TURUNAN FUNGSI2. FUNGSI NAIK DAN TURUN

Perhatikan gambar berikut ini :

Y B

A C

D

0 X Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turunKurva NaikPada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar ( x 0) dan

harga y juga semakin besar ( y 0) . Karena gradien (m) = yx

dan m = y’ maka

syarat kurva naik jika (karena )

Kurva TurunPada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar ( x 0)

dan harga y semakin kecil ( y 0) . Karena gradien (m) = yx

dan m = y’ maka syarat

kurva turun jika y ’ < 0 (karena )

Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) = x x x3 23 9 5 a. naik b. turun

Jawab : f(x) = x x x3 23 9 5 f’(x) = 3 ... = 0 (:3)

( ... )( ... ) = 0x = ...atau x = ...Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut :

+ - + ... ...

Berdasarkan gambar di atas disimpulkan :Kurva naik pada interval ... atau ...Kurva turun pada interval ...

3. NILAI STASIONERPerhatikan gambar berikut ini

Y A Titik A dan B disebut titik-titik stasioner/ titik ekstrem/titik puncak. B Titik A disebut titik balik maksimum Titik C disebut titik balik minimum C Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal

0 X

Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun.

Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika y ’= 0

Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.Misal titik stasionernya ( , )x y1 1 , maka:I. Dengan uji kiri kanan titik stasioner

- jika + lalu - maka ( , )x y1 1 titik balik maksimum - jika - lalu + maka ( , )x y1 1 titik balik minimum - jika - lalu - atau + lalu + maka ( , )x y1 1 titik belokII. Dengan menggunakan turunan kedua - jika f’’( x1 0) maka ( , )x y1 1 titik balik minimum - jika f’’( x1 0) maka ( , )x y1 1 titik balik maksimum - jika f’’( x1 0) maka ( , )x y1 1 titik belok

Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x x x3 26 9 1 Jawab : f ’(x) = 0

... = 0 (:3) ... = 0( ... )( ... ) = 0x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)

Jenisnya :Cara I ... ... ...

... ...Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

Cara IIf(x) = x x x3 26 9 1 f ’(x) = ...f ’’(x) = ...Untuk x = 1 maka f ’’(1) = ...Untuk x = 3 maka f ’’(3) = ...

Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

4. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUP

Perhatikan gambar berikut ini :

Y E B

A C

D X x1 x2

Pada gambar di atas terlihat, pada selang kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :1. Tentukan nilai-nilai ujung interval2. Tentukan nilai-nilai stasionernya3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum

Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari pada interval 1 5 x

Jawab : f(1) = ...f(5) = ...f x x x x( ) 2 15 363 2

f ’(x) = 0 ... = 0 ... ...x = ... maka y = ...x = ... maka y = ...

Jadi nilai maksimum = ... dan nilai minimum = ...

5. PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan.Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentukjnya.Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

Contoh 1 : Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya !

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka : x + y = 8 x = ...

Misal z = xy Substitusi x = ... ke z = xy sehingga : z = xy z = ( ... ) y = ... z’ = 0 ... = 0 y = ... maka z = ...

6. MENGGAMBAR KURVA SUKU BANYAKCara menggambar kurva suku banyak y = f(x) :1. Tentukan titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 (jika memungkinkan)2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y syarat x = 03. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya4. Gambar kurvanya (kalau perlu dengan menggunakan beberapa titik bantu)

Contoh 1 : Lukis kurva y x x 3 2 3

Jawab : Titik potong dengan sumbu X0 = 3 2 3x x0 = ...x x1 2 ......./ ........Titik potong dengan sumbu Yy = ... = ....Titik Stasioner dan jenisnyay’ = 0............... = 0............... = 0x yx y1 1

2 2

..... .............. ...........

Jadi titik stasionernya (....,....) dan (....,....)

y’’ = f’’(x) = ...f’’(....) = ... = .... 0f’’(....) = .... = .... 0

Jadi (....,...) berupa .... (....,...) berrupa ....

Gambarnya : Titik belok y’’ = 0 ........... = 0 x = ... maka y = ... Jadi (....,....) berupa titik belok