kerapatan probabilitas ( )zf dapat diperoleh dari fungsi kerapatan

probabilitas ( )xf dengan melakukan transformasi variabel acak sebagai berikut,

σμ−

=XZ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -2 0 2 4x

f ( x

)

Gambar V. 3 PDF Normal Standar

(sumber : Applied Probability and Stochastic Processes, Ochi, Michel K., 1990)

75

B. Distribusi Log Normal

Sebuah variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi log normal apabila fungsi

kerapatan probabilitasnya berbentuk

( ) ( )∞<<∞−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−= xx

xxf 22

lnexp21

σμ

πσ (V.17)

Distribusi log normal mempunyai dua parameter yaitu μ dan 2σ dengan notasi

( )2,σμLN . Perlu diperhatikan bahwa μ dan 2σ bukanlah nilai rata-rata dan

varians dari variabel acak X melainkan dari logaritma variabel acak X yang

mengikuti distribusi normal. Sehingga apabila xy ln= maka μ dan 2σ adalah

rata-rata dan varians dari variabel acak xy ln=

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=2

exp2σμxE

[ ] { } { }( )1exp.2expVar 22 −+= σσμx (V.18)

Gambar V. 4 PDF Log Normal

(sumber : Applied Probability and Stochastic Processes, Ochi, Michel K., 1990)

C. Distribusi Ekstrim Tipe I (Gumbel)

Engineer teknik sipil lebih memperhatikan kemunculan dari nilai terbesar atau

terkecil dari variabel acak dalam analisa dan desain struktur. Keselamatan dari

76

struktur tergantung dari nilai-nilai ekstrim elemen dasarnya. Engineer teknik sipil

juga tertarik pada nilai dan distribusi dari nilai ekstrim seperti kecepatan angin,

tinggi gelombang dan sebagainya. Salah satu jenis distribusi ekstrim adalah

distribusi ekstrim tipe I atau sering disebut dengan distribusi Gumbel.

Distribusi dari X , yang terbesar dari variabel acak independen lainnya dengan

jenis eksponensial pada distribusi ujung atasnya ( ) ( )( )( )yhyFY −−= exp1 ,

mempunyai bentuk distribusi ekstrim tipe I, yang diberikan dalam bentuk

( ) ( ) ( ){ }[ ]uxuxxfx −−−−−⋅= ααα expexp ∞≤≤∞− x (V.19)

( ) ( ){ }[ ]uxxFx −−−= αexpexp ∞≤≤∞− x (V.20)

Parameter u (lokasi, dalam hal ini median) dan α diberikan dengan

αμ 5772.0

+= ux (V.21)

2

22

6απσ =x (V.22)

Contoh distribusi Gumbel di bawah ini mempunyai kecondongan (skew) yang

positif. Koefisien kecondongan (skewness coefficient) adalah 1.1396. Model ini

digunakan untuk menjelaskan kecepatan arus maksimum tahunan, kecepatan

angin maksimum tahunan dan sebagainya.

Gambar V. 5 PDF Gumbel

(sumber : Reliability Analysis and Design of Structures, R. Ranganathan, 1990)

77

V.2 Distribusi dan Parameter Ketahanan


Langkah pertama dalam analisa reliabilitas dan desain struktur adalah untuk

mempelajari keberagaman dari kekuatan elemen struktur (beton bertulang, baja,

beton pra-tegang, pasangan batu-bata, dll) terhadap lentur, geser, tekan, tarik, torsi

dan sebagainya. Kekuatan dari elemen struktur dapat bervariasi dari nilai kekuatan

nominal yang ditentukan karena variasi dari kekuatan material dan dimensi

elemen, juga karena ketidak-tentuan yang melekat pada persamaan yang

digunakan untuk menentukan kekuatan elemen struktur. Dasar yang dibutuhkan

dalam kajian reliabilitas adalah kumpulan dari data tentang kekuatan, propertis

fisik lainnya dari material struktur, dan parameter geometris dari penampang, juga

analisa statistiknya.

Desainer struktur menentukan spesifikasi kekuatan karakteristik dari material dan

pelaksana pembangunan mencoba untuk mendapatkan material yang memenuhi

spesifikasi, dan mencoba memenuhi kekuatan yang sama seperti yang

diasumsikan oleh desainer. Bagaimanapun, jika kontrol kualitas rendah maka

kekuatan dari elemen struktur akan lebih kecil dari yang diasumsikan. Hal ini

dapat membahayakan keselamatan dari struktur. Sehingga untuk menyediakan

desain dengan tingkat reliabilitas yang meyakinkan maka identifikasi sistematik

dari ketidak-pastian kekuatan material dan parameter dimensi serta analisa

statistik dari data yang dikumpulkan adalah hal yang penting.

VV..22..22 Statistik dari Propertis Baja

Untuk struktur jacket, material yang digunakan adalah baja, dimana seperti yang

sudah dijelaskan di atas, terdapat ketidak pastian dari kekuatan material maupun

dimensinya. Ketidak-pastian dari baja yang digunakan untuk membangun struktur

jacket akan menyebabkan adanya ketidak-pastian dalam kekuatan struktur jacket

itu sendiri.

78

Kekuatan leleh yf , dan modulus elastisitas sE adalah dua propertis fisik yang

utama dari baja yang digunakan dalam desain baik untuk struktur beton bertulang

maupun struktur baja. Pada kasus struktur beton pra-tegang, kekuatan ultimate

dari kabel baja tarik mutu tinggi digunakan dalam desain. Variasi pada tegangan

leleh disebabkan oleh variasi pada beberapa hal berikut :

i. Kekuatan material

ii. Luas penampang

iii. Tingkat pembebanan selama pengujian

iv. Pengaruh dari regangan pada nilai tegangan leleh ditentukan

Besarnya variasi kekuatan pada batang baja yang dicor menerus sepanjang batang

dalam satu kali proses pengecoran akan sangat kecil dan bisa diabaikan seperti

pada Gambar V.6. Bagaimanapun, pada pengecoran satu kumpulan baja dalam

satu tingkatan panas yang diberikan akan terdapat variasi yang cukup besar.

Untuk pekerjaan konstruksi, baja bisa saja yang disuplai oleh perusahaan

manufaktur yang mempunyai beberapa pabrik pengecoran baja. Jika komposisi

kimia dari baja di kontrol dengan baik selama produksi, maka adalah rasional

untuk mengharapkan terjadinya variasi kekuatan yang kecil dari tiap proses

pengecoran, jika tidak maka variasi kekuatan akan menjadi signifikan. Dari

diskusi di atas maka diketahui bahwa beberapa sumber berbeda akan

berkontribusi terhadap keseluruhan variasi pada kekuatan baja.

Gambar V. 6 Variasi dari kekuatan ultimate dengan satu kali pengecoran sepanjang batang


79

Spesimen dapat dikumpulkan dari beberapa pabrik pengecoran milik suatu

perusahaan dan kemudian dapat diuji di laboratorium untuk menentukan kekuatan

leleh yf , dan modulus elastisitas sE . Hasil pengujian dari semua spesimen, tanpa

tergantung dari dimensinya, kemudian dikelompokkan berdasarkan nilai kekuatan

karakteristiknya, dan nilai rata-rata (mean) serta standar deviasi dari suatu pabrik

pengecoran baja dapat ditentukan. Histogram dapat digambar untuk data tersebut.

Gambar V.7 menunjukkan histogram tipikal dari variasi tegangan leleh dari suatu

produk baja yang dihasilkan dari suatu pabrik pengecoran.

