ulangan 49 soal (3125111220 afifah arifianty)

-1-7

7A(-7,7)

B(-1,-2)

CD

E

2

1

7

-2

-7 5

Y

X

K

Q S

P

O

R(5, -11)

9

9

-1

1

1

Nama Afifah Arifianty

Noreg 3125111220

ULANGAN GEOMETRI ANALITIK hal 53

1. Tentukan koordinat-koordinat titik-titik yang membagi garishubung titik-titik (−7,7 ) dan (−1 ,−2) , di dalam dan di luar -- di dalam, kalau titik itu antara, dan di luar kalau titik itu pada perpanjangan kedua titik yang diketahui -- , atas perbandingan 2:1

Jawab :

ACAB

= ADAE

23= AD

9AD=6

ACAB

=DCEB

23= DC

6DC=4

Sehingga akan didapatkan titik C (-3,1)

PLPR

= KLQR

→12= 6

QR→ QR=12

PLPR

= PKPQ

→12= 9

9+KQ

→ 9+KQ=18 → KQ=9

Jarak QR =12 , sedangkan jarak dari

pusat O sampai K adalah 7,

sisa jarak QR-OK = 5=R

∴ Sehingga didapat titik R(5,-11)

Geometri Analitik

2. Tunjukkan bahwa titik T(-2,0) terletak pada garis hubung A(7,-3) dan B(-5,1); tentukan perbandingan AT:TB.

Jawab: Persamaan garis

AB→y−(−3 )1−(−3 )

= x−7−5−7

( y+3 ) (−12 )=( x−7 ) (4 )

−12 y−36=4 x−28

4 x+12 y+8=0→ x+3 y+2=0

Periksa apakah T terletak di garis AB :

x+3 y+2=(−2 )+3 (0 )+2=0

Maka T terletak di garis AB

|AT|=√{ [7−(−2 ) ]2 }+ [−3−0 ]2=√(9)2+(−3)2 √90=3√10

|TB|=√{[−5−(−2 ) ]2}+[ 1−0 ]2=√(−3)2+(1)2=√10

Maka AT :TB=3√10 :√10=3 :1

3. A,B, dan C adalah titik-titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , dan ( x3, y3 ) ; D = tengah-tengah BC dan G

membagi AD atas perbandingan 2 : 1 ; Tentukan koordinat-koordinat titik G dan tunjukkan

bahwa ketiga garis berat segitiga ABC adalah konkuren (melalui satu titik).

A

Diketahui:

segitiga ABC

D adalah titik tengah BC

Andaikan F E

E adalah titik tengah AC

F adalah titik tengah AB

B D C

Maka

D merupakan titik tengah BC

xD=x2+x3

2

Geometri Analitik

y D=y2+ y3

2

E merupakan titik tengah AC

xE=x1+x3

2

y E=y1+ y3

2

F merupakan titik tengah AB

xF=x1+x2

2

y F=y1+ y2

2

AG :GD=2 :1

xG=x1+2 x D

3

¿x1

3+2

3 ( x2+ x3

2 )¿

x1+x2+x3

3

yG=y1+2 yD

3

¿y1

3+ 2

3 ( y2+ y3

2 )¿

y1+ y2+ y3

3

∴Maka, koordinat titik G

(x1+x2+x3

3,

y1+ y2+ y3

3)

.

Persamaan garis berat AD dengan

mAD=

y2+ y3

2− y1

x2+x3

2−x1

=y2+ y3−2 y1

x2+x3−2 x1

adalah

Geometri Analitik

y− y1=y2+ y3−2 y1

x2+x3−2 x1( x− x1 )

↔ ( y2+ y3−2 y1 ) x−¿(x2+ x3−2x1 ¿ y+ (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )=0

Persamaan garis berat BE dengan

mBE=

y1+ y3

2− y2

x1+x3

2−x2

=y1+ y3−2 y2

x1+ x3−2 x2

adalah

y− y2=y1+ y3−2 y2

x1+x3−2 x2( x−x2 )

↔ ( y1+ y3−2 y2 ) x−¿(x1+ x3−2x2 ¿ y+ (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+ x3 y2 )=0

Persamaan garis berat CF dengan

mCF=

y1+ y2

2− y3

x1+x2

2−x3

=y1+ y2−2 y3

x1+x2−2 x3

adalah

y− y3=y1+ y2−2 y3

x1+x2−2 x3( x−x3 )

↔ ( y1+ y2−2 y3 ) x−¿(x1+ x2−2x3 ¿ y+ (−x3 y1−x3 y2+ x1 y3+x2 y3 )=0

Periksa:

[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+x3−2 x1) (−x1 y2− x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+x3−2 x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )( y1+ y2−2 y3 ) −(x1+x2−2 x3) (−x3 y1−x3 y2+x1 y3+x2 y3 )]

b3+b1

→[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+ x3−2x1) (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+ x3−2x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )

( y1+2 y2+ y3−2 y1−2 y3 ) −(x1+2 x2+x3−2 x1−2 x3) (−x3 y1−x3 y2+x1 y3+ x2 y3 )]b3+b2

Geometri Analitik

2

2

3

P

M

A

3

Q

B

188

20

10

15

13

→[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+ x3−2 x1) (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+ x3−2 x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )

0 0 0 ]=0

∴Maka, ketiga garis berat segitiga ABC konkuren.

4. Tentukan koordinat-koordinat titik P dan Q, yang membagi segmen garis AB, A(8,10) dan B(18,20), di dalam dan di luar, atas perbandingan 2:3. Buktikan selanjutnya, bahwa MP.MQ=MB2, kalau M terletak di tengah-tengah AB.

Jawab :

Diketahui:

A (8,10)

B (18, 20)

Xp = 3 x A+2 xB

2+3=24+36

5=12

Yp =3 yA +2 yB

2+3=30+40

5=14

P (12, 14)

XA = xQ+2 xB

3

24 = XQ+36

XQ = -12

Q (-12, -10)

YA = Y Q+2 Y B

3

30 = YQ+40

YQ = -10

XM = xA +xB

2=13

YM =y A+ yB

2=15

Geometri Analitik

M (13, 15)

Buktikan bahwa MP ∙ MQ = MB2

MP = √( XP−X M)2+(Y P−Y M )2 = √2

MQ = √( XM−XQ)2+(Y M−Y Q)2 = 25√2

MP ∙ MQ = √2∙25√2 = 50

MB2 = 25+25 = 50 ∴ Terbukti

5. Tentukan luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½).

Jawab :

LΔ=12 |x1 y1 1

x2 y2 1x3 y3 1|

LΔ=12 | 6

12

1

−4 212

1

−6 −312

1|LΔ=1

2 [6(212−(−3

12 ))−(−4 )( 1

2−(−3

12 ))+(−6)( 1

2−2

12 )]

LΔ=12

[6 (6 )+4 (4 )−6 (−2 ) ]

LΔ=18+8+6=32

Luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½) adalah 32.

