8/15/2019 Tutoria Para El Primer Parcial Metodos

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MÉTODOS NUMÉRICOSRUBRICA PARA LA TUTORIA DEL PRIMER PARCIAL

SEMESTRE B - 2013

1. OBJETIVO

 Aplicar los conocimientos recibidos en esta materia para analizar y resolverproblemas de aplicación mediante métodos numéricos y su instrumentacióncomputacional, estimando la precisión en los resultados obtenidos.

2. MODALIDAD Y FECHA DE ENTREGAEl trabajo consta de dos problemas y debe ser realizado por dos estudiantes.Cada grupo debe elaborar un reporte escrito y entregarlo improrrogablementehasta el día de la revisión del examen del Primer Parcial.

3. PROCEDIMIENTO 

3.1 ANÁLISIS DEL PROBLEMAb) Explique el modelo matemático usado para definir el problemaa) Describa las variables del modelo y su significado

3.2 DISEÑOa) Elija el método numérico que usará e indique cual es la eficiencia.c) Establezca la formulación matemática del método numérico elegido

3.3 INSTRUMENTACIÓNa) Escriba la función, programa y comandos de MATLAB necesarios.b) Obtenga los resultados con el computadorc) En el caso de ecuaciones, grafique la solución.d) Verifique los resultados en el modelo y en el problema propuesto

4. RequerimientosLos proyectos deberán mostrar que los estudiantes manejan algún tipo desoftware con orientación matemática e ingeniería (MATLAB). Los textosde los proyectos deben ser levantados en un procesador de palabras.

Pueden consultar al profesor acerca de este trabajo mediante el correoelectrónico: lrodrig@espol.edu.ec

5. Ponderación de la calificación

Cada uno de los dos problemas será calificado sobre 5 puntos, verificandoque no sean copiados del trabajo de otros estudiantes, con la siguienteponderación:

10%: Introducc ión. Describa el alcance del proyecto.

50%: Informe. Use un procesador de texto. Incluya el resumen de los datos,fórmulas, cálculos, tabulaciones y gráficos. Para realizar los cálculos puede

usar las funciones desarrolladas en este curso . Para los gráficos use lasinstrucciones disponibles en MATLAB y escríbalas en el informe.

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 30%: Conclusiones. Comente los métodos numéricos utilizados y losresultados obtenidos.

10%: Bibliografía. Anote las referencias bibliográficas consultadas, sean

estos textos o documentos tomadas de internet

NOTA IMPORTANTE: Se verificará que los proyectos no sean copiadosde proyectos entregados por otros estudiantes y se hayan realizadosimples cambios en la impresión.

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6. PROBLEMAS

PROBLEMA 1 

La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante enEconomía. En esta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos yla demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracciónde su producción. Suponga que en una región hay tres sectores,  A: agricultura, M:manufactura, y S: servicios, y su demanda interna es:

DemandaProducción

 A M S

 A 0.40 0.03 0.02M 0.06 0.37 0.10S 0.12 0.15 0.19

Sea T  el nombre de esta matriz. Para los datos propuestos, en la primera columna de lamatriz T, el sector  A  requiere 0.4  de su propia producción, 0.06  del sector M, y 0.12  delsector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa para cada sector, y X el vector de la producción totalde cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

x

D , X x

x

 

 

1

2

3

80

140

200

, en donde x1, x2, x3 representan la producción total de cada sector.

Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X  requerida parasatisfacer las demandas externa e interna.

a) Formule el método iterativo de Jacobi en notación vectorial para usar la ecuación anterior.

b) Analice la convergencia de la matriz T y determine si el método iterativo es convergente.

c) Comience con un vector inicial X=[200, 200, 200]T realice las iteraciones necesarias hastaque la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1. Use la normade fila.

d) Reformule el problema como el sistema de ecuaciones: (I  – T)X = D, en donde I  es lamatriz identidad. Obtenga la solución mediante un método directo computacional

e) Determine el nivel del mal condicionamiento del sistema y calcule una cota para el error

relativo de la solución en función del error relativo de la matriz de coeficientes.

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PROBLEMA 2 

Luego de efectuarse un experimento se anotaron los resultados f(x)  y se tabularon lasdiferencias finitas. Accidentalmente se borraron algunos valores quedando únicamente loque se muestra a continuación:

x i  f i  f i 2f i 

3f i 4f i

1.3 3.534 -------- 0.192 0.053 0.0021.5 -------- -------- -------- --------1.7 -------- -------- --------1.9 -------- --------2.1 --------

También se había hecho una interpolación con un polinomio de primer grado en x = 1.4obteniéndose como resultado de la interpolación el valor 4.0755 

a) Con los datos suministrados reconstruya la tabla de diferencias finitas

b) Encuentre el valor de f(1.62) con un polinomio de interpolación de tercer grado, y estimeel error en la interpolación.

c)  Encuentre el valor de x tal que f(x) = 5.4  con un polinomio de interpolación de cuartogrado. Para obtener la respuesta debe resolver la ecuación no lineal resultante. Use elMétodo de Newton y obtenga el resultado con cuatro decimales exactos. Previamenteencuentre un intervalo de convergencia.

d) Encuentre las coordenadas del punto máximo del polinomio de intepolación que incluye alos cinco puntos tabulados.