Gambar V. 7 Distribusi frekuensi dari tegangan leleh suatu grade baja pada suatu pabrik

pengecoran baja


Prosedur diatas kemudian diulang terhadap beberapa spesimen yang berasal dari

beberapa pabrik pengecoran atau pada beberapa tahapan pelaksanaan proyek

konstruksi. Untuk mengetahui statistik dari tegangan leleh baja, tanpa tergantung

dari dimensi dan sumbernya, maka semua spesimen dari semua pabrik pengecoran

dan dari lokasi proyek konstruksi dikelompokkan dan nilai rata-rata (mean),

standar deviasi dan koefisien variasi dari tegangan leleh yf , dan modulus

elastisitas sE untuk data tersebut dapat diperoleh. Histogram dapat dibuat untuk

data yang dihasilkan, seperti pada Gambar V.8 dan V.9. Distribusi probabilitas

80

yang cocok yang sesuai kemudian dapat ditentukan untuk data yang dikumpulkan

dengan menggunakan uji kecocokan.

Gambar V. 8 Distribusi frekuensi tegangan leleh


Gambar V. 9 Distribusi frekuensi modulus elastisitas


VV..22..33 Ketidak-pastian Model Ketahanan Jacket

Jadi ketidak-pastian dari ketahanan struktur platform lepas pantai disebabkan oleh

beberapa hal. Pertama, kode dari formula merupakan hasil empiris atau semi-

empiris, dimana parameter yang dinilai adalah berdasarkan pada hasil pengujian

81

laboratorium. Kedua, ketidak-sempurnaan fabrikasi secara umum tidak

diperbolehkan dalam formula, ketidak-sempurnaan bentuk dikendalikan dengan

mendefinisikan toleransi pada kode, dan faktor implisit yang ada dalam formula

telah ditentukan dengan telah membatasi ketidak-sempurnaan. Terakhir, terdapat

banyak hal yang mempengaruhi kekuatan dari komponen yang jarang diketahui,

hal tersebut mencakup tegangan sisa (residual stresses), kondisi batas, dan variasi

spasial dari ketebalan dan material struktur.

Secara keseluruhan untuk ketidak-pastian ketahanan struktur jacket, Efthymiou et

al (1996) merekomendasikan distribusi normal dengan nilai rata-rata (mean) 1.0

dan standar deviasi 0.1.

V.3 Distribusi dan Parameter Beban

Ketidak-pastian selain terdapat pada parameter ketahanan struktur juga terdapat

pada beban yang berlaku pada struktur. Ketidak-pastian bisa terdapat pada semua

jenis beban seperti beban gravitasi, beban hidup, maupun beban lingkungan.

Adalah penting untuk mengetahui parameter variasi dari beban yang berlaku pada

struktur untuk mendapatkan analisa probabilitas yang mendekati keadaan

sebenarnya dalam upaya untuk mendapatkan kapasitas struktur yang lebih

mendekati nilai aktual.

VV..33..11 Beban Gravitasi

Pendahuluan

Evaluasi yang akurat terhadap beban gravitasi dan penilaian yang tepat terhadap

beban maksimum yang harus dipikul struktur selama usia layannya adalah sangat

penting untuk menghasilkan desain struktur yang aman dan ekonomis. Setelah

datangnya komputer digital berkecepatan tinggi, teknik yang akurat dapat

dilakukan untuk menganalisa struktur yang kompleks untuk beban yang diberikan.

Bagaimanapun, tingkat pengetahuan tentang analisis beban tidak terlalu mudah

untuk ditentukan. Beban masih ditentukan berdasarkan pengalaman, penilaian,

tradisi, dan coba-coba. Perhatian yang lebih mendalam telah dilakukan pada

82

pengukuran, analisis, dan pemodelan beban karena meningkatnya pengetahuan

tentang probabilitas dan metode statistik yang diperlukan untuk memperlakukan

fenomena beban secara kuantitatif seperti yang diharapkan engineer.

Beban gravitasi dibagi menjadi beban mati dan beban hidup. Beban hidup

kemudian dibedakan menjadi sustained load dan transient load.

Beban Mati (Dead Load)

Beban permanen dianggap sebagai beban mati. Utamanya adalah berasal dari

berat sendiri sistem struktur. Beban mati dapat mengalami peningkatan karena

penambahan dari instrumen yang dipasang atau penambahan personil pada

platform. Tetapi hal ini tidak kerap terjadi, sehingga beban mati dapat

diasumsikan konstan selama usia layan struktur, seperti Gambar V.10.a.

Gambar V. 10 Jenis pembebanan geometri


83

Jumlah total beban mati yang diterima struktur biasanya merupakan penjumlahan

dari berat sendiri dari banyak komponennya. Sehingga beban mati kemudian

dimodelkan dengan distribusi probabilitas normal. Keberagaman dari beban mati

sangat dipengaruhi oleh berat dari benda non-struktural seperti mesin dan

instrumentasi lainnya. Sehingga terdapat kecenderungan untuk terjadi

underestimate dari beban mati total, dan diasumsikan oleh Ellingwood, Galambos,

McGregor dan Cornell (1980) bahwa rasio dari beban rata-rata terhadap beban

nominal adalah 1.05, dan koefisien variasi adalah 0.10 untuk kalibrasi kode.

Beban Hidup

Beban hidup secara umum dapat didefinisikan sebagai beban yang dihasilkan dari

pemakaian (occupancy) dari struktur. Beban gravitasi non-permanen pun

dianggap sebagai beban hidup. Berarti beban hidup termasuk personil yang

menempati struktur tersebut dan perlengkapan atau instrumentasi produksi. Beban

hidup total dari struktur dapat dibedakan menjadi dua komponen yaitu (i)

komponen sustained load , dan (ii) komponen transient load.

Sustained load adalah beban dari personil, perlengkapan dan instrumentasi yang

dibutuhkan untuk aktivitas normal. Sustained load seperti terlihat pada Gambar

V.10.b dapat berubah pada waktu diskrit, tetapi antar perubahan cenderung tetap.

Sementara transient load adalah terjadinya perubahan beban yang sering terjadi,

tidak bisa diperkirakan dan berlangsung dalam durasi yang singkat, seperti karena

instalasi beberapa komponen sementara. Durasi yang singkat dan sangat kecil

secara relatif terhadap beban permanen dan sustained load, sehingga

menimbulkan tambahan-tambahan pada riwayat waktu beban seperti pada

Gambar V.10.c.

VV..33..22 Beban Lingkungan

Beban lingkungan untuk struktur lepas pantai diberikan dari analisa survey

metocean yang telah dilakukan. Beberapa keterbatasan dalam pelaksanaan survey

84

dan data yang didapatkan menyebabkan munculnya ketidak-pastian dalam beban

lingkungan yang akan diberikan pada struktur nantinya.

Beban lingkungan yang umum terjadi pada struktur lepas pantai adalah

gelombang, arus, angin dan gaya apung. Dalam penelitian tentang sensitifitas

parameter-parameter lingkungan terhadap struktur jacket (Rohayati, 1999) yang

menguji sensitifitas beberapa parameter desain sebagai berikut :

1. parameter-parameter oceanografis, seperti

• tinggi gelombang

• periode gelombang

• kedalaman laut

2. metodologi dan parameter beban fluida, seperti

• teori gelombang

• koefisien seret

• koefisien inersia

3. parameter struktural, seperti

• marine growth

mendapatkan bahwa perubahan pada tinggi gelombang menghasilkan perubahan

gaya geser yang paling besar diantara parameter desain lainnya.

