ayat buku siswa turunan fungsi final

Menggali potensi diri dengan belajar mandiri Kesabaran dan ketekunan adalah kunci keberhasilan

`Turunan Fungsi/Matematika XI IPA Turunan Fungsi/Matematika XI IPA

Buku Siswa Buku Siswa

Matematika

untuk SMA Kelas XI Program IPA

Semester 2

Buku Siswa

( )'( )

df xf x

dx

Muchayat

( Perangkat Bahan Ajar )




Disusun oleh:

Muchayat

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kehadhirat Allah SWT yang

telah memberikan rahmah dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan

buku siswa ini dengan baik. Maksud disusunnya buku siswa ini adalah untuk

membantu siswa dalam mempelajari mata pelajaran matematika secara mandiri.

Buku siswa yang berisikan materi turunan fungsi ini merupakan salah satu

pegangan siswa dalam belajar. Siswa dapat menggali sumber belajar dari

berbagai buku, diktat bahkan bahan-bahan belajar dari internet.

Buku siswa ini disusun dengan sangat sederhana agar siswa dapat

mempelajari tahap demi tahap. Materi disajikan secara rinci yang disertai dengan

contoh-contoh soal, dan uji kompetensi. Dalam buku siswa ini termuat nilai-nilai

pendidikan karakter yang disajikan dalam kata-kata mutiara baik dari penyusun

maupun dari beberapa tokoh untuk memotivasi belajar siswa. Materi akhir dalam

buku ini adalah aplikasi turunan fungsi dalam pemecahan masalah dengan

strategi IDEAL problem solving. Dengan materi ini diharapkan dapat

meningkatkan kemampuan memecahkan masalah matematika yang berkaitan

dengan kehidupan sehari-hari.

Terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak baik rekan-rekan guru

SMA Negeri 1 Lasem maupun keluarga yang telah membantu kami dalam

penyusunan buku siswa ini. Segala saran dan kritik yang membangun senantiasa

kami harapkan agar buku siswa edisi berikutnya dapat tersusun dengan lebih

baik. Jalinan komunikasi khususnya bagi komunitas matematika dapat melalui

email kami “ [email protected] “.

Penyusun

i

Perangkat Bahan Ajar Matematika

untuk SMA Kelas XI Program IPA

Semester 2

Buku Siswa

mailto:[email protected]




DAFTAR ISI

Halaman

Kata Pengantar ..................................................................................

Daftar Isi ..........................................................................................

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar .....................................

Peta Konsep .......................................................................................

A. Konsep Turunan Fungsi .............................................................

B. Pengertian Turunan Fungsi ........................................................

b.1. Laju Perubahan Nilai Fungsi .....................................................

b.2. Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan.

C. Turunan Fungsi Aljabar ..............................................................

c.1. Menentukan Turunan Fungsi Konstan f(x) = c .......................

c.2. Menentukan Turunan Pertama Fungsi f(x) = ax .....................

c.3. Menentukan Turunan Pertama Fungsi f(x) = xn dan f(x) = ax

n

c.4. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ) ( )f x u x v x ...

c.5. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( )f x ku x ............

c.6. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ). ( )f x u x v x .......

c.7. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( )

( )( )

u xf x

v x .............

c.8. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ( ))nf x u x .........

D. Turunan Fungsi Trigonometri ....................................................

E. Turunan Fungsi Komposisi ........................................................

F. Tafsiran Geometris dari Turunan Fungsi ....................................

f.1. Gradien Garis Singgung Kurva y = f(x) di titik x = a .................

f.2. Persamaan Garis Singgung Kurva y = f(x) di titik (x1,y1) .......

f.3. Fungsi naik dan Fungsi Turun ..............................................

f.4. Nilai Stasioner dan Jenisnya ................................................

f.5. Nilai Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dalam Interval

Tertutup ...........................................................................

i

ii

iv

v

2

4

4

7

9

9

9

10

12

13

14

15

16

19

23

26

26

28

32

36

40

Halaman

G. Menggambar Grafik Fungsi .......................................................

H. Aplikasi Turunan Fungsi ............................................................

h.1. Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan kecepatan

dan percepatan suatu benda. ......................................................

h.2. Menggunakan turunan fungsi dalam merancang model

matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem

fungsi ..........................................................................................

h.3. Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan model

matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem

fungsi dan penafsirannya..........................................................

42

46

46

48

50

iii

ii ii




Standar Kompetensi

6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

pemecahan masalah.

- Differensial - fungsi naik

- konsep turunan - fungsi turun

- turunan fungsi aljabar - nilai stasioner

- turunan fungsi trigonometri - titik balik minimum

- gradien garis singgung - titik balik maksimum

- persamaan garis singgung - titik belok harisontal

Kata Kunci

6.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan fungsi dalam perhitungan

turunan fungsi aljabar.

6.4. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi

dan memecahkan masalah.

6.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

ekstrim fungsi.

6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

Kompetensi Dasar

v iv




A. KONSEP TURUNAN FUNGSI

Sir Isaaac Newton

Tahukah Anda?

Teorema dasar kalkulus adalah

pernyataan yang menyatakan bahwa dua

operasi utama kalkulus adalah diferensial

(turunan fungsi) dan integral, yang merupakan

dua operasi yang saling invers. Ini berarti

bahwa jika suatu fungsi kontinu mula-mula

dideferensialkan (diturunkan) kemudian

diintegralkan maka fungsi semula akan

diperoleh kembali. Teorema ini memegang

peran yang sangat penting dalam kalkulus

sehingga disebut teorema. Sebagai

konsekuensinya, memungkinkan kita

menghitung integral dengan menggunakan anti

turunan dari fungsi yang diintegralkan. Konsep turunan sebagai bagian utama

dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari

tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan

berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

, ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646

- 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang

menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada

perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus

digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai

permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Konsep turunan fungsi awalnya dikembangkan dalam bidang matematika

dan fisika, seperti tingkat perubahan dari suatu fungsi, kecepatan suatu benda

bergerak. Saat ini berkembang ke bidang lain seperti pertumbuhan penduduk,

laju inflasi, fungsi marginal. Untuk memahami tingkat perubahan kelajuan,

perhatika model gerak jatuh bebas sebuah benda yang dinyatakan sebagai 12

h gt dengan h adalah tinggi, g adalah gravitasi dan t adalah waktu.

Andaikan sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 45 meter dari

permukaan tanah, dengan percepatan gravitasi 10 meter/detik2, maka waktu yang

ditempuh benda tersebut untuk sampai di tanah adalah: 12

212

2

2

45 .10.

45 5

9

3 detik

h gt

t

t

t

t

Kecepatan rata-rata benda jatuh dapat dihitung dengan

rumusperubahan jarak

= perubahan waktu

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah (45 0) meter

15 m/detik(3 0) detik

.

Tetapi bila diperhatikan, kecepatan benda tersebut setiap saat berubah.

Dapatkah kita menghitung kecepatannya pada saat t = 2 detik? Untuk menjawab

pertanyaan tersebut, kita perhatikan beberapa kecepatan rata-rata benda pada

selang waktu tertentu. Misalkan f(t) adalah fungsi yang menunjukkan jarak yang

ditempuh pada waktu t dengan f(t) = 5t2 .

a. Dari t = 2 detik sampai t = 3 detik

Jarak yang ditempuh pada saat t = 2 adalah 2(2) 5.2 20 m.f


1 2




B. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f a h f a f a h f a

a h h h

Kecepatan rata-ratanya adalah 45 20 25

25 m/detik3 2 1

.

b. Dari t = 2 detik sampai t = 2,5 detik


Jarak yang ditempuh pada saat t = 2,5 adalah 2(2,5) 5.(2,5) 31,25 m.f

Kecepatan rata-ratanya adalah 31,25 20 11,25

22,5 m/detik2,5 2 0,5

c. Dari t = 2 detik sampai t = 2,2 detik


Jarak yang ditempuh pada saat t = 2,2 adalah 2(2,2) 5.(2,2) 24,2 m.f

Kecepatan rata-ratanya adalah 24,2 20 4,2

21 m/detik2,2 2 0,2

Selanjutnya berturut-turut akan diperlihatkan kecepatan rata-rata pada selang

waktu dari t = 2 detik sampai t = 2+h detik dengan nilai h yang semakin kecil,

seperti terlihat pada tabel berikut:

h 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01 0,001

v rata-rata 25 22,5 21 20,5 20,25 20,05 20,005

Dari tabel diatas tampak bahwa jika h mendekati 0, maka kecepatan rata-rata

dari t = 2 detik sampai t = 2+h mendekati 20 m/detik.

Kecepatan benda pada saat t detik ditentukan sebagai laju perubahan jarak

terhadap waktu, dan ditulis sebagai:

0

( ) ( )limh

f t h f t

h

Kecepatan benda pada saat t detik adalah:

2 2

0 0

2 2 2

0

2

0

0

( ) ( ) 5( ) 5lim lim

5( 2 ) 5 lim

10 5 lim

lim10 5

h h

h

h

h

f t h f t t h t

h h

t th h t

h

th h

h

t h

10 5.0

10

t

t

Jad, kecepatan benda pada saat t = 2 detik adalah 10.2 = 20 m/detik.