6. Jika A ( x , y ), B (−3,2 ), dan C (−4 ,−4 ) dan luas segitiga ABC adalah 1712

. Tunjukkan

bahwa 6 x− y−15=0!

Jawab:

Akan ditunjukkan bahwa 6 x− y−15=0

Geometri Analitik

Luas segitiga ¿12|x1 y1 1

x2 y2 1x3 y3 1|

352

=12 | x y 1

−3 2 1−4 −4 1|

352

=12 (x| 2 1

−4 1|+3| y 1−4 1|−4|y 1

2 1|)352

=12

( x (2+4 )+3 ( y+4 )−4 ( y−2 ) )

352

=12

(6 x+3 y+12−4 y+8 )

352

=12

(6 x− y+20 )

35=6 x− y+20

6 x− y−15=0

7. Tentukan persamaan garis yang melalui (−2 ,−5) dan yang memotong sumbu x dan sumbu y berturut-turut di A dan B, sehingga OA+2 OB=0

Penyelesaian :

Persamaan garis y=mx+c

Garis melalui (−2 ,−5) −5=−2m+c ………….. (i) y

Gsris memotong sumbu x di A( p , 0)

|OP|=p

Garis memotong sumbu y di B(0 , q) B(0 , q)

|OB|=q

Diketahui OA+2 OB=0

Maka , p+2q=0

p=−2q

m= q−00−p

= q−p

= q2 q

=12

Geometri Analitik

A( p , 0)

Subsitusikan m=12

ke (i)

−5=−2m+c

−5=−2.( 12)+c

c=−4

Maka persamaan garis yang melalui (−2 ,−5) adalah:

y=mx+c

y=( 12 ) x+4

2 y=x+8

x−2 y+8=0

8. Garis x + ay =a memotong sb-x dan sb-y berturut-turut di A dan B. Jika OA = 3OB, tentukan persamaan garis AC dengan C(0,-9). Buktikan AC tegaklurus pada AB!

Jawab:

Misal titik A ( x a , 0 ); B (0 , yb )

OA=3OB

A=3 B

Gradien garis

AB=yb−0

0−xa

=yb

−xa

=−13

Persamaan garis AB: x+ay=a

ay=−x+a

y=−1a

x+1

Maka : M AB=−1a

=−13

a=3

Garis AB memotong sb-x di A(x a , 0) y=0

Geometri Analitik

y=−1a

x+1

0=−13

x+1

13

x=1

x=3

A (3,0 )

Persamaan garis AC :

y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

y−0−9−0

= x−30−3

−3 y=−9 x+27

y=3 x−9

Gradien garis AC = 3

Bukti bahwa garis AB tegaklurus AC

M AB . M AC=−1

−13

.3=−1 (terbukti )

9. Suatu garis berkoefisien arah 34

dan melalui P(-2,-5); tentukan koordinat-koordinat titik Q

pada garis itu, kalau PQ=10.

Jawab:

‖PQ‖=√ (−2−x1 )2+(−5− y1 )2

¿√4+4 x1+x12+25+10 y1+ y1

2

¿√ x12+ y1

2+4 x1+10 y1+29

‖PQ‖=10

10 ¿√ x12+ y1

2+4 x1+10 y1+29

Geometri Analitik

102=x12+ y1

2+4 x1+10 y1+29

71=x12+ y1

2+4 x1+10 y1⋯(1)

Persamaan garis yang melalui titik P(-2,-5) dan berkoefisien 34

adalah:

y− y1=m(x−x1)

( y−(−5))=34(x−(−2))

4 ( y+5 )=3 (x+2)

{4 ( y+5 ) }2= {3(x+2) }2

16 ( y2+10 y+25 )=9(x2+4 x+4)

16 y2+160 y+400=9 x2+36 x+36

16 y2+9 x2+160 y+36 x=−364⋯(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), maka didapat:

x1=−10 y1=−11

x2=6 y2=1

∴ Titik Q adalah (-10,-11) atau (6,1).

10. Titik P(−2 ,−3) terletak pada garis AB dengan persamaan 4 x+ay=1. Tentukan koordinat-koordinat titik-titik A dan B, jika AP=PB=10 !

Jawab :

A

P(−2 ,−3) 10

B 10

Titik P (−2 ,−3 ) terletak pada garis AB dengan persamaan 4 x+ay=1, maka diperoleh :4 x+ay=1→ 4 (−2 )+a (−3 )=1

−8−3 a=1→−9=3 a

a=−3

Geometri Analitik

Sehingga diperoleh persamaan 4 x−3 y=1 → y=4 x−13

……..(1)

Jarak AP=√(x1−x2)2+( y1− y2)

2 dengan p(−2 ,−3) dan A(x , y)

10=√( x+2 )2+( y+3 )2

10=√x2+4 x+4+ y2+6 y+9

100=x2+4 x+4+ y2+6 y+9

Substitusi dengan persamaan (1), maka diperoleh :

100=x2+4 x+4+( 4 x−13 )

2

+6( 4 x−13 )+9

100=x2+4 x+4+( 16 x2−8 x+19 )+( 24 x−6

3 )+9

x 9

900=9 x2+36 x+36+16 x2−8x+1+72 x−18+81

25 x2+100 x−800=0→ x2+4 x−32=0

( x+8 ) ( x−4 )=0

x=−8maka diperoleh y=4 (−8 )−1

3→ y=−11

x=4maka diperoleh y=4(4)−1

3→ y=5

Jadi koordinat-koordinat titik A dan B adalah (4,5) dan (−8 ,−11)

Buktikan bahwa kedua garis x=1−3t , y=1+t dan x=4−5t , y=2 t−1 berpotongan di (-11,5).