Gelombang yang akan dipergunakan sebagai gelombang desain untuk struktur

jacket pada lokasi tertentu harus diramalkan (hindcasting) terlebih dahulu

menggunakan data angin yang ada. Data angin yang terbaik untuk meramalkan

gelombang adalah data angin yang diukur di lokasi yang akan diramalkan. Namun

umumnya anjungan-anjungan tidak menyimpan catatan data angin jangka panjang

sehingga peramalan gelombang jangka panjang tidak tersedia. Sehingga untuk

meramal gelombang jangka panjang, data angin harus diperoleh dari tempat lain

di onshore dimana merupakan tempat-tempat terdekat dengan karakteristik angin

(besar dan arah) mirip dengan lokasi dan data yang tersedia cukup lengkap.

Agar data angin di onshore dapat digunakan sebagai pengganti data angin di

lokasi platform maka data tersebut harus dikoreksi terlebih dahulu terhadap

85

beberapa faktor koreksi seperti (i) koreksi terhadap elevasi, (ii) koreksi terhadap

stabilitas akibat pengaruh perbedaan suhu air laut dan udara, dan (iii) koreksi

terhadap faktor tekanan angin. Koreksi tersebut direkomendasikan oleh Shore

Protection Manual, SPM (1984).

Untuk peramalan gelombang akibat angin tersebut, prosedur pada Shore

Protection Manual, SPM (1984) juga digunakan. Ada dua kasus yang berlaku

dalam peramalan gelombang yaitu kasus terbatas fetch (fetch limited) dan terbatas

waktu (duration limited). Pada kondisi terbatas fetch, angin berhembus secara

konstan dan tersedia cukup waktu bagi gelombang untuk terbentuk penuh

sepanjang fetch. Untuk kondisi terbatas waktu, tinggi gelombang dibatasi oleh

lamanya waktu angin bertiup sehingga disebut juga kondisi gelombang penuh

(fully developed wave condition).

Gelombang yang digunakan dalam perencanaan platform lepas pantai adalah

gelombang untuk kondisi ekstrim dan operasional (normal). Kondisi gelombang

ekstrim adalah kondisi yang terjadi cukup jarang sepanjang usia layan struktur

sedangkan kondisi operasional adalah kondisi yang diharapkan terjadi sepanjang

usia layan struktur. Untuk kondisi ekstrim yang diambil adalah gelombang dengan

periode ulang 100 tahun sedangkan kondisi operasional adalah gelombang dengan

periode ulang 1 tahun.

Tinggi gelombang signifikan maksimum hasil peramalan akan ditentukan fungsi

distribusi probilitasnya dengan membandingkan terhadap beberapa fungsi

distribusi. Fungsi distribusi yang paling mendekati sebaran tinggi gelombang

kemudian akan digunakan dalam analisa reliabilitas untuk mendekati faktor beban

dari aspek probabilitas dan reliabilitasnya.

VV..33..33 Ketidak-pastian Model Beban Lingkungan

Sebuah model ketidak-pastian beban lingkungan telah dibuat untuk

memperhitungkan pengaruh dari ketidak-pastian tersebut. Asumsi dasar dari

model adalah bahwa komponen gaya yang berasal dari beban hidrodinamis

86

diasumsikan proporsional terhadap gaya geser dasar (base shear) dari struktur.

Model berdasarkan pada persamaan Morison dan dinyatakan dalam bentuk tinggi

gelombang, kecepatan arus, kedalaman perairan, koefisien seret dan koefisien

gaya inersia, dan beberapa parameter empiris regional yang spesifik. Model

statistik dari tinggi gelombang maksimum dan kecepatan arus dapat digabungkan

dan ketidak-pastian dari komponen gaya dapat diperhitungkan.

Model dasar dari pembebanan hidrodinamis adalah sebagai berikut (R.C. Turner

et al, 1994)

sm

rK

cdmdT HCKUgdKHCKFFF 231

4

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=+= (V.23)

Dimana

dF , mF adalah kontribusi seret (drag) dan inersia terhadap gaya

hidrodinamis

H adalah tinggi gelombang maksimum

cU adalah kecepatan arus pada kedalaman rata-rata

dC , mC adalah koefisien gaya seret struktur dan inersia

d adalah kedalaman perairan

g adalah percepatan gravitasi

4321 ,,, KKKK adalah parameter empiris regional

sr, adalah tergantung dari kinematik gelombang

Eksponen r dan s untuk gaya gelombang pada tiang vertikal dengan seret

dominan dan inersia dominan adalah sekitar 2.0 dan 1.0. Walaupun demikian,

untuk struktur jacket, r dapat melebihi 2.0 ketika orientasi elemen dan jaraknya

diperhitungkan. Koefisien 1K sampai dengan 4K adalah konstanta untuk

platform tertentu dan merupakan fungsi dari geometri platform dan kondisi

lingkungannya. Parameter tersebut diturunkan untuk wilayah tertentu dari

hubungan fungsi gaya geser dasar untuk beberapa representasi struktur terhadap

jenis geometri, kedalaman perairan dan tinggi gelombang.

87

Ersdal (2005) telah melakukan penelitian untuk menentukan hubungan yang

sederhana antara gaya total yang bekerja pada struktur dengan tinggi gelombang

dan arus yang ada. Gaya gelombang horisontal secara sederhana dapat

diformulasikan secara sederhana sebagai berikut (Heideman 1980)

( ) 321

CuCHCF ⋅+⋅= (V.24)

Dimana

H adalah tinggi gelombang

u adalah kecepatan arus

321 ,, CCC adalah parameter yang harus ditentukan agar sesuai dengan

beban yang dihitung

Formula dari Heideman (1980) diatas adalah bentuk lain yang lebih sederhana

dari formula yang diberikan oleh R.C. Turner (1994). Ersdal melakukan penelitian

dengan terhadap beberapa jenis Jacket di Laut Utara untuk menentukan parameter

dari 321 ,, CCC . Gaya geses dasar (base shear) dihubungkan dengan tinggi

gelombang dan arus yang berkaitan. Dengan curve fitting maka didapat bahwa

nilai yang paling sesuai dengan 3C adalah 2.2. 2C nilainya cenderung bervariasi

antara 3 sampai 3.5. Sedangkan 1C tergantung dari luas beban pada jacket.

Sebagai indikasi, luas beban dapat diperoleh dengan membagi berat jacket sub-

struktur dengan panjangnya. Sehingga faktor 1C dapat diperoleh dari

hubungannya dengan rasio berat dan panjang jacket.

V.4 Metoda Reliabilitas


Komite gabungan yang menangani bidang keamanan struktur (Joint Committee on

Structural Safety, JCSS) mengklasifikasikan analisis reliabilitas dan pemeriksaan

keamanan struktur menjadi 3 kelompok. Ketiga kelompok tersebut dikenal dengan

istilah metoda analisis reliabilitas Level 1, Level 2, dan Level 3.

88

Adapun definisi singkat dari tiap-tiap metoda tersebut secara umum adalah

sebagai berikut:

1. Level 1

Metoda perencanaan yang memberikan tingkat reliabilitas tertentu pada level

elemen struktur melalui penggunaan faktor keamanan parsial terhadap

variabel-variabel dasar yang telah didefinisikan karakteristik nilainya.

2. Level 2

Metoda perencanaan yang telah memasukkan proses pemeriksaan keamanan

pada satu atau beberapa titik tertentu dalam kerangka suatu skenario

kegagalan elemen struktur melalui pendefinisian persamaan keadaan batas

pada ruang yang dibentuk oleh variabel-variabel dasarnya.

3. Level 3

Metoda perencanaan yang didasarkan pada analisis probabilistik “eksak”,

untuk keseluruhan sistem atau elemen struktur melalui pengaplikasian full

distributional approach dengan mengacu pada probabilitas kegagalan yang

mungkin dilatarbelakangi karena studi optimasi atau karena kriteria

pendekatan lain.