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi

Dari grafik dibawah ini, diketahui fungsi y = f(x) pada interval a < x < a + h,

sehingga nilai fungsi berubah dari f(a) sampai dengan f(a+h).

Perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) terhadap x dalam interval a < x < a+h adalah

( )f a h

( )f a

( ) ( )f a h f a

a a h

3 4




Laju perubahan sesaat nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a diperoleh dari limit

laju perubahan rata-rata fungsi f(x) dalam interval a ≤ x ≤ a + h. Ketika h

mendekati nol, secara matematis ungkapan ini dapat ditulis:

h

afhaf

h

)()(lim

0

Jika nilai limit itu ada, maka bentuk h

afhaf

h

)()(lim

0

dinamakan laju

perubahan fungsi f(x) pada x = a dan ditulis '( )f a (dibaca: f aksen a).

Jadi h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Contoh 1.1:

Carilah laju perubahan fungsi xxxf 2)( 2 pada x = 1

Penyelesaian:

4

4lim

4lim

212221lim

)1.21())1(2)1((lim

)1()1(lim)1('

0

2

0

2

0

22

0

0

h

h

hh

h

hhh

h

hh

h

fhff

h

h

h

h

h

Jadi laju perubahan fungsi xxxf 2)( 2 pada x = 1 adalah 4.

Contoh 1.2:

Carilah laju perubahan fungsi x

xf1

)( , x ≠ 0 pada x = 2 !

Penyelesaian:

0

0

(2 ) (2)'(2) lim

1 1

2 2lim

h

h

f h ff

h

h

h

0

0

2 (2 ) 1lim .

2(2 )

lim2 (2 )

1 1

2(2 0) 4

h

h

h

h h

h

h h

1. Carilah laju perubahan dari fungsi-fungsi berikut ini untuk nilai-nilai x

yang disebutkan.

a. 2( ) 2f x x x pada x = -1

b. 3 2f x x pada x = 4

c. xxf 2)( pada x = 8

2. Diketahui xxxxf 723

1)( 23 dengan daerah asal Df = {x x R}

a. Carilah f’(a) dengan a R

b. Jika f’(a) = 19. Carilah nilai a yang mungkin.

5 6

Uji Kompetensi 1

Nilai-nilai karakter:

Tiga sifat manusia yang

merusak adalah :

- kikir yang dituruti

- hawa nafsu yang

diikuti

- mengagumi diri

sendiri yang

berlebihan

(Nabi Muhammad SAW )


Tiadanya keyakinanlah yang membuat orang takut menghadapi

tantangan, dan saya percaya pada diri saya sendiri. ( Muhammad Ali )




2. Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Jika fungsi f(x) terdefinisi dalam daerah asal Df = {x x R}. Turunan

fungsi f(x) terhadap x ditentukan oleh:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Jika nilai limit itu ada f’(x) disebut fungsi turunan (derivatif) dari fungsi

f(x) Proses mencari derivatif disebut dengan diferensial. Notasi turunan fungsi

y = f(x) dapat dituliskan ( )

', f '(x) , ,atau dy df x

ydx dx

Contoh 2.1 :

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut ini :

a) xxxf 2)( 2

b) f(x) = x , x 0

c) f(x) = 5

Penyelesaian:

a) f(x) = x2 – 2x

0

2 2

0

2 2 2

0

( ) ( )'( ) lim

(( ) 2( )) ( 2 )lim

2 2 2 2lim

h

h

h

f x h f xf x

h

x h x h x x

h

x xh h x h x x

h

2

0

0

2 2lim

lim2 2 2 2

h

h

xh h h

h

x h x

b) f(x) = x , x 0

h

xhxxf

h

0lim)('

xxxxhx

xhxh

xhx

xhx

xhxx

h

xhx

h

h

h

2

111lim

lim

lim

0

0

0

c) f(x) = 5

0

2 2

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

5 5lim

0lim

lim0

0

h

h

h

h

f x h f xf x

h

h

h

Jika '( )f x adalah turunan dari fungsi f(x) dan 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

,

maka carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1. f(x) = x2 + 5

2. f(x) = 4x – x2

3. 2

4)(

xxf

7 8

Uji Kompetensi 2




C. TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. Menentukan Turunan Fungsi Konstan f(x) = c

Misalkan fungsi f(x) = c , maka turunan dari f(x) adalah

0

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

lim

0lim

lim0

0

h

h

h

h

f x h f xf x

h

c c

h

h

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika f(x) = c, dengan c konstanta riil,

maka f '(x) = 0.

2. Menentukan Turunan Pertama Fungsi f(x) = ax

Misalkan fungsi f(x) = ax , maka turunan dari f(x) adalah

0

0

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

( )lim

lim

lim

lim

h

h

h

h

h

f x h f xf x

h

a x h ax

h

ax ah ax

h

ah

h

a

a

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika f(x) = ax, dengan c konstanta riil,

maka f '(x) = a.

Contoh 3.1:

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 6

b. f(x) = 4x

c. f(x) = 5x – 8

Penyelesaian:

a. '( ) 0f x

b. '( ) 4f x

c. '( ) 5 0 = 5f x

3. Menentukan Turunan Pertama Fungsi f(x) = xn dan f(x) = ax

n

Rumus umum turunan pertama fungsi f(x) = xn dapat ditentukan dengan cara

sebagai berikut:

0

1 2 2 1

1 2 1

0

1 2 2 1

1 2 1

0

1 2 1 2 1

1 2 10

( )'( ) lim

( .... ) ( ) = lim

.... = lim

= lim ....

n n

h

n n n n n n

n n n n

h

n n n n

n n n n

h

n n n n

n n n nh

x h xf x

h

x C x h C x h C xh h x

h

C x h C x h C xh h

h

C x C x h C xh h

1 2

1 2 1

1

1

1

= .0 .... .0 0

= .

= n

n n

n n n n

n

n

n

C x C x C x

C x

x

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = xn adalah 1'( ) nf x nx

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa turunan pertama dari fungsi f(x) = axn

adalah 1'( ) nf x anx .

9 10




Bukti:

Misalkan F(x) = axn dan f(x) = x

n , maka F(x) = a f(x).

Turunan pertama dari F(x) adalah:

0

0

0

0

1

( ) ( )'( ) lim

. ( ) . ( ) = lim

( ) ( ) = lim a.

( ) ( ) = a. lim

= a f '(x)

= anx

h

h

h

h

n

F x h F xF x

h

a f x h a f x

h

f x h f x

h

f x h f x

h

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = axn adalah 1'( ) nf x anx

Contoh 3.2:

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut ini:

a) 3( )f x x c) 32( ) 2f x x

b) 5( ) 2f x x d 5

6( )

2f x

x

Penyelesaian:

a) 3 1 2'( ) 3. 3f x x x

b) 5 1 4'( ) 2.5 10f x x x

c) 3 12 2

13'( ) 2. . 3

2f x x x

d) 5

5

6( ) 3

2f x x

x

,

5 1 6

6

15'( ) 3( 5) = -15x = f x x

x

4. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ) ( )f x u x v x

Bila f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan

dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x).

Bukti:

f(x) = u(x) + v(x)

f(x+h) = u(x+h) + v(x+h)

0

0

0

0

0 0

( ) ( )'( ) lim

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim

( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )lim lim

'( ) '( )

h

h

h

h

h h

f x h f xf x

h

u x h v x h u x v x

h

u x h u x v x h v x

h

u x h u x v x h v x

h h

u x h u x v x h v x

h h

u x v x

Dengan cara yang sama, bisa dibuktikan bahwa bila f(x) = u(x) – v(x),

maka

f ′(x) = u'(x) - v'(x).

Jadi jika y = u ±v, maka y' = u' ± v'.

Contoh 3.3 :


a. f(x) = 2x4 + x

2

b. 5 23( )f x x x

Penyelesaian:

a. f(x) = 2x4 + x

2

Misal 4 4 1 3( ) 2 '( ) 2.4 8u x x u x x x

2 2 1( ) '( ) 2 2v x x v x x x

11 12


Sahabat yang paling baik

dari kebenaran adalah

waktu, musuhnya yang

paling besar adalah

prasangka, dan pengiring

nya yang paling setia

adalah kerendahan hati

(C Charles Colton)




3

Sehingga f(x) = u(x)+v(x), turunannya adalah '( ) '( ) '( )

= 8x 2

f x u x v x

x

b. 5 23( )f x x x

Misal 5 4( ) '( ) 5u x x u x x

2 2 13 3 3

13

23

12 23 3 3

( )

2 2 = x '( )

33

v x x

v x x xxx

4

3

Sehingga f(x) = u(x)-v(x), turunannya adalah '( ) '( ) '( )

2 = 5x

3

f x u x v x

x

5. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( )f x ku x

Bila f(x) = k u(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) maka turunan dari

f(x) adalah f ′(x) = k u'(x). (Buktikan)

Contoh 3.4 :


a. 3( ) 6( 4 5)f x x x

b. 3( ) 5f x x

Penyelesaian:

a. 3( ) 6( 4 5)f x x x

Misal 3 2 2( ) 4 5 '( ) 3 4 0 3 4u x x x u x x x

2

Sehingga f(x) = 6.u(x), turunannya adalah '( ) 6. '( )

= 6(3 4)

f x u x

x

2 =18x 24

b. 3( ) 5f x x

2 2 13 3 3

3

12 23 3 3

Misal ( )

2 = x '( )

3

u x x

u x x xx

3

Sehingga f(x) = -5.u(x), turunannya adalah '( ) 5. '( )

2 = 5.