Pembahasan:

L 1≡ x=1−3 t , y=1+t

Dengan mengeliminasi t, didapat

t= y−1 → x=1−3 ( y−1 )

¿1−3 y+3

¿4−3 y

Geometri Analitik

L 1≡ x=4−3 y

L 2≡ x=4−5 t , y=2t−1

Dengan mengeliminasi t, didapat

t= y+12

→ x=4−5( y+12 )

¿ 32−5 y

2

L 2≡ x=32−5 y

2

Mencari perpotongan L1 dan L2 → eliminasi L1 dan L2

x=x

4−3 y=32−5 y

2

8−6 y=3−5 y

5= y→ x=4−3 (5 )=−11

Jadi, titik potong L1 dan L2 adalah (-11,5)

(Terbukti)

12. Kedua garis x=at−3

a, y=1−at , dan x=1−2bt . y=

2(bt−2)b

adalah sejajar. Buktikan

bahwa ab = 1.Jawab :x = x1 + aty = y1 + bt

k → x =at−3

a=−3

a+ t

y = 1 – at l → x = 1 – 2bt

y = 2(bt−2)

b=−4

b+2 t

l /¿k →u⃗ l=u⃗k

(1, -a) = (-2b, 2)1 = -2b

b = - 12

Geometri Analitik

-a = 2a = -2 a∙b = 1∴ Terbukti

13. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1.

misal D1:D2=2:1

Jawab :

D1=|2 x+ y−1

√22+1 |=|2 x+ y−1

√5 |D2=|x+2 y+1

√1+22 |=|x+2 y+1

√5 |

21=

|2 x+ y−1

√5 ||x+2 y+1

√5 |2=|2 x+ y−1

x+2 y+1|−2 ≤

2 x+ y−1x+2 y+1

≤ 2

(i) -2 (x + 2y + 1) = 2x + y -1

-2x - 4y -2 = 2x + y -1

4x + 5y + 1 = 0

(ii) 2(x + 2y + 1) = 2x + y -1

2x + 4y + 2 = 2x + y -1

3y + 3 = 0

y + 1 = 0

titik-titik yg memiliki perbandingan jarak terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1 terletak pada garis 4x + 5y + 1 = 0 dan y + 1 = 0

Geometri Analitik

14. A, B, C, D adalah titik-titik (−3,3 ) , (12,6 ) , (−4 ,−3 ) , (1 ,−2 ) ; E membagi dalam segmen AB atas perbandingan 2:1. F membagi luar segmen CD atas perbandingan 3:2. Tentukan koordinat-koordinat E dan F, dan tunjukkan bahwa EF//AD!

Jawab :

X E=a XB+b X A

a+b Y E=

a Y B+b Y A

a+b

X E=2 (12 )+1 (−3 )

2+1Y E=

2 (6 )+1 (3 )2+1

X E=24−3

3 Y E=

12+33

XE=213

Y E=153

X E=7 Y E=5 ∴E=(7,5 )

X D=a XF+b XC

a+b Y D=

aY F+b Y C

a+b

1=1 XF +2 (−4 )

1+2 −2=

1Y F +2 (−3 )1+2

1=X F−8

3 −2=

Y F−6

33=X F−8 −6=Y F−6

X F=11 Y F=0 ∴F=(11,0 )

Akan ditunjukkan bahwa EF//AD.

E=(7,5 ) A=(−3,3 )

F=(11,0 ) D=(1 ,−2 )

Syarat sejajar, yaitu: m1=m2

mEF=mAD

y2− y1

x2−x1

=y2− y1

x2− x1

0−511−7

=−2−31+3

Geometri Analitik

−54

=−54

Karena mEF=mAF, maka terbukti EF//AD.

15. A, B adalah titik (1 ,−2 ) , (−3,4 ); Tentukan titik T pada garis x−2 y+4=0 ; Kalau luas ∆ ABT 13.

Jawab:

T ( X0 ,Y 0 )terletak pada garis X−2Y +4=0

Maka,

X 0−2Y 0+4=0 ……………….(1)

Luas ∆ ABT=13 , dengan A (1 ,−2 ) B (−3,4 ) T ( X0 ,Y 0)

12|X1 Y 1 1

X 2 Y 2 1X 0 Y 0 1|=13

| 1 −2 1−3 4 1X0 Y 0 1|=26

(−3 Y 0−4 X0 )−(Y 0+2 X0 )+(4−6 )=26

−4 Y 0−6 X0=26+2

−4 Y 0−6 X0=28 ……………………(2)

Eliminasi (1) dan (2)

X0−2Y 0=−4|x6

−4 Y 0−6 X0=28|x 1 +

6 X 0−12Y 0=−24

−6 X 0−4 Y 0=28 +

−16 Y 0=4

Geometri Analitik

Y 0=−14

X 0=−412

Titik T terletak pada (−412

,−14)

16. Garis-garis ax+hy+g=0 , hx+by+f =0 , dan gx+ fy+c=0 adalah konkruen ; buktikan bahwa :

abc+2 fgh−af 2−bg2−ch2=0

Jawab:

Misalkan : g1 ≡ax+hy+g=0

g2 ≡hx+by+ f =0

g3 ≡ gx+ fy+c=0

g1 g2 g3 kongruen, maka ( x0 , y0 ) sehingga ( x0 , y0 )∈ g1∩ g2 g3

Jadi : ax+hy+g=0

hx+by+ f =0

gx+ fy+c=0

(a h gh b fg f c )( x

y1)=(0

00) Karena ( x , y ,1 )≠ (000) maka |a h g

h b fg f c|=0

|a h gh b fg f c|=a|b f

f c|−h|h gf c|+g|h g

b f|¿a (bc−f 2 )−h (hc−fg )+g (hf −bg)

¿abc−af 2−ch2+ fgh+ fgh−bg2

¿abc+2 fgh−af 2−bg2−ch2=0 ∴ Terbukti

17. Tentukan panjang tali busur yang berimpit dengan sumbu-x dari lingkaran yang bergaristengah AB, kalau A(0 ,−1) dan B(2 , 3)

Geometri Analitik

Jawab:

r=12‖AB‖

¿ 12√22+ (3+1 )2

¿ 12√4+16

¿ 12

×2√5=√5

Masukkan ke persamaan lingkaran:

( x−a )2+ ( y−b )2=5

( x−1 )2+( y−1 )2=5

x2−2 x+ y2+2=5

x2+ y2−2 x−2 y=3

⟶ y=0⟶ x2−2 x−3=0

x1=−1∨ x2=3

Jadi, jarak x1 , x2=4

Maka panjang tali busur adalah 4

18. A , B ,C adalah titik-titik (3,5 ) , (−4 ,−2 ) ,(3 ,−1); tentukan titik-titik pada garis x−3 y+2=0 , yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan A , B dan C !