Metoda standard perencanaan yang ada sekarang dimana secara eksplisit telah

mengakomodasi berbagai skenario keadaan batas (biasanya dikenal dengan istilah

limit state design), merupakan salah satu contoh dari analisis reliabilitas Level 1.

Adapun yang disebut keadan batas/limit state di sini adalah suatu kriteria yang

mendefinisikan satu kondisi batas skenario kegagalan tertentu. Pada metoda Level

2, sejumlah idealisasi dan asumsi digunakan. Metoda Level 2 ini, dalam

analisisnya, hanya memerlukan parameter statistik berupa mean value dan

variance. Pada metoda advanced Level 2, dimungkinkan untuk dilakukan metoda

aproksimasi terhadap distribusi variabel acaknya. Lebih jauh lagi metoda Level 2

ini, hanyalah merupakan sebuah pendekatan jika dibandingkan dengan Level 3

yang menggunakan deskripsi menyeluruh dari joint probability sehingga metoda

Level 3 benar-benar bersifat probabilistik murni yang memberikan perkiraan

eksak dari hasil analisis reliabilitas.

89

Metoda reliabilitas Level 2, cenderung lebih berorientasi praktis dan relatif cukup

sesuai untuk keperluan perencanaan, termasuk di dalamnya mengkalibrasi

peraturan perencanaan dalam kerangka dasar analisis reliabilitas. Pada tulisan

selanjutnya dari bab ini hanya akan membahas mengenai metoda reliabilitas Level

2 dan advanced Level 2.

VV..44..22 Variabel Dasar dan Permukaan Batas Kegagalan (Failure Surface)

Permasalahan engineering seringkali melibatkan lebih dari satu variabel acak.

Lebih khusus lagi pada permasalahan structural engineering, parameter geometris

penampang, properties fisik material dan beban-beban yang harus diperhitungkan,

bukanlah suatu angka yang fixed melainkan memiliki nilai variasi tertentu yang

bersifat acak. Jika koefisien variasi dari suatu variabel acak cukup kecil, maka

fenomena keacakannya bisa diabaikan dan dianggap sebagai kasus deterministik.

Dalam permasalahan engineering, parameter yang akan diperhitungkan sebagai

variabel acak dimana pada awalnya dianggap sebagai kasus deterministik disebut

dengan istilah variabel dasar. Tinjau variabel dasar X1, X2,...,Xn dimana variabel-

variabel dasar ini membentuk suatu persamaan yang merepresentasikan satu

kondisi batas tertentu dari suatu struktur, sehingga persamaan tersebut menjadi

suatu fungsi dari variabel-variabel acak di atas. Selanjutnya fungsi tersebut dapat

direpresentasikan sebagai berikut,

( )n21 X,...,X,Xg (V.25)

Persamaan (5.22) ini disebut juga sebagai fungsi kegagalan (Failure Function).

Fungsi ini bisa dianggap sebagai safety margin, M, yang dapat ditulis sebagai

berikut,

SRM −= (V.26)

Dimana R merepresentasikan tahanan sedangkan S merepresentasikan aksi luar.

Apabila keduanya dinyatakan melalui variabel dasar di atas maka didapat hasil

sebagai berikut,

( )n21 X,...,X,XgM = (V.27)

Pada saat fungsi kegagalan ini dibuat bernilai nol,

90

( ) 0X,...,X,Xg n21 =

maka kondisi ini disebut sebagai permukaan kegagalan (failure surface/limit state

surface). Tingkat keamanan yang tinggi dapat dilakukan melalui penentuan nilai

yang kecil dari probabilitas pencapaian suatu kondisi batas kegagalan tertentu.

Magnitudo dari nilai tersebut sangat erat kaitannya dengan skenario konsekuensi

yang akan terjadi ketika kondisi batas kegagalan tersebut tercapai. Apabila ( )xfX

adalah fungsi massa probabilitas gabungan (Jointly Probability Density Function)

dari variabel dasar X1, X2,...,Xn, maka probabilitas kegagalan (probabilitas

mencapai kondisi batas) adalah sebagai berikut,`

( )dxxf...p0g Xf ∫∫∫ ∫<

= (V.28)

dimana,

( )n321 X,...,X,X,XX =

( )n321 x,...,x,x,xx =

( )n321 dx,...,dx,dx,dxdx =

Multiple integral di atas di evaluasi pada daerah g < 0.

Persamaan permukaan kegagalan membagi daerah perencanaan menjadi dua

bagian atau region yaitu :

1. Region aman

2. Region tidak aman

Untuk kasus dua variabel, maka fungsi kegagalannya adalah ( )21 X,Xg seperti

terlihat pada Gambar V.11 di bawah. Salah satu catatan yang perlu diperhatikan

adalah bahwa suatu permukaan kegagalan (failure surface) yang sama dapat

direpresentasikan oleh fungsi kegagalan ekivalen yang berbeda.

91

Aman

Gagal

( ) 0X,Xg 21 >

( ) 0X,Xg 21 <

( ) 0X,Xg 21 =

( )2x,1x μμ

x2

x1

Gambar V. 11 Konsep daerah perencanaan

(sumber : Perencanaan Inspeksi Jacket Offshore Plarform Berdasarkan Pendekatan Reliabilitas

Fatigue, Cecep H, 2006)

Probabilitas kegagalan memberikan dasar bagi proses pengkuantifikasian

reliabilitas struktur. Namun untuk keperluan itu semua parameter ketidaktentuan

dari seluruh variabel dasar beserta probabilitas gabungannya harus diketahui

terlebih dahulu. Hal tersebut sangat sulit untuk dilakukan pada tataran praktis di

lapangan yang sebagian besar dikarenakan ketidaktersediaannya dukungan data

yang ada. Permasalahan di atas bertambah rumit apabila fungsi kegagalan

mempunyai tingkat kenonlinieran yang tinggi. Fakta-fakta di atas akhirnya

mendorong berkembangnya metoda aproksimasi pada proses evaluasi reliabilitas

struktur seperti halnya metoda FOSM (First Order Second Moment) yang akan

diuraikan pada bagian selanjutnya.

VV..44..33 First Order Second Moment (FOSM)

Konsep Dasar

Pada metoda ini, variabel acak dikarakterisasikan melalui parameter momennya,

dalam hal ini parameter momen yang ditinjau adalah momen pertama atau nilai

rata-rata dan momen kedua atau varians. Pada proses pengevaluasian nilai rata-

rata dan varians dari suatu kondisi batas yang merupakan fungsi non-linier dari

92

variabel-variabel bebasnya digunakan metoda aproksimasi orde pertama. Hal

inilah yang menyebabkan metoda tersebut dikenal dengan nama metoda FOSM

(First Order Second Moment). Proses aproksimasi orde pertama pada analisis

reliabilitas dilakukan melalui linierisasi fungsi keadaan batas dengan

menggunakan ekspansi Deret Taylor.

Tinjau kasus fundamental dimana fungsi keadaan batasnya terdiri dari 2 variabel

dasar yaitu R dan S.

( )SRPpf <=

( ) SRS,RgM −== (V.29)

Persamaan permukaan kegagalannya (surface failure) adalah

0SR =− (V.30)

Cornell [17], pertama-tama mendefinisikan indeks kehandalan, β , sebagai

M

M

σμ

β = (V.31)

dimana Mμ dan Mσ adalah nilai rata-rata dan standard deviasi dari M. Terlihat

bahwa formula untuk menentukan β merupakan kebalikan dari formula untuk

menentukan coefficient of variation dari M. Ilustrasi mengenai konsep β

disajikan pada Gambar V.11 yang menunjukan PDF dari M untuk permasalahan

dua variabel dasar. Kondisi aman didefinisikan sebagai keadaan M > 0, sehingga

kondisi gagal didefinisikan sebagai keadaan M < 0. Indeks kehandalan dapat

diinterpretasikan sebagai jarak dari titik origin (M=0) terhadap nilai rata-rata, Mμ

dengan menggunakan satuan standard deviasi. Terlihat bahwa β merupakan

ukuran probabilitas dari kondisi M akan lebih besar dari nol.