3

f x u x

x

3

10 = -

3 x

6. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ). ( )f x u x v x

Bila f(x) = u(x).v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari

v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah

xvxuxvxuxf '..'' . (Buktikan)

Contoh 3.5 :


a. 3 2( ) (4 )f x x x x

b. 2( ) ( 3 )(5 7)f x x x x

Penyelesaian:

a. 3 2( ) (4 )f x x x x

Misal 3 2( ) '( ) 3u x x u x x

2( ) 4 '( ) 4 2v x x x v x x

Sehingga f(x) = u(x).v(x), turunannya adalah

2 2 3

3

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

= 3x (4 ) (4 2 )

10 = -

3

f x u x v x u x v x

x x x x

x

13 14




b. 2 2( ) ( 3 )(5 7)f x x x x

Misal 2( ) 3 '( ) 2 3u x x x u x x

2( ) 5 7 '( ) 10v x x v x x


2 2

3 2 3 2

3 2

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

= (2x-3)(5 7) ( 3 )10

= 10x 15 14 10 30

= 20x 45 14

f x u x v x u x v x

x x x x

x x x x

x x

7. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( )

( )( )

u xf x

v x

Bila ( )

( )( )

u xf x

v x di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari

v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah

2)}({

)(').()().(')('

xv

xvxuxvxuxf

.

(Buktikan)

Contoh 3.6 :


a. 2 4

( )2 8

xf x

x

b. 2

1( )

2 3f x

x

Penyelesaian:

1. 2 4

( )2 8

xf x

x

Misal 2( ) 4 '( ) 2u x x u x x

( ) 2 8 '( ) 2v x x v x

2

2

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )Sehingga f(x) = , turunannya adalah '( )

( ) ( )

2 (2 8) ( 4)2 =

(2 8)

u x u x v x u x v xf x

v x v x

x x x

x

2

2

2 16 8 =

(2 8)

x x

x

2. 2

1( )

2 3f x

x

Misal ( ) 1 '( ) 0u x u x

2( ) 2 3 '( ) 6v x x v x x

2

2

2 2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )Sehingga f(x) = , turunannya adalah '( )

( ) ( )

0.(2 3 ) 1.( 6 ) =

(2 3 )

u x u x v x u x v xf x

v x v x

x x

x

2 2

6 =

(2 3 )

x

x

8. Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk ( ) ( ( ))nf x u x

Bila ( ) ( ( ))nf x u x di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) maka turunan dari

f(x) adalah 1'( ) ( ( )) . '( )nf x n u x u x .

(Buktikan)

Contoh 3.7:


a. 2 5( ) ( 7 )f x x x

b. ( ) 5 1f x x

16 15




c. 3 2

1( )

(2 5 )f x

x

Penyelesaian:

a. 2 5( ) ( 7 )f x x x

Misal 2( ) 7 '( ) 2 7u x x x u x x

5 4

2 4

Sehingga f(x) = ( ) , turunannya adalah '( ) 5 ( ) . '( )

= 5( 7 ) (2 7)

u x f x u x u x

x x x

2 4 = (10x+35)( 7 )x x

12

b. ( ) 5 1

= (5x+1)

f x x

Misal ( ) 5 1 '( ) 5u x x u x

1 12 2

12

12

12

Sehingga f(x) = ( ) , turunannya adalah '( ) ( ) . '( )

= (5 1) .5

u x f x u x u x

x

12

5 1 =

2 (5 1)

5 =

2 5 1

x

x

c. 3 2

3 2

1( ) = (2 5 )

(2 5 )f x x

x

Misal 3 2( ) 2 5 '( ) 15u x x u x x

2 3

3 3 2


= -2(2 5 ) .( 15 )

u x f x u x u x

x x

2 3 3

2

3 3

= 30x (2 5 )

30x =

(2 5 )

x

x


1. 1635)( 23 xxxxf

2. 2( ) 6( 4 )f x x x

3. 2)2)(3()( xxxf

4. 52 )4()( xxf

5. 12

22)(

2

x

xxf

Rangkuman

Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

1. ( ) (konstanta)f x k 0)(' xf

2. ( ) (a 0 )f x ax '( )f x a

3. ( ) (a 0)nf x ax 1'( ) . . nf x a n x

4. xukxf .. )('.)(' xukxf

5. )()()( xvxuxf )(')(')(' xvxuxf

6. )().()( xvxuxf xvxuxvxuxf '..''

7. )(

)()(

xv

xuxf

2)}({

)(').()().(')('

xv

xvxuxvxuxf

8. nxuxf )}({)( 1

'( ) ( ) . '( )n

f x n u x u x

17 18

Uji Kompetensi 3


Kebahagiaan tergantung pada apa

yang anda berikan bukan pada apa

yang anda dapatkan (Mahatma

Gandhi)




D. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dengan menggunakan definisi fungsi turunan 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

,

kita dapat menentukan turunan fungsi trigonometri berikut:

1. Turunan fungsi f(x) = sin x adalah f’(x) = cos x

Bukti:

f(x) = sin x

f(x+h) = sin(x+h)

0

0

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

sin( ) sin = lim

2cos sin2 2 = lim

1 12cos( )sin

2 2 = lim

1sin

1 2 = lim 2cos( )12 2.2

h

h

h

h

h

f x h f xf x

h

x h x

h

x h x x h x

h

x h h

h

hx h

h

0 0

0 0

1sin

2 1 2 = lim cos( ).lim12 2

2

1sin

1 2 = limcos( ) lim12

2

1 = cos (x+ .0).1

2

= cos x (terbukti)

h h

h h

hx h

h

hx h

h

2. Turunan fungsi f(x) = cos x adalah f’(x) = - sin x.

(Buktikan)

3. Turunan fungsi f(x) = cos (ax+b) adalah f’(x) = - a sin (ax+b)

Bukti:

f(x) = cos (ax+b)

f(x+h) = cos (a(x+h)+b) = cos (ax+ah+b)

0

0

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

cos( ) cos( ) = lim

( )2sin .sin

2 2 = lim

12sin( ).sin

2 2 2 = lim .1

2

si = lim

h

h

h

h

h

f x h f xf x

h

ax ah b ax b

h

ax ah b ax b ax ah b ax b

h

ah ahax b a

h a

a

0 0

n( ).sin2 2 .

1

2

sin2 = lim sin( ).lim

2

2

= sin( 0).1

= sin( ) ( terbukti)

h h

ah ahax b

ah

ahah

a ax bah

a ax b

a ax b

4. Turunan fungsi f(x) = sin (ax+b) adalah f’(x) = a cos (ax+b)

(Buktikan)

5. Turunan fungsi f(x) = tan x adalah f’(x) = sec2 x

Bukti:

sin( ) tan

cos

xf x x

x

19 20




Misal ( ) sin '( ) cosu x x u x x

( ) cos '( ) sinv x x v x x

( )Sehingga f(x) = , turunannya adalah

( )

u x

v x:

2

2

2 2

2

2

2

'( ) ( ) ( ) '( ) '( )

( )

cos .cos sin .( sin ) =

(cos )

cos sin =

cos

1 = sec (terbukti)

cos

u x v x u x v xf x

v x

x x x x

x

x x

x

xx

6. Turunan fungsi f(x) = cotan x adalah f’(x) = - cosec2 x. (Buktikan)

7. Turunan fungsi f(x) = sec x adalah f’(x) = sec x . tan x. (Buktikan)

8. Turunan fungsi f(x) = cosec x adalah f’(x) = -cosec x . cotan x (Buktikan)

Contoh 4.1:


a. f(x) = 2 cos x + 3 sin x

b. f(x) = 4x2 – 5 sin 4x

c. f(x) = sin x (1 + cos x)

d. f(x) = cos4x

Penyelesaian:

a. f(x) = 2 cos x + 3 sin x f’(x) = -2 sin x + 3 cos x

b. f(x) = 4x2 – 5 sin 4x f’(x) = 8x – 5.4 cos 4x = 8x – 20 cos 4x

c. f(x) = sin x (1 + cos x)

Misal ( ) sin '( ) cosu x x u x x

( ) 1 cos '( ) sinv x x v x x


2 2

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

= cos (1 cos ) sin ( sin )

= cos cos sin

= cos cos2

f x u x v x u x v x

x x x x

x x x

x x

d. f(x) = cos4x

Misal ( ) cos '( ) sinu x x u x x

4 3

3


= 4cos .( sin )

u x f x u x u x

x x

3

2

= - 4cos .sin

= - 2cos .2cos sin

x x

x x x

2 = - 2cos .sin 2x x

1. Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 3 sin x + 5 cos x

b. f(x) = 4 sin x . cos x

c. f(x) = cos2 x – sin

2x

d. f(x) = 2 1

cos2

x

x

2. Jika f(x) = x sin x

Tunjukkan bahwa f’’(x) + f(x) = 2 cos x

21 22

Uji Kompetensi 4


Tak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses dapat terjadi karena

persiapan kerja keras dan mau belajar dari kegagalan (Colin Powell)




E. TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

Jika fungsi y = f o g sedemikian hingga y = f(g(x)) dimana f(x) dan g(x)

adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan '( ) dan g'( )f x x , maka turunan

dari y adalah

' '( ( )).g '( )y f g x x

Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut:

Jika ( ( )) maka 'dy

y f g x ydx

Misal ( ) maka u ' '( )du

u g x g xdx

dan

( ( )) ( ) maka y' = '( ( )) 'dy

y f g x f u f g x f udu

Sehingga ' '( ( )).g '( )y f g x x

.dy dy du

dx du dx

Jadi jika ( ) dimana u = g(x) maka .dy dy du

y f udx du dx

Contoh 5.1:

Carilah turunan pertama dari fungsi berikut ini:

a. 2 5( ) (4 3)f x x

b. 2( ) 1f x x

c. 4( ) sinf x x

d. 3( ) cos(2 )f x x

Penyelesaian:

a. 2 5( ) (4 3)f x x

Cara 1:

2Misal ( ) 4 3 '( ) 8g x x g x x

5 4

2 4

2 4

Sehingga ( ) ( ( )) '( ) 5( ( )) . '( )

= 5(4x 5) .8

= 40x(4x 5)

f x g x f x g x g x

x

Cara 2:

( )y f x 2 5(4 3)y x

2Misal 4 3 8du

u x xdx

,

5 4sehingga y = u 5dy

udu

2 5

4

2 4

2 4

Maka (4 3) .

= 5u .8

5(4 3) .8

40 (4 3)

dy dy duy x

dx du dx

x

x x

x x

b. 122 2( ) 1 ( 1)f x x x

2Misal ( ) 1 '( ) 2g x x g x x

1 12 2

12

12

12

212

2

Sehingga ( ) ( ( )) '( ) ( ( )) . '( )

= (x 1) .2

= x(x 1)

f x g x f x g x g x

x

2

1

x

x

(Kerjakan dengan cara 2)

23 24




c. 4( ) siny f x x

Misal sin cosdu

u x xdx

4 3sehingga y = u 4dy

udu

4

3

3

2

Maka sin .

= 4u .cos

4sin cos

2sin .2sin cos

dy dy duy x

dx du dx

x

x x

x x x

2 2sin sin 2x x


d. 3( ) cos(2 )f x x

3 2Misal ( ) 2 '( ) 3g x x g x x

3 2

2 3

Sehingga ( ) cos( ( )) '( ) sin( ( )). '( )

= sin(2 x ).( 3 )

= 3 sin(2 x )

f x g x f x g x g x

x

x


Carilah turunan pertama dari:

1. 2 4( ) ( 3 )f x x x

2. 2 23( ) (4 2 )f x x

3. 12cos4 xxf

4. 2( ) sin( )f x x x

F. TAFSIRAN GEOMETRIS DARI TURUNAN FUNGSI

1. Gradien Garis Singgung Kurva y = f(x) di titik x = a

Gambar 5.1 diatas adalah grafik fungsi dengan persamaan y = f(x), titik P

adalah suatu titik tetap pada grafik itu, sedangkan titik Q adalah titik di dekat P

yang dapat dipindah-pindahkan (bergerak sepanjang grafik y = f(x)).

Jika titik Q mendekati P sehingga nilai h mendekati 0, maka garis g akan

menjadi garis singgung kurva y = f(x) dititik P. Garis singgung dititik P ini

merupakan garis singgung kurva y = f(x) dititik dengan absis x = a. Turunan

fungsi f(x) pada x = a atau '( )f a ditafsirkan secara geometris sebagai gradien

garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f (a)) yaitu:

0

( ) ( )lim

'( )

h

f a h f am

h

f a

atau dapat dituliskan 'x am y

Gambar 5.1

25 26

Uji Kompetensi 5


Musuh yang paling berbahaya di dunia

ini adalah penakut dan bimbang.

Teman yang paling setia hanyalah

keberanian dan keyakinan yang teguh

(Andrew Jackson)




Catatan :

Berkaitan dengan gradien suatu garis:

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu m1 = m2

Dua garis yang saling tegak lurus memenuhi m1 . m2 = -1

Contoh 6.1:

Tentukan gradien garis singgung kurva 3( ) 2f x x x dititik (2,4)

Penyelesaian:

3 2( ) 2 '( ) 3 2f x x x f x x

2'(2) 3(2) 2

= 10

m f

Jadi, gradien garis singgung kurva 3( ) 2f x x x dititik (2,4) adalah 10.

Contoh 6.2:

Tentukan gradien garis singgung kurva ( ) 5f x x dititik yang

ordinatnya 3.

Penyelesaian:

( ) 5

3 5

2 4

f x x

x

x x

1 12 21

2

1( ) 5 5 '( )

2f x x x f x x

x

1'(4)

2 4

1 = -

4

m f

Jadi, gradien garis singgung kurva ( ) 5f x x dititik yang ordinatnya 3

adalah 1

4 .

Contoh 6.3:

Garis singgung kurva y = x2 – 4x + 4 dititik P sejajar garis 2x – y + 2 = 0.

Tentukan koordinat titik P.

Penyelesaian:

Persamaan kurva 2 4 4y x x berarti ' 2 4y x

Misal koordinat titik P adalah (a,b), gradien garis singgung kurva 2 4 4y x x dititik (a,b) adalah 1 ' 2 4x am y a .

Misalkan gradien garis 2x – y + 2 = 0 adalah m2 .

2 2 0

2 2

x y

y x

Diperoleh m2 = 2.

Syarat dua buah garis sejajar adalah m1 = m2 , dengan demikian

1 2

2 4 2

2 6

3

m

a

a

a

Karena titik (a,b) terletak pada kurva 2 4 4y x x , maka 2

2

4 4

3 4.3 4

1

b a a

b

b

Jadi koordinat titik P adalah (3,1).

2. Persamaan Garis Singgung Kurva y = f(x) di titik (x1,y1)

Jika titik P(x1, y1) terletak pada kurva y = f(x), maka persamaan garis

singgung kurva yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah

1 1( )y y m x x

dengan 1 1' '( ) x xm y f x .

27 28




Contoh 6.4:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 4x2 – x + 1 pada titik (1,4).

Penyelesaian : 2Dari 4 1 diperoleh ' 8 1y x x y x

1m = '

8.1 1

7

xy

Persamaan garis singgung melalui titik (1,4) dengan m = 7 adalah

y – y1 = m (x - x1)

y - 4 = 7 (x – 1)

y = 7x -3

Contoh 6.5

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x pada titik yang

ordinatnya 5.

Penyelesaian:

Untuk y = 5 diperoleh :

2

2

2

4

5 4

4 5 0

( 1)( 5) 0

1 atau 5

y x x

x x

x x

x x

x x

Jadi titik singgungnya adalah (-1,5) dan (5,5)

2Dari 4 diperoleh ' 2 4y x x y x

Gradien garis singgung melalui titik (-1,5) adalah 1 1m = ' 2( 1) 4 6xy .

Persamaan garis singgungnya adalah

1 1 ( )

5 6( ( 1))

5 6 6

6 1

y y m x x

y x

y x

y x

Gradien garis singgung melalui titik (5,5) adalah 2 5m = ' 2.5 4 6xy

Persamaan garis singgungnya adalah

1 1 ( )

5 6( 5)

5 6 30

6 25

y y m x x

y x

y x

y x

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva y = x2 – 4x pada titik yang

ordinatnya 5 adalah

6 1y x dan 6 25y x .

Perhatikan bahwa kedua garis singgung tersebut saling tegak lurus. Mengapa ?

Coba diskusikan dengan teman kalian.

Contoh 6.6:

Tentukan persamaan garis singgung kurva 3 3 4y x x di titik pada kurva

yang gradiennya 9.

Penyelesaian: 3 2Dari 3 4 diperoleh ' 3 3y x x y x .

Gradien garis singgung kurva 3 3 4y x x di titik pada kurva adalah

2m = ' 3 3y x

Untuk m = 9 diperoleh 29 3 3x

2

2

3 12 0

4 0

( 2)( 2) 0

2 atau 2

x

x

x x

x x

3 Untuk 2 ( 2) 3( 2) 4

= 2

x y , diperoleh titik singgung (-2,2).

3 Untuk 2 (2) 3(2) 4

= 6

x y , diperoleh titik singgung (2,6).

Persamaan garis singgung pada titik (-2,2) dengan m = 9 adalah

29

30


Sukses seringkali datang pada mereka yang

berani bertindak dan jarang menghampiri

penakut yang tidak berani mengambil

konsekuensi ( Jawaharlal Nehru )




1 1 ( )

2 9( ( 2))

5 9 18

9 23

y y m x x

y x

y x

y x

Persamaan garis singgung pada titik (2,6) dengan m = 9 adalah

1 1 ( )

6 9( 2)

6 9 18

9 12

y y m x x

y x

y x

y x

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva 3 3 4y x x di titik pada kurva

yang gradiennya 9 adalah 9 23y x dan 9 12y x .

