untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0 x x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; / ; - ; 0, (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c x a2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku x a x aa. l i m [f(x) g(x)] = l i m f(x) l i m g(x) = F ± G x a x a x a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G x a x a x a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F x a x a

l i m f(x)d. l i m f(x) = x a = F x a g(x) l i m g(x) G x a

LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud. Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan. Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ; /a = ; a/ = 0 ; ± a =konstanta)

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x(x <<< kecil sekali ; setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1x 0 x x 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1x 0 sin x x 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 bx x 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/bx 0 sin bx x 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 sin bx x 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 tg bx x 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)ctg x = tg (90° - x)sin ax = 2 sin ½ax cos ½axcos ax = 1- 2 sin² ½axcos²x = 1 - sin²x

HAL-HAL KHUSUS

l i m ax m + bx m-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...

untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n

l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + fx

untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2a - untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a

dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka

l i m f(x) = l i m f(x) x g(x) x a g(x)

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x 3

2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikan x 2x + 1

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x 2 - x - 1 = (*) Uraikan x 10x + 9

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = = x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus

4. l i m x 2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus Differensial

5. l i m x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1) 3 = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6


6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1) 3 = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6


7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar x l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x 2 + 4x = (*) Hilangkan tanda x 3x - 9x2 + 4x akar

l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x = x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2 x 3 + 3(1 + 0) 6 3


CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*) x 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0 x 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0 2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0 x 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6


4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a


PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )

sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos - sin sin tg() = tg + tg 1 - tg2

SELISIH DUA SUDUT ( - )

sin( - ) = sin cos - cos sin cos( - ) = cos cos + sin sin tg(-) = tg - tg 1 + tg2

SUDUT RANGKAP

sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos2 - sin2

= 2 cos2 - 1= 1 - 2 sin2

tg 2 = 2 tg 2 1 - tg2sin cos = ½ sin 2cos2 = ½(1 + cos 2)sin2 = ½ (1 - cos 2)

Secara umum :

sin n = 2 sin ½n cos ½ncos n = cos2 ½n - 1

= 2 cos2 ½n - 1= 1 - 2 sin2 ½n

tg n = 2 tg ½n 1 - tg2 ½n

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN PERKALIAN

sin + sin = 2 sin + cos - 2 2 sin - sin = 2 cos + sin - 2 2 cos + cos = 2 cos + cos - 2 2 cos + cos = - 2 sin + sin - 2 2

BENTUK PERKALIAN PENJUMLAHAN

2 sin cos = sin +) + sin -)2 cos sin = sin +) - sin -)2 cos cos = cos +) + cos -)- 2 sin cos = cos +) - sin -)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - )

a cos x + b sin x = K cos (x-)

dengan : K = a2 + b2 dan tg = b/a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

I II III IV

a + - - +

b + + - -

keterangan :a = koefisien cos xb = koefisien sin x

PERSAMAANI. sin x = sin x1 = + n.360° x2 = (180° - ) + n.360°

cos x = cos x = ± + n.360°

tg x = tg a x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-) = C cos (x-) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 C/K 1 atau K² C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos cos (x - ) = cos (x - ) = ± + n.360° x = ( ± ) + n.360°

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x(x <<< kecil sekali ; setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1x 0 x x 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1x 0 sin x x 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 bx x 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/bx 0 sin bx x 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 sin bx x 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/bx 0 tg bx x 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)ctg x = tg (90° - x)sin ax = 2 sin ½ax cos ½axcos ax = 1- 2 sin² ½axcos²x = 1 - sin²x

HAL-HAL KHUSUS

l i m ax m + bx m-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...

untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n

l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + fx

untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2a - untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= adan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka

l i m f(x) = l i m f(x) x g(x) x a g(x)

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x 3

2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikan x 2x + 1

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x 2 - x - 1 = (*) Uraikan x 10x + 9

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = = x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10


4. l i m x 2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3


5. l i m x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1) 3 = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6


6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1) 3 = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6


7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar x l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x 2 + 4x = (*) Hilangkan tanda x 3x - 9x2 + 4x akar

l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x = x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2 x 3 + 3(1 + 0) 6 3


CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*) x 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0 x 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0 2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0 x 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6


4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a


untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f

Documents