Jika

0MM ≥βσ=μ (V.32)

Maka reliabilitas dalam terminologi indeks keamanan sekurang-kurangnya adalah

β .

93

Gambar V. 12 Konsep indeks reliabilitas/indeks kehandalan


Apabila variabel R dan S kedua-duanya mengikuti distribusi normal dan saling

independent maka,

SRM μ−μ=μ

2S

2RM σ+σ=σ

2S

2R

SR

M

M

σ−σ

μ−μ=

σμ

=β (V.33)

Apabila variabel R dan S kedua-duanya mengikuti distribusi log normal dan

saling independent maka alternatif formulasi kondisi batas adalah sebagai berikut:

1SR

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0SRln <⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

persamaan permukaan batas kegagalan menjadi

0SRlnM =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dengan menggunakan pendekatan nilai varians kecil didapat,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

=μS

R

S

RM lnlnE

94

( )2S

2R

2M S

RlnVar σ+σ≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=σ

2S

2R

S

R

M

M

ln

σ−σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

=σμ

=β (V.34)

Apabila safety margin merupakan fungsi linier dari variabel-variabel dasar dan

semua variabel dasar mengikuti distribusi normal, maka safety margin, M, juga

akan mengikuti distribusi normal.

Tinjau,

nn22110 Xb...XbXbbM ++++= (V.35)

∑=

μ+=μn

1iii0M bb (V.36)

ji

n

1i

n

1ijjij1

n

1i

2i

2i

2M bb2b σσρ+σ=σ ∑ ∑∑

= +== (V.37)

Dengan 0b dan ib adalah konstanta dan j1ρ adalah koefisien korelasi antara iX

dan jX . Sedangkan ii xμ=μ dan ii xσ=σ . Adapun hubungan antara probabilitas

kegagalan dan indeks kehandalan adalah sebagai berikut,

( )β−Φ=fp (V.38)

( )f1 p−Φ−=β (V.39)

untuk problem kombinasi linier dari variabel dasar yang terdistribusi normal,

maka nilai reliabilitas sebenarnya dapat ditentukan.

Apabila fungsi batas kegagalan, M, bukan merupakan kombinasi linier dari

variabel-variabelnya maka nilai aproksimasi Mμ dan Mσ , didapat dengan

menggunakan safety margin M, yang sudah dilinierisasi melalui ekspansi Deret

Taylor. Tinjau,

( )n21 X,...,X,XgM =

Dengan menggunakan ekspansi Deret Taylor pada titik

( )*n

*2

*1

* X...,X,XX =

95

( ) ( )*ii

n

1i X

*n

*2

*1 XX

xg,X,...,X,XgM

*

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+= ∑=

( )∑

=+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+n

1i

2*ii

Xi2

2

.....2XX

Xg

*

(V.40)

Recall,

*XiXg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ berarti bahwa

iXg

∂∂ di evaluasi pada titik *X

Dengan mempertahankan suku liniernya saja didapat hasil sebagai berikut

( ) ( )∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+≅n

1i

*ii

Xi

*n

*2

*1 XX

XgX...,X,XgM

*

(V.41)

pada kasus digunakannya metoda nilai rata-rata dimana ekspansi Deret Taylor

dilakukan disekitar titik rata-rata maka i*iX μ= , sehingga

( )[ ] ( )n21M ,....,gxgE μμμ≅=μ (V.42)

dimana ( )[ ] 0XE ii =μ−

μ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

iXg berarti bahwa

iXg

∂∂ dievaluasi pada titik n11 x,....,x,x μμμ

Karena Var ( )[ ] 0,....,g n21 =μμμ , dan mengasumsikan iX tidak saling berkorelasi

maka,

( )[ ] ( )2i

2

2M x

gxgVar σ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

≅=σ ∑μ

Catatan penting yang perlu diperhatikan sehubungan dengan prosedur linierisasi

fungsi batas kegagalan dilakukan di sekitar nilai rata-ratanya adalah bahwa nilai

indeks kehandalan, β , yang dihasilkan tidak invariant terhadap bentuk fungsi

batas kegagalan yang dipilih, akibatnya pada dua bentuk fungsi kegagalan

ekivalen yang berbeda untuk merepresentasikan problem yang sama akan

menghasilkan dua nilai β yang berbeda dan pada gilirannya menghasilkan dua

nilai Pf yang berbeda pula, kecuali untuk kasus fungsi batas kegagalan yang linier.

96

Permasalahan di atas dapat dihindari dengan melakukan proses linierisasi fungsi

batas kegagalan, ( )nXXXg ,...,, 21 , di suatu titik pada daerah permukaan

kegagalan (failure surface).

Tinjau kembali permasalahan fundamental untuk kasus dua variabel bebas, yaitu

SRM −=

Persamaan permukaan batas kegagalan untuk satu set realisasi nilai R dan S

adalah

srM −= (V.43)

Selanjutnya dengan mendefinisikan

( )R

RRZ

σμ−

=1 ( )

S

SSZ

σμ−

=2

Untuk satu set realisasi R dan S, maka

( )R

Rrz

σμ−

=1 ( )

S

Ssz

σμ−

=2 (V.44)

Sehingga safety margin dari persamaan (V.43) menjadi,

021 =−−+ SSRR zz μσμσ (V.45)

021 =−+− SRSR zz μμσσ

Ilustrasi dari persamaan di atas dapat dilihat pada Gambar V.13 yang disajikan

pada sistem koordinat ternormalisasi karena R dan S telah dinormalisasikan

terhadap nilai rata-ratanya. Nilai rata-rata 1Z dan 2Z sama dengan nol dan nilai

varians-nya sama dengan satu. Garis OD adalah garis yang tegak lurus terhadap

permukaan batas kegagalan. Selanjutnya dapat dibuktikan dengan mudah bahwa

OD sama dengan β , sehingga β merupakan panjang terpendek terhadap

permukaan batas kegagalan diukur dari titik origin pada sistem koordinat

ternormalisasi.

97

Gambar V. 13 Permukaan batas kegagalan linear


Metoda Hasofer dan Lind

Tinjau fungsi batas kegagalan, ( )nXXXg ,...,, 21 , merupakan fungsi yang dibentuk

oleh kombinasi variabel-variabel bebas nXXX ,...,, 21 yang saling independent.

Variabel-variabel dasar tersebut kemudian dinormalisasikan melalui hubungan

sebagai berikut,

( )ni

XZ

i

iii ,...,2,1=

−=

σμ

(V.46)

dimana ii xμμ = dan ii xσσ = . Pada sistem koordinat z, persamaan permukaan

kegagalan adalah fungsi dari iz . Dengan mensubstitusikan persamaan (V.46) pada

fungsi batas kegagalan kemudian menyamakannya dengan nol, maka persamaan

permukaan batas kegagalan dapat dituliskan dalam sistem koordinat

ternormalisasi yaitu sistem koodinat z. Permukaan batas kegagalan ini membagi

daerah rencana menjadi dua katagori region yaitu region aman dan region gagal.