1. Tentukan gradien garis singgung kurva 3 24 3y x x dititik ( -1,-2).

2. Tentukan koordinat titik A pada kurva 2 2 3y x x yang gradien garis

singgungnya dititik tersebut adalah 2.

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva 2 2y x x di titik (1, 3).

4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 23 5y x dititik dengan

absis 2.

5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 1y x dititik dengan

ordinat 3.

6. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 2 3y x x dititik dengan

ordinat 4.

7. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 24y x x yang tegak lurus

garis 2 3 0y x .

8. Carilah koordinat titik pada parabola y = x2 + 8x + 1, jika garis singgung

pada parabola yang melalui titik itu sejajar dengan garis 4x + 2y + 1 = 0.

Tentukan pula persamaan garis singgung parabola yang melalui titik

tersebut.

3. Fungsi naik dan Fungsi Turun

a. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun

Dari gambar di atas terlihat bahwa:

1). Grafik fungsi f(x) turun pada interval x < a .

2). Grafik fungsi f(x) naik pada interval x > a .

3). Grafik fungsi f(x) tidak naik dan tidak turun pada x = a.

Secara matematis, pengertian fungsi naik dan fungsi turun dapat dijelaskan

sebagai berikut.

Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada interval I.

y = f(x)

a x

y

0

f turun

f naik

f tidak naik dan tidak turun

Gambar 7.1

f(x1)

f(x2)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x1 x2

Gambar 7.2

31 32

Uji Kompetensi 6




a. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I apabila untuk setiap x1, x2

I dengan x1 < x2 maka berlaku f(x1) < f(x2), dengan notasi matematika

dapat ditulis

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

b. Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I apabila untuk setiap x1, x2

I dengan x1 > x2 maka berlaku f(x1) > f(x2), dengan notasi matematika dapat ditulis

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

b. Syarat Fungsi naik dan Turun

Seperti telah kita ketahui bahwa turunan dari fungsi f(x) atau f '(x) dapat

ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (x1, f(x1))

atau 1'( )m f x .

Dengan memperhatikan kembali gambar 7.1 diatas , dapat kita ketahui hal-hal

berikut.

1). Dalam interval x < a grafik fungsi f(x) condong ke kiri (turun) atau

gradien garis singgungnya bernilai negatif, sehingga '( ) 0f x .

2). Dalam interval x > a grafik fungsi f(x) condong ke kanan (naik) atau

gradien garis singgungnya bernilai positif, sehingga '( ) 0f x .

3) Pada x = a grafik fungsi f(x) tidak naik dan tidak turun (stasioner) atau

gradien garis singgungnya bernilai nol, sehingga '( ) 0f x

Dari uraian di atas, dapat dikemukakan syarat fungsi naik dan fungsi turun

sebagai berikut:

a. Fungsi f(x) naik dalam interval I jika '( ) 0f x untuk setiap x I.

b. Fungsi f(x) turun dalam interval I jika '( ) 0f x untuk setiap x I

c. Fungsi f(x) tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada x = a jika '( ) 0f x

untuk x = a.

Contoh 7.1:

Tentukan interval-interval yang menunjukkan fungsi 2( ) 4 5f x x x :

a. naik

b. turun

Penyelesaian: 2Dari ( ) 4 5,maka '( ) 2 4f x x x f x x

a. f(x) merupakan fungsi naik jika '( ) 0f x

'( ) 0

2 4 0

2 4

2

f x

x

x

x

Jadi 2( ) 4 5f x x x naik pada interval x > 2.

b. f(x) merupakan fungsi turun jika '( ) 0f x

'( ) 0

2 4 0

2 4

2

f x

x

x

x

Jadi 2( ) 4 5f x x x turun pada interval x < 2

Contoh 7.2:

Tentukan interval dimana fungsi f (x) = x3 – 3x

2 – 45x +20

a) naik

b) turun

Penyelesaian:

Dari f (x) = x3

– 3x2 – 45x + 20 diperoleh f ’(x) = 3x

2 – 6x – 45

a) Syarat fungsi naik adalah f’(x) > 0

33 34




2

2

2

'( ) 0

3 6 45 0

2 15 0

Harga nol:

2 15 0

(x+2)(x-5) = 0

(x+2) = 0 atau (x-5) = 0

x = - 2 atau x = 5

f x

x x

x x

x x

Daerah positif atau negatif :

+ – +

-3 5

Jadi f(x) naik pada interval x < -3 atau x > 5

b) syarat f turun adalah f’ (x) < 0

Jadi f(x) turun pada pada interval -3 < x < 5

1. Tentukan interval agar fungsi berikut naik dan turun:

a. 2( ) 5 4f x x x

b. 3 2( ) 3 9f x x x x

c. 3 2( ) 3 9f x x x x

2. Tunjukkan bahwa fungsi 3 2( ) 6 20 1f x x x x selalu naik

4. Nilai Stasioner dan jenisnya

a. Pengertian nilai stasioner dan titik stasioner

Misalkan terdapat sebuah kurva dengan persamaan y = f(x) dan gradien

garis singgung kurva itu di titik (a,f(a)) dapat dinyatakan sebagai turunan fungsi

di x = a atau f '(a). Grafik beberapa macam bentuk kurva y = f(x), antara lain

terlihat seperti pada gambar 8.1 berikut:

Pada Gambar 8.1 arah garis singgung di titik (a,f(a), (b,f(b), (c,f(c) dan (d,f(d)

sejajar sumbu X. Oleh karena itu, gradien garis singgungnya bernilai nol

sehingga '( ) 0f a , '( ) 0f b , '( ) 0f c , dan '( ) 0f d Titik-titik ini disebut

titik stasioner, yaitu suatu titik pada kurva di mana gradien garis singgung kurva

di titik tersebut bernilai nol.

Nilai fungsi f(x) di titik itu dinamakan nilai stasioner. Pada gambar diatas nilai-

nilai stasioner adalah f(a), f(b), f(c), f(d) dan titik-titik stasioner adalah (a,f(a),

(b,f(b), (c,f(c) dan (d,f(d).

b. Jenis-jenis stasioner

Jenis-jenis titik stasioner dapat kita tentukan dengan memperhatikan tanda dari

f '(x). Perhatikan kembali Gambar 8.1

a b c

d

x

y

f(x)

f(x)

f(x) f(x)

Gambar 8.1

A

B

C D

35 36

Uji Kompetensi 7


Hidup dengan melakukan kesalahan (lalu menyadarinya) tampak lebih

terhormat daripada selalu benar tetapi tidak pernah melakukan apa-

apa. ( George Bernard S )




Contoh 8.1:

Diketahui fungsi 3 2( ) 2 9 12f x x x x . Tentukan

a. titik stasioner dan jenis titik stasionernya;

b. titik balik maksimum dan titik balik minimum.

Penyelesaian:

Dari 3 2( ) 2 9 12f x x x x diperoleh 2'( ) 6 18 12f x x x .

Syarat agar (f(x) stasioner adalah f '(x) = 0.

2

2

'( ) 0

6 18 12 0

3 2 0

( 1)( 2) 0

1 0 v 2 0

1 atau 2

f x

x x

x x

x x

x x

x x

Untuk x = 1 maka f(1) = 2(1)3 - 9(1)

2 + 12(1) = 5

sedangkan untuk x = 2 maka f(2) = 2(2)3 – 9(2) + 12(2) = 4

Jadi, terdapat dua titik stasioner, yaitu (1, 5) dan (2, 4).

1) Untuk x < a, nilai f '(x)

positif; untuk x = a, nilai

f '(a) = 0; sedangkan untuk

x > a, nilai f '(x) negatif.

Nilai f '(x) berubah tanda

dari positif ke nol, kemudian

ke negatif, dalam garis

bilangan hal ini dapat

digambarkan seperti gambar di samping. Ingat, tanda 0 di atas garis

bilangan bukan menunjukkan nilai suatu bilangan, tetapi hanya tanda arah

gradien. Pada keadaan ini, titik A(a,f(a)) disebut titik balik maksimum,

sedangkan nilai f(a) disebut nilai balik maksimum atau harga maksimum.

0

'( ) 0f a '( ) 0f a '( ) 0f a

++

'( )f x

a

Gambar 8.2

2) Untuk x < b nilai f '(x) negatif; untuk x = b, nilai

f '(b) = 0; sedangkan untuk

x > b, nilai f '(x) positif.

Nilai f '(x) berubah tanda

dari negatif ke nol, kemudian

ke positif, (perhatikan gambar

8.3 ). Pada keadaan ini

titik B(b,f(b)) disebut titik balik minimum, sedangkan nilai f(b) disebut

nilai balik minimum atau harga minimum.

'( ) 0f b '( ) 0f b '( ) 0f b

0 + +

'( )f x

b

Gambar 8.3

3) Untuk x < c nilai f '(x) negatif; untuk x = c, nilai f '(c) = 0; sedangkan

untuk x > c, nilai f '(x) negatif. Nilai f '(x) dari negatif ke nol,

kemudian ke negatif lagi, atau untuk x < d nilai f '(x) positif; untuk x = d,

nilai f '(d) = 0; sedangkan untuk x > d, nilai f '(x) positif. Nilai f '(x)

dari positif ke nol, kemudian ke positif lagi (perhatikan gambar 8.4).