Jawab :

Terdapat tiga titik pada suatu lingkaran dengan persamaan ( x−a )2+ ( y−b )2=r2

Melalui (3,5 ) : (3−a )2+(5−b )2=r 2………… .. (i )

Melalui (−4 ,−2 ) : (−4−a )2+(−2−b )2=r2 ………… .. (ii )

Melalui (3 ,−1 ) : (3−a )2+(−1−b )2=r2 ………… .. (iii )

Eliminasi persamaan (i) dan (iii)

(3−a )2+(5−b )2=r 2

Geometri Analitik

(3−a )2+(−1−b )2=r2

(5−b )2−(−1−b )2=0→ 25−10 b+b2−1−2 b−b2=0

24=12 b →b=2

Substitusi b=2 ke persamaan (i) dan (ii)

(3−a )2+(5−2 )2=r2→ (3−a )2+9=r2 ……… ..(iv)

(−4−a )2+(−2−2 )2=r2→ (−4−a )2+16=r2 ……. ( v )

Eliminasi persamaan (iv) dan (v)

(3−a )2+9=r2

(−4−a )2+16=r2

(3−a )2− (−4−a )2−7=0→ 9−6 a+a2−16−8a−a2=7

−14 a=14 → a=−1

Substitusi a=−1 dan b=2 ke persamaan (i), maka diperoleh :

(3−(−1))2+(5−2 )2=r2→ 16+9=r2

r2=25→ r=5

Sehingga diperoleh persamaan lingkarannya :

( x+1 )2+ ( y−2 )2=25

Terdapat sebuah garis yang terletak selingkaran dengan titik-titik A , B ,C yaitu x−3 y+2=0→ x=3 y−2

Substitusi x=3 y−2 ke persamaan lingkaran ( x+1 )2+ ( y−2 )2=25, maka diperoleh :

(3 y−2+1 )2+( y−2 )2=25 → (3 y−1 )2+ ( y−2 )2=25

9 y2−6 y+1+ y2−4 y+4=25

10 y2−10 y−20=0→ y2− y−2=0

( y+1 ) ( y−2 )=0

y=−1 dan x=3 y−2 → x=−5

y=2dan x=3 y−2 → x=4

Geometri Analitik

Jadi titik-titik pada garis x−3 y+2=0 , yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan A , B dan C adalah (4,2 ) dan (−5 ,−1 )

20. Tentukan titik-titik potong garis singgung di titik (1,2) pada lingkaran x2+ y2=25 dengan

lingkaran x2+ y2=10.Jawab :L1 → Persamaan garis singgung di (1,2)

x1x + y1y = r2

x + 2y = 5x = 5 – 2y

Masukkan ke persamaan L2: x2 + y2 = 10(5-2y)2 + y2 = 1025 – 20y + 5y2 = 10y2 – 4y +3 = 0(y-1) (y-3) = 0∴. y = 1, x = 3 → ( 3, 1 )

y = 3, x = -1 → (-1, 3)

21. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik(1,0) dan yang menyinggung garis 3x+2y=4 dititik (2,-1)

Jawab :

pers garis singgung lingkaran yg melalui titik (1,0) adalah

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (2,-1) dg pusat P(a,b) adalah

Samakan (1) dan (2)

Geometri Analitik

Jadi persamaan lingkaran dg P(-1,-3) dan berjari-jari

22. Tentukan persaman-persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik (−3 ,−4) pada

lingkaran x2+ y2−4 x−2 y−5=0!

Penyelesaian:

Titik (−3 ,−4 ) terletak di luar lingkaran sebab:

x2+ y2−4 x−2 y−5>0

(−3 )2+(−4 )2−4 (−3 )−2 (−4 )−5>0

9+16+12+18−5>0

30>0

¿ Misal lingkaran tersebut mempunyai garis singgung:

y− y1=m ( x−x1 ) → dititik (−3 ,−4 )

y+4=m ( x+3 )

y+4=mx+3 m

y=mx+3m−4⋯⋯⋯⋯(1)

Substitusi persamaan (1) ke x2+ y2−4 x−2 y−5=0

x2+ (mx+3 m−4 )2−4 x−2 (mx+3 m−4 )−5=0

x2+m2 x2+6 m2 x−8 mx−24 m+9m2+16−4 x−2mx−6 m+8−5=0

Geometri Analitik

(1+m2 ) x2+( 6 m2−10m−4 ) x+9 m2−30m+19=0

Syarat garis menyinggung lingkaran:

D=0

(6m2−10 m−4 )2−4 (1+m2) ( 9m2−30 m+19 )=0

−60 m2+200 m−60=0

3 m2−10 m+3=0

(3m−1 ) (m−3 )=0

m1=13

atau m2=3

Untuk m1=13

, persamaan garis singgung-nya:

y− y1=m ( x−x1 )

y+4=13

(x+3 )

3 y+12=x+3

x−3 y−9=0

Untuk m2=3, maka persamaan garis singgung-nya:

y− y1=m ( x−x1 )

y+4=3 ( x+3 )

y+4=3 x+9

3 x− y+5=0

23. buktikan bahwa garissinggung pada lingkaran L1≡ x2+ y2−6 x+2 y+5=0 di titik (1,0)

menyinggung lingkaran 5 x2+5 y2=4

Jawab:

Geometri Analitik

Pusat lingkaran L1=(3 ,−1 ) , r2=5

garissinggung pada lingkaran x2+ y2−6 x+2 y+5=0 di titik (1,0)

( x−a ) ( x1−a )+( y−b ) ( y1−b )=r 2

( x−3 ) (1−3 )+ ( y+1 ) (0+1 )=5

−2 ( x−3 )+( y+1 )−5=0

−2 x+6+ y+1−5=0

y=2 x−2

Masukkan persamaan (i) ke persamaan lingkaran 5 x2+5 y2=4

5 x2+5 (2 x−2 )2=4

5 x2+5 ( 4 x2−8 x+4 )−4=0

5 x2+20 x2−40 x+20−4=0

25 x2−40 x+16=0

Karena menyinggung, maka D = 0

D=b2−4ac=0

(−40 )2−4 (25 ) (16 )=0

1600−1600=0… (terbukti)

24. Buktikan bahwa kedua lingkaran x2+ y2−6 ax+6 ay+16 a2=0 dan

x2+ y2−2 ax+6 ay+8 a2=0 berpotongan tegak lurus.