Karena proses penormalisasian maka,

0=izμ dan 0=izσ (V.47)

Perlu juga dicatat bahwa sistem koordinat z, mempunyai rotational symetry

berkenaan dengan standard deviasinya, serta titik asal O pada umumnya akan

berada pada region aman. Hasofer dan Lind mendefinisikan indeks kehandalan β

98

sebagai jarak terdekat dari titik asal O, terhadap permukaan batas kegagalan pada

sistem koordinat yang sudah ternormalisasi. Titik D pada Gambar V.14 disebut

sebagai titik rencana (design point) dan titik tersebut berada pada permukaan batas

kegagalan. Titik ini biasa juga disebut dengan istilah check point yang

merepresentasikan parameter keamanan struktur. Akhirnya β , dihubungkan

terhadap permukaan batas kegagalan (dan bukan terhadap fungsi batas

kegagalan). Ukuran keamanan yang diperoleh bersifat invariant terhadap fungsi

batas kegagalan, hal ini karena fungsi batas kegagalan ekivalen akan

menghasilkan permukaan batas kegagalan yang sama.

Gambar V. 14 Forrmulasi Safety Analysis pada koordinat ternormalisasi


Terlihat bahwa indeks kehandalan MM σμβ /= yang didefinisikan oleh Cornell

akan bersesuaian dengan nilai yang diperoleh oleh Hasofer dan Lind, ketika

fungsi batas kegagalannya berbentuk fungsi linier sebagai kombinasi variabel-

variabel dasarnya. Sehingga berdasarkan metoda yang diusulkan Hasofer dan

Lind di atas dapat ditarik satu hubungan yang cukup penting, untuk fungsi batas

kegagalan linier serta variabel-variabel dasarnya terdistribusi secara normal, yaitu:

( ) ( )ββ −Φ=⇔Φ−= −ff PP1 (V.48)

99

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diketahui bahwa β dengan definisi

MM σμ / untuk fungsi non linier dapat diperoleh dengan melakukan ekspansi

fungsi tersebut di sekitar design point D. Hal ini merupakan suatu metoda

aproksimasi terhadap permukaan batas kegagalan non linier melalui bidang

tangensialnya pada design point D seperti ditunjukkan pada Gambar V.14. Untuk

permukaan batas kegagalan non linier jarak terpendek dari titik asal (pada sistem

koordinat ternormalisasi) terhadap permukaan batas kegagalan bukanlah satu nilai

yang unik seperti halnya pada kasus permukaan batas kegagalan linier. Untuk

tujuan praktis dapat dilakukan metoda pendekatan terhadap nilai eksaknya. Titik

D yang berada pada permukaan batas kegagalan dengan jarak minimum pada titik

asal (dalam koordinat yang sudah ternormalisasi) adalah titik yang paling

mungkin sebagai titik batas kegagalan. Bidang tangensial terhadap design point D

dapat digunakan untuk mengaproksimasi nilai dari β .

Permasalahan penentuan nilai β ini akhirnya meruncing pada penentuan nilai

minimum panjang OD pada Gambar V.14

Tinjau,

( ) 0,...,, 21 =nzzzg (V.49)

sebagai sebuah permukaan batas kegagalan non linier pada sistem koordinat

ternormalisasi dan bahwa,

( ) 0...,, **2

*1

* === nzzzzD (V.50)

sebagai design point pada permukaan batas kegagalan, sehingga

( ) 0z* =g

Jarak dari satu titik pada ( )nzzz ,...,, 21= pada permukaan batas kegagalan

terhadap titik asal adalah 2/1

1

2r ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=

n

iiz (V.52)

( ) 2/1zz t= (V.53)

100

sehingga permasalahannya adalah meminimalkan “ r ” berkenaan dengan batasan

( ) 0z =g .

Dengan menggunakan metoda multiplier lagrange, permasalahan di atas dapat

diselesaikan. Diketahui fungsi lagrange, L adalah

( )z1grL λ+=

( ) ( )zzz 12/1 gt λ+= (V.54)

Supaya nilainya minimum

( )ni

zgz

zL

it

i

i

...,2,10zz

12/1 ==

∂∂

+=∂∂ λ (V.55)

( ) 0,...,, 211 ==∂∂

nzzzgLλ

(V.56)

Sehingga terdapat (n+1) persamaan. Dalam notasi matriks, n persamaan (V.55)

dapat ditulis dalam bentuk,

( )ni

zt

i ...,2,10Gzz 2/1 ==+ λ (V.57)

dengan,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=nz

gzg

zg 1

2

1

1

1t ,...,,G (V.58)

Solusi untuk *z dan *λ diperoleh sebagai berikut

**

*z Grλ−= (V.59)

( ) 2/1***

−= GGtλ (V.60)

Dengan mengalikan persamaan (V.59) dengan tG * pada kedua sisinya didapat

bahwa,

( ) 2/1t**

*t*

GG

Gz-r = (V.61)

Nilai r pada persamaan (V.58) di atas adalah nilai r dengan panjang minimum

sehingga β=r dan *G adalah gradient vektor pada design point ( )**2

*1 ...,, nzzz .

Dalam bentuk skalar persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut,

101

2/1

1

2

*

1

1 *

1*

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

∑

∑

=

=

n

i i

n

i ii

zg

zg

zβ (V.62)

( )*1 / izg ∂∂ berarti bahwa proses diferensiasi dievaluasi pada design

point ( )**2

*1 ...,, nzzz . Dengan menyamakan nilai minimum r sama dengan β pada

persamaan (V.59) dan dengan menggunakan persamaan (V.60), ekspresi design

point pada permukaan batas kegagalan menjadi,

( ) 2/1*

t*

**

GG

G-z

β= (V.63)

Dalam bentuk skalar, komponen *z menjadi

niz ii ,...,2,1** == βα (V.64)

dimana,

( )

( )2/1

1

2*1

*1*

/

/

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂−=

∑=

n

ii

ii

zg

zgα (V.65)

adalah arah kosinus sepanjang sumbu iz .

Tinjau fungsi permukaan batas kegagalan ( )zg1 yang diekspansikan dengan Deret

Taylor di sekitar titik D.

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ∑∑=

∞

=

n

i

kii

k

ik

zzzg

kzg

1

*

*

1

01 !

1 (V.66)

Dengan menggunakan aproksimasi linier dan menghilangkan bagian dengan

2≥k pada persamaan di atas, dapat diperoleh

( ) ( )∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=n

iii

i

zzzg

zg1

*

*

11 (V.67)

Dengan mengasumsikan variabel-variabelnya terlepas secara statistik maka nilai

ekspektasi dan standar deviasi dari fungsi ( )zg1 di atas adalah

102

( )[ ] ∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=n

i ii z

gzzgE

1 *

1*1 (V.68)

( )

2/1

1

2

*

11 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ∑=

n

i izg z

gσ (V.69)

sehingga

( )[ ]( )

2/1

1

2

*

1

1 *

1*

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

==

∑

∑

=

=

n

i i

n

i ii

zg

zg

zgz

zgEσ

β (V.70)

Terlihat bahwa persamaan (V.62) dan (V.70) memberikan nilai yang sama.

Perbandingan yang diberikan oleh persamaan (V.70) adalah jarak dari bidang

tangensial pada permukaan batas kegagalan di design point

( ) 0...,, **2

*1

* === nzzzzD terhadap titik asal pada sistem koordinat yang sudah

ternormalisasi.

Problem untuk menemukan nilai minimum dari β=r , pada kasus permukaan

batas kegagalan non linier dapat dilakukan secara iteratif. Salah satu metoda yang

bisa digunakan adalah dengan cara menyelesaikan solusi n persamaan .

( )ni

Kzg i

i ,...,2,1/ *1 =∂∂−

=α

dan persamaan ke (n+1) berikut

( ) 0...,, **2

*11 =nzzzg

dimana,

( )2/1

1

2*1 / ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂= ∑

=

n

iizgK (V.71)

niz ii ,...,2,1** == βα

Selanjutnya dapat ditentukan arah kosinus yang menyebabkan nilai β minimum.