Pada keadaan ini, titik C(c,f(c)) dan titik D(d,f(d)) disebut titik belok

horisontal atau titik stasioner dan f(c) atau f(d) dinamakan nilai

stasioner.

'( ) 0f c '( ) 0f c '( ) 0f c

0

'( )f x

c

'( ) 0f d '( ) 0f d '( ) 0f d

++ 0 ++

'( )f x

d

Gambar 8.4

37 38




Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita selidiki nilai f '(x) untuk nilai x

disekitar harga nol.

x 1 1 1+

2 2 2+

f '(x) + 0 - - 0 +

f(x) naik - turun turun - naik

Bentuk grafik

Jenis maksimum minimum

Dapat kita simpulkan bahwa titik (1, 5) merupakan titik balik maksimum sebab

f '(x) berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif, atau grafiknya naik

kemudian turun, sedangkan titik (2, 4) merupakan titik balik minimum sebab f

'(x) berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian ke positif atau grafiknya turun

kemudian naik.

b. Titik balik maksimum fungsi adalah (1,5) dan titik balik minimum adalah

(2,4).

Untuk menentukan jenis stasioner dapat menggunakan turunan kedua dari fungsi

f(x) yaitu ''( )f x dengan ketentuan sebagai berikut:

Misal fungsi f(x) mencapai stasioner pada x = a dan mempunyai nilai stasioner

f(a) :

a. Bila ''( ) 0f a maka f(a) merupakan nilai stasioner maksimum.

b. Bila ''( ) 0f a maka f(a) merupakan nilai stasioner minimum.

c. Bila ''( ) 0f a maka f(a) merupakan nilai belok horisontal.

Pada contoh diatas dari 3 2( ) 2 9 12f x x x x diperoleh:

2'( ) 6 18 12f x x x , dan

''( ) 12 18f x x

Nilai stasioner dicapai pada x = 1 dan x = 2

Untuk x = 1 diperoleh ''(1) 12.1 18 6 0f , sehingga f(1) = 5 merupakan

nilai stasioner maksimum dan titik (1,5) merupakan titik balik maksimum.

Untuk x = 2 diperoleh ''(2) 12.2 18 6 0f , sehingga f(2) = 4 merupakan

nilai stasioner minimum dan titik (1,5) merupakan titik balik minimum.

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut:

1. 2( ) 4 5f x x x

2. 3 2( ) 3 2f x x x

3. 5 3( ) 3 5f x x x

4. 3 4( ) 4 3f x x x

5. 3 213

( ) 3 4f x x x x

4. Nilai Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dalam Interval Tertutup

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval

tertutup dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval.

b. Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.

c. Dari hasil (a) dan (b) nilai terkecil merupakan nilai minimum dan nilai

terbesar merupakan nilai maksimum.

Contoh 9.1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 2 3( ) 6f x x x pada

interval –1 ≤ x ≤ 3.

Gambar 8.5

39 40

Uji Kompetensi 8




Penyelesaian:

a. Nilai fungsi 2 3( ) 6f x x x pada batas interval

2 3( 1) 6( 1) ( 1) 7f

2 3(3) 6(3) (3) 27f

b. Nilai stasioner fungsi: 2'( ) 12 3f x x x

Stasioner dicapai pada '( ) 0,f x sehingga 2 12 3 0

3 (4 ) 0

0 atau 4

x x

x x

x x

untuk x = 0 diperoleh 2'(0) 12.0 3.0 0f

untuk x = 4 di luar interval (tidak perlu dicari nilai fungsinya)

c. Diperoleh f(–1) = 7, f(3) = 27, dan f(0) = 0.

Jadi, nilai maksimum adalah 27 dan nilai minimum adalah 0.

Contoh 9.2 :

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimun dari f(x) = x2 – 6x dalam interval

{x -1< x < 4}

Penyelesaian :

a. Nilai fungsi 2( ) 6f x x x pada batas interval

2( 1) ( 1) 6( 1) 7f

2(4) (4) 6.4 8f

b. Nilai stasioner fungsi:

'( ) 2 6f x x

Stasioner dicapai pada '( ) 0,f x sehingga

2 6 0

2 6

3

x

x

x

Untuk x = 3 2(3) (3) 6.3 9f

Jadi nilai minimum adalah - 8 dan nilai maksimum adalah 9.

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimun dari fungsi-fungsi berikut dalam

interval yang ditentukan.

1. 2( ) 2 3, pada interval 0 2f x x x x

2. 2( ) 2 8 , pada interval -1 4f x x x x

3. 3( ) 12 , pada interval -3 4f x x x x

4. 3 2( ) 2 3 12 8, pada interval -2 4f x x x x x

G. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Langkah-langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar atau suatu

kurva sebagai berikut.

a. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan

sumbu Y).

b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik

balik maksimum, atau titik belok).

c. Menentukan beberapa titik bantu bila diperlukan.

Untuk lebih memahami cara menggambar grafik fungsi aljabar, perhatikan

contoh soal berikut.

Contoh 10.1 :

Gambarlah grafik 3 2( ) 3f x x x !

41 42

Uji Kompetensi 9




Penyelesaian :

Langkah-langkah :

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Kurva memotong sumbu x, jika f(x) = 0 atau y = 0, diperoleh:

3 2

2

3 0

( 3) 0

0 atau 3

x x

x x

x x

Koordinat titik potongnya adalah (0,0) dan (3,0).

Kurva memotong sumbu y, jika x = 0 diperoleh

y = 03 – 3.0 = 0

Koordinat titik potongnya adalah ( 0,0)

b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya

Syarat fungsi f(x) mencapai stasioner adalah '( ) 0f x

Dari 3 2( ) 3f x x x diperoleh 2'( ) 3 6f x x x

2

'( ) 0

3 6 0

3 ( 2) 0

0 atau 2

f x

x x

x x

x x

Untuk x = 0 dipenuhi 3 20 3.0 0y , titik stasioner (0,0)

Untuk x = 2 dipenuhi 3 22 3.2 8 12 4y , titik stasioner (2,-4)

Untuk menentukan jenis stasioner perhatikan tabel berikut:

x 0 0 0+ 2 2 2

+

f '(x) + 0 - - 0 +

f(x) turun - naik

Bentuk grafik

Jenis maksimum minimum

Jadi (0,0) merupakan titik stasioner maksimum dan (2,-4) merupakan titik

stasioner minimum.


d. Sketsa grafik

Contoh 10.2:

Gambarlah grafik 3 5( ) 5 3f x x x !

Penyelesaian :

Langkah-langkah :

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Kurva memotong sumbu x, jika f(x) = 0 atau y = 0, diperoleh:

3 5

3 2

3 2

2

53

5 3 0

(5 3 ) 0

0 atau 5 3 0

0 atau 3 5

0 atau

x x

x x

x x

x x

x x

Koordinat titik potongnya adalah 53

( ,0) , (0,0) dan 53

( ,0)

Kurva memotong sumbu y, jika x = 0 diperoleh

3 55.0 3.0 0y

Koordinat titik potongnya adalah ( 0,0)

b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya Gambar 9.1

2

-4

x

y

Gambar 9.2. Grafik fungsi 3 2( ) 3f x x x

43 44




Syarat fungsi f(x) mencapai stasioner adalah '( ) 0f x

Dari 3 5( ) 5 3f x x x diperoleh 2 4'( ) 15 15f x x x

2 4

2 2

2

'( ) 0

15 15 0

15 (1 ) 0

0 V 1 0

0 V 1 V 1

f x

x x

x x

x x

x x x

Untuk x = - 1 dipenuhi 3 55.( 1) 3.( 1) 2y , titik stasioner (-1,- 2)

Untuk x = 0 dipenuhi 3 55.0 3.0 0y , titik stasioner (0,0)

Untuk x = 1 dipenuhi 3 55.1 3.1 2y , titik stasioner (1,2)

Untuk menentukan jenis stasioner, digunakan turunan kedua sebagai berikut: 3'' 30 60y x x

Untuk x = - 1 dipenuhi 3'' 30( 1) 60( 1) 0y , maka jenisnya minimum.

Untuk x = 0 dipenuhi 3'' 30.0 60.0 0y , maka jenisnya belok horisontal.

Untuk x = 1 dipenuhi 3'' 30.1 60.1 0y , maka jenisnya maksimum.

Jadi (-1,- 2) merupakan titik stasioner minimum, (0,0) merupakan titik belok

horisontal dan (1,2) merupakan titik stasioner maksimum.


d. Sketsa grafik

Sketsa grafik fungsi-fungsi berikut ini :

1. f(x) = x2 + 4x – 12

2. f(x) = x3 – 12x

3. f(x) = x4 – 2x

2

4. f(x) = (x – 2)3 + 2

H. APLIKASI TURUNAN FUNGSI

1. Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan kecepatan dan

percepatan suatu benda

Selesaikan soal dibawah ini dengan langkah IDEAL Problem Solving

meliputi: tahap mengidentifikasi masalah, menentukan tujuan, mengeksplorasi

strategi yang mungkin, melaksanakan strategi yang dipilih dan mengkaji

kembali.