L1=x2+ y2−6 ax+6 ay+16 a2=0

A1=−6a ;B1=6 a ;C1=16 a2

L2=x2+ y2−2 ax+6 ay+8 a2=0

A2=−2a ;B2=6 a ;C1=8a2

Kedua lingkaran akan berpotongan tegaklurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran

∆ m1 m2 P adalah siku−siku

m1 (3 a ,−3a )

Geometri Analitik

m2 (a ,−3 a )

r1=√(3a)2+(−3 a)2−16 a2=√2 a2=a √2

r2=√(a)2+(−3 a)2−8 a2=√2 a2=a√2

Sehingga berlaku: (m¿¿1m2)2=r1

2+r22 ¿

Akan kita kerjakan untuk mengetahui apakah L1 berpotongan tegaklurus L2

(m1 m2 ¿¿2=(3 a−a )2+(−3a−(−3 a ) )2

(m1 m2 ¿¿2=(2 a)2

(m1 m2 )2=4 a2

¿2 a2+2a2

¿¿

¿ r12+r2

2

Karena (m1 m2)2=r1

2+r22 maka L1 berpotongan tegaklurus L2

25. Garis singgung di titik (4,3) pada lingkaran x2+ y2=25 memotong lingkaran x2+ y2=50 di titik-titik P dan Q; buktikan bahwa garis singgung-garis singgung di P dan Q pada lingkaran yang kedua tegaklurus sesamanya.

Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2=25 di titik (4,3) adalah:

x x1+ y y1=r2

4 x+3 y=25

x=25−3 y4

⋯ (1)

Titik potong garis singgung dengan lingkaran kedua:

Substitusi persamaan (1) ke persamaan lingkaran kedua:

( 25−3 y4 )

2

+ y2=50

625−150 y+9 y2+16 y2=800

Geometri Analitik

y2−6 y−7=0

( y−7 ) ( y+1 )=0

y1=7 atau y2=−1

x1=1 atau x2=7

∴ Titik P(1,7) dan titik Q(7,-1)

Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip P:

x+7 y=50 m1=−17

Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip Q :

7 x− y=50 m2=7

m1× m2=−17

×7=−1

∴ Terbukti bahwa garis singgung lingkaran kedua di P dan Q saling tegak lurus.

27. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan (-3,-1), dan yang berpusat pada garis 3 x− y=1. Tunjukkan bahwa tali busur persekutuan antara lingkaran tadi dan lingkaran x2+ y2−2 x+4 y−4=0merupakan garis tengah lingkaran kedua.

Jawab :

Andaikan persamaan lingkaran pertama L 1≡ (x−a )2+( y−b )2=r2dengan pusat (a,b).

L 2≡ x2+ y2−2x+4 y−4=0 dengan pusat (1,-2)

L1 berpusat pada garis 3 x− y=1 ↔ y=3 x−1

Maka, pusat L1 (a ,3 a−1) …(*)

Substitusi (*) ke persamaan L1

L 1≡ (x−a )2+( y−3 a+1 )2=r2

L1 melalui (-4,2) → (−4−a )2+ (2−3 a+1 )2=r2

↔ 10 a2−10 a+25=r2 …(i)

Geometri Analitik

L1 melalui (-3,-1) → (−3−a )2+ (−1−3 a+1 )2=r2

↔ 10 a2+6a+9=r2 …(ii)

Eliminasi (i) dan (ii)

10 a2−10 a+25=r2

10 a2+6 a+9=r2 -

−16 a+16=0

a=1 →b=3a−1=3 (1 )−1=2

Jadi, pusat L1 (1,2).

Jari-jari L1 dapat dihitung dengan menghitung jarak dari pusat (1,2) ke titik yang dilalui L1 seperti (-4,2)

r=√(−4−1)2+(2−2)2=√25=5

Jadi, persamaan L 1≡ (x−1 )2+ ( y−2 )2=25

↔ x2+ y2−2x−4 y−20=0

Mencari titik potong L1 dan L2

→ eliminasi L1 dan L2

x2+ y2−2 x−4 y−20=0

x2+ y2−2 x+4 y−4=0 -

−8 y−16=0→ y=−2

Maka, persamaan tali busur persekutuan L1 dan L2 adalah garis y=−2

Persamaan tali busur melalui pusat L2 (1-2)

∴ Pers tali busur persekutuan L1 dan L2 merupakan garis tengah lingkaran kedua

29. Tentukan titik-titik yang kuasanya terhadap lingkaran

berbanding 1:2:3

Jawab : Kuasa pada lingkaran

Geometri Analitik

Kuasa pada lingkaran

Kuasa pada lingkaran

Eliminasi (5) dan (4)

Substitusi ke (6)

Rumus ABC

Geometri Analitik

Jadi titik titiknya adalah

30. Diketahui titik-titik A (2,0 ) dan B (0,3 ) . Tentukan tempat kedudukan titik C segitiga ABC,

jika selalu berlaku: A C2−B C2=1.

Jawab :

Segitiga ABC selalu berlaku A C2−B C2=1

AC= (x−2 , y ) BC= (x , y−3 )

A C2−B C2=1

(( x−2 )2+ y2 )−(x2+( y−3 )2)=1

x2−4 x+4+ y2−(x2+( y2−6 y+9 ))=1

x2−4 x+4+ y2−x2− y2+6 y−9=1

−4 x+6 y−6=0

4 x−6 y+6=0

2 x−3 y+3=0

∴ Kedudukan titik C terletak pada garis 2 x−3 y+3=0

32. diketahui titik A(0,2). Pada sumbu –x terletak titik B dan pada AB terletak titik C, sehingga A⃗B . A⃗C=16.

Jawab:

A⃗B . A⃗C=16.

Geometri Analitik

⟨ ( XB−X A ) ; (Y B−Y A )⟩ . ⟨( XC−X A ) ; (Y C−Y A ) ⟩=16

⟨ ( XB−0 ) ; (Y B−2 )⟩ . ⟨ ( XC−0 ) ; (Y C−2 ) ⟩=16

⟨ X B ; (Y B−2 )⟩ . ⟨ XC ;( Y C−Y A )⟩=16

X B XC+(Y B−2 ) (Y C−2 )=16

X B XC+Y B Y C−2Y B−2 Y C+4=16

B(X B ,Y B) berjalan pada sumbu-x, maka suatu ketika X B=XC dan Y B=¿Y C¿, sehingga:

XC XC+Y C Y C−2Y C−2Y C+4=16

XC2+Y C

2−4 Y C+4=16

XC2+Y C

2−4 Y C−12=0

Karena C(XC , Y C) terletak pada AB, dimana B(X B ,Y B) berjalan pada sumbu-x, maka:

Kedudukan titik C(XC , Y C) =XC2+Y C

2−4 Y C−12=0

36. PQ adalah tali busur variabel yang melalui fokus suatu parabola; TP adalah garis singgung di P, dan TQ sejajar sumbu simetri buktikan bahwa tempat kedudukan tengah - tengah PT adalah direktrix

Jawab :

misal : y2=4 fx;

Hint :buktik an x H=−f dimana x H=x1+x3

2

Geometri Analitik

Catatan tambahan:

y2= y3 ; y1=√4 f x1; y2=−√4 f x2;

PT merupakan garis singgung dengan persamaan

PT ≡ y . y1=2 f (x+x1)

Subitusikan T

y2 . y1=2 f (x3+x1)

x3+x1=y2 . y1

2 f

x3+x1=√4 f x1 .(−√4 f x2)

2 f

x3+x1=−4 f (√x1 x2. )

2 f

x3+x1=−2√( f −δ ) . ( f +δ )

x3+x1=−2¿

x3+x1=−2 f

→ 2 x H=x3+x1=−2 f

xH=−f ( terbukti)

Geometri Analitik

38. Talibusur PQ suatu parabola y2=4 ax melalui titik (b , 0 ). Tunjukkan bahwa garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis x+b=0.