103

Pada bagian bawah disajikan salah satu contoh prosedur untuk menentukan indeks

kehandalan struktur. Adapun prosedur yang dimaksud adalah sebagai berikut.

1. Tulisan persamaan keadaan batas, ( ) 0,...,, 21 =nxxxg sebagai fungsi dari

variabel-variabel dasarnya.

2. Normalisasikan variabel-variabel dasar yang ada dengan mengacu pada

persamaan (V.46)

3. Tuliskan persamaan permukaan batas kegagalan pada koordinat sistem

yang ternormalisasi ( ) 0,...,, 211 =nzzzg

Selanjutnya tuliskan ekspresi untuk nizg i ,...,2,1,/1 =∂∂

Pada design point berlaku βα iiz = . Dengan menggunakan hubungan

tersebut ekspresi ( )zg1 dapat dibuat sebagai fungsi dari β dan

iα sehingga dihasilkan ekspresi berikut

( )ng αααββ ...,,, 211=

4. Pilih satu nilai β dan nilai-nilai untuk nααα ...,, 21 dengan batasan

12 =∑ iα . Ketika memilih iα , ambil nilai positif untuk variabel yang

merepresentasikan beban dan nilai negatif untuk variabel yang

merepresentasikan tahanan.

5. Lakukan iterasi dan hitung nilai β yang baru dengan menggunakan

persamaan

( )ng αααββ ...,,, 211=

6. Hitung

( )2/1

1

2*1 / ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂= ∑

=

n

iizgK

7. Tentukan nilai iα yang baru dengan menggunakan persamaan

( )ni

Kzg i

i ,...,2,1/ *1 =∂∂−

=α

8. Dengan menggunakan nilai β dan iα yang baru lakukan iterasi

selanjutnya dengan mengulangi dari langkah ke lima.

104

9. Hentikan proses iterasi sampai nilai β konvergen dalam batas-batas

toleransi yang diperbolehkan.

Distribusi Non-Normal

Sampai sejauh ini proses evaluasi indeks kehandalan yang telah dilakukan

berdasarkan asumsi bahwa semua variabel dasarnya berdistribusi normal.

Berdasarkan pembahasan bagian sebelumnya diketahui bahwa apabila persamaan

safety margin berbentuk linier dan semua variabel dasarnya berdistribusi normal

maka evaluasi indeks kehandalan dapat dilakukan secara eksak, apabila

persamaan safety margin-nya berbentuk non linier dan semua variabel dasarnya

nasih berdistribusi normal maka evaluasi indeks kehandalan dapat dilakukan

dengan metoda aproksimasi, dan ketika pendekatan linier melalui ekspansi deret

taylor orde pertama digunakan, prosedur tersebut dikenal dengan istilah FOSM

(First Order Second Moment).

Pada bagian ini masih dalam kerangka pengaplikasian metoda FOSM, akan

diuraikan mengenai langkah evaluasi indeks kehandalan ketika ada variabel

bebasnya yang tidak berdistribusi normal. Prinsip dasar yang digunakan untuk

evaluasi ini berdasarkan pada penggunaan distribusi normal ekivalen yang didapat

melalui proses transformasi variabel non-normal menjadi variabel normal pada

design point. Adapun prosedur mengenai pembentukan distribusi normal ekivalen

adalah sebagai berikut

Pada titik kegagalan atau design point, *ix

1. Probability density ordinate dari variabel non-normal asal, iX , dibuat

sama dengan probability density ordinate dari distribusi normal ekivalen , 'iX , sehingga

( ) ( )**' xfxxfx ii = (V.72)

2. Cumulative probability dari variabel non normal asal iX dibuat sama

dengan cumulative probability dari distribusi normal ekivalen, 'iX ,

sehingga

105

( ) ( )**' xFxxFx ii = (V.73)

Apabila ix'μ dan ix'σ merupakan unknown nilai rata-rata dan standar deviasi dari

'iX maka persamaan (V.73) menjadi

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ=

i

iii x

xxxFx '

'**

σμ (V.74)

Berdasarkan persamaan-persamaan di atas didapat

( )[ ] **1''iiiii xxFxxx +Φ−= −σμ (V.75)

Tinjau persamaan (V.69), karena variabel 'iX mengikuti distribusi normal maka,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

i

ii

ii x

xxx

xfx '

'*

'* 1

σμ

φσ

(V.76)

Karena variabel 'iX mengikuti distribusi normal.

( )[ ]{ }

( )*

*1'

xfxxFx

xi

iii

−Φ=

φσ (V.77)

Nilai iFx dan ifx sebagai variabel yang diketahui, maka nilai ix'μ dan ix'σ

dapat diperoleh melalui persamaan (V.75) dan (V.77). Prosedur untuk

menentukan β untuk permukaan kegagalan yang mempunyai variabel dasar non-

normal dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut :

1. tulis persamaan kondisi batas dalam bentuk variabel dasar, misalnya

( ) 0,...,, 21 =nXXXg

2. normalisasikan variabel dasar dengan menggunakan persamaan (V.46)

untuk variabel normal iX , i

iii x

xXZ

σμ−

=

untuk variabel non-normal jX , j

jjj x

xXZ

σμ

′

′−=

dimana jxμ ′ dan jxσ ′ adalah nilai rata-rata (mean) dan standar deviasi

yang belum diketahui dari ekivalen normal jX ′ dari non-normal jX pada

titik kegagalan

106

3. tulis persamaan kondisi batas dalam bentuk variabel ternormalisasi dan

nilai yang belum diketahui dari jxμ ′ dan jxσ ′

4. pilih nilai untuk nαααβ ,...,,, 21 seperti yang telah dijelaskan pada bagian

sebelumnya dan nilai dari jxμ ′ dan jxσ ′ .

5. mulai iterasi. Hitung nilai baru dari nαααβ ,...,,, 21 seperti yang

dijelaskan pada bagian sebelumnya.

6. untuk variabel non-normal (misalkan jX ), maka titik desainnya adalah

jjjj xxx σβαμ ′+′=*

7. pada titik desain *jx , tentukan nilai dari jxμ ′ dan jxσ ′ menggunakan

persamaan (V.75) dan (V.77)

8. kembali ke langkah ke-5 dan ulangi prosedur sampai β konvergen pada

nilai minimum.

VV..44..44 Model Kemungkinan Kegagalan Struktur

Untuk menentukan hubungan antara cadangan kekuatan (Reserve Strength Ratio)

dengan tingkat kemungkinan kegagalan tahunan, maka sebuah model probabilistik

harus disusun untuk menentukan reliabilitas struktur. Model probabilistik yang

akan digunakan telah direkomendasikan oleh Ersdal (2005) dengan menggunakan

beberapa paramater yang ditentukan oleh Ersdal (2005).

Tinggi Gelombang (H)

Distribusi dari tinggi gelombang maksimum yang terjadi pada perairan di lokasi

platform akan dibutuhkan untuk menentukan statistik gaya geser yang terjadi pada

struktur. Distribusi tersebut didapat dari survey metocean yang telah dilakukan,

sehingga dengan menghitung kecocokan sebaran data tinggi gelombang terhadap

beberapa jenis distribusi. Distribusi yang akan dilihat adalah untuk tinggi

gelombang maksimum tahunannya untuk mengetahui nilai rata-rata (mean, μ )

dan standar deviasi (σ ) dari tinggi gelombang maksimum tahunan yang terjadi.