Contoh 11 :

Sebuah kelereng menggelinding dalam waktu t detik menempuh jarak S cm dan

dinyatakan dengan rumus 2233)( tttS . Tentukan:

a. Panjang lintasan pada saat 2 detik!

b. Kecepatan pada saat 2 detik!

c. Percepatan pada saat 2 detik!

Penyelesaian:

Tahap 1: Identifikasi masalah

Misalnya siswa membaca dan memahami soal, bahwa suatu benda bergerak

akan menempuh lintasan dengan jarak yang bisa diukur ( 2233)( tttS ),

waktu dinotasikan dengan t dan jarak dinotasikan dengan S. Akan dicari jarak

Gambar 9.3 Grafik fungsi 3 5( ) 5 3f x x x

x 1 -1

2

-2

0

45 46

Uji Kompetensi 10




yang ditempuh setelah t detik, kecepatan benda saat t detik dan percepatan

benda saat t detik.

Tahap 2: Menetapkan Tujuan

Misalnya siswa membaca dan mengetahui bahwa tujuan dari masalah tersebut

adalah:

- Menghitung panjang lintasan setelah 2 detik

- Menghitung kecepatan benda pada saat 2 detik

- Menghitung percepatan benda pada saat 2 detik

Tahap 3: Mengeksplorasi strategi yang mungkin

Misalnya salah satu siswa berpendapat bahwa jika kita menghitung panjang

lintasan langsung t disubtitusikan ke rumus S. Siswa lain berpendapat untuk

menghitung kecepatan dan percepatan pada saat 2 detik harus dicari dulu fungsi

kecepatan dan percepatannya. Fungsi kecepatan diperoleh dari turunan pertama

sungsi jarak dan fungsi percepatan diperoleh dari turunan pertam dari fungsi

kecepatan.

Tahap 4: Melaksanakan strategi yang dipilih

Misal dinotasikan sebagai berikut:

t : ukuran waktu

S(t): panjang lintasan kelereng

V(t): kecepatan kelereng dan

a(t): percepatan kelereng.

Dipunyai S(t) = 3-3t + 2t2.

(a) Jelas S(20 = 3-3(2) + 2(2)2

= 11.

Jadi panjang lintasan kelereng pada saat t = 2 detik adalah 11 cm.

(b) Jelas ( ) '( )

3 4

V t S t

t

Sehinga diperoleh V(2) = - 3 + 4(2) = 5

Jadi kecepatan kelereng pada saat t = 2 detik adalah 5 cm/detik.

(c) Jelas a( ) '( )

4

t V t

Sehinga diperoleh a(2) = 4

Jadi percepatan kelereng pada saat t = 2 detik adalah 4 cm/detik2.

1. Pada hari minggu Ali pergi berlibur mengendarai mobil. Jika mobil Ali

bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan yang dinyatakan

dengan S(t) = t3 – 9t

2 + 24t. Tentukan:

a. Kecepatan mobil pada waktu t = 5 detik!

b. Percepatan mobil pada waktu t = 5 detik!

2. Pada hari minggu Ani dan Budi pergi ke Taman Ria. Kemudian tiba-tiba mata

mereka tertuju pada komedi putar. Tiba-tiba saja mereka teringat dengan

tugas fisika yang diberikan dari bu Anda, yang menanyakan jika sebuah

komedi putar bergerak dengan panjang lintasan sudut 212128 tt .

a. Hitunglah kecepatan sudut pada saat 3 detik!

b.Hitunglah besar percepatan pada saat 3 detik!

3. Sebuah bola dilempar keatas akan mencapai ketinggian h meter setelah t

detik, dengan h(t) = 24t – 0,8 t2 + 1.

a. Tentukan fungsi laju bola!

b. Tentukan ketinggian bola pada saat kecepatannya 0 m/det!

c. Tentukan kecepatan bola pada saat menyentuh tanah!

2. Menggunakan turunan fungsi dalam merancang model matematika

dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem fungsi

Pemodelan matematika yang berkaitan dengan nilai ekstrem (maksimum

atau minimum) suatu fungsi dapat ditentukan dari berbagai persoalan. Langkah-

langkah untuk membuat model matematika dari suatu persoalan adalah sebagai

berikut:

a. Identifikasikan masalah dan notasikan variabel-variabel yang ada.

b. Rumuskan fungsi dari keterangan yang ada dan cari hubungan antar variabel.

c. Rumuskan fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya (maksimum atau

mainimum) dalam satu variabel.

47 48

Uji Kompetensi 11




Untuk dapat memahami bagaimana merancang model matematika dari suatu

masalah, perhatikan contoh berikut.

Contoh 12.1:

Diketahui jumlah dua buah bilangan positif adalah 16. Buatlah model

matematikanya sehingga kedua bilangan itu dapat ditemukan dengan syarat

hasilkalinya maksimum !

Penyelesaian:

a. Mengidentifikasi masalah:

- Terdapat dua buah bilangan positif, misalnya dinotasikan dengan x dan y.

- Terdapat fungsi penjumlahan.

- Terdapat fungsi perkalian, misalnya dinotasikan dengan H.

b. Merumuskan fungsi yang diketahui dan hubungan antar variabel:

x + y = 16 dan y = 16 – x

c. Merumuskan fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya dalam satu variabel:

2

H = x.y ( memuat dua variabel x dan y)

H = x(16 - x)

H = 16x - x ( memuat satu variabel x )

Contoh 12.2:

Selembar karton berbentuk persegi, dengan panjang sisi 24 cm. Pada keempat

titik sudutnya dibuat potongan berbentuk persegi dengan ukuran sama. Sisa

potongan dilipat ke atas sehingga diperoleh sebuah bentuk kotak tanpa tutup.

Buatlah model matematikanya sehingga dapat ditemukan ukuran kotak dengan

syarat volume kotak maksimum !

Penyelesaian:

a. Mengidentifikasi masalah

- Terdapat persegi besar yang panjang sisinya 24 cm.

- Terdapat persegi kecil dengan sisi x cm pada tiap sudut persegi besar.

- Akan dibentuk kotak dengan volume V = p . l . t

b. Merumuskan fungsi yang diketahui

Panjang kotak : p = 24 – 2x

Lebar kotak : l = 24 – 2x

Tinggi kotak : t = x

c. Merumuskan fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya dalam satu variabel

2 3

V = p.l.t ( memuat tiga variabel yaitu p, l dan t)

V = (24-2x)(24-2x)x

V = 576 96 ( memuat satu variabel x)x x x

1. Dipunyai dua bilangan cacah jumlahnya 16. Buatlah model matematikanya

agar hasil kali salah satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi

maksimum.

2. Selembar seng lebarnya 16 meter. Di sepanjang tepinya dilipat ke atas untuk

dijadikan sebuah talang dengan sisi-sisi samping tegak ke atas. Buatlah

model matematikanya sehingga dapat ditemukan ukuran penampang talang

dengan syarat agar kapasitas talang maksimum !

3. Suatu kolam ikan berbentuk persegi panjang dipagari kawat berduri, pagar

kawat yang tersedia panjangnya 400 m. Buatlah model matematikanya

sehingga dapat ditemukan ukuran kolam dengan syarat luasnya maksimum !

3. Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan model matematika

dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem fungsi dan penafsirannya.

Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ekstrem fungsi dapat

dilakukan 5 tahap strategi IDEALProblem Solving sebagai berikut:

a. Tahap 1 : mengidentifikasikan masalah (Identify the problem)

b. Tahap 2 : menetapkan tujuan yang ingin dipecahkan (Define goals)

c. Tahap 3 : mencari beberapa cara yang mungkin (Eksplore possible strategies)

dapat ditempuh untuk menyelesaikan masalah tersebut.

x

x

24

49 50

Uji Kompetensi 12




d. Tahap 4 : melaksanakan cara yang dipilih (Act on the strategy).

e. Tahap 5 : mengkaji kembali (Look back) jawaban yang diperoleh.

Merancang model matematika dari suatu masalah dapat dilakukan tahap 1

sampai 3. Setelah suatu masalah terbentuk model matematikanya dilanjutkan

dengan menyelesaikan masalah yang dapat dilakukan tahap 4 dan 5. Untuk dapat

memahami bagaimana menyelesaikan suatu masalah dengan strategi IDEAL

Problem Solving, perhatikan contoh berikut.

Contoh 13.1:

Diketahui jumlah dua buah bilangan positif adalah 36. Tentukan kedua bilangan

itu agar hasil kali salah satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi

maksimum. !

Penyelesaian:

Tahap 1: mengidentifikasi masalah:

- Terdapat dua buah bilangan positif, misalnya dinotasikan dengan x dan

y.

- Terdapat fungsi penjumlahan.

- Terdapat fungsi perkalian, misalnya dinotasikan dengan H.

Tahap 2: menetapkan tujuan

Tujuan dari masalah diatas adalah mencari dua buah bilangan positif agar hasil

kali salah satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi maksimum.