Jawab :

Akan ditunjukkan garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis x+b=0

Persamaan parabola: y2=4 ax → p=a

Persamaan garis singgung parabola y2=4 ax yang melalui titik (b , 0 )adalah :

y y1=2 p ( x+x1 )

0=2 a ( x+b )

x+b=0

41. Tentukan persamaan-persamaan garissinggung yang dapat ditarik dari titik (−3 , 1) pada

parabola y2=x

Jawab :

Misalkan titik singgungnya S(x0 , y0)

Maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2=x

Karena 4 p=1

p= 14

yy1=2 p(x+x¿¿1)¿

y0 y=12( x+x0)

Karena A(−3 ,1) pada garis singgung

→ y0=12

(−3+x0 )

Atau 2 y0=x0−3……………….(1)

Karena S ( x0 , y0 ) juga pada parabola y2=x

→ y02=x0…………….(2)

Geometri Analitik

Substitusi (2) ke (1)

2 y0= y02−3

y02−2 y0−3=0

( y0−3 )( y¿¿0+1)=0¿

y0=3 atau y0=−1

Untuk y0=3→ x0=9, diperoleh S1 (9 ,3 )

Untuk y0=−1→ x0=1, diperoleh S2 (−1 ,1 )

Jadi persamaan garis singgung di S1⟶3 y=12

(x+9 )⟶ x−6 y+9=0

Jadi persamaan garis singgung di S2⟶− y=12

(x+1 )⟶ x+2 y+1=0

42. Suatu titik terletak sebarang pada garis 2 x−3 y+8=0. Buktikan bahwa garis polar titik itu terhadap parabola y2=4 x , melalui titik (4,3) !

Jawab :

Persamaan garis polar terhadap parabola y2=4 xmelalui titik (4,3) adalah 2 x−3 y+8=0

Bukti : y y1=p(x+x1)

y2=2 px

y2=4 x p=2

Maka persamaan garis polarnya adalah 3 y=2 ( x+4 )→ 2 x−3 y+8=0 (TERBUKTI)

43. Buktikan bahwa parabola y2=4 ax merupakan tempat kedudukan pusat lingkaran yang

menyinggung sumbu-y dan lingkaran x2+ y2=2 ax.

Sketsa:

P2

P1

Geometri Analitik

L1≡ x2+ y2=2ax↔ x2+ y2−2ax=0

Maka, pusat L1 P1(a , 0) dan karena L1 menyinggung sumbu-y, jari-jari L1 r1=a

Andai L2 mempunyai pusat P2(x2 , y2) dan karena L2 juga menyinggung sumbu-y, jari-jari L2 r2=x2

|P1 P2| =r1+r2=a+x2

Dengan menggunakan rumus jarak didapat,

|P1 P2|=√(x2−a)2+( y¿¿2−0)2 ¿

(a+ x2)2=( x2−a)2+ y2

2

x12+2 a x1+a2=x2

2−2a x2+a2+ y22

4 a x2= y22

Karena P2(x2 , y2) berjalan, maka

4 a x= y2 (terbukti)

44. Lingkaran x2+ y2+2 ax+2ay=0 memotong parabola y2=ax di O dan tiga buah titik,

yang berordinat y1 , y2 , dan y3. Buktikan y1 . y2 . y3=−2 a3

Jawab :

Gambar tidak terlampir karena hanya akan memperumit penjelasan.

L1≡ y2−ax=0→ x= y2

a

Berpotongan di titik, O(x4 , y4)→ y4=0

P1≡ x2+ y2+2ax+2ay=0

subtitusikan x= y2

ax ke P1

dengan pembanding ( y− y1) . ( y− y2 ). ( y− y3 ) . ( y− y4 )=0

Geometri Analitik

karena memiliki titik potong

P1≡ x2+ y2+2ax+2ay=( y− y1 ) . ( y− y2 ) . ( y− y3 ) . ( y− y 4 )=0

↔¿

↔y3

a2 +(2 a+1 ) y2+2ay=( y− y1 ) . ( y− y2 ) ( y− y3 ) ( y−0 )=0

↔1

a2¿

↔1

a2¿

→(− y¿¿1) .(− y2) .(− y3)=2 a3( yang tidak mengandungnilai y)¿

↔ y1 . y2 . y3=−2 a3(Q . E . D .)

46. Kalau diketahui A (5,2 ) dan C (3,6 ). Tentukan kedua titik sudut lainnya dari bujursangkar ABCD. Berapa luas bujur sangkar itu?

Jawab :

Karena ABCD merupakan suatu buur sangkar, maka panjang diagonal

BD=AC=√(3−5 )2+(6−2 )2=√ (−2 )2+ (4 )2=√4+16=√20

Luas bujursangkar ABCD:

L=12

d1 d2=12

AC × BD=12√20×√20=10

L=AB ×CD=sisi× sisi=s2=10

Sehingga,

s=¿BC=CD=DA=√10

Mencari koordinan titik B

Missal titik B (m , n ), maka:

AB=√ (m−5 )2+(n−2 )2 BC=√(3−m )2+ (6−n )2

√10=√(m−5 )2+ (n−2 )2 √10=√(3−m )2+ (6−n )2

Geometri Analitik

10=m2−10 m+25+n2−4 n+4 10=9−6 m+m2+36−12 n+n2

−19=m2+n2−10 m−4 n ……. (i) −35=m2+n2−6 m−12 n ……. (ii)

Eliminasi (i) dan (ii), diperoleh:

−19=m2+n2−10 m−4 n

−35=m2+n2−6 m−12 n -

16=−4 m+8n 4 m=8n−16 m=2 n−4 ……. (iii)

Substitusi (iii) ke (ii), maka:

−35=(2n−4 )2+n2−6 (2n−4 )−12 n

−35=4 n2−16 n+16+n2−12 n+24−12 n

−35=5n2−40 n+40

5 n2−40 n+75=0

n2−8 n+15=0

(n−3 ) (n−5 )=0

n=3 ataun=5

Untuk n=3 , maka: Untuk n=5, maka:

m=2 n−4 m=2 n−4

m=2 (3 )−4 m=2 (5 )−4

m=2 m=6

∴B (2,3 ) ∴B (6,5 )

∴ Karena pada bujursangkar ABCD titik B berada di sebelah kanan titik A (5,2 ), maka titik B

yang memenuhi adalah B (6,5 )

Mencari koordinat titik D

Misal titik D ( p , q ), maka:

Geometri Analitik

DA=√(5−p )2+(2−q )2 CD=√ ( p−3 )2+ (q−6 )2

√10=√(5−p )2+ (2−q )2 √10=√( p−3 )2+ (q−6 )2

10=25−10 p+ p2+4−4 q+q2 10=p2−6 p+9+q2−12 q+36

−19=p2+q2−10 p−4 q ……. (iv) −35=p2+q2−6 p−12 q ……. (v)

Eliminasi (iv) dan (v), diperoleh:

−19=p2+q2−10 p−4 q

−35=p2+q2−6 p−12 q -

16=−4 p+8 q 4 p=8q−16 p=2q−4 ……. (vi)

Substitusi (vi) ke (v), maka:

−35=(2q−4 )2+q2−6 (2q−4 )−12 q

−35=4 q2−16 q+16+q2−12 q+24−12 q

−35=5q2−40 q+40

5 q2−40 q+75=0

q2−8 q+15=0

(q−3 ) (q−5 )=0

q=3 atau q=5

Untuk q=3 , maka: Untuk q=5, maka:

p=2q−4 p=2q−4

p=2 (3 )−4 p=2 (5 )−4

p=2 p=6

∴D (2,3 ) ∴D (6,5 )

∴ Karena pada bujursangkar ABCD titik D berada di sebelah kiri titik A (5,2 ), maka titik B

yang memenuhi adalah D (2,3 )

Geometri Analitik

48. Diketahui tiga titik , , dan .

a. Tentukan persamaan ketiga sisi segitiga itu.

b. Tentukan persamaan kedua garisbagi-dalam sudut-sudut dan .

Petunjuk : pakailah titik potongnya dengan sumbu-y untuk menyelidiki yang mana garisbagi-dalam dan yang mana garisbagi-luar.

c. Tentukan persamaan lingkaran-dalam dari segitiga itu.

d. Berapakah luas segitiga ?

Jawab :

a. Sisi pertama melalui titik dan

Vector arahnya

Persamaan garisnya adalah

Sisi kedua melalui titik , dan

Vector arahnya


Sisi ketiga melalui titik dan

Vector arahnya


Geometri Analitik

b. Persamaan garisbagi sudut adalah

Persamaan garisbagi sudut adalah

c. Titik jari-jari lingkaran titik potong garisbagi sudut dan .

Maka

Titik jari-jari lingkaran , maka

Persamaan lingkaran

d. Luas

49. Diketahui : A(3,4), B(-2,5), C(-1,6)

Geometri Analitik

Tentukan :

a) Titik berat segitiga ABC

Titik berat pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis berat pada segitiga. Sedangkan garis berat pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan koordinat titik tengah yang membagi dua ruas garis yang menghubungkan kedua titik sudut yang lainnya pada segitiga tersebut.

Misalkan P adalah titik tengah AB, maka

P( 3−22

,4−(−5)

2 )→ P( 12

,92 )

Misalkan Q adalah titik tengah BC, maka :

Q((−2)−12

,5−(−6)

2 )→ Q(−32

,112 )

Misalkan R adalah titik tengah AC, maka :

R( 3−12

,4−(−6)

2 )→ R (1,5 )

Persamaan Garis Berat CP :

Geometri Analitik

y− yc

y p− yc

=x−xc

x p−xc

y−692−6

= x+112+1

y−6−32

= x+132

32

( y−6 )=−32

(x+1)

3 y−18=−3 x−3

3 x+3 y=15

x+ y=5……….(1)

Persamaan Garis Berat BR :

y− yb

yr− y b

=x−xb

xr−xb

y−55−5

= x+21+2

y−50

= x+23

3 y−15=0

y=5… ………(2)

Persamaan Garis Berat AQ :

y− ya

yq− y a

=x−xa

xq−xa

y−4112

−6= x−3

−32

−3

y−432

= x−3−92

−92

( y−4 )=−32

(x−3)

Geometri Analitik

−9 y+36=3 x−9

3 x+9 y=45

x+3 y=15 ……….(3)

Substitusi Persamaan (2) ke persamaan (1)

Sehingga didapat 5+ y=5 atau x=0

Sehingga didapat koordinat titik berat segitiga ABC adalah (0,5)

b) Titik tinggi segitiga ABC

Titik tinggi pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis tinggi pada segitiga. Sedangkan garis tinggi pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang lainnya dan membentuk sudut yang tegak lurus.

Persamaan Garis BC :

y− yb

yc− yb

=x−xb

xc−xb

y−56−5

= x+2−1+2

y−51

= x+21

y−5=x+2

x− y=−7

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik D sehingga didapat mBC=1, karena BC tegak

lurus AD sehingga didapat mAD=−1

Persamaan Garis Tinggi AD :

y− ya=mAD(x−xa)

y−4=−1(x−3)

y−4=x−3

x+ y=7… …. (1)

Geometri Analitik

Persamaan Garis AC :

y− ya

yc− ya

=x−xa

xc−xa

y−46−4

= x−3−1−3

y−42

= x−3−4

−4 y+16=2 x−6

x+2 y=22

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik E sehingga didapat mAC=−12

, karena AC

tegak lurus BE sehingga didapat mBE=2

Persamaan Garis Tinggi BE :

y− yb=mBE(x−xb)

y−5=2(x+2)

y−5=2 x+4

2 x− y=−9 …….(2)

Persamaan Garis AB :

y− ya

yb− ya

=x−xa

xb−xa

y−45−4

= x−3−2−3

y−41

= x−3−5

−5 y+20=x−3

x+5 y=23

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik F sehingga didapat mAB=−15

, karena AB

tegak lurus CF sehingga didapat mCF=5

Persamaan Garis Tinggi CF :

Geometri Analitik

y− yc=mCF( x−xc)

y−6=5 (x+1)

y−6=5 x+5

5 x− y=−11 …….(3)

Untuk mendapatkan koordinat titik tinggi pada segitiga maka kita harus mendapatkan titik potong antara ketiga garis tinggi AD, BE, dan CF.