107

Beban Gelombang (W)

Pada tesis ini akan digunakan beban gelombang sebagai beban lingkungan

dominan yang paling berpengaruh terhadap gaya geser yang terjadi pada struktur.

Ersadal (2005) telah menyatakan gaya geser dasar (base shear) yang diakibatkan

oleh gelombang (W) menggunakan persamaan (V.78) dengan tidak menyertakan

pengaruh arus sehingga diperoleh persamaan berikut 3

11CHCW α= (V.78)

Dimana 1α merupakan faktor yang memperhitungkan ketidak-pastian dalam

pemodelan beban, Haver (1995) merekomendasikan distribusi normal dengan

nilai rata-rata (mean) 1.0 dan standar deviasi 0.15. H adalah tinggi gelombang

dengan parameter distribusi yang sudah disebutkan di atas. 1C dan 3C merupakan

koefisien beban yang dipergunakan untuk mengkalibrasi beban yang dikenakan

pada struktur, seperti yang sudah dijelaskan di atas.

Koefisien 1C adalah merupakan pengaruh dari bentuk struktur, atau lebih

tepatnya luasan beban yang diterima pada struktur. Indikasi dari luasan beban

yaitu diberikan dengan berat dari substruktur terhadap panjang jacket. Walaupun

hal ini tidak begitu tepat untuk jacket dengan ketebalan baja yang yang lebih besar

dari biasanya, tetapi masih bisa untuk sebuah indikator. Koefisien 1C terdapat

pada ruas beban struktur, maupun pada ruas ketahanan struktur. Karena hal

tersebut maka koefisien 1C akan saling meniadakan dan selanjutnya dapat

dihilangkan dalam perhitungan reliabilitas, atau dengan memberikan nilai 1C =

1.0. Ersdal (2005) merekomendasikan nilai untuk koefisien beban yaitu 1C

sebesar 1.0.

Sementara itu koefisien 3C merupakan fungsi empiris dari pengaruh tinggi

gelombang terhadap gaya geser dasar (base shear) yang dihasilkannya pada

struktur. Ersdal (2005) telah melakukan penelitian dengan meninjau 4 (empat)

buah jacket dengan beberapa jenis kaki dan tinggi (panjang) jacket yang

bervariasi. Dengan melakukan analisis pengaruh variasi tinggi gelombang

108

terhadap gaya geser dasar yang dihasilkan maka dapat dibuat suatu grafik

hubungan tinggi gelombang dengan gaya geser dasar yang dihasilkannya pada

struktur. Ersdal (2005) kemudian melakukan curve-fitting untuk mendapatkan

parameter yang diperlukan.Dan Ersdal (2005) merekomendasikan nilai koefisien

3C sebesar 2.2.

Ketahanan Struktur (R)

Ketahanan dimodelkan sebagai kapasitas ultimate dari struktur berdasarkan sistem

struktur tersebut. Kapasitas ultimate diasumsikan sama dengan beban (base shear)

desain ( )31001

CHC dikalikan dengan cadangan kekuatan (Reserve Strength Ratio,

RSR). Beban desain adalah gaya geser untuk gelombang dengan periode ulang

100 tahun, dan cadangan kekuatan (Reserve Strength Ratio, RSR) adalah rasio dari

beban ultimate pada saat struktur runtuh terhadap beban desain. ξ adalah faktor

yang memperhitungkan model ketidak-pastian dalam model ketahanan, menurut

Efthymiou et al (1996), ξ terdistribusi normal dengan nilai rata-rata (mean) 1.0

dan standar deviasi 0.1. 3

1001CHCRSRR ⋅⋅⋅= ξ (V.79)

Persamaan Kondisi Batas

Fungsi permukaan kegagalan adalah peristiwa dimana gaya geser dari gelombang

yang terjadi sama dengan gaya geser desain untuk beban 100 tahunan yang sudah

dikalikan dengan rasio cadangan kekuatannya. Yang berarti beban yang terjadi

sama dengan kapasitas ultimate dari struktur.

Fungsi kegagalan untuk keruntuhan ultimate dari struktur dapat dimodelkan

dengan persamaan berikut

g = Ketahanan – Beban (V.80)

WRg −= (V.81)

33111001

CC HCHCRSRg ⋅⋅−⋅⋅⋅= αξ (V.82)

109

Kemungkinan kegagalan adalah peluang dimana gaya geser yang ditimbulkan

oleh gelombang lebih besar dari gaya geser desain 100 tahunan yang sudah

dikalikan RSRnya. Atau kemungkinan kegagalan adalah peluang dimana fungsi

kegagalan g lebih kecil dari nol ( )0<g .

( )WRPp f <=

( )0<= gPp f (V.83)

Dengan parameter distribusi yang sudah ditentukan, maka reliabilitas struktur

dapat dihitung dengan menggunakan metode First Order Second Moment

(FOSM).

110

Bab V Analisa Reliabilitas ............................................................................... 68

V.1 Statistik dan Probabilitas....................................................................... 68

VV..11..11 Pendahuluan .................................................................................. 68

VV..11..22 Probability Density Function ........................................................ 68

VV..11..33 Cumulative Distribution Function (CDF) ..................................... 69

VV..11..44 Properties Statistik Measure of Location ...................................... 70

VV..11..55 Properties Statistik Measure of Spread ......................................... 71

VV..11..66 Momen Variabel Acak .................................................................. 72

VV..11..77 Model Distribusi Variabel Acak ................................................... 74

V.2 Distribusi dan Parameter Ketahanan..................................................... 77

VV..22..11 Pendahuluan .................................................................................. 77

VV..22..22 Statistik dari Propertis Baja........................................................... 77

VV..22..33 Ketidak-pastian Model Ketahanan Jacket..................................... 80

V.3 Distribusi dan Parameter Beban............................................................ 81

VV..33..11 Beban Gravitasi............................................................................. 81

VV..33..22 Beban Lingkungan ........................................................................ 83

VV..33..33 Ketidak-pastian Model Beban Lingkungan .................................. 85

V.4 Metoda Reliabilitas ............................................................................... 87

VV..44..11 Pendahuluan .................................................................................. 87

VV..44..22 Variabel Dasar dan Permukaan Batas Kegagalan (Failure Surface)

89

VV..44..33 First Order Second Moment (FOSM) ........................................... 91

VV..44..44 Model Kemungkinan Kegagalan Struktur .................................. 106

Gambar V. 1 Perhitungan PDF Riwayat waktu .................................................... 69

Gambar V. 2 Hubungan antara PDF dan CDF...................................................... 70

Gambar V. 3 PDF Normal Standar ....................................................................... 74

Gambar V. 4 PDF Log Normal ............................................................................. 75

Gambar V. 5 PDF Gumbel.................................................................................... 76

111

Gambar V. 6 Variasi dari kekuatan ultimate dengan satu kali pengecoran

sepanjang batang ................................................................................................... 78

Gambar V. 7 Distribusi frekuensi dari tegangan leleh suatu grade baja pada suatu

pabrik pengecoran baja ......................................................................................... 79

Gambar V. 8 Distribusi frekuensi tegangan leleh ................................................. 80

Gambar V. 9 Distribusi frekuensi modulus elastisitas .......................................... 80

Gambar V. 10 Jenis pembebanan geometri .......................................................... 82

Gambar V. 11 Konsep daerah perencanaan .......................................................... 91

Gambar V. 12 Konsep indeks reliabilitas/indeks kehandalan............................... 93

Gambar V. 13 Permukaan batas kegagalan linear ................................................ 97

Gambar V. 14 Forrmulasi Safety Analysis pada koordinat ternormalisasi............ 98

v.1 statistik dan probabilitas - perpustakaan digital · pdf filemanufaktur yang mempunyai...

Documents