Tahap 3: mencari beberapa cara yang mungkin

- Dengan cara manual dicari dua pasang bilangan positif yang jumlahnya

36, misalnya 1 dan 35, 2 dan 34, 3 dan 33 dan seterusnya kemudian

dipilih yang hasilkali salah satu dengan kuadrat bilangan lainnya

maksimum. Cara ini kurang efisien karena akan diperoleh banyak

pasangan bilangan.

- Dengan menggunakan turunan fungsi, terlebih dahulu dibuat model

matematikannya.

Tahap 4: melaksanakan cara yang dipilih

Dipilih cara menggunakan turunan fungsi.

Misal kedua bilangan itu x dan y.

Jelas x + y = 36

x = 36 - y

Dibuat fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya yaitu hasilkali salah satu

dengan kuadrat bilangan lainnya maksimum. 2

2

2 3

H = x.y

H = (36 - y) y

H = 36y - y

Jadi fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya adalah H = 36y2 – y

3.

Jelas 2 H' = 72y - 3y

H mencapai maksimum (stasioner) bila H' = 0 2 72y - 3y 0

3 (24 ) 0

0 v 24

y y

y y

Untuk y = 0 x = 36 – 0 = 36 ( tidak memenuhi karena 0 bukan bilangan

positif)

Untuk y = 24 x = 36 – 24 = 12 Jadi kedua bilangan itu adalah 12 dan 24

Tahap 5: mengkaji kembali

Diperoleh penyelesaian bahwa kedua bilangan itu adalah x = 12 dan y = 24. 2

2

Maka nilai H = x.y

= 12.24

= 6912 merupakan nilai maksimum

Hubuangn x dan y dapat dinyatakan dalam y = 36 – x, kemudian disubstitusikan

ke fungsi H, sehingga diperoleh: 2

2

2 3

H = x.y

H = x(36 - x)

H = 1296x - 72x x

51 52




Untuk H' = 0 , maka 1296 – 144x + 3x2 = 0 (tunjukkan bahwa x = 12 atau x =

36), tampak bahwa persamaan ini lebih sulit untuk dikerjakan dibanding

persamaan 72y – 3y2 = 0.

Contoh 13.2 :

Diketahui kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi. Luas permukaan

kotak tersebut adalah 108 cm2

. Tentukan tinggi kotak supaya volume kotak

maksimum !

Penyelesaian:


- Terdapat kotak tanpa tutup yang memiliki permukaan terdiri dari sebuah

persegi (alas) dan 4 buah persegi panjang (sisi tegak).

- Terdapat fungsi luas persegi dan luas persegi panjang

- Terdapat fungsi volume balok


Tujuan dari masalah diatas adalah mencari tinggi kotak agar volumenya

maksimum.


- Siswa dapat menotasikan sendiri tinggi kotak, luas permukaan kotak,

luas persegi dan luas persegi panjang.


Misal rusuk alas = x dan tinggi kotak t.

Misal luas persegi = A, luas sisi tegak H, luas permukaan kotak L dan volume

kotak V, maka diperoleh hubungan:

2

2

L = A + 4H

108 = x 4xt

108 xt =

4x

Dibuat fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya yaitu volume kotak. 2

22

3

314

. (memuat dua variabel x dan t)

108

4

108

4

27 (memuat satu variabel x)

V x t

xV x

x

x xV

V x x

Jadi fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya adalah 314

27V x x

Jelas 234

V' = 27- x

V mencapai maksimum (stasioner) bila V' = 0 23

4

234

2

27- 0

27

36

6

x

x

x

x

2108 6Untuk x = 6 diperoleh t =

4.6

72 =

24

= 3

Jadi tinggi kotak agar volume kotak maksimum adalah 3 cm

t

x

53 54





Diperoleh penyelesaian bahwa tinggi kotak 3 cm dan rusuk alas 6 cm, sehingga

dapat dihitung volume maksimumnya yaitu V = 32.6 = 54 cm

3.

Contoh 13.3:

Seorang pengusaha ingin membuat kaleng berbentuk tabung yang volumenya

2000 cm3. Kaleng itu akan dibuat sedemikian hingga luasnya paling kecil.

Tentukan jari-jari dan tinggi kaleng tersebut.

Penyelesaian:


- Terdapat tabung yang memiliki jari-jari alas dan tinggi.

- Terdapat fungsi luas selimut tabung.

- Terdapat fungsi volume tabung


Tujuan dari masalah diatas adalah mencari jari-jari dan tinggi tabung agar luas

selimutnya minimum.


- Siswa dapat menotasikan sendiri jari-jari, tinggi , luas selimut, dan

volume tabung.


Misal jari-jari alas = r dan tinggi kotak t.

Misal volume tabung V, dan luas selimut tabung = L, maka diperoleh

hubungan: 2

2

2

V = r .t

2000 = r .t

2000t =

r

Dibuat fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya yaitu luas selimut tabung.

2

2

2

2

2 2 . (memuat dua variabel r dan t)

20002 2 .

40002 (memuat satu variabel r)

L r r t

L r rr

L rr

Jadi fungsi yang dipersoalkan nilai ekstremnya adalah

2 2 140002 2 4000L r r r

r

Jelas 2

2

4000L' = 4 r - 4000 r 4 r

r

L mencapai minimum (stasioner) bila L' = 0

2

2

3

40004 0

40004

1000

10

rr

rr

r

r

2

2000Untuk 10 20

10r t

Jadi agar luas selimut tabung minimum, maka jari-jarinya 10 cm dan tingginya

20 cm.


Diperoleh penyelesaian bahwa jari-jari tabung 10 cm dan tinggi tabung 20 cm,

sehingga dapat dihitung luas minimumnya yaitu

2 240002 .10 200 400 600 cm

10L

.

Hubungan r dan t dapat dinyatakan dalam 2 2000r

t , kemudian disubstitusikan

dalam fungsi

55 56




20002 2 . (tampak fungsi ini lebih sulit untuk dikerjakan)L t t

t

Uji kompetensi 13

1. Diketahui jumlah dua buah bilangan positif adalah 60. Tentukan kedua

bilangan itu agar hasil kali keduanya menjadi maksimum !

2. Diketahui hasil kali dua bilangan asli adalah 36. Tentukan jumlah terkecil

antara bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain !

3. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan panjang 40 cm dan lebar

25 cm. Akan dibuat kardus berbentuk balok tanpa tutup dengan cara

memotong tiap sudutnya berbentuk persegi. Tentukan volume terbesar kardus

tersebut !

4. Tentukan jari-jari alas dan tinggi tabung yang dapat dibuat di dalam sebuah

bola berjari-jari 10 cm agar volume tabung mencapai maksimum.

5. Sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari bidang 14 cm dan tingginya

21 cm. Kerucut itu dibalik, kemudian dituangi air.

a. Tentukan volume air V sebagai fungsi dari h.

b. Tentukan laju perubahan volume air terhadap ketinggian, ketika kerucut itu

dituangi air pada ketinggian 14 cm.

Uji Kompetensi 1

Uji Kompetensi 2

Uji Kompetensi 3

KUNCI JAWABAN

57 58


Manusia yang paling lemah ialah orang yang tidak mampu mencari teman.

Namun yang lebih lemah dari itu adalah orang yang mendapatkan banyak

teman tapi menyia-yiakannya ( Ali bin Abi Thalib )




Uji Kompetensi 4

Uji Kompetensi 5

Uji Kompetensi 6

Uji Kompetensi 7

Uji Kompetensi 8

Uji Kompetensi 9

Uji Kompetensi 10

60 59




Uji Kompetensi 11

Uji Kompetensi 12

Uji Kompetensi 13

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri, B.K. 2007. Matematika untuk SMA Kelas XI Program IPA.

Jakarta: Erlangga

Supriyanto, Sigid dk. 2009. Mathematics for Senior High School Yera XI

(bilingual). Jakarta: Yudistira

Sulistiyono. ( 2007). Matematika SMA dan MA , Seri Pendalaman Materi.

Jakarta : esis. Erlangga

Soedyarto, N & Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI

Program IPA (BSE). Jakarta: Depdiknas.

62 61




Biografi Penyusun

Muchayat, dilahirkan di Blora pada tanggal 2 Juni 1969, anak keempat

dari pasangan M. Basri dan Sriyati. Pendidikan dasar di SDN 1 Nglandeyan lulus

1981, SMPN 4 Cepu lulus 1984 dan SMAN 1 Cepu lulus 1987. Pendidikan sarjana

ditempuh di FKIP UNS Surakarta Jurusan MIPA Program Studi Pendidikan

Matematika lulus 1993. Saat ini sedang menempuh studi S2 Program Studi

Pendidikan Matematika di Pascasarjana Unnes Semarang.

Karier sebagai pengajar diawali sebagai guru wiyata bakti di SMA

Muhammadiyah 2 Cepu dan SMAN 1 Randublatung. Pengangkatan PNS sebagai

guru Dpk di MAN Lasem selama 12 tahun dan sekarang masih aktif sebagai

pengajar di SMAN 1 Lasem Kabupaten Rembang.

ayat buku siswa turunan fungsi final

Documents