Eliminasi Persamaan (2) dan (3) sehingga didapat nilai x=−23

dan y=723

, nilai x dan y ini

adalah koordinat titik tinggi pada segitiga ABC

c) Luas Segitiga ABC

Untuk mencari luas segitiga jika diketahui ketiga titik sudutnya kita cari dengan menggunakan rumus :

L=12|xa ya 1

xb yb 1xc yc 1|

Sehingga :

L=12| 3 4 1

−2 5 1−1 6 1|

Diselesaikan dengan Metode Sarrus, yaitu :

L=12| 3 4 1

−2 5 1−1 6 1||

3 4−2 5−1 6|

Didapat :

L=|12{ [15+(−4 )+(−12 ) ]− [ (−5 )+18+(−8 ) ]}|

L=|12{−1−5 }|

L=3

Geometri Analitik

d) Sudut Puncak C

Panjang AB :

|AB|=√(xa−xb)2+( ya− yb)

2

|AB|=√(3−(−2))2+(4−5)2

|AB|=√(5)2+(−1)2

|AB|=√25+1=√26

Panjang AC :

|AC|=√(xa−xc )2+( ya− yc)

2

|AC|=√(3−(−1))2+(4−6)2

|AC|=√(4)2+(−2)2

|AB|=√16+4=√20

Panjang BC :

|BC|=√(xb−xc )2+( yb− yc)

2

|BC|=√¿¿

|BC|=√(−1)2+(−1)2

|BC|=√1+1=√2

Rumus hubungan Cosinus sudut dengan garis yang berada di depannya

|AB|2=|AC|2+|BC|2+2|AC||BC|cosC

26=20+2+2√20√2 cosC

26=22+2√40 cosC

4=4√10 cosC

cosC= 44 √10

=√1010

C=71,560=71034 '

Geometri Analitik

e) Pusat dan Jari-jari Lingkaran Luar ABC

Lingkaran Luar ABC mendefinisikan bahwa titik sudut A, B, dan C terletak pada lingkaran tersebut.

Misalkan persamaan lingkaran tersebut x2+ y2+ Ax+By+C=0

Titik A (3,4) pada lingkaran sehingga :

(3)2+(4)2+ A (3)+B(4 )+C=0

3 A+4B+C=−25 …………(1)

Titik B (-2,5) pada lingkaran sehingga :

(−2)2+(5)2+A (−2)+B(5)+C=0

−2 A+5 B+C=−29…………(2)

Titik C (-1,6) pada lingkaran sehingga :

(−1)2+(6)2+ A(−1)+B(6)+C=0

−A+6 B+C=−37 …………(3)

Melakukan penyelesaian terhadap persamaan (1), (2), dan (3) dengan cara eliminasi Gauss-

Jordan sehingga di dapat nilai A=−23

, B=−223

, dan C=193

Sehingga didapatkan Persamaan Lingkaran Luar ABC nya :

x2+ y2−23

x−223

y+193

=0

Pusat lingkarannya : P(−12

A ,−12

B)=P( 13

,113 )=P( 1

3,3

23 )

Jari-jari nya :

r=√ 14

A2+ 14

B2−C

r=√ 14

.49+ 1

4.

4649

−193

r=√ 19+ 121

9−57

9

Geometri Analitik

r=√ 659

r=13

√65

f) Titik sudut D, kalau ABCD Jajargenjang.

Jika ABCD merupakan Jajargenjang maka harus terpenuhi jarak BC = Jarak AD, dan jarak AB = Jarak CD. Misalkan koordinat titik D(x,y), sehingga :

jarak BC = Jarak AD , dan |BC|=√2 (butir soal d), jadi :

|AD|=√(xd−xa)2+( yd− ya)

2

√2=√(xd−3)2+( yd−4)2

2=x2−6 x+9+ y2−8 y+16

x2+ y2−6 x−8 y+23=0 …………(1)

jarak AB = Jarak CD , dan |AB|=√26 (butir soal d), jadi :

|CD|=√(xd−xc )2+( yd− yc)

2

√26=√(xd+1)2+( yd−6)2

26=x2+2 x+1+ y2−12 y+36

x2+ y2+2 x−12 y+11=0…………(2)

Eliminasi x2+ y2 pada persamaan (1) dan (2) sehingga didapat persamaan 8 x−4 y=12 atau 2 x− y=3 atau y=2 x−3 ……… …….(3)

Substitusi nilai y ke salah satu persamaan (1) atau (2) sehingga didapat :

x1=145

, x2=4

Masukkan nilai x ke persamaan (3) sehingga didapat :

y1=−25

, y2=5

Karena koordinat D terletak di Kuadran 1, maka koordinat titik D adalah (4,5).

Geometri Analitik

g) titik P pada garis y + 2x = 0 yang berjarak sama terhadap B dan C

Misalkan koordinat titik P adalah P (x,y) :

Sehingga |PB|=|PC|

√¿¿

√¿¿

x2+4 x+4+ y2−10 y+25=x2+2 x+1+ y2−12 y+36

2 x+2 y=8

x+ y=4 …….(1)

Substitusi persamaan (1) ke Persamaan y + 2x = 0

Sehingga didapat x = - 4 lalu substitusikan ke persamaan (1) didapat y = 8, sehingga didapat koordinat titik P (-4,8).

h) titik Q pada sumbu x yang berjarak sama dari garis-garis BC dan AC .

Persamaan Garis BC : x – y + 7 = 0 (butir soal b)

Persamaan Garis AC : x + 2y – 11 = 0 (butir soal b).

Rumus jarak titik ke garis :

|d|=|Ax+By+C

√A2+B2 ||A1 x+B1 y+C1

√ A12+B1

2 |=| A2 x+B2 y+C2

√ A22+B2

2 ||(1 ) x+(−1 )(0)+7

√(1)2+(−1)2 |=|(1 ) x+(2 ) (0 )−11

√(1)2+(2)2 ||x+7

√2 |=|x−11

√5 |Kuadratkan Kedua ruas, sehingga di dapat :

x2+14 x+492

= x2−22 x+1215

5 x2+70 x+2451

=2 x2−44 x+2421

Geometri Analitik

3 x2+114 x+3=0

Dengan rumus ABC diperoleh

x=−13

(57 ±17√10)

Sehingga diperoleh koordinat titik Q :

Q(−13

(57 ± 17√10 ) , 0)

Geometri Analitik

ulangan 49 soal (3125111220 afifah arifianty)